1、2017-2018学年浙江省绍兴市高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（3分）若集合Ax|x1，则（）A3AB2AC1AD0A2（3分）设（0，），若sin，则cos（）ABCD3（3分）cos（+x）（）AcosxBcosxCsinxDsinx4（3分）当a1时，在同一平面直角坐标系中，函数yax与yx的图象可能为（）ABCD5（3分）将函数ysin2x的图象向左平移个单位长度，所得图象的函数解析式为（）Aysin（2x+）Bysin（2x）Cysin（2x+）Dysin（2x）6（3分）下列各式正
2、确的是（）A1.70.20.73Blg3.4lg2.9Clog0.31.8log0.32.7D（）（）7（3分）若函数f（x）（a，bR，且ab0）在区间（0，+）上单调递增，则（）Aa0，b0Ba0，b0Ca0，b0Da0，b08（3分）已知a0，且a1，对任意的实数，函数f（x）ax+ax不可能（）A是奇函数B是偶函数C既是奇函数又是偶函数D既不是奇函数又不是偶函数9（3分）设（0，），（0，），且tan，则（）A2B2+C2D2+10（3分）定义在R上的函数f（x）2xg（x），g（x）41xg（2x），若f（x）在区间1，+）上为增函数，则一定为正数的是（）Ag（1）2g（0）Bg（1
3、）2g（0）Cg（1）2g（2）Dg（2）2g（3）二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11（3分）16、17世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，数学家纳皮尔在研究天文学的过程中，为简化计算发明了对数直到18世纪，才由瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系，即abNblogaN现在已知alog23，则2a 12（3分）tan240 13（3分）已知sinxcosx，则sin2x 14（3分）函数f（x）Asin（x+）（其中A0，0，（0，）的图象如图所示，则函数f（x）的解析式为 &nbs
4、p; 15（3分）设定义在区间（0，）上的函数ycosx与ytanx的图象交于点P，过点P作x轴的垂线，垂足为P1，直线PP1与函数ysinx的图象交于点P2，则线段P1P2的长为 16（3分）已知f（x）在xt，t+2（tR）上的最大值和最小值分别为M和m，则Mm的最小值为 三、解答题（本大题共5小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程）17已知集合Ax|3x9，集Bx|（x+1）（x5）0（）求集合B；（）求AB18已知函数f（x）2sin（2x+）+m（mR）的最小值为1（）求m的值；（）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间19已知函数f（x
5、）sinxcosxsin2x（）求f（）；（）设（），f（），求sin的值20对于两个定义域相同的函数f（x）和g（x），若存在实数m，n使h（x）mf（x）+ng（x），则称函数h（x）是由“基函数f（x），g（x）”生成的（）若h（x）3x2+2x+4是由“基函数f（x）x2+x，g（x）kx+1”生成的，求实数k的值；（）试利用“基函数f（x）log2（4x+1），g（x）x”生成一个函数h（x），且同时满足以下条件：h（x）是偶函数；h（x）的最小值为1求h（x）的解析式21设函数f（x）x2ax+b（a，bR）（）若f（x）在区间0，1上的最大值为b，求a的取值范围；（）若f（x）在
6、区间1，2上有零点，求a2+2b24b的最小值2017-2018学年浙江省绍兴市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（3分）若集合Ax|x1，则（）A3AB2AC1AD0A【分析】直接由元素与集合的关系判断即可【解答】解：集合Ax|x1，则31，3A，同理，2A，1A，0包含在x1里，0A故选：D【点评】本题考查了元素与集合关系的判断，是基础题2（3分）设（0，），若sin，则cos（）ABCD【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式即可计算得解【解答】解：（0，），若sin，cos
7、故选：D【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题3（3分）cos（+x）（）AcosxBcosxCsinxDsinx【分析】直接利用诱导公式写出结果即可【解答】解：cos（+x）cosx故选：B【点评】本题考查诱导公式的应用，是基本知识的考查4（3分）当a1时，在同一平面直角坐标系中，函数yax与yx的图象可能为（）ABCD【分析】结合函数的单调性同时考虑这两个函数的单调性即可判断出结果【解答】解：a1，yax其底数大于1，是增函数，yx，是减函数，故选：C【点评】本题考查函数的图象，考查同学们对对数函数和指数函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能
8、力5（3分）将函数ysin2x的图象向左平移个单位长度，所得图象的函数解析式为（）Aysin（2x+）Bysin（2x）Cysin（2x+）Dysin（2x）【分析】直接利用函数图象的平移变换得答案【解答】解：将函数ysin2x的图象向左平移个单位长度，所得图象的函数解析式为ysin2（x+）sin（2x+）故选：A【点评】本题考查yAsin（x+）型函数图象的平移，是基础题6（3分）下列各式正确的是（）A1.70.20.73Blg3.4lg2.9Clog0.31.8log0.32.7D（）（）【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解【解答】解：在A中，1.70.21.701，0.730
9、.700，1.70.20.73，故A错误；在B中，lg3.4lg2.9，故B错误；在C中，log0.31.8log0.32.7，故C错误；在D中，（）（），故D正确故选：D【点评】本题考查两个数的大小的比较，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题7（3分）若函数f（x）（a，bR，且ab0）在区间（0，+）上单调递增，则（）Aa0，b0Ba0，b0Ca0，b0Da0，b0【分析】根据题意，求出函数的定义域以及导数，结合函数导数与函数单调性的关系，分析的，解可得a、b的取值范围，即可得答案【解答】解：根据题意，f（x），其定义域为x|xa，其导数f（x），若f（x）
10、在在区间（0，+）上单调递增，必有f（x）0，又由ab0，则有分析可得：a0，b0，故选：B【点评】本题考查函数单调性的判断，关键是分析函数的导数，注意函数的定义域8（3分）已知a0，且a1，对任意的实数，函数f（x）ax+ax不可能（）A是奇函数B是偶函数C既是奇函数又是偶函数D既不是奇函数又不是偶函数【分析】根据题意，结合函数的解析式对进行分情况讨论，讨论f（x）的奇偶性，综合即可得答案【解答】解：根据题意，函数f（x）ax+ax，当1时，f（x）ax+ax，此时f（x）ax+axax+axf（x），则函数f（x）为偶函数，当1时，f（x）axax，此时f（x）axax（ax+ax）f（x
11、），则函数f（x）为奇函数，当1时，f（x）ax+ax，f（x）f（x）且f（x）f（x），函数f（x）既不是奇函数又不是偶函数，则函数f（x）不可能既是奇函数又是偶函数，故选：C【点评】本题考查函数的奇偶性的判断，关键是掌握函数奇偶性的判断方法，属于基础题9（3分）设（0，），（0，），且tan，则（）A2B2+C2D2+【分析】化切为弦，再由两角和与差的公式化简即可【解答】解：由tan，得，可得：sinsinsincoscossincoscos+sinsincos（），（0，），（0，），cos（）0，+，即2故选：C【点评】本题考查两角和与差的公式化简和计算能力，是基础题10（3分）定义
12、在R上的函数f（x）2xg（x），g（x）41xg（2x），若f（x）在区间1，+）上为增函数，则一定为正数的是（）Ag（1）2g（0）Bg（1）2g（0）Cg（1）2g（2）Dg（2）2g（3）【分析】根据函数的单调性作差判断即可【解答】解：f（1）2g（1），f（2）4g（2）g（0），f（3）8g（3）g（1），f（x）在区间1，+）上为增函数，f（3）f（2）g（1）g（0）0，即g（1）2g（0）0，故选：A【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查常见函数的性质，是一道基础题二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11（3分）16、17世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易以
13、及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，数学家纳皮尔在研究天文学的过程中，为简化计算发明了对数直到18世纪，才由瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系，即abNblogaN现在已知alog23，则2a3【分析】直接化对数式为指数式得答案【解答】解：由alog23，化对数式为指数式可得：2a3故答案为：3【点评】本题考查对数式与指数式的互化，是基础题12（3分）tan240【分析】把240用180+60表示，再用诱导公式，化简为tan60，即可求出函数值【解答】解：tan240tan（180+60）tan60故答案为【点评】本题主要考查诱导公式在求一些较大角时的应用，考察了学生的转化能力1
14、3（3分）已知sinxcosx，则sin2x【分析】两边平方，利用同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式可求sin2x【解答】解：sinxcosx，两边平方可得：12sinxcosx，sin2x2sinxcosx故答案为：【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题14（3分）函数f（x）Asin（x+）（其中A0，0，（0，）的图象如图所示，则函数f（x）的解析式为y2sin（3x+）【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由特殊点的坐标求出，由五点法作图求出的值，可得函数的解析式【解答】解：根据函数f（x）As
15、in（x+）（其中A0，0，（0，）的图象，可得A2，再根据图象过（0，），可得2sin，即sin，结合五点法作图可得（）+0，3，故函数的解析式为y2sin（3x+），故答案为：y2sin（3x+）【点评】本题主要考查由函数yAsin（x+）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由特殊点的坐标求出，由五点法作图求出的值，属于基础题15（3分）设定义在区间（0，）上的函数ycosx与ytanx的图象交于点P，过点P作x轴的垂线，垂足为P1，直线PP1与函数ysinx的图象交于点P2，则线段P1P2的长为【分析】令cosxtanx，利用同角三角函数的关系解出sinx即为线段P1P2的
16、长【解答】解：设P（x，y），由cosxtanx，求得cos2xsinx，即sin2x+sinx10，由于sinx0，故求得sinx则线段P1P2的长等于sinx，故答案为：【点评】本题考查了三角函数的恒等变换，同角三角函数的关系，属于中档题16（3分）已知f（x）在xt，t+2（tR）上的最大值和最小值分别为M和m，则Mm的最小值为【分析】根据f（x）的图象，xt，t+2（tR）上，可知最大值在yx21上，最小值在yx2+x，根据单调性，即可得Mm的最小值；【解答】解：由f（x）的图象xt，t+2（tR），根据图象，可知t，t+21时，得到的Mm的值最小；最大值在yx21上，最小值在yx2+
17、x，根据单调性，M（t+2）21，mt2+t，可得Mmy（t+2）21（t2+t）2t2+3t+32（t+）2+，其对称轴t，当t，则Mmymin故答案为：【点评】本题考查函数单调性求解最值问题以及二次函数的最值，考查转化思想以及计算能力三、解答题（本大题共5小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程）17已知集合Ax|3x9，集Bx|（x+1）（x5）0（）求集合B；（）求AB【分析】（）由（x+1）（x5）0，得x1或x5，由此能求出集合B（）由集合Ax|3x9，集合Bx|x1或x5利用交集定义能求出AB【解答】解：（）集合Bx|（x+1）（x5）0，由（x+1）（x5）0，得
18、x1或x5，集合Bx|x1或x5（）集合Ax|3x9，集合Bx|x1或x5ABx|5x9【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题18已知函数f（x）2sin（2x+）+m（mR）的最小值为1（）求m的值；（）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间【分析】（）根据f（x）的最小值为1，求得m的值（）利用三角函数的周期性和单调性，求得函数f（x）的最小正周期和单调递增区间【解答】解：（）由已知函数f（x）2sin（2x+）+m（mR）的最小值为1，可得2+m1，求得m3（）函数f（x）的最小正周期为，由2k2x+2k+，解得kxk+，kZ，所以f
19、（x）的递增区间是k，k+，kZ【点评】本题主要考查三角函数的最小值，周期性和单调性，属于基础题19已知函数f（x）sinxcosxsin2x（）求f（）；（）设（），f（），求sin的值【分析】利用倍角公式降幂，再由辅助角公式化积（）直接取求值；（）由f（）求得，进一步得到cos（），再由sinsin（），展开两角差的正弦求解【解答】解：f（x）sinxcosxsin2x（）f（）sin（）；（）由f（），得，（），因此cos（），sinsin（）sin（coscos（）sin【点评】本题考查三角函数的恒等变换与化简求值，考查同角三角函数基本关系式及倍角公式的应用，是中档题20对于两个定义域
20、相同的函数f（x）和g（x），若存在实数m，n使h（x）mf（x）+ng（x），则称函数h（x）是由“基函数f（x），g（x）”生成的（）若h（x）3x2+2x+4是由“基函数f（x）x2+x，g（x）kx+1”生成的，求实数k的值；（）试利用“基函数f（x）log2（4x+1），g（x）x”生成一个函数h（x），且同时满足以下条件：h（x）是偶函数；h（x）的最小值为1求h（x）的解析式【分析】（）由已知得3x2+2x+4m（x2+x）+n（kx+1），运用恒等式可得方程组，解方程即可得到所求值；（）设h（x）mlog2（4x+1）+nx，由偶函数的定义可得mn，再由换元法和基本不等式可得m
21、1，n1，即可得到所求解析式【解答】解：（）由已知得3x2+2x+4m（x2+x）+n（kx+1），即3x2+2x+4mx2+（m+nk）x+n，得，所以k；（）设h（x）mlog2（4x+1）+nx，则h（x）mlog2（4x+1）nx，由h（x）h（x），得mlog2（4x+1）nxmlog2（4x+1）+nx，整理得mlog22nx，即mlog24x2nx，即2mx2nx对任意x恒成立，所以mn，所以h（x）nlog2（4x+1）+nxnlog2（4x+1）xnlog2设y，令2xt，t0，则y，改写为方程t2ty+10，则由y240，且y0，得y2，检验y2时，t1满足，所以y2，且当
22、t1时取到“”所以log21，又h（x）的最小值为1，所以n0，且n1，此时m1，所以h（x）log2（4x+1）x【点评】本题考查新定义的理解和运用，考查待定系数法和方程思想，考查对数的运算性质，以及偶函数的定义和最值的求法，考查化简整理的运算能力，属于中档题21设函数f（x）x2ax+b（a，bR）（）若f（x）在区间0，1上的最大值为b，求a的取值范围；（）若f（x）在区间1，2上有零点，求a2+2b24b的最小值【分析】（）开口向上的抛物线在闭区间上的最大值只能在区间的端点处取得；（）设出函数f（x）的两个零点x1，x2，然后根据根与系数关系将a和b化成x1和x2，再通过基本不等式及函
23、数性质求得最小值【解答】解：（）因为f（x）的图象是开口向上的抛物线，所以在区间0，1上的最大值必是f（0）和f（1）中较大者，而f（0）b，所以只要f（0）f（1），即b1a+b，得a1（）设方程x2ax+b 的两根是x1，x2，且1x22，则 ，所以a2+2b24b（x1+x2）2+2x12x224x1x2x122x1x2+x22+2x12x22（2x22+1）x122x2x1+x22（2x22+1）（x1）2+x22x22，当且仅当x1时取等号，设g（x2）x22，则g（x2），由1x22，得1，因此（1（1+1）213，所以g（x2），此时x21，由x1知x1，所以当x1且x21时，a2+2b24b取得最小值【点评】本题考查了二次函数在闭区间上的最值、函数零点、基本不等式属难题
