2018-2019学年江苏省南京市六校联合体高一(上)期中数学试卷(含详细解答)

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资源描述

1、2018-2019学年江苏省南京市六校联合体高一(上)期中数学试卷一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分请把答案填写在答题卡相应位置上1(5分)已知集合A0,1,B1,2,则AB 2(5分)函数f(x)ln(3x1)的定义域是 3(5分)已知幂函数f(x)xa(a为常数)的图象过点(2,),那么实数a 4(5分)已知x+x12,则x2+x2的值为 5(5分)函数f(x)loga(x+1)+2(a0且a1)的图象过定点P,则P点的坐标是 6(5分)关于x的方程31x20的解为 7(5分)已知aln0.32,blg2,c(0.45)0.3,则a,b,c大小关系为 8(5分)关于x的不等

2、式log3(x22x)1的解集为 9(5分)建造一个容积为8m3、深为2m的长方体形状的无盖水池,已知池底和池壁的造价别为100元/m2和60元/m2,总造价y(单位:元)关于底面一边长x(单位:m)的函数解析式为 10(5分)已知函数f(x)在定义域内为奇函数,则实数a 11(5分)已知函数f(x)x2+2|x|1,则函数f(x)的值域是 12(5分)已知定义在R上的函数f(x),满足对任意x1x2都有0成立,则实数m的取值范围是 13(5分)设函数f(x)x3+1,若f(12a)f(a),则实数a的取值范围是 14(5分)设f(x)是定义在R上的函数且f(x+2),在区间1,1上,f(x)

3、,其中a,bR,若f()f(),则2a+b的值为 二、简答题:本大题共6小题,共计90分请在答题卡制定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15(14分)设UR,Ax|1x3,Bx|2x4,Cx|axa+1,a为实数,(1)分别求AB,A(UB);(2)若BCC,求a的取值范围16(14分)计算下列各式的值:(1);(2)17(14分)已知二次函数f(x)过点(,1)、(0,1),且最小值为(1)求函数f(x)的解析式;(2)求函数yf(1log2x),x2,4的最小值,并求出此时x的值18(16分)已知函数f(x),xR(1)试判断函数f(x)在R上的单调性,并证明之;(2)已

4、知函数g(x)f(x)+x2,试判断函数f(x)在R上的奇偶性,并证明之19(16分)已知函数yf(x)为偶函数,当x0时,f(x)x2+2ax+1,(a为常数)(1)当x0时,求f(x)的解析式:(2)设函数yf(x)在0,5上的最大值为g(a),求g(a)的表达式;(3)对于(2)中的g(a),试求满足g(8m)g()的所有实数m的取值集合20(16分)已知二次函数f(x)ax2+bx+1(a0)(1)若函数在(2,+)上单调递减,求f(4)的最大值;(2)若函数ylgf(x)定义域为R,且f(1)1,求实数a的取值范围:(3)当b8时,对于给定的负数a,有一个最大的正数l(a)使得在整个

5、区间0,l(a)上,不等式|f(x)|5都成立,求l(a)的最大值2018-2019学年江苏省南京市六校联合体高一(上)期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分请把答案填写在答题卡相应位置上1(5分)已知集合A0,1,B1,2,则AB0,1,2【分析】根据交集的定义写出AB即可【解答】解:集合A0,1,B1,2,则AB0,1,2故答案为:0,1,2【点评】本题考查了并集的定义与应用问题,是基础题2(5分)函数f(x)ln(3x1)的定义域是(,+)【分析】根据对数函数的性质求出函数的定义域即可【解答】解:由题意得:3x10,解得:x,故函数的定义域是:,

6、故答案为:(,+)【点评】本题考查了求函数的定义域问题,考查对数函数的性质,是一道基础题3(5分)已知幂函数f(x)xa(a为常数)的图象过点(2,),那么实数a【分析】直接将点(2,)的坐标代入计算即可【解答】解:因为幂函数f(x)xa(a为常数)的图象过点(2,),所以f(2),即2a,解得:a,故答案为:【点评】本题考查了函数的解析式的求法,属基础题4(5分)已知x+x12,则x2+x2的值为2【分析】直接把x+x12两边平方求解即可【解答】解:x+x12,(x+x1)2x2+x2+2224,x2+x22故答案为:2【点评】本题考查了利用指数幂的性质化简求值,属于基础题5(5分)函数f(

7、x)loga(x+1)+2(a0且a1)的图象过定点P,则P点的坐标是(0,2)【分析】先通过所学知识推断出f(x)logax恒过的点,进而根据图象平移的法则求得答案【解答】解:函数f(x)logax恒过(1,0)点,而函数f(x)loga(x+1)+2,是由函数f(x)logax向左平移一个单位后,又向上平移2个单位,故函数f(x)loga(x+1)+2横过(0,2)点故答案为:(0,2)【点评】本题主要考查了对数函数的图象与性质解此题,采用数形结合的思想较好6(5分)关于x的方程31x20的解为xlog3(x1log32)【分析】将方程化成指数式,再化成对数式即可【解答】解:由31x20得

8、31x2,得1xlog32,x1log32故答案为:x1log32【点评】本题考查了函数的零点与方程根的关系属基础题7(5分)已知aln0.32,blg2,c(0.45)0.3,则a,b,c大小关系为abc【分析】利用指数函数与对数函数的单调性与0,1比较即可得出大小关系【解答】解:aln0.320,blg2(0,1),c(0.45)0.31,故答案为:abc【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于基础题8(5分)关于x的不等式log3(x22x)1的解集为(,1)(3,+)【分析】由不等式可得x22x3,求解即可得不等式的解集【解答】解:由不等式log3(

9、x22x)1,可得x22x3,解得x1或x3,log3(x22x)1的解集为x1或x3故答案为:(,1)(3,+)【点评】本题主要考查对数不等式的解法,体现了数学的转化思想方法,属于基础题9(5分)建造一个容积为8m3、深为2m的长方体形状的无盖水池,已知池底和池壁的造价别为100元/m2和60元/m2,总造价y(单位:元)关于底面一边长x(单位:m)的函数解析式为y320x+480(元)(x0)【分析】依题意,底面一边长xm,另一边长为 m,利用池底和池壁的造价分别为120元/m2和80元/m2可求得函数解析式yf(x)注明x的取值范围;【解答】解:无盖长方体的深为2m,底面一边长xm,容积

10、为8m3,另一边长为 m,S侧(2x+2)2(4x+)(m2),S底4(m2),池底和池壁的造价分别为120元/m2和80元/m2,总造价y80(4x+)+1204320x+480(元)(x0)故答案为:y320x+480(元)(x0)【点评】本题考查函数模型的选择与应用,考查基本不等式,考查分析与解答的能力,属于中档题10(5分)已知函数f(x)在定义域内为奇函数,则实数a3【分析】根据题意,由奇函数的性质可得f(x)f(x),即(),变形可得答案【解答】解:根据题意,函数f(x)在定义域内为奇函数,则f(x)f(x),即(),变形可得:(a3)2x0,必有a3;故答案为:3【点评】本题考查

11、函数奇偶性的性质以及应用,关键是求出a的值,属于基础题11(5分)已知函数f(x)x2+2|x|1,则函数f(x)的值域是1,+)【分析】根据偶函数的对称性,只需求x0时,函数的值域【解答】解:因为f(x)为偶函数,图象关于y轴对称,所以只需求x0时的值域,当x0时,f(x)x2+2x1(x+1)22在0,+)上递增,所以f(x)f(0)1,故答案为:1,+)【点评】本题考查了二次函数的性质与图象属基础题12(5分)已知定义在R上的函数f(x),满足对任意x1x2都有0成立,则实数m的取值范围是(0,4【分析】由已知中对任意x1x2都有0成立可得:函数f(x)在R为上增函数,列出不等式,解得实

12、数m的取值范围【解答】解:定义在R上的函数f(x),由已知中对任意x1x2都有0成立,可得:函数f(x)在R为上增函数,则,解得:0m4,故答案为:(0,4【点评】本题考查的知识点是分段函数的单调性,难度中档13(5分)设函数f(x)x3+1,若f(12a)f(a),则实数a的取值范围是(,+)【分析】根据题意,求出函数的导数,分析可得函数f(x)在R上为增函数,进而分析可得:若f(12a)f(a),则有12aa,解可得a的取值范围,即可得答案【解答】解:根据题意,函数f(x)x3+1,定义域为R,其导数为f(x)3x20,即函数f(x)在R上为增函数,若f(12a)f(a),则有12aa,解

13、可得a,即a的取值范围为(,+);故答案为:(,+)【点评】本题考查函数的单调性的性质以及应用,注意函数的定义域,属于基础题14(5分)设f(x)是定义在R上的函数且f(x+2),在区间1,1上,f(x),其中a,bR,若f()f(),则2a+b的值为5【分析】由条件可得f()f(),f(1)f(1),根据已知的函数的解析式可得a,b的方程,解方程可得a,b,进而得到所求值【解答】解:f(x)是定义在R上的函数且f(x+2),且在区间1,1上,f(x),可令x1可得f(1)f(1),即(1a),又f()f()f(),即有(1a),由解得a6,b7,可得2a+b5故答案为:5【点评】本题考查分段

14、函数,注意运用赋值法,考查运算能力,属于中档题二、简答题:本大题共6小题,共计90分请在答题卡制定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15(14分)设UR,Ax|1x3,Bx|2x4,Cx|axa+1,a为实数,(1)分别求AB,A(UB);(2)若BCC,求a的取值范围【分析】本题(1)先求出集合B的补集,再求出A(UB),得到本题结论;(2)由BCC得到CB,再比较区间的端点,求出a的取值范围,得到本题结论【解答】解:(1)Ax|1x3,Bx|2x4,uBx|x2或x4,ABx|2x3,A(UB)x|x3或x4(2)BCC,CBBx|2x4,Cx|axa+1,2a,a+14

15、,2a3【点评】本题考查了集合运算的知识,本题难度不大,属于基础题16(14分)计算下列各式的值:(1);(2)【分析】(1)直接由分数指数幂的运算性质求解即可;(2)直接由对数的运算性质求解即可【解答】解:(1)21+8+7281;(2)【点评】本题考查了有理指数幂的化简求值,考查了对数的运算性质,是基础题17(14分)已知二次函数f(x)过点(,1)、(0,1),且最小值为(1)求函数f(x)的解析式;(2)求函数yf(1log2x),x2,4的最小值,并求出此时x的值【分析】(1)用待定系数法设出二次函数的解析式,再根据题意列式,解方程组可得;(2)换元后变成二次函数求最值【解答】解(1

16、)由题意得:对称轴x,设f(x)a(x+)2+(a0),又过点(0,1),代入得1+,解的a2,所以f(x)2(x+)2+(或f(x)2x2+x+1);(2)f(1log2x)2(1log2x)2+1log2x+12(log2x)25log2x+42(log2 x)2+令tlog2x,因为x2,4,所以t1,2,则原函数可化为:y2(t)2+ ,t1,2t1,2因为对称轴为t,所以当t时,ymin;此时x22【点评】本题考查了二次函数的性质与图象属基础题18(16分)已知函数f(x),xR(1)试判断函数f(x)在R上的单调性,并证明之;(2)已知函数g(x)f(x)+x2,试判断函数f(x)

17、在R上的奇偶性,并证明之【分析】(1)根据题意,将函数的解析式变形可得f(x)1,任取x1,x2R,且x1x2,由作差法分析可得答案;(2)根据题意,由函数的解析式求出g(1)与g(1)的值,由函数奇偶性的定义分析可得结论【解答】解:(1)根据题意,f(x)在R上为单调增函数,证明如下:f(x)1,任取x1,x2R,且x1x2,则f(x1)f(x2)(1)(1),又由x1x2,则()0,(+1)0,(+1)0,则f(x1)f(x2)0,所以f(x)在R上为单调增函数;(2)f(x)在R上为非奇非偶函数,证明如下:g(1),g(1),则有g(1)g(1),所以f(x)在R上为非奇非偶函数【点评】

18、本题考查函数的奇偶性与单调性的判定,关键是掌握函数的奇偶性与单调性的判定方法,属于基础题19(16分)已知函数yf(x)为偶函数,当x0时,f(x)x2+2ax+1,(a为常数)(1)当x0时,求f(x)的解析式:(2)设函数yf(x)在0,5上的最大值为g(a),求g(a)的表达式;(3)对于(2)中的g(a),试求满足g(8m)g()的所有实数m的取值集合【分析】(1)设x0,根据题意利用偶函数的定义求出f(x)的解析式;(2)讨论a的取值范围,求出x0,5时f(x)的最大值,用分段函数表示即可;(3)根据分段函数求出g(a)满足g(8m)g()时m的取值即可另解讨论m的取值范围,根据题意

19、列方程,从而求出m的取值集合【解答】解:(1)设x0,则x0,所以f(x)(x)2+2a(x)+1x22ax+1;又因为f(x)为偶函数,所以f(x)f(x),所以当x0时,f(x)x22ax+1; (4分)(2)当x0,5时,f(x)x2+2ax+1,对称轴xa,当a,即a时,g(a)f(0)1;当a,即a时,g(a)f(5)10a+26;综上所述,g(a); (10分)(3)由(2)知g(a),当a时,g(a)为常函数;当a时,g(a)为一次函数且为增函数;因为g(8m)g(),所以有或,解得m或,即m的取值集合为m|m或m(16分)另解(3)当8m,有m,所以(,0),则或,解得m或m,

20、取并集得m;当8m,有m,所以(,0,+),则或;解得m或m(舍负);综上所述,m的取值集合为m|m或m【注:最后结果不写集合不扣分】【点评】本题考查了函数的定义与应用问题,也考查了分类讨论和转化思想的应用问题,是综合题20(16分)已知二次函数f(x)ax2+bx+1(a0)(1)若函数在(2,+)上单调递减,求f(4)的最大值;(2)若函数ylgf(x)定义域为R,且f(1)1,求实数a的取值范围:(3)当b8时,对于给定的负数a,有一个最大的正数l(a)使得在整个区间0,l(a)上,不等式|f(x)|5都成立,求l(a)的最大值【分析】(1)由题意可得a0且对称轴在2的左边,可得f(4)

21、的最大值;(2)由题意可知ax2+bx+10恒成立,可得a0且判别式小于0,结合f(1)0,解不等式可得a的范围;(3)求得f(x)的对称轴和顶点坐标,讨论对称轴与5的关系,可得l(a)的分段函数解析式,运用单调性求得最大值【解答】解:(1)由题意可知,所以4a+b0,所以f(4)16a+4b+11即最大值为1;(2)由题意可知ax2+bx+10恒成立,所以因为f(1)1,所以a+b0,即ba,所以0a4;(3)因为函数f(x)ax2+8x+1对称轴为,顶点坐标,当时,即a4,此时令ax2+8x+15,即ax2+8x+60,由a0可知,当时,即4a0,此时令ax2+8x+15,即ax2+8x40,由a0可知,所以,有理化得,当a4时l(a)单调递增,当4a0时l(a)单调递减,l(a)l(4)1,所以l(a)的最大值为,此时a4【点评】本题考查二次函数的图象和性质,考查对数函数的单调性和二次函数的单调性的运用,以及分类讨论思想方法,化简整理的运算能力,属于中档题

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