2018-2019学年江苏省苏州市昆山市高一(上)期中数学试卷(含详细解答)

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资源描述

1、2018-2019学年江苏省苏州市昆山市高一(上)期中数学试卷一、填空题1(5分)设全集U1,0,1,2,3,B0,2,3,UB   2(5分)函数y+的定义域为   3(5分)已知函数,则f(f(1)   4(5分)函数是   函数(奇函数、偶函数、非奇非偶、既奇又偶)5(5分)函数y的图象对称中心坐标为   6(5分)函数yx2+2x+3(0x3)的值域   7(5分)已知幂函数(mN+)在(0,+)上是减函数,且它的图象关于y轴对称,则m   8(5分)已知集合Ax|log2x1,By|12x,则AB   9

2、(5分)已知函数(xR),对于任意x恒有f(x)f(x0),则x0   10(5分)方程lgx+x3的解为x0,若x0(k,k+1),kZ,则k   11(5分)计算   12(5分)设函数f(x)的定义域为(0,+)的增函数,且f(xy)f(x)+f(y),f(2)1,则满足f(x)+f(x3)2的x的取值范围是   13(5分)若函数恰有2个零点,则实数的取值范围是   14若函数f(x)4xa2x+1+3有两个不同的零点,则实数a的取值范围是   15(5分)已知函数,关于x的不等式f2(x)af(x)只有一个整数解,则正数a的

3、取值范围是   16已知函数f(x)在定义域R是偶函数,且当时,若对任意实数a2,1,都有f(at)f(a)恒成立,则实数t的取值范围是   二、解答题(共8小题,满分90分)17(14分)已知Ax|x2+4x0,Bx|x2+2(a+1)x+a210(1)求A;(2)若ABB,求a的值18(14分)设函数(1)判断函数奇偶性;(2)判断函数f(x)在1,+)上的单调性,并用单调性定义证明19(14分)用一根长为100米的细绳在一片空地上围一个如图平面五边形ABCDE(BE不算长),平面五边形上方是一个等边三角形ABE,下方是一个矩形BCDE,设ABx米,五边形ABCDE的面

4、积为y平方米(1)求y关于x的函数f(x),并求定义域;(2)求五边形ABCDE的面积的最大值20(16分)已知Ax|4x20,Bx|x22x30,Cx|2mxm+1(1)求AB;(2)定义ABx|xA且xB,求AB;(3)若C(AB),求m的取值范围21(16分)设函数f(x)k2x2x是定义R上的奇函数(1)求k的值;(2)若不等式f(x)a2x1有解,求实数a的取值范围;(3)设g(x)4x+4x4f(x),求g(x)在1,+)上的最小值,并指出取得最小值时的x的值22设函数f(x)k2x2x是定义R上的奇函数(1)求k的值   (2)若不等式f(x)a2x1有解,求实数a的取

5、值范围;(3)解关于x的方程4x+4x4f(x)+2023(16分)设函数f(x)x2+2ax+2a+1(1)若不等式f(x)0对x0,1上恒成立,求实数a的取值范围;(2)若方程f(|3x1|)0有四个不相等的实数根,求实数a的取值范围;(3)设g(x)f(x)+|x1|,写出g(x)的单调增减区间24设函数f(x)x2+2ax+2a+1(1)求f(x)在x1,1上的最小值;(2)若不等式f(x)0对x0,1上恒成立,求实数a的取值范围;(3)若方程f(|3x1|)0有四个不相等的实数根,求实数a的取值范围2018-2019学年江苏省苏州市昆山市高一(上)期中数学试卷参考答案与试题解析一、填

6、空题1(5分)设全集U1,0,1,2,3,B0,2,3,UB1,1【分析】利用补集定义直接求解【解答】解:全集U1,0,1,2,3,B0,2,3,UB1,1故答案为:1,1【点评】本题考查补集的求法,考相补集定义等基础知识,考查运算求解能力,是基础题2(5分)函数y+的定义域为x|x1,且x0【分析】要求函数的定义域,就是求使函数有意义的x的取值范围,因为函数解析式中有分式,所以分母不等于0,又因为有二次根式,所以被开放数大于等于0,最后两个范围求交集即可【解答】解:要使函数有意义,需满足解不等式组,得x1,且x0函数的定义域为x|x1,且x0故答案为x|x1,且x0【点评】本题主要考查已知函

7、数解析式求定义域,关键是判断函数解析式何时成立3(5分)已知函数,则f(f(1)5【分析】求出f(1)()13,从而f(f(1)f(3),由此能求出结果【解答】解:函数,f(1)()13,f(f(1)f(3)2315故答案为:5【点评】本题考查函数值的求法,考查函数性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题4(5分)函数是奇函数(奇函数、偶函数、非奇非偶、既奇又偶)【分析】根据函数的奇偶性的定义判断即可【解答】解:由题意得:0,解得:1x1,故f(x)的定义域是(1,1),且f(x)log2log2f(x),故函数f(x)是奇函数,故答案为:奇【点评】本题考查了函数的奇偶性问题,熟练掌握函数的

8、奇偶性的定义是解题的关键,本题是一道基础题5(5分)函数y的图象对称中心坐标为(3,1)【分析】根据题意,分析可得函数y1+1,可以由函数y向左平移3个单位,向上平移1个单位得到,结合反比例函数的性质,分析可得答案【解答】解:根据题意,函数y1+1,将函数y向左平移3个单位,向上平移1个单位得到y的图象,又由函数y的对称中心为(0,0),则函数y的图象对称中心坐标为(3,1);故答案为:(3,1)【点评】本题考查函数图象的变换,注意函数图象变换的规律,属于基础题6(5分)函数yx2+2x+3(0x3)的值域0,4【分析】首先把函数yx2+2x+3配方,然后根据自变量x0,3,求出函数的值域即可

9、【解答】解:yx2+2x+3(x22x+1)+4(x1)2+4,x0,3,1x12,4(x1)20,0(x1)2+44函数yx2+2x+3,x0,3的值域是0,4故答案为:0,4【点评】本题主要考查了给定区间上的二次函数的值域的求法,考查了配方法的运用,属基础题7(5分)已知幂函数(mN+)在(0,+)上是减函数,且它的图象关于y轴对称,则m1【分析】先根据其为减函数得到m的范围,再结合图象关于y轴对称即可得到结论【解答】解:因为幂函数(mN+)在(0,+)上是减函数;m2500m又因为:它的图象关于y轴对称;m25是偶数;m1故答案为:1【点评】本题主要考查幂函数的图象与性质,幂函数是重要的

10、基本初等函数模型之一学习幂函数重点是掌握幂函数的图形特征,即图象语言,熟记幂函数的图象、性质8(5分)已知集合Ax|log2x1,By|12x,则AB(0,1)【分析】可求出集合A,B,然后进行交集的运算即可【解答】解:A(0,2),B(,1);AB(0,1)故答案为:(0,1)【点评】考查描述法的定义,对数函数的单调性,指数函数的值域,以及交集的运算9(5分)已知函数(xR),对于任意x恒有f(x)f(x0),则x0【分析】由题意利用复合函数的单调性,二次函数、指数函数的性质,可得x0是 tx2x+2 的最大值点,由此求得x0 的值【解答】解:函数(xR),对于任意x恒有f(x)f(x0),

11、故x0是 tx2x+2+ 的最大值点,x0,故答案为:【点评】本题主要考查复合函数的单调性,二次函数、指数函数的性质,属于中档题10(5分)方程lgx+x3的解为x0,若x0(k,k+1),kZ,则k2【分析】方程的解即对应函数f(x)的零点,由f(2)0,f(3)0知,方程f(x)0 的零点在(2,3)上,又方程f(x)0 的零点在(k,k+1)上,kZ,可得 k值【解答】解:令f(x)lgx3+x,则方程lgx3x的近似解xx0(k,k+1),kZ,即 函数f(x)的零点,在(k,k+1)上,kZ,f(2)lg23+20,f(3)lg33+30,函数f(x)的零点在(2,3)上,k2,故答

12、案为 2【点评】本题考查方程的解与函数零点的关系及用二分法求方程的近似解11(5分)计算【分析】根据对数的运算性质计算即可【解答】解:原式+4lg2+lg5lg8+lg2+lg5,故答案为:【点评】本题考查了对数的运算性质的应用,熟练掌握对数的运算性质是解题的关键12(5分)设函数f(x)的定义域为(0,+)的增函数,且f(xy)f(x)+f(y),f(2)1,则满足f(x)+f(x3)2的x的取值范围是(3,4【分析】令xy2,利用f(2)1即可求得f(4)2,得fx(x3)f(4),再由单调性得到不等式组,解之即可【解答】解:f(2)1,f(4)f(22)f(2)+f(2)2;函数f(x)

13、是定义在(0,+)上的增函数,f(xy)f(x)+f(y),f(4)2,f(x)+f(x3)2fx(x3)f(4),即,解得:3x4原不等式的解集为:(3,4故答案为:(3,4【点评】本题考查抽象函数及其应用,着重考查赋值法与函数单调性的应用,考查解不等式组的能力,属于中档题13(5分)若函数恰有2个零点,则实数的取值范围是(1,3(4,+)【分析】利用分段函数画出函数的图象,通过函数的零点得到不等式求解即可【解答】解:函数函数f(x)恰有2个零点,函数f(x)的草图如图:函数f(x)恰有2个零点,则13或4故答案为:(1,3(4,+)【点评】本题考查函数与方程的应用,考查数形结合以及函数的零

14、点个数的判断,考查发现问题解决问题的能力14若函数f(x)4xa2x+1+3有两个不同的零点,则实数a的取值范围是(,+)【分析】根据题意,由函数零点的定义可得方程4xa2x+1+30有2个根,设t2x,进而分析可得方程t22at+30有2个正根,由一元二次方程的根的分布可得,解可得a的取值范围,即可得答案【解答】解:若函数f(x)4xa2x+1+3有两个不同的零点,则方程4xa2x+1+30有2个不同的根,设t2x,则t0,4xa2x+1+30即t22at+30,则方程t22at+30有2个正根,则有,解可得:a,即a的取值范围为(,+);故答案为:(,+)【点评】本题考查函数的零点与方程根

15、的关系,涉及一元二次方程的根的分布,属于综合题15(5分)已知函数,关于x的不等式f2(x)af(x)只有一个整数解,则正数a的取值范围是【分析】函数x+1,f(x)1,利用导数研究其单调性可得函数f(x)的极值与最值,进而得出值域关于x的不等式f2(x)af(x),a0解出0f(x)a进而得出a的取值范围【解答】解:函数x+1,f(x)1,可得:x0时,x,函数f(x)取得极大值,f()2+1x0时,x,函数f(x)取得极小值,f()2+1f(x)(,122+1,+)关于x的不等式f2(x)af(x),a0解得:0f(x)af(1)5,f(2)4.5,f(3)52+121.732+14.4关

16、于x的不等式f2(x)af(x)只有一个整数解,其整数解为2f(2)af(3),解得:a5a5时,f(x)f(3),此时3这个整数解取不到,满足题意则正数a的取值范围是故答案为:【点评】本题考查了利用导数研究其单调性极值与值域、不等式的解法,考查了推理能力与计算能力,属于难题16已知函数f(x)在定义域R是偶函数,且当时,若对任意实数a2,1,都有f(at)f(a)恒成立,则实数t的取值范围是(,4)(2,+)【分析】求出函数的单调性,根据函数的奇偶性求出函数在R的单调性,去掉f,得到2att2在a2,1恒成立,通过讨论t的范围,求出t的具体范围即可【解答】解:当+1,故f(x)在0,+)递减

17、,而f(x)在定义域R是偶函数,故f(x)在(,0)递增,若对任意实数a2,1,都有f(at)f(a)恒成立,则对任意实数a2,1,|at|a|,即2att2在a2,1恒成立,t0时,只需t(2a)max成立即可,故t2,t0时,只需t(2a)min成立即可,故t4,故答案为:(,4)(2,+)【点评】本题考查了函数恒成立问题,考查函数的单调性,奇偶性问题,考查转化思想,分类讨论思想,是一道中档题二、解答题(共8小题,满分90分)17(14分)已知Ax|x2+4x0,Bx|x2+2(a+1)x+a210(1)求A;(2)若ABB,求a的值【分析】(1)解方程x2+4x0能求出集合A(2)由AB

18、B,AB,从而0B,且4B,由此能求出a【解答】解:(1)x2+4x0,x0或x4,A4,0(2)A4,0,Bx|x2+2(a+1)x+a210,ABB,AB,0B,且4B,解得a1【点评】本题考查集合的求法,考查实数值的求法,考查并集定义、不等式性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题18(14分)设函数(1)判断函数奇偶性;(2)判断函数f(x)在1,+)上的单调性,并用单调性定义证明【分析】(1)直接检验f(x)与f(x)的关系即可判断;(2)直接利用函数的单调性的定义进行判断即可【解答】解:(1)函数的定义域x|x0(2分),f(x)f(x),f(x)为奇函数(4分)证明:(2)函数

19、f(x)在1,+)上的单调递增,证明如下,(5分)f(x)x,(6分)设任意x1,x21,+),且x1x2,(8分)则f(x1)f(x2)x1x2+(11分)x1x2x1x201x1x2x1x2100(13分)f(x1)f(x2)函数f(x)在1,+)上的单调递增(14分)【点评】本题主要考查了函数的奇偶性和单调性的简单应用,属于基础试题19(14分)用一根长为100米的细绳在一片空地上围一个如图平面五边形ABCDE(BE不算长),平面五边形上方是一个等边三角形ABE,下方是一个矩形BCDE,设ABx米,五边形ABCDE的面积为y平方米(1)求y关于x的函数f(x),并求定义域;(2)求五边形

20、ABCDE的面积的最大值【分析】(1)由ABx,三角形ABE是等边三角形,BCDE是矩形,分别求出三角形及四边形的面积,作和可得f(x),再由BC0求得x的范围,得到函数定义域;(2)直接利用二次函数求最值【解答】解:(1)ABx,三角形ABE是等边三角形,BCDE是矩形,BC,因此,又BC500,xf(x)(0x);(2)函数f(x)的图象开口向下,顶点坐标为(),又0,答:五边形ABCDE的面积的最大值为平方米【点评】本题考查简单的数学建模思想方法,训练了利用二次函数求最值,正确理解题意是关键,是中档题20(16分)已知Ax|4x20,Bx|x22x30,Cx|2mxm+1(1)求AB;(

21、2)定义ABx|xA且xB,求AB;(3)若C(AB),求m的取值范围【分析】(1)可求出A(2,2),B1,3,进行交集的运算即可得出AB1,2);(2)根据AB的定义即可求出;(3)可讨论C是否为空集:C时,2mm+1;C时,从而得出m的取值范围【解答】解:(1)A(2,2),B1,3;AB1,2);(2)ABx|xA且xB;AB(2,1);(3)C(AB);若C,则2mm+1;m1;若C,则;综上得,m的取值范围为【点评】考查描述法的定义,一元二次不等式的解法,交集的运算,理解AB的定义,子集的概念21(16分)设函数f(x)k2x2x是定义R上的奇函数(1)求k的值;(2)若不等式f(

22、x)a2x1有解,求实数a的取值范围;(3)设g(x)4x+4x4f(x),求g(x)在1,+)上的最小值,并指出取得最小值时的x的值【分析】(1)由f(x)为R上的奇函数,可得f(0)0,可得k;(2)由题意可得a()2+()+1有解,即a()2+()+1max,运用配方和指数函数的单调性可得最大值,即可得到所求a的范围;(3)可令t2x2x,求得t,即有t24x+4x2,可得函数h(t)t24t+2,t,有二次函数的最值求法,可得所求【解答】解:(1)因为f(x)k2x2x是定义域为R上的奇函数,所以f(0)0,所以k10,解得k1,f(x)2x2x,当k1时,f(x)2x2xf(x),所

23、以f(x)为奇函数,故k1;(2)f(x)a2x1有解,所以a()2+()+1有解,所以a()2+()+1max,因为()2+()+1()2+,(x1时,等号成立),所以a;(3)g(x)4x+4x4f(x),即g(x)4x+4x4(2x2x),可令t2x2x,可得函数t在1,+)递增,即t,t24x+4x2,可得函数h(t)t24t+2,t,由g(t)的对称轴为t2,可得t2时,g(t)取得最小值2,此时22x2x,解得xlog2(1+),则g(x)在1,+)上的最小值为2,此时xlog2(1+)【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用,考查参数分离和换元法,以及转化思想和运算能力,

24、属于中档题22设函数f(x)k2x2x是定义R上的奇函数(1)求k的值   (2)若不等式f(x)a2x1有解,求实数a的取值范围;(3)解关于x的方程4x+4x4f(x)+20【分析】(1)由奇函数定义可得;(2)不等式有解时,等价于小于最大,大于最小;(3)将2x2x当整体,解一元二次方程【解答】解:(1)因为f(x)k2x2x是定义域为R上的奇函数,所以f(0)0,所以k10,解得k1,f(x)2x2x,当k1时,f(x)2x2xf(x),所以f(x)为奇函数,故k1;(2)因为f(x)a2x1有解,所以a()2+()+1有解,所以a()2+()+1max,因为()2+()+1

25、()2+,(x1时,等号成立)所以a;(3)由4x+4x4f(x)+20可得:4x+4x4f(x)+2(2x2x)24(2x2x)+4,所以(2x2x2)20,所以2x2x20,解得:xlog2(1+)【点评】本题考查了奇函数定义、不等式有解的转换、整体换元属中档题23(16分)设函数f(x)x2+2ax+2a+1(1)若不等式f(x)0对x0,1上恒成立,求实数a的取值范围;(2)若方程f(|3x1|)0有四个不相等的实数根,求实数a的取值范围;(3)设g(x)f(x)+|x1|,写出g(x)的单调增减区间【分析】(1)利用二次函数的图象列式可得;(2)换元变成二次函数,利用二次函数图象解题

26、;(3)去绝对值变成分段函数,根据二次函数图象写单调增区间【解答】解:(1)因为不等式f(x)0对x0,1恒成立,所以,即,解得:a,(2)令t|3x1|,h(t)t2+2at+2a+1,要方程f(|3x1|)0有四个不相等的实数根,只需h(t)0在t(0,1)上有两个不等实根,所以,解得:a1,(3)因为g(x)f(x)+|x1|x2+2ax+2a+1+|x1|当a时,g(x)的减区间为(,a+),增区间为(a+,+);当a时,g(x)的减区间为(,1),增区间为(1,+);当a时,g(x)的减区间为(,a),增区间为(a,+)【点评】本题考查了二次函数单调性、二次不等式恒成立属总中档题24

27、设函数f(x)x2+2ax+2a+1(1)求f(x)在x1,1上的最小值;(2)若不等式f(x)0对x0,1上恒成立,求实数a的取值范围;(3)若方程f(|3x1|)0有四个不相等的实数根,求实数a的取值范围【分析】(1)按照对称轴与区间的位置关系分三种情况讨论即可;(2)结合二次函数图象列式即可;(3)换元变成二次函数,利用二次函数图象列式可得【解答】解:(1)因为f(x)x2+2ax+2a+1的对称轴为xa,所以当a1,即a1时,f(x)minf(1)2,当1a1,即1a1时,f(x)minf(a)a2+2a+1,当a1,即a1时,f(x)min4a+2,(2)因为不等式f(x)0对x0,1恒成立,所以,即,解得:a(3)令t|3x1|,h(t)t2+2at+2a+1,要使方程f(|3x1|)0有四个不相等的实根,只需h(t)0在t(0,1)上有两不等根,所以解得:a1【点评】本题考查了二次函数的单调性、二次方程实根分布、换元法属中档题

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