2017-2018学年浙江省绍兴市柯桥区高一(下)期末数学试卷(含详细解答)

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资源描述

1、2017-2018学年浙江省绍兴市柯桥区高一(下)期末数学试卷一、选择题:选择题:本大题共10小题,每小题3分,共30分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1(3分)sin15cos15()ABCD2(3分)设Sn12+48+(2)n1,nN“,则S5()A33B5C11D333(3分)已知实数a,b满足ab0且ab,则下列命题成立的是()A|a|b|Ba2b2Ca3b3D4(3分)已知an为等差数列,a13,a55,则a4()A3B4CD5(3分)设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a2+c2b2+ac,则B()ABCD6(3分)已知函数f(x)(ax1)(x+b

2、),如果不等式f(x)0的解集是(1,3),则不等式f(2x)0的解集是()A(,)(,+)B(,)C(,)(,+)D(,)7(3分)若(,),且3cos2sin(),则sin2的值为()ABCD8(3分)在ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,a,b,A60,则BC边上的高为()A1B+1CD9(3分)设数列an是首项为1,公比为q(q1)的等比数列,若是等差数列,则()+()+()的值等于()A2017B2018C4034D403610(3分)已知正实数x,y满足x+y+3xy,若对任意满足条件的正实数x,y都有不等式(x+y)2a(x+y)+10恒成立,则实数a的取值范围为()A

3、(,B(,C,+)D(,+)二、填空题:本大题共6小题,每小题3分,共18分11(3分)在平面直角坐标系中,不等式组表示的平面区域的面积是   12(3分)已知等比数列bn中,b18,b224,则bn的前n项和Sn   13(3分)如图,海平面上的甲船位于中心O的南偏西30,与O相距l5海里的C处,现甲船以35海里时的速度沿CB方向去营救位于中心O正东方向25海里的B处的乙船,则甲船到达B处需要的时间为   小时14(3分)已知a,b,c分别为ABC的三个内角A,B,C的对边,a2且(2+b)(sinAsinB)(cb)sinC,则ABC面积的最大值为  

4、; 15(3分)函数f(x)|13x|+|+1|的最小值是   16(3分)已知实数x,y满足,则|x2y1|3|xy|的取值范围是   三、解答题:本大题共5小题,共52分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(8分)已知cos,cos(),0(1)求cos2的值;(2)求cos的值18(10分)在数列an中,a11,an+1an+C(C为常数,nN*)且a1,a2,a5成公比不等于1的等比数列(1)求C的值;(2)设bn,数列bn的前n项和为Sn,求证:Sn19(10分)已知在ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,满足sinB、sinA、sinC成等比数列(

5、1)求角A的最大值;(2)设函数f(x)sinxcosxcos2,求f(A)的值域20(12分)已知实数x,y满足,目标函数Z2xy,设Z的最大值为n,最小值为m(1)求m,n的值(2)对于任意实数am,n4,函数f(t)t2+(a4)t+42a的值恒大于0,求实数t的取值范围21(12分)设数列an满足:2n+11(nN*)(1)求数列an的通项公式;(2)设bnan,数列bn的前n项和为Tn,求Tn;(3)设cn4n+(1)n1(nN*),问:是否存在非零整数,使数列cn为递增数列?若存在,求出的值:若不存在,说明理由2017-2018学年浙江省绍兴市柯桥区高一(下)期末数学试卷参考答案与

6、试题解析一、选择题:选择题:本大题共10小题,每小题3分,共30分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1(3分)sin15cos15()ABCD【分析】由正弦的倍角公式变形即可解之【解答】解:因为sin22sincos,所以sin15cos15sin30故选:A【点评】本题考查正弦的倍角公式2(3分)设Sn12+48+(2)n1,nN“,则S5()A33B5C11D33【分析】利用等比数列的求和公式即可得出【解答】解:S511,故选:C【点评】本题考查了等比数列的求和公式,考查了推理能力与计算能力,属于基础题3(3分)已知实数a,b满足ab0且ab,则下列命题成立的是()A|a|

7、b|Ba2b2Ca3b3D【分析】A、B、D选项可利用特殊值法判断为假,C选项利用函数yx3在R上为增函数判断为真【解答】解:对于A选项,取a2,b1,则|a|b|,A选项错误;对于B选项,取a1,b2,则a2b2,B选项错误;对于C选项,由于函数yx3在R上是增函数,且ab,则a3b3,C选项正确;对于D选项,取a1,b2,则,D选项错误故选:C【点评】本题考查不等式的基本性质,灵活利用不等式的基本性质与特殊值法,是解本题的关键,属于基础题4(3分)已知an为等差数列,a13,a55,则a4()A3B4CD【分析】由已知求得等差数列的公差,再由等差数列的通项公式求a4【解答】解:在等差数列a

8、n中,由a13,a55,得故选:D【点评】本题考查等差数列的通项公式,是基础的计算题5(3分)设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a2+c2b2+ac,则B()ABCD【分析】利用余弦定理即可得出【解答】解:a2+c2b2+ac,cosB,B(0,)B故选:B【点评】本题考查了余弦定理、三角函数求值,考查了推理能力与计算能力,属于中档题6(3分)已知函数f(x)(ax1)(x+b),如果不等式f(x)0的解集是(1,3),则不等式f(2x)0的解集是()A(,)(,+)B(,)C(,)(,+)D(,)【分析】由不等式的解集是(1,3),得出a0,从而求出a,b的值,再代入f(2x

9、)0,解出即可【解答】解:不等式f(x)0的解集是(1,3),(ax1)(x+b)0,(ax+1)(x+b)0,a1,b3,f(2x)(2x)1(2x)30,解得:x,或x,故选:A【点评】本题考察了二次函数的性质,一元二次不等式和二次函数的关系,是一道基础题7(3分)若(,),且3cos2sin(),则sin2的值为()ABCD【分析】由已知可得sin0,cos0,利用二倍角公式,两角差的正弦函数公式化简已知可得cos+sin,两边平方,利用二倍角公式即可计算sin2的值【解答】解:(,),sin0,cos0,3cos2sin(),3(cos2sin2)(cossin),cos+sin,两边

10、平方,可得:1+2sincos,sin22sincos故选:D【点评】本题主要考查了二倍角公式,两角差的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用,考查了计算能力和转化思想,属于基础题8(3分)在ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,a,b,A60,则BC边上的高为()A1B+1CD【分析】由余弦定理求得c值,利用ABC的面积公式,可求BC边上的高【解答】解:由余弦定理可得a2b2+c22bccosA,即32+c22c,解得c由ABC的面积等于bcsinAah,(h为BC边上的高)可得h,故选:D【点评】本题主要考查余弦定理的应用,三角形的内角和公式,考查三角形面积的计算,属于中档题9(3

11、分)设数列an是首项为1,公比为q(q1)的等比数列,若是等差数列,则()+()+()的值等于()A2017B2018C4034D4036【分析】运用等比数列的通项公式和等差数列的定义,可得q1,计算可得所求和【解答】解:数列an是首项为1,公比为q(q1)的等比数列,可得anqn1,由是等差数列,可得q1,即an1,即有()+()+()2+2+2220174034故选:C【点评】本题考查等差数列和等比数列的定义、通项公式,以及数列的求和,考查运算能力,属于基础题10(3分)已知正实数x,y满足x+y+3xy,若对任意满足条件的正实数x,y都有不等式(x+y)2a(x+y)+10恒成立,则实数

12、a的取值范围为()A(,B(,C,+)D(,+)【分析】运用xy,由二次不等式的解法可得x+y6,由题意可得a(x+y)+的最小值,运用对勾函数的单调性,可得最小值,进而得到所求范围【解答】解:x+y+3xy,可得(x+y)24(x+y)120,由x0,y0,解得x+y6,对任意满足条件的正实数x,y都有不等式(x+y)2a(x+y)+10恒成立,可得a(x+y)+的最小值,可令tx+y,则t+在t6递增,可得t+的最小值为,则a,故选:B【点评】本题考查基本不等式的运用和不等式恒成立问题解法,考查化简运算能力,属于中档题二、填空题:本大题共6小题,每小题3分,共18分11(3分)在平面直角坐

13、标系中,不等式组表示的平面区域的面积是【分析】作出不等式组对应的平面区域,结合阴影部分的图形进行求解即可【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图:则对应区域为三角形ABC,其中A(0,2),B(1,2),C(1,1),则三角形ABC的面积S11,故答案为:【点评】本题主要考查三角形面积的计算,作出不等式组对应的平面区域是解决本题的关键12(3分)已知等比数列bn中,b18,b224,则bn的前n项和Sn4(13n)【分析】求出q3,由此能求出bn的前n项和Sn【解答】解:等比数列bn中,b18,b224,q3,bn的前n项和Sn4(13n)故答案为:4(13n)【点评】本题考查等比数列的前n

14、项和的求法,考查等比数列的性质等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题13(3分)如图,海平面上的甲船位于中心O的南偏西30,与O相距l5海里的C处,现甲船以35海里时的速度沿CB方向去营救位于中心O正东方向25海里的B处的乙船,则甲船到达B处需要的时间为1小时【分析】先根据余弦定理求出CB的长度,再除以速度可得时间【解答】解:由题意,对于CB的长度可用余弦定理求解,得CB2CO2+OB2|CO|OB|cos120225+625+3751225,因此|CB|35,因此甲船需要的时间为1,故答案为:1【点评】本题主要考查余弦定理的应用属基础题14(3分)已知a,b,c分别为AB

15、C的三个内角A,B,C的对边,a2且(2+b)(sinAsinB)(cb)sinC,则ABC面积的最大值为【分析】由正弦定理化简已知可得2ab2c2bc,结合余弦定理可求A的值,由基本不等式可求bc4,再利用三角形面积公式即可计算得解【解答】解:因为:(2+b)(sinAsinB)(cb)sinC(2+b)(ab)(cb)c2a2b+abb2c2bc,又因为:a2,所以:,ABC面积,而b2+c2a2bcb2+c2bca2b2+c2bc4bc4所以:,即ABC面积的最大值为故答案为:【点评】本题主要考查了正弦定理,余弦定理,基本不等式,三角形面积公式在解三角形中的应用,考查了计算能力和转化思想

16、,属于中档题15(3分)函数f(x)|13x|+|+1|的最小值是【分析】运用绝对值不等式的性质和基本不等式,注意等号成立的条件,计算可得所求最小值【解答】解:函数f(x)|13x|+|+1|13x1|3x|+2,当且仅当|3x|,即x时,上式取得等号,则f(x)的最小值为,故答案为:【点评】本题考查函数的最值求法,注意运用绝对值不等式的性质和基本不等式,考查运算能力,属于中档题16(3分)已知实数x,y满足,则|x2y1|3|xy|的取值范围是3,【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,结合数形结合进行求解即可【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分):|x2

17、y1|的几何意义是可行域内的点与直线x2y10的距离的倍;3|xy|的几何意义是可行域内的点与直线xy0距离的倍由图形可知,|x2y1|3|xy|取得最值的点在线段AB上,由,解得A(1,0),代由,解得B(2,3),y3x3代入z|x2y1|3|xy|化简可得:z|x2y1|3|xy|,当x1,1.5时,z的最小值为3,最大值为当x(1.5,2时,z的最小值为:2,最大值为,即|x2y1|3|xy|的取值范围是:3,故答案为:3,【点评】本题主要考查线性规划的基本应用,利用目标函数的几何意义是解决问题的关键,利用数形结合是解决问题的基本方法三、解答题:本大题共5小题,共52分解答应写出文字说

18、明、证明过程或演算步骤17(8分)已知cos,cos(),0(1)求cos2的值;(2)求cos的值【分析】(1)由题意利用二倍角公式,求得cos2的值(2)利用同角三角函数的基本关系求得sin、sin()的值,再利用两角差的余弦公式,求得coscos()的值【解答】解:(1)已知cos,cos22cos21(2)由(1)可得,sin,cos(),0,sin(),coscos()coscos()+sinsin()+【点评】本题主要考查二倍角公式,同角三角函数的基本关系,两角差的余弦公式,属于基础题18(10分)在数列an中,a11,an+1an+C(C为常数,nN*)且a1,a2,a5成公比不

19、等于1的等比数列(1)求C的值;(2)设bn,数列bn的前n项和为Sn,求证:Sn【分析】(1)直接利用已知条件建立等量关系式,(1+C)21+4C,进一步确定C的值(2)利用(1)的结论,进一步求出数列的通项公式,利用裂项相消法求出数列的和,再利用放缩法求出结果【解答】解:(1)数列an中,a11,an+1an+C(C为常数,nN*),则:an+1anC(常数),所以数列an为等差数列,则:ana1+(n1)C1+(n1)C,所以:a21+C,a51+4C,且a1,a2,a5成公比不等于1的等比数列则:(1+C)21+4C,解得C0或2,当C0时,数列为常数列,故舍去则:C2证明:(2)由(

20、1)得:an1+2(n1)2n1,由于,故:,所以:【点评】本题考查的知识要点:数列的通项公式的求法及应用,利用裂项相消法求出数列的和,主要考查学生的运算能力和转化能力,属于基础题型19(10分)已知在ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,满足sinB、sinA、sinC成等比数列(1)求角A的最大值;(2)设函数f(x)sinxcosxcos2,求f(A)的值域【分析】(1)利用等差数列的性质,正弦定理可得a2bc,由余弦定理可得cosA,结合范围0A,可求A的最大值(2)利用三角函数恒等变换的应用可得f(x)sin(3x),由(1)可知0A,可得范围3A(,根据正弦函数的性质可求值

21、域【解答】(本题满分为10分)解:(1)sinB、sinA、sinC成等比数列,sin2AsinBsinC,1分由正弦定理可得:a2bc,2分由余弦定理可得:cosA,4分0A,Amax5分(2)f(x)sinxcosxcos2sin3xcos3xsin(3x),7分由(1)可知0A,可得:3A(,8分可得:sin(3A)(,1,9分f(A)(,110分【点评】本题主要考查了等差数列的性质,正弦定理,余弦定理,三角函数恒等变换的应用,正弦函数的性质的综合应用,考查了转化思想,属于中档题20(12分)已知实数x,y满足,目标函数Z2xy,设Z的最大值为n,最小值为m(1)求m,n的值(2)对于任

22、意实数am,n4,函数f(t)t2+(a4)t+42a的值恒大于0,求实数t的取值范围【分析】(1)画出可行域,利用目标函数的几何意义,求解Z的最大值为n,最小值为m(2)写出a的范围,利用函数恒成立,列出不等式组,求解即可【解答】解:(1)实数x,y满足,的可行域如图,目标函数Z2xy,经过A点时,Z的最小值为n21+11,经过B时最大值为m22+15(2)设g(a)t2+(a4)t+42a,a1,1,g(a)0恒成立,即,解得t1或t3【点评】本题考查详细规划的简单应用,函数恒成立条件的应用,考查计算能力21(12分)设数列an满足:2n+11(nN*)(1)求数列an的通项公式;(2)设

23、bnan,数列bn的前n项和为Tn,求Tn;(3)设cn4n+(1)n1(nN*),问:是否存在非零整数,使数列cn为递增数列?若存在,求出的值:若不存在,说明理由【分析】(1)直接已知条件和递推关系式求出数列的通项公式(2)利用(1)的结论,进一步利用乘公比错位相减法求出数列的和(3)利用(1)的结论,首先假设存在实数,进一步利用数列的单调性求出参数的取值范围,从而假设成立【解答】解:(1)数列an满足:2n+12(nN*),则:当n2时,2n2(nN*),得:2n,所以:ann当n1时,a11所以:ann(2)由于:ann,所以:bnann2n,数列bn的前n项和为Tn,2,得:Tn121+122+12nn2n+1,整理得:(3)存在非零整数1,使数列cn为递增数列理由:由于cn4n+(1)n1(nN*),则:,如果存在非零整数,使数列cn为递增数列,则:cn+1cn,即:,所以:34n3(1)n12n+10恒成立整理得:4n(1)n12n+10,当n为奇数时,2n1恒成立,则:1,当n为偶数时,2n1恒成立,则2所以:21故存在1,使数列cn为递增数列【点评】本题考查的知识要点:数列的通项公式的求法及应用,乘公比错位相减法在数列求和中的应用,利用函数的恒成立问题求出参数的取值范围,主要考查学生的运算能力和转化能力,属于基础题型

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