1、2018-2019学年河南省洛阳市高一（上）1月月考数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知集合Ax|x2，Bx|32x0，则（）AABx|xBABCABx|xDABR2（5分）已知圆C1：x2+y22x0与圆C2：x2+y24y+30，则两圆的公切线条数为（）A1条B2条C3条D4条3（5分）三个数a70.3，b0.37，cln0.3大小的顺序是（）AabcBacbCbacDcab4（5分）已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（）A若m，n，则mnB若m，n，则mnC若m，mn，则nD若m，
2、mn，则n5（5分）在四面体PABC的四个面中，是直角三角形的至多有（）A0个B2个C3个D4个6（5分）若圆（x3）2+（y+5）2r2上有且仅有两个点到直线4x3y20的距离为1，则半径r的取值范围是（）A（4，6）B4，6）C（4，6D4，67（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足：对任意xR，f（x）f（x），f（3x）f（x），则f（2019）（）A3B0C1D38（5分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（）A3B2C2D29（5分）数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半这条直线被后人
3、称之为三角形的欧拉线若ABC的顶点A（2，0），B（0，4），且ABC的欧拉线的方程为xy+20，则顶点C的坐标为（）A（4，0）B（4，2）C（2，2）D（3，0）10（5分）设函数f（x）的最小值为1，则实数a的取值范围是（）Aa2Ba2CaDa11（5分）由直线yx+2上的点向圆（x4）2+（y+2）21引切线，则切线长的最小值为（）ABCD12（5分）已知函数yf（x）与yF（x）的图象关于y轴对称，当函数yf（x）和yF（x）在区间a，b同时递增或同时递减时，把区间a，b叫做函数yf（x）的“不动区间”若区间1，2为函数f（x）|2xt|的“不动区间”，则实数t的取值范围是（）A（0
4、，2B，+）C，2D，24，+）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x（，0）时，f（x）2x3+x2，则f（2） 14（5分）在空间直角坐标系中，一点到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是 15（5分）函数f（x）ln（x22x8）的单调递增区间是 16（5分）如图，矩形ABCD中，AB1，BCa，PA平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQDQ，则a的值等于 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）已知l1
5、：x+my+60，l2：（m2）x+3y+2m0，分别求m的值，使得l1和l2：（1）垂直；（2）平行；（3）重合；（4）相交18（12分）有两直线ax2y2a+40和2x（1a2）y22a20，当a在区间（0，2）内变化时，求直线与两坐标轴围成的四边形面积的最小值19（12分）如图，在圆锥PO中，已知PO，圆O的直径AB2，C是弧AB的中点，D为AC的中点（1）求异面直线PD和BC所成的角（2）求直线OC和平面PAC所成角的正弦值20（12分）已知函数f（x）x24x+a+3，aR（1）若函数f（x）在（，+）上至少有一个零点，求a的取值范围；（2）若函数f（x）在a，a+1上的最大值为3，
6、求a的值21（12分）如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2，侧棱长为3，点E在侧棱AA1上，点F在侧棱BB1上，且AE2，BF（I）求证：CFC1E；（II）求二面角ECFC1的大小22（12分）已知直线l：xm（m2）与x轴交于A点，动圆M与直线l相切，并且和圆O：x2+y24相外切（1）求动圆圆心M的轨迹C的方程（2）若过原点且倾斜角为的直线与曲线C交于M、N两点，问是否存在以MN为直径的圆过点A？若存在，求出实数m的值；若不存在，说明理由2018-2019学年河南省洛阳市高一（上）1月月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题
7、给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知集合Ax|x2，Bx|32x0，则（）AABx|xBABCABx|xDABR【分析】解不等式求出集合B，结合集合交集和并集的定义，可得结论【解答】解：集合Ax|x2，Bx|32x0x|x，ABx|x，故A正确，B错误；ABx|x2，故C，D错误；故选：A【点评】本题考查的知识点集合的交集和并集运算，难度不大，属于基础题2（5分）已知圆C1：x2+y22x0与圆C2：x2+y24y+30，则两圆的公切线条数为（）A1条B2条C3条D4条【分析】求出两圆的圆心与半径，利用圆心距判断两圆外离，公切线有4条【解答】解：圆C1：x2+y22x0化为
8、标准形式是（x1）2+y21，圆心是C1（1，0），半径是r11；圆C2：x2+y24y+30化为标准形式是x2+（y2）21，圆心是C2（0，2），半径是r21；则|C1C2|r1+r2，两圆外离，公切线有4条故选：D【点评】本题考查了两圆的一般方程与位置关系应用问题，是基础题3（5分）三个数a70.3，b0.37，cln0.3大小的顺序是（）AabcBacbCbacDcab【分析】由指数函数和对数函数的图象可以判断a70.3，b0.37，cln0.3和0 和1的大小，从而可以判断a70.3，b0.37，cln0.3的大小【解答】解：由指数函数和对数函数的图象可知：70.31，00.371，
9、ln0.30，所以ln0.30.3770.3故选：A【点评】本题考查利用插值法比较大小、考查指数函数、对数函数的图象和性质，属基础知识、基本题型的考查4（5分）已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（）A若m，n，则mnB若m，n，则mnC若m，mn，则nD若m，mn，则n【分析】A运用线面平行的性质，结合线线的位置关系，即可判断；B运用线面垂直的性质，即可判断；C运用线面垂直的性质，结合线线垂直和线面平行的位置即可判断；D运用线面平行的性质和线面垂直的判定，即可判断【解答】解：A若m，n，则m，n相交或平行或异面，故A错；B若m，n，则mn，故B正确；C若m，mn，则n或n，
10、故C错；D若m，mn，则n或n或n，故D错故选：B【点评】本题考查空间直线与平面的位置关系，考查直线与平面的平行、垂直的判断与性质，记熟这些定理是迅速解题的关键，注意观察空间的直线与平面的模型5（5分）在四面体PABC的四个面中，是直角三角形的至多有（）A0个B2个C3个D4个【分析】作出图形，能够做到PA与AB，AC垂直，BC与BA，BP垂直，得解【解答】解：如图，PA平面ABC，CBAB，则CBBP，故四个面均为直角三角形故选：D【点评】此题考查了线面垂直等问题，难度不大6（5分）若圆（x3）2+（y+5）2r2上有且仅有两个点到直线4x3y20的距离为1，则半径r的取值范围是（）A（4，
11、6）B4，6）C（4，6D4，6【分析】先根据圆的方程求得圆心坐标和圆心到已知直线的距离，进而可推断出与直线4x3y20距离是1的两个直线方程，分别求得圆心到这两直线的距离，分析如果与4x3y+30相交 那么圆也肯定与4x3y70相交 交点个数多于两个，则到直线4x3y20的距离等于1的点不止2个，进而推断出圆与4x3y+30不相交；同时如果圆与4x3y70的距离小于等于1 那么圆与4x3y70和4x3y+30交点个数和至多为1个 也不符合题意，最后综合可知圆只能与4x3y70相交，与4x3y+30相离，进而求得半径r的范围【解答】解：依题意可知圆心坐标为（3，5），到直线的距离是5，与直线4
12、x3y20距离是1的直线有两个4x3y70和4x3y+30，圆心到4x3y70距离为4 到4x3y+30距离是6如果圆与4x3y+30相交，那么圆也肯定与4x3y70相交，交点个数多于两个，于是圆上点到4x3y20的距离等于1的点不止两个，所以圆与4x3y+30不相交，如果圆与4x3y70的距离小于等于1，那么圆与4x3y70和4x3y+30交点个数和至多为1个，所以圆只能与4x3y70相交，与4x3y+30相离，所以4r6故选：A【点评】本题主要考查了圆与圆的位置关系和判定考查了学生分析问题和数形结合思想的运用要求学生有严密的逻辑思维能力7（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足：对任意xR
13、，f（x）f（x），f（3x）f（x），则f（2019）（）A3B0C1D3【分析】判断函数的奇偶性以及函数的周期性，化简求解函数值即可【解答】解：定义在R上的函数f（x）满足f（x）f（x），可知函数是奇函数，f（0）0f（3x）f（x），可得f（3+x）f（x）f（x），所以f（x+6）f（x+3）f（x），函数的周期是6f（2019）f（3366+3）f（3）f（33）f（0）0故选：B【点评】本题考查抽象函数的应用，函数的奇偶性以及函数的周期性的应用，考查计算能力8（5分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（）A3B2C2D2【分析】根据三视图可得物体的直观图，结合图
14、形可得最长的棱为PA，根据勾股定理求出即可【解答】解：由三视图可得直观图，再四棱锥PABCD中，最长的棱为PA，即PA2，故选：B【点评】本题考查了三视图的问题，关键画出物体的直观图，属于基础题9（5分）数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半这条直线被后人称之为三角形的欧拉线若ABC的顶点A（2，0），B（0，4），且ABC的欧拉线的方程为xy+20，则顶点C的坐标为（）A（4，0）B（4，2）C（2，2）D（3，0）【分析】设出点C的坐标，由重心坐标公式求得重心，代入欧拉线得一方程，求出AB的垂直平分线，和欧拉线方
15、程联立求得三角形的外心，由外心到两个顶点的距离相等得另一方程，两方程联立求得点C的坐标【解答】解：设C（m，n），由重心坐标公式得，三角形ABC的重心为（，），代入欧拉线方程得：+20，整理得：mn+40 AB的中点为（1，2），直线AB的斜率k2，AB的中垂线方程为y2（x1），即x2y+30联立，解得ABC的外心为（1，1）则（m+1）2+（n1）232+1210，整理得：m2+n2+2m2n8 联立得：m4，n0或m0，n4当m0，n4时B，C重合，舍去顶点C的坐标是（4，0）故选：A【点评】本题考查直线方程的求法，训练了直线方程的点斜式，考查了方程组的解法10（5分）设函数f（x）的最
16、小值为1，则实数a的取值范围是（）Aa2Ba2CaDa【分析】运用指数函数的单调性和二次函数的单调性，分别求出当x时，当x时，函数的值域，由题意可得a的不等式，计算即可得到【解答】解：当x时，f（x）4x3231，当x时，取得最小值1；当x时，f（x）x22x+a（x1）2+a1，即有f（x）在（，）递减，则f（x）f（）a，由题意可得a1，解得a故选：C【点评】本题考查分段函数的运用：求最值，主要考查指数函数的单调性和二次函数的值域的求法，属于中档题11（5分）由直线yx+2上的点向圆（x4）2+（y+2）21引切线，则切线长的最小值为（）ABCD【分析】要使切线长最小，必须直线yx+2上的
17、点到圆心的距离最小，此最小值即为圆心（4，2）到直线的距离m，求出m，由勾股定理可求切线长的最小值【解答】解：要使切线长最小，必须直线yx+2上的点到圆心的距离最小，此最小值即为圆心（4，2）到直线的距离m，由点到直线的距离公式得 m4，由勾股定理求得切线长的最小值为 故选：B【点评】本题考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式、勾股定理得应用12（5分）已知函数yf（x）与yF（x）的图象关于y轴对称，当函数yf（x）和yF（x）在区间a，b同时递增或同时递减时，把区间a，b叫做函数yf（x）的“不动区间”若区间1，2为函数f（x）|2xt|的“不动区间”，则实数t的取值范围是（）A（0，
18、2B，+）C，2D，24，+）【分析】若区间1，2为函数f（x）|2xt|的“不动区间”，则函数f（x）|2xt|和函数F（x）|2xt|在1，2上单调性相同，则（2xt）（2xt）0在1，2上恒成立，进而得到答案【解答】解：函数yf（x）与yF（x）的图象关于y轴对称，F（x）f（x）|2xt|，区间1，2为函数f（x）|2xt|的“不动区间”，函数f（x）|2xt|和函数F（x）|2xt|在1，2上单调性相同，y2xt和函数y2xt的单调性相反，（2xt）（2xt）0在1，2上恒成立，即1t（2x+2x）+t20在1，2上恒成立，即2xt2x在1，2上恒成立，即t2，故选：C【点评】本题考
19、查的知识点是函数恒成立问题，指数函数的图象和性质，正确理解不动区间的定义，是解答的关键二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x（，0）时，f（x）2x3+x2，则f（2）12【分析】由已知中当x（，0）时，f（x）2x3+x2，先求出f（2），进而根据奇函数的性质，可得答案【解答】解：当x（，0）时，f（x）2x3+x2，f（2）12，又函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（2）12，故答案为：12【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，函数求值，难度不大，属于基础题14（5分）在空间直角坐标系中，一点到三个坐标轴的距离都是
20、1，则该点到原点的距离是【分析】设出该点的坐标，根据题意列方程组，从而求得该点到原点的距离【解答】解：设该点的坐标是（x，y，z），该点到三个坐标轴的距离都是1，x2+y21，x2+z21，y2+z21，x2+y2+z2，该点到原点的距离是故答案为：【点评】本题考查了空间中点的坐标与应用问题，是基础题15（5分）函数f（x）ln（x22x8）的单调递增区间是（4，+）【分析】求出函数的定义域，结合复合函数单调性的性质进行求解即可【解答】解：由x22x80得x2或x4，设tx22x8，则ylnt是增函数，要求函数f（x）ln（x22x8）的单调递增区间，等价为求函数tx22x8的递增区间，tx2
21、2x8的递增区间为（4，+），则函数f（x）的递增区间为（4，+），故答案为：（4，+）【点评】本题主要考查复合函数单调区间的求解，利用换元法结合复合函数单调性之间的关系是解决本题的关键16（5分）如图，矩形ABCD中，AB1，BCa，PA平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQDQ，则a的值等于2【分析】利用三垂线定理的逆定理、直线与圆相切的判定与性质、矩形的性质、平行线的性质即可求出【解答】解：连接AQ，取AD的中点O，连接OQPA平面ABCD，PQDQ，由三垂线定理的逆定理可得DQAQ点Q在以线段AD的中点O为圆心的圆上，又在BC上有且仅有一个点Q满足PQDQ，BC与圆O相切，（否则
22、相交就有两点满足垂直，矛盾）OQBC，ADBC，OQAB1，BCAD2，即a2故答案为：2【点评】本题体现转化的数学思想，转化为BC与以线段AD的中点O为圆心的圆相切是关键，属于中档题三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）已知l1：x+my+60，l2：（m2）x+3y+2m0，分别求m的值，使得l1和l2：（1）垂直；（2）平行；（3）重合；（4）相交【分析】（1）若l1和l2垂直，则m2+3m0（2）若l1和l2平行，则（3）若l1和l2重合，则（4）若l1和l2相交，则由（2）（3）的情况去掉即可【解答】解：若（1）l1和l2垂直，则m
23、2+3m0m（2）若l1和l2平行，则m1（3）若l1和l2重合，则m3（4）若l1和l2相交，则由（2）（3）可知m3且m1【点评】本题主要考查了两直线的位置关系的应用，解题的关键是熟练掌握直线的不同位置的条件一般式方程的表示18（12分）有两直线ax2y2a+40和2x（1a2）y22a20，当a在区间（0，2）内变化时，求直线与两坐标轴围成的四边形面积的最小值【分析】利用直线方程，求出相关点的坐标，利用直线系解得yE2根据S四边形OCEASBCESOAB即可得出【解答】解：0a2，可得l1：ax2y2a4，与坐标轴的交点A（0，a+2），B（2，0）l2：2x（1a2）y22a20，与坐
24、标轴的交点C（a2+1，0），D（0，）两直线ax2y2a+40和2x（1a2）y22a20，都经过定点（2，2），即yE2S四边形OCEASBCESOAB|BC|yE|OA|OB|（a2+1）2（2a）（2）a2a+3（a）2+，当a时取等号l1，l2与坐标轴围成的四边形面积的最小值为【点评】本题考查了相交直线、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题19（12分）如图，在圆锥PO中，已知PO，圆O的直径AB2，C是弧AB的中点，D为AC的中点（1）求异面直线PD和BC所成的角（2）求直线OC和平面PAC所成角的正弦值【分析】（1）由已知得ODBC，从而异面直线PD和BC所
25、成的角为PDO，由此能求出异面直线PD和BC所成的角（2）在平面POD中，过O作OHPD于H，由已知得OCH是直线OC和平面PAC所成的角由此能求出直线OC和平面PAC所成角的正弦值【解答】解：（1）O，D分别是AB和AC的中点，ODBC，异面直线PD和BC所成的角为PDO，在ABC中，AB2，C是AB的中点，D为AC的中点，又，PO面ABC，异面直线PD和BC所成的角为arctan2（2）OAOC，D是AC的中点，ACOD，又PO底面ABC，AC底面ABC，ACPO，ODPOO，AC平面POD，又AC平面PAC，平面POD平面PAC，在平面POD中，过O作OHPD于H，则OH平面PAC，连结
26、CH，则CH是OC在平面PAC上的射影，OCH是直线OC和平面PAC所成的角在RtPOD中，OH，在RtOHC中，sinOCH直线OC和平面PAC所成角的正弦值为【点评】本题考查异面直线所成角的大小的求法，考查线面解的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养20（12分）已知函数f（x）x24x+a+3，aR（1）若函数f（x）在（，+）上至少有一个零点，求a的取值范围；（2）若函数f（x）在a，a+1上的最大值为3，求a的值【分析】（1）由函数yf（x）在R上至少有一个零点方程f（x）x24x+a+30至少有一个实数根0，解出即可；（2）通过对区间a，a+1端点与对称
27、轴顶点的横坐标2的大小比较，再利用二次函数的单调性即可得出【解答】解：（1）由函数yf（x）在R上至少有一个零点，即方程f（x）x24x+a+30至少有一个实数根164（a+3）0，解得a1（2）函数f（x）x24x+a+3图象的对称轴方程是x2当a+12，即a1时，f（x）maxf（a）a23a+33，解得：a0；a2a+1，即1a2时，f（a）0，f（a+1）a2a，f（a+1）f（a）3a30，f（x）maxa2a3，解得：a，a+12即a2时，f（x）maxf（a+1）a2a3，解得：a，综上，a0或a【点评】本题考查了二次函数零点与一元二次方程的实数根的关系、一元二次方程的实数根与判
28、别式的关系、二次函数的单调性、分类讨论等基础知识与基本技能方法21（12分）如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2，侧棱长为3，点E在侧棱AA1上，点F在侧棱BB1上，且AE2，BF（I）求证：CFC1E；（II）求二面角ECFC1的大小【分析】（I）欲证C1E平面CEF，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证C1E与平面CEF内两相交直线垂直，根据勾股定理可知EFC1E，C1ECE，又EFCEE，满足线面垂直的判定定理，最后根据线面垂直的性质可知CFC1E；（II）根据勾股定理可知CFEF，根据线面垂直的判定定理可知CF平面C1EF，而C1F平面C1EF，则CFC1F，从而EFC
29、1即为二面角ECFC1的平面角，在C1EF是等腰直角三角形，求出此角即可【解答】解：（I）由已知可得CC1，CEC1F，EF2AB2+（AEBF）2，EFC1E，于是有EF2+C1E2C1F2，CE2+C1E2C1C2，所以EFC1E，C1ECE又EFCEE，所以C1E平面CEF由CF平面CEF，故CFC1E；（II）在CEF中，由（I）可得EFCF，CE，于是有EF2+CF2CE2，所以CFEF，又由（I）知CFC1E，且EFC1EE，所以CF平面C1EF又C1F平面C1EF，故CFC1F于是EFC1即为二面角ECFC1的平面角由（I）知C1EF是等腰直角三角形，所以EFC145，即所求二面
30、角ECFC1的大小为45【点评】本题主要考查了空间直线与平面的位置关系和二面角的求法，同时考查了空间想象能力和推理论证的能力22（12分）已知直线l：xm（m2）与x轴交于A点，动圆M与直线l相切，并且和圆O：x2+y24相外切（1）求动圆圆心M的轨迹C的方程（2）若过原点且倾斜角为的直线与曲线C交于M、N两点，问是否存在以MN为直径的圆过点A？若存在，求出实数m的值；若不存在，说明理由【分析】（1）设出动圆圆心坐标，由动圆圆心到切线的距离等于动圆与定圆的圆心距减定圆的半径列式求解动圆圆心的轨迹方程；（2）求出过原点且倾斜角为的直线方程，和曲线C联立后利用根与系数关系得到M，N的横纵坐标的和与
31、积，由列式求解m的值，结合m的范围说明存在以MN为直径的圆过点A【解答】解：（1）设动圆的圆心M坐标（x0，y0），动圆M与直线l相切，并且和圆O：x2+y24相外切，|x0m|，即整理得：动圆圆心M的轨迹C的方程为y2（42m）x+（2m）2（2）存在以MN为直径的圆过点A事实上，过原点倾斜角为的直线方程为y联立，得3x2（42m）x（2m）20设M（x1，y1），N（x2，y2），则，若存在以MN为直径的圆过点A，则，即（x1m，y1）（x2m，y2），解得：，（舍去）时，存在以MN为直径的圆过点A【点评】本题考查了轨迹方程的求法，考查了直线与圆锥曲线的关系，训练了利用数量积判断两个向量的垂直关系，考查了学生的计算能力，是有一定难度题目
