1、2017-2018学年河南省郑州一中高一（下）入学数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）若AxZ|222x8，BxR|log2x|1，则A（RB）的元素个数是（）A0B1C2D32（5分）函数y的定义域为（）A（ ，1）B（，）C（1，+）D（ ，1）（1，+）3（5分）若两平行直线l1：x2y+m0（m0）与l2：2x+ny60之间的距离是，则m+n（）A0B1C2D14（5分）如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某几何体的三视图，则几何体的体积为（）ABC1D5（5分）已知，则x，y，z大小关系为（
2、）AxyzBzxyCzyxDyzx6（5分）设m、n是两条不同的直线，、是两个不同的平面，考查下列命题，其中正确的命题是（）A，m，nmnBm，n，mnC，m，nmnD，m，nmn7（5分）若xlog43，则（2x2x）2等于（）ABCD8（5分）如图，在平面四边形ABCD中，ABADCD1，BDCD，将其沿对角线BD折成四面体ABCD，使平面ABD平面BCD，若四面体ABCD顶点在同一球面上，则该球的表面积为（）AB3CD29（5分）已知函数，这两个函数图象的交点个数为（）A1B2C3D410（5分）若函数f（x）2ax2x1在区间（0，1）内恰有一个零点，则实数a的取值范围是（）A（，1）
3、B（1，+）C（1，1）D0，1）11（5分）在平面直角坐标系内，若曲线 C：x2+y2+2ax4ay+5a240上所有的点均在第二象限内，则实数a取值范围为（）A（1，+）B（2，+）C（，2）D（，1）12（5分）如图所示，将等腰直角ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角，使得BAC60那么这个二面角大小是（）A30B60C90D120二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13（5分）给定函数，y|x1|，y2x+1，其中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是 14（5分）点A、B到平面距离分别为12，20，若斜线AB与成30的角，则AB的长等于 15（5分
4、）若关于x的方程在区间（0，1）上有解，则实数m的取值范围是 16（5分）若直线ykx+1与圆O：x2+y21交于A、B两点，且AOB60，则实数k 三、解答题：本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17（10分）已知集合Ax|xa|4，Bx|x24x50（1）若a1，求AB；（2）若ABR，求实数a的取值范围18（12分）在ABC中，BC边上的高所在直线的方程为x2y10，A的平分线所在直线方程为y0，若点B的坐标为（1，2）（1）求点A和点C的坐标；（2）求AC边长的高所在的直线l的方程19（12分）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底
5、面ABC，且ABC为等边三角形，AA1AB6，D为AC的中点（1）求证：直线AB1平面BC1D；（2）求证：平面BC1D平面ACC1A1；（3）求三棱锥CBC1D的体积20（12分）函数，已知f（3）2（1）求的定义域，判断并证明函数f（x）的单调性；（2）若不等式对于x3，4恒成立，求实数m的取值范围21（12分）通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间，讲座开始时，学生的兴趣激增，中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持理想的状态，随后学生的注意力开始分散分析结果和实验表明，用f（x）表示学生掌握和接受概念的能力（f（x）的值越大，表示接受能力
6、越强），x表示提出和讲授概念的时间（单位：分），可以有以下公式：f（x）（1）开讲多少分钟后，学生的接受能力最强？能维持多少分钟？（2）开讲5分钟与开讲20分钟比较，学生的接受能力何时强一些？（3）一个数学难题，需要55的接受能力以及13分钟的时间，老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题？22（12分）已知圆C：x2+y2+2x4y+30（1）若圆C的切线在x轴、y轴上的截距相等，求切线方程；（2）从圆C外一点P（x1，y1）向该圆引一条切线，切点为M且有|PM|PO|（O为原点），求使|PM|取得最小值时点P的坐标2017-2018学年河南省郑州一中高一（下）入学数学试
7、卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）若AxZ|222x8，BxR|log2x|1，则A（RB）的元素个数是（）A0B1C2D3【分析】分别求出A与B中其他不等式的解集，确定出A与B，根据全集R求出B的补集，找出A与B补集的交集即可【解答】解：集合A中的不等式变形得：2122x23，12x3，解得：1x1，即x0，1，A0，1，集合B中的不等式|log2x|1，变形得：log2x1log22或log2x1log2，解得：x2或0x，即Bx|x2或0x，全集为R，RBx|x0或x2，则A（RB）0，1，即元素
8、个数是2个故选：C【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键2（5分）函数y的定义域为（）A（ ，1）B（，）C（1，+）D（ ，1）（1，+）【分析】题目给出的是分式函数，同时分母中含有根式和对数式，既保证分母不等于0，还要根式内部的代数式大于等于0，还要保证对数的真数大于0【解答】解：要使原式有意义，需要log0.54x30，即04x31，解得：，所以原函数的定义域为（，1）故选：A【点评】本题考查了函数的定义域及其解法，解答此题的关键是要保证构成函数的各个部分都有意义，是取交集问题3（5分）若两平行直线l1：x2y+m0（m0）与l2：2x+ny60之间的
9、距离是，则m+n（）A0B1C2D1【分析】化简直线l2，利用两直线之间的距离为d，求出m，即可得出结论【解答】解：由题意，解得n4，即直线l2：x2y30，所以两直线之间的距离为d，解得m2，所以m+n2，故选：C【点评】本题考查两条平行线间的距离，考查学生的计算能力，属于中档题4（5分）如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某几何体的三视图，则几何体的体积为（）ABC1D【分析】由三视图利用三棱锥的体积计算公式即可得出【解答】解：由题意，原几何体为三棱锥，如图所示点P在底面ABC上的射影与ACB组成正方形故选：D【点评】本题考查了三视图的有关知识、三棱锥的体积计算公式，考查了
10、推理能力与计算能力，属于中档题5（5分）已知，则x，y，z大小关系为（）AxyzBzxyCzyxDyzx【分析】利用指数函数、对数函数的单调性求解【解答】解：log24log23.4log411.56log43.6，yzx故选：D【点评】本题考查三个数的大小的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意指数函数、对数函数的单调性求解6（5分）设m、n是两条不同的直线，、是两个不同的平面，考查下列命题，其中正确的命题是（）A，m，nmnBm，n，mnC，m，nmnD，m，nmn【分析】A根据面面平行和线面平行的性质定理进行判断B根据线面垂直和面面垂直的判定定理进行判断C根据面面垂直的性质定理以及线面垂
11、直的判定定理进行判断D根据面面垂直和线面垂直和平行的性质定理进行判断【解答】解：A，m，m，n，mn成立B若m，mn，则n或n，若n，则不一定成立C若，m，nm，当n时，满足n，否则不成立D若，m，n，则m，n位置关系不确定，D不成立故选：A【点评】本题主要考查空间直线和平面位置关系的判断，要求熟练掌握相应的性质定理和判定定理7（5分）若xlog43，则（2x2x）2等于（）ABCD【分析】首先利用对数的运算性质求出x，然后即可得出答案【解答】解：xlog434x3又（2x2x）24x2+32+故选：D【点评】本题考查了对数的运算性质，解题的关键是利用对数函数和指数函数的关系得出4x3，属于基
12、础题8（5分）如图，在平面四边形ABCD中，ABADCD1，BDCD，将其沿对角线BD折成四面体ABCD，使平面ABD平面BCD，若四面体ABCD顶点在同一球面上，则该球的表面积为（）AB3CD2【分析】由题意，BC的中点就是球心，求出球的半径，即可得到球的表面积【解答】解：由题意，四面体ABCD顶点在同一个球面上，BCD和ABC都是直角三角形，所以BC的中点就是球心，所以BC，球的半径为：，所以球的表面积为：3故选：B【点评】本题是基础题，考查四面体的外接球的表面积的求法，找出外接球的球心，是解题的关键，考查计算能力，空间想象能力9（5分）已知函数，这两个函数图象的交点个数为（）A1B2C3
13、D4【分析】本题考查的知识点是指数函数的图象，要求函数yf（x）的图象与函数y3x的图象的交点个数，我们画出函数的图象后，利用数形结合思想，易得到答案【解答】解：在同一坐标系下，画出函数yf（x）的图象与函数y3x的图象如下图：由图可知，两个函数图象共有2个交点故选：B【点评】求两个函数图象的交点个数，我们可以使用数形结合的思想，在同一坐标系中，做出两个函数的图象，分析图象后，即可等到答案10（5分）若函数f（x）2ax2x1在区间（0，1）内恰有一个零点，则实数a的取值范围是（）A（，1）B（1，+）C（1，1）D0，1）【分析】讨论a的不同取值以确定方程是否是二次方程及二次方程的根的大致位
14、置，再由方程的根与函数的零点的关系判断即可【解答】解：若函数f（x）2ax2x1在区间（0，1）内恰有一个零点，则方程2ax2x10在区间（0，1）内恰有一个根，若a0，则方程2ax2x10可化为：x10方程的解为1，不成立；若a0，则方程2ax2x10不可能有正根，故不成立；若a0，则1+8a0，且c10；故方程有一正一负两个根，故方程2ax2x10在区间（0，1）内恰有一个解可化为（2a0201）（2a1211）0；解得，a1；故实数a的取值范围是（1，+），故选：B【点评】本题考查了方程的根的判断及分类讨论的数学思想应用，属于中档题11（5分）在平面直角坐标系内，若曲线 C：x2+y2+
15、2ax4ay+5a240上所有的点均在第二象限内，则实数a取值范围为（）A（1，+）B（2，+）C（，2）D（，1）【分析】由已知中曲线C的方程x2+y2+2ax4ay+5a240，我们易求出圆的标准方程，进而确定圆的圆心为（a，2a），圆的半径为2，然后根据曲线C：x2+y2+2ax4ay+5a240上所有的点均在第二象限内，易构造出关于a的不等式组，解不等式组，即可得到a的取值范围【解答】解：由已知圆的方程为x2+y2+2ax4ay+5a240则圆的标准方程为：（x+a）2+（y2a）24故圆的圆心为（a，2a），圆的半径为2若曲线C：x2+y2+2ax4ay+5a240上所有的点均在第二
16、象限内，则a0，且|a|2解得a2故a的取值范围为（2，+）故选：B【点评】本题考查的知识点是圆的方程的综合应用，其中根据曲线C：x2+y2+2ax4ay+5a240上所有的点均在第二象限内，构造出满足条件的不等式组，是解答本题的关键12（5分）如图所示，将等腰直角ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角，使得BAC60那么这个二面角大小是（）A30B60C90D120【分析】设等腰直角ABC中ABACa，则BC，由已知条件推导出BDC是二面角BADC的平面角由此能求出二面角BADC的大小【解答】解：设等腰直角ABC中ABACa，则BC，等腰直角ABC斜边BC上的高是AD，BDAD，CDAD，
17、BDC是二面角BADC的平面角连结B，C，BAC60，BCa，BD2+CD2BC2，BDC90二面角BADC的大小是90故选：C【点评】本题考查二面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13（5分）给定函数，y|x1|，y2x+1，其中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是【分析】根据题意，依次分析4个函数的单调性，对于，由分数指数幂的运算可得，结合根式的性质分析可得在（0，1）上单调递增，对于，由对数函数的性质，分析yx的单调性，由函数图象变化规律可得y（x+1）的单调性，对于，根据x的范围，由绝对值的意义，可得y|x1|1
18、x，由一次函数的性质可得|x1|在区间（0，1）上的单调性，对于，由指数函数的性质，分析y2xx的单调性，由函数图象变化规律可得y2x的单调性；综合可得答案【解答】解：根据题意，分析4个函数的单调性：对于，当x（0，1），分析可得，当x增大时，也增大，则在（0，1）上单调递增，不符合题意；对于，yx在（1，2）上为减函数，将yx的图象向左平移1个单位，得到y（x+1）的图象，则y（x+1）在区间（0，1）上单调递减，符合题意；对于，当x（0，1），即1x10时，y|x1|1x，易得y|x1|在区间（0，1）上单调递减，符合题意；对于，y2x在R上为增函数，将y2x的图象向左平移1个单位，得到y
19、2x+1的图象，则y2x+1在R也增函数，则其在区间（0，1）上单调递增，不符合题意；即在区间（0，1）上单调递减，故答案为【点评】本题考查函数单调性的判断，可以借助函数图象的变换以及已知函数的单调性来分析函数的单调性14（5分）点A、B到平面距离分别为12，20，若斜线AB与成30的角，则AB的长等于16或64【分析】根据题中条件画出对应的大致图象，再结合已知条件分别求出OA，OB即可得到AB的长【解答】解：作AC与C，BD于D，当是地一个图时：可得：OA24，OB40AB402416；当是第二个图时可得：OA24，OB40，AB24+4064所以：AB的长为16或64故答案为：16或64【
20、点评】本题主要考查两点间的距离计算本题的易错点在于只考虑一种情况，从而得到不完整的答案15（5分）若关于x的方程在区间（0，1）上有解，则实数m的取值范围是（0，1）【分析】此题考查的是函数最值得问题在解答时应先将函数y在区间（0，1）上的值域求出，即可得到关于m的不等关系，从而问题可得【解答】解：由题意：函数y在区间（0，1）上的值域为（0，+），所以 0，0m1，实数m的取值范围是（0，1）故答案为：（0，1）【点评】此题考查的是函数最值得问题在解答的过程当中充分体现了函数与方程的思想、问题转化的思想以及函数的性质和解不等式的方法值得同学们体会反思16（5分）若直线ykx+1与圆O：x2+
21、y21交于A、B两点，且AOB60，则实数k【分析】直线恒过（0，1）且在圆上，利用AOB60求出OAB60，即可求解直线的斜率k的值【解答】解：直线ykx+1恒过（0，1），并且（0，1）在圆上，不妨令A为（0，1），因为AOB60，所以三角形A0B是正三角形，所以OAB60，所以直线的倾斜角为150或30，所以直线的斜率k为：tan120，tan30，k故答案为：【点评】本题考查直线的向斜率的求法直线与圆的位置关系的应用，考查分析问题解决问题的能力与计算能力三、解答题：本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17（10分）已知集合Ax|xa|4，Bx|x24x50（1）若a
22、1，求AB；（2）若ABR，求实数a的取值范围【分析】（1）a1时，集合Ax|3x5，Bx|1或x5，由此能求出AB（2）由集合Ax|a4xa+4，Bx|1或x5，ABR，列出不等式组，能求出实数a的取值范围【解答】解：（1）a1时，集合Ax|x1|4x|3x5，Bx|x24x50x|1或x5ABx|3x1（2）集合Ax|xa|4x|a4xa+4，Bx|x24x50x|1或x5ABR，解得1a3实数a的取值范围是（1，3）【点评】本题考查交集的求法，考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集、并集定义的合理运用18（12分）在ABC中，BC边上的高所在直线的方程为x2y10
23、，A的平分线所在直线方程为y0，若点B的坐标为（1，2）（1）求点A和点C的坐标；（2）求AC边长的高所在的直线l的方程【分析】（1）由已知点A应在BC边上的高所在直线与A的角平分线所在直线的交点，由kACkAB1，求出AC所在直线方程和BC所在直线的方程，由此能求出点C坐标（2）求出AC所在直线方程，由此能求出l所在的直线方程【解答】解：（1）由已知点A应在BC边上的高所在直线与A的角平分线所在直线的交点，由，得，故A（1，0）由kACkAB1，所以AC所在直线方程为y（x+1），BC所在直线的方程为y22（x1），由，得C（5，6）（2）由（1）知，AC所在直线方程x+y+10，所以l所在
24、的直线方程为（x1）（y2）0，即xy+10【点评】本题考查点的坐标的求法，考查直线方程的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题19（12分）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，且ABC为等边三角形，AA1AB6，D为AC的中点（1）求证：直线AB1平面BC1D；（2）求证：平面BC1D平面ACC1A1；（3）求三棱锥CBC1D的体积【分析】（1）连接B1C交BC1于O，连接OD，证明ODB1A，由线面平行的判定定理证明AB1平面C1BD（2）由线面垂直的判定定理得出BD平面A1ACC1，再由面面垂直的判定定理得出平面C1BD平面A1ACC1；（3）利用等体积转换，即可求
25、三棱锥CBC1D的体积【解答】（1）证明：如图所示，连接B1C交BC1于O，连接OD，因为四边形BCC1B1是平行四边形，所以点O为B1C的中点，又因为D为AC的中点，所以OD为AB1C的中位线，所以ODB1A，又OD平面C1BD，AB1平面C1BD，所以AB1平面C1BD（2）证明：因为ABC是等边三角形，D为AC的中点，所以BDAC，又因为AA1底面ABC，所以AA1BD，根据线面垂直的判定定理得BD平面A1ACC1，又因为BD平面C1BD，所以平面C1BD平面A1ACC1；（3）解：由（2）知，ABC中，BDAC，BDBCsin603，SBCD33，69【点评】本题考查了空间中的平行与垂
26、直关系的应用问题，也考查了空间想象能力与逻辑思维能力的应用问题，考查了锥体体积公式的应用，是综合性题目属于中档题20（12分）函数，已知f（3）2（1）求的定义域，判断并证明函数f（x）的单调性；（2）若不等式对于x3，4恒成立，求实数m的取值范围【分析】（1）根据f（3）2求解出a的值，即可求解定义域，根据复合函数的单调性：同增异减可得函数f（x）的单调性（2）分离参数法，把m分离出来，转化为一个新函数，利用其单调性求解即可【解答】解：函数，f（3）2即4103a，可得：a2函数f（x）其定义域满足：102x0，得：x5，函数f（x）的定义域为（，5）令102xu，（u0）则f（x），函数u
27、是一次函数，k20，在其定义域内是减函数，f（x）的底数为，在其定义域内也是减函数，根据复合函数的单调性：同增异减，可得函数f（x）是增函数即函数f（x）在定义域内是增函数（2）不等式对于x3，4恒成立，而函数在区间3，4上是增函数所以，g（x）在区间3，4上的最小值是即，实数m的取值范围是【点评】本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，复合函数单调性的判断和恒成立问题利用单调性解决，属于中档题21（12分）通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间，讲座开始时，学生的兴趣激增，中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持理想的状态，随后学生的注意力开始
28、分散分析结果和实验表明，用f（x）表示学生掌握和接受概念的能力（f（x）的值越大，表示接受能力越强），x表示提出和讲授概念的时间（单位：分），可以有以下公式：f（x）（1）开讲多少分钟后，学生的接受能力最强？能维持多少分钟？（2）开讲5分钟与开讲20分钟比较，学生的接受能力何时强一些？（3）一个数学难题，需要55的接受能力以及13分钟的时间，老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题？【分析】（1）通过分别求出当0x10、10x16、x16时各自f（x）的最大值即得结论；（2）通过计算f（5）与f（20）的大小即得结论；（3）通过令f（x）55，计算出0x10、x16时各自的
29、解并比较两个解的差的绝对值与13的大小关系即可【解答】解：（1）依题意，当0x10时，f（x）0.1x2+2.6x+430.1（x13）2+59.9，故f（x）在0x10时递增，最大值为f（10）0.1（1013）2+59.959，当10x16时，f（x）59，当x16时，f（x）为减函数，且f（x）59，因此，开讲10分钟后，学生达到最强接受能力（为59），能维持6分钟时间（2）f（5）0.1（513）2+59.953.5，f（20）320+1074753.5，开讲5分钟时学生的接受能力比开讲20分钟时要强一些（3）当0x10时，令f（x）55，解得x6或20（舍），当x16时，令f（x）5
30、5，解得x17，因此学生达到（含超过）55的接受能力的时间为1761113，老师来不及在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题【点评】本题考查函数模型的性质与应用，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题22（12分）已知圆C：x2+y2+2x4y+30（1）若圆C的切线在x轴、y轴上的截距相等，求切线方程；（2）从圆C外一点P（x1，y1）向该圆引一条切线，切点为M且有|PM|PO|（O为原点），求使|PM|取得最小值时点P的坐标【分析】（1）分类讨论，利用待定系数法给出切线方程，然后再利用圆心到切线的距离等于半径列方程求系数即可；（2）可先利用PM（PM可用P点
31、到圆心的距离与半径来表示）PO，求出P点的轨迹（求出后是一条直线），然后再将求PM的最小值转化为求直线上的点到原点的距离PO之最小值【解答】解：（ 1）将圆C配方得（x+1）2+（y2）22当直线在两坐标轴上的截距为零时，设直线方程为ykx，由直线与圆相切得，即k2，从而切线方程为y（2）x（3分）当直线在两坐标轴上的截距不为零时，设直线方程为x+ya0，由直线与圆相切得x+y+10，或x+y30所求切线的方程为y（2）xx+y+10或x+y30（6分）（2）由|PO|PM|得，x12+y12（x1+1）2+（y12）222x14y1+30.（8分）即点P在直线l：2x4y+30上，|PM|取最小值时即|OP|取得最小值，直线OPl，直线OP的方程为2x+y0（10分）解方程组得P点坐标为（，）（12分）【点评】本题重点考查了直线与圆的位置关系，切线长问题一般会考虑到点到圆心距、切线长、半径满足勾股定理列方程；弦长问题一般会利用垂径定理求解
