2018-2019学年江苏省苏州市高一(上)期中数学试卷(含详细解答)

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1、2018-2019学年江苏省苏州市高一(上)期中数学试卷一、选择题:本大题共6题,每小题5分,共30分。请把答案填涂在答题纸相应位置上。1(5分)关于以下集合关系表示不正确的是()ABCN*DN*2(5分)不等式log2x的解集是()Ax|0xBx|0xCx|xDx|x3(5分)若函数f(x)的定义域为(1,2),则f(x2)的定义域为()Ax|1x4Bx|1xCx|x1或1Dx|1x24(5分)设函数f(x),若f(f()4,则b()A1BCD5(5分)设函数f(x)ln(2+x)ln(2x),则f(x)是()A奇函数,且在(0,2)上是增函数B奇函数,且在(0,2)上是减函数C偶函数,且在

2、(0,2)上是增函数D偶函数,且在(0,2)上是减函数6(5分)对二次函数f(x)ax2+bx+c(a为非零整数),四位同学分别给出下列结论,其中有且只有一个结论是错误的,则错误的结论是()A1是f(x)的零点B1是f(x)的极值点C3是f(x)的极值D点(2,8)在曲线yf(x)上二、填空题:本大题共8题,每小题5分,共40分。请把答案填写在答题纸相应位置上。7(5分)已知全集U1,0,2,4,集合A0,2,则UA   8(5分)求值:   9(5分)已知函数f(x),则f(log23)的值为   10(5分)已知偶函数f(x)在0,2内单调递减,若,则a,b,

3、c之间的大小关系为   (从小到大顺序)11(5分)函数ylog3(x2+x+6)的单调递减区间是   12(5分)函数f(x)ax|2x+a|在1,2上是单调增函数,则实数a的取值范围为   13(5分)已知f(x)为R上增函数,且对任意xR,都有ff(x)3x4,则f(2)   14(5分)已知函数f(x),设aR,若关于x的不等式在R上恒成立,则a的取值范围是   三、解答题:本大题共6小题,共90分。请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15(14分)()已知a+a13,求的值;()化简计算:16(14分)

4、记集合,集合Ny|yx22x+m(1)若m3,求MN;(2)若MNM,求实数m的取值范围17(14分)某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出,平均每天能售岀8台,为了配合国家“家电下乡”政策的实施,商场决定采取适当的降价措施调查表明:这种冰箱的售价每降低50元,平均每天就能多售出4台(1)假设每台冰箱降价x元,商场每天销售这种冰箱的利润是y元,请写出y与x之间的函数表达式;(不要求写自变量的取值范围)(2)商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元,同时又要使百姓得到实惠,每台冰箱应降价多少元?(3)每台冰箱降价多少元时,商场每天销售这种冰箱的利润最高?最高利润是多少?18(16分)已

5、知函数f(x)(1)求f(x)的定义域、值域及单调区间;(2)判断并证明函数g(x)xf(x)在区间(0,1)上的单调性19(16分)已知二次函数f(x)满足f(2+x)f(2x),其图象开口向上,顶点为A,与x轴交于点B(1,0)利C点,且ABC的面积为18(1)求此二次函数的解析式;(2)若方程f(x)m(x1)在区间0,1有解,求实数m的取值范围20(16分)已知aR,函数f(x)log2(+a)(1)当a5时,解不等式f(x)0;(2)若关于x的方程f(x)log2(a4)x+2a50的解集中恰好有一个元素,求a的取值范围(3)设a0,若对任意t,1,函数f(x)在区间t,t+1上的最

6、大值与最小值的差不超过1,求a的取值范围2018-2019学年江苏省苏州市高一(上)期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题:本大题共6题,每小题5分,共30分。请把答案填涂在答题纸相应位置上。1(5分)关于以下集合关系表示不正确的是()ABCN*DN*【分析】对于集合来说具有两重性,即是元素本身又是集合,又是任何集合的子集,可得结果【解答】解:A:是中的元素,所以正确;B:,都是集合,又是任何集合的子集,所以正确;D:是任何集合的子集,所以正确故选:C【点评】本题考查是集合间的包含关系和元素与集合的属于关系,属基础题2(5分)不等式log2x的解集是()Ax|0xBx|0xCx|xDx|x【

7、分析】将不等式右边化为以2为底的对数,利用对数函数的单调性可得【解答】解:不等式可化为:log2 xlog2 2,21,0x,故选:B【点评】本题考查了对数不等的解法,属基础题3(5分)若函数f(x)的定义域为(1,2),则f(x2)的定义域为()Ax|1x4Bx|1xCx|x1或1Dx|1x2【分析】根据f(x)的定义域为(1,2),即可得出f(x2)需满足1x22,解出x的范围即可【解答】解:f(x)的定义域为(1,2);f(x2)满足1x22;,或;f(x2)的定义域为故选:C【点评】考查函数定义域的概念及求法,已知f(x)定义域求fg(x)定义域的方法,绝对值不等式的解法4(5分)设函

8、数f(x),若f(f()4,则b()A1BCD【分析】直接利用分段函数以及函数的零点,求解即可【解答】解:函数f(x),若f(f()4,可得f()4,若,即b,可得,解得b若,即b,可得,解得b(舍去)故选:D【点评】本题考查函数的零点与方程根的关系,函数值的求法,考查分段函数的应用5(5分)设函数f(x)ln(2+x)ln(2x),则f(x)是()A奇函数,且在(0,2)上是增函数B奇函数,且在(0,2)上是减函数C偶函数,且在(0,2)上是增函数D偶函数,且在(0,2)上是减函数【分析】由定义知f(x)为奇函数,由复合函数的单调性知f(x)在(0,2)上是增函数【解答】解:因为f(x)ln

9、(2x)ln(2+x)f(x),所以f(x)为奇函数;因为yln(2+x)与yln(2x)在(0,2)内都是增函数,所以f(x)在(0,2)上是增函数故选:A【点评】本题考查了奇偶性和单调性的综合,属中档题6(5分)对二次函数f(x)ax2+bx+c(a为非零整数),四位同学分别给出下列结论,其中有且只有一个结论是错误的,则错误的结论是()A1是f(x)的零点B1是f(x)的极值点C3是f(x)的极值D点(2,8)在曲线yf(x)上【分析】可采取排除法分别考虑A,B,C,D中有一个错误,通过解方程求得a,判断是否为非零整数,即可得到结论【解答】解:可采取排除法若A错,则B,C,D正确即有f(x

10、)ax2+bx+c的导数为f(x)2ax+b,即有f(1)0,即2a+b0,又f(1)3,即a+b+c3,又f(2)8,即4a+2b+c8,由解得,a5,b10,c8符合a为非零整数若B错,则A,C,D正确,则有ab+c0,且4a+2b+c8,且3,解得a,不成立;若C错,则A,B,D正确,则有ab+c0,且2a+b0,且4a+2b+c8,解得a不为非零整数,不成立;若D错,则A,B,C正确,则有ab+c0,且2a+b0,且3,解得a不为非零整数,不成立故选:A【点评】本题考查二次函数的极值、零点等概念,主要考查解方程的能力和判断分析的能力,属于中档题二、填空题:本大题共8题,每小题5分,共4

11、0分。请把答案填写在答题纸相应位置上。7(5分)已知全集U1,0,2,4,集合A0,2,则UA1,4【分析】直接利用补集的定义,求出A的补集即可【解答】解:全集U1,0,2,4,集合A0,2,则UA1,4故答案为:1,4【点评】本题考查补集的运算,补集的定义,考查基本知识的应用8(5分)求值:【分析】根据根式的性质即可化简【解答】解:原式()(),故答案为:【点评】本题考查了根式的化简,属于基础题9(5分)已知函数f(x),则f(log23)的值为【分析】由函数,知f(log23)f(log23+1)f(log23+2),由此能求出其结果【解答】解:函数,f(log23)f(log23+1)f

12、(log23+2)故答案为:【点评】本题考查函数的性质和应用,解题时要认真审题,仔细解答10(5分)已知偶函数f(x)在0,2内单调递减,若,则a,b,c之间的大小关系为bac(从小到大顺序)【分析】先根据偶函数的性质将1,lg,化到0,2内,根据函数f(x)在0,2内单调递减,得到函数值的大小即可【解答】解:偶函数f(x)f(lg)f(lg2),f(1)f(1),2,lg212,f(x)在0,2内单调递减f(lg2)f(1)f(2)即cab故答案为bac【点评】本题主要考查了函数的单调性,以及函数的奇偶性和对数的运算性质,属于基础题11(5分)函数ylog3(x2+x+6)的单调递减区间是,

13、3)【分析】欲求得函数ylog3(x2+x+6)单调递减区间,将函数ylog3(x2+x+6)分解成两部分:f(U)log3U外层函数,Ux2+x+6是内层函数外层函数是指数函数,其底数大于1,是增函数,故要求内层函数是减函数时,原函数才为减函数问题转化为求Ux2+x+6的单调减区间,但要注意要保证U0【解答】解:根据题意,函数ylog3(x2+x+6)分解成两部分:f(U)log2U为外层函数,Ux2+x+6是内层函数根据复合函数的单调性,可得若函数ylog2x单调增函数,则函数ylog3(x2+x+6)单调递减区间就是函数yx2+x+6单调递减区间,Ux2+x+6的单调递减区间是:,+),

14、考虑到函数的定义域,x2+x+60,得x(2,3)函数ylog3(x2+x+6)的单调递减区间是:,3)故答案为:,3)【点评】一般地,复合函数中,当内层函数和外层函数一增一减时,原函数为减函数;当内层函数和外层函数同增同减时,原函数为增函数12(5分)函数f(x)ax|2x+a|在1,2上是单调增函数,则实数a的取值范围为a|a0或a4【分析】根据题意,f(x)ax|2x+a|,按a的取值分3种情况讨论函数f(x)的单调性,综合即可得答案【解答】解:根据题意,f(x)ax|2x+a|分3种情况讨论:,当a0时,f(x)0,不符合题意;,当a0时,0,在区间1,2上,f(x)ax(2x+a),

15、且0,在1,2上为增函数,符合题意;,当a0时,0,若f(x)在1,2上递增,必有,解可得a4;综合可得:a的取值范围为a|a0或a4;故答案为:a|a0或a4【点评】本题考查分段函数的单调性的判断,涉及参数的讨论,注意分析a的取值情况,属于基础题13(5分)已知f(x)为R上增函数,且对任意xR,都有ff(x)3x4,则f(2)10【分析】因为f(x)是R上的增函数,所以若f(x)3x不是常数,则ff(x)3x便不是常数而已知ff(x)3x4,所以f(x)3x是常数,设f(x)3xm,所以f(m)4,f(x)3x+m,所以f(m)3m+m4,容易知道该方程有唯一解,m1,所以f(x)3x+1

16、,所以便可求出f(2)【解答】解:根据题意得,f(x)3x为常数,设f(x)3xm,则f(m)4,f(x)3x+m;3m+m4,易知该方程有唯一解,m1;f(x)3x+1;f(2)10;故答案为:10【点评】考查对于单调函数,当自变量的值是变量时,函数值也是变量,单调函数零点的情况14(5分)已知函数f(x),设aR,若关于x的不等式在R上恒成立,则a的取值范围是a2【分析】根据题意,分段讨论x1和x1时,关于x的不等式f(x)|+a|在R上恒成立,去掉绝对值,利用函数的最大、最小值求得a的取值范围,再求它们的公共部分【解答】解:函数f(x),当x1时,关于x的不等式f(x)|+a|在R上恒成

17、立,即为x2+x3+ax2x+3,即有x2+x3ax2x+3,由yx2+x3的对称轴为x1,可得x处取得最大值为;由yx2x+3的对称轴为x1,可得x处取得最小值为,则a;当x1时,关于x的不等式f(x)|+a|在R上恒成立,即为(x+)+ax+,即有(x+)a+,由y(x+)22(当且仅当x1)取得最大值2;由yx+22(当且仅当x21)取得最小值2则2a2;由可得,a2;综上,a的取值范围是a2故答案为:a2【点评】本题考查了分段函数的应用问题,也考查了不等式恒成立问题,是难题三、解答题:本大题共6小题,共90分。请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15(1

18、4分)()已知a+a13,求的值;()化简计算:【分析】()推导出a2+a2(a+a1)22927,aa1再由,能求出结果()利用对数性质、运算法则、换底公式直接求解【解答】解:()a+a13,a2+a2(a+a1)22927,aa1,当aa1时,当aa1时,()1【点评】本题考查指数式、对数式化简求值,考查指数、对数的性质及运算法则等基础知识,考查运算求解能力,是基础题16(14分)记集合,集合Ny|yx22x+m(1)若m3,求MN;(2)若MNM,求实数m的取值范围【分析】(1)将m3代入求出集合M,N,进而可得MN;(2)若MNM,可得MN,结合M1,3,Nm1,+),可得答案【解答】

19、解:(1)集合1,3,又集合Ny|yx22x+m,yx22x+m(x1)2+m1,Ny|m1ym1,+),当m3时,Ny|2y2,+),MN1,+),(2)MNM,可得MN,由(1)知M1,3,Nm1,+),所以m2【点评】本题考查的知识点是集合的包含关系判断与应用,集合的运算,难度不大,属于基础题17(14分)某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出,平均每天能售岀8台,为了配合国家“家电下乡”政策的实施,商场决定采取适当的降价措施调查表明:这种冰箱的售价每降低50元,平均每天就能多售出4台(1)假设每台冰箱降价x元,商场每天销售这种冰箱的利润是y元,请写出y与x之间的函数表达式;(不

20、要求写自变量的取值范围)(2)商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元,同时又要使百姓得到实惠,每台冰箱应降价多少元?(3)每台冰箱降价多少元时,商场每天销售这种冰箱的利润最高?最高利润是多少?【分析】(1)根据题意易求y与x之间的函数表达式(2)已知函数解析式,设y4800可从实际得x的值(3)利用x150,然后可求出y的最大值【解答】解:(1)y(24002000x)(8+0.08x)(400x)(8+0.08x)0.08x2+24x+3200(2)当y4800时,0.08x2+24x+32004800,解这个方程得x1100,x2200若要使老百姓获得更多实惠,则x1100不符合题意,

21、舍去答:若要使老百姓获得更多实惠,每台冰箱应降价200元(3)由y0.08x2+24x+3200,当x150时,y最大,最大为0.081502+241505000答:每台冰箱降价150元时,商场每天销售这种冰箱的利润最高,最高利润是5000元【点评】本题考查了二次函数的综合知识,求二次函数的最大(小)值有三种方法,第一种可由图象直接得出,第二种是配方法,第三种是公式法,常用的是后两种方法借助二次函数解决实际问题18(16分)已知函数f(x)(1)求f(x)的定义域、值域及单调区间;(2)判断并证明函数g(x)xf(x)在区间(0,1)上的单调性【分析】(1)分母不为0可求得定义域,f(x)变成

22、2+后,利用0可求得值域,利用反比例函数的单调性可求得单调区间;(2)利用导函数的符号证明单调性【解答】解:(1)由x10,得x1,所以f(x)的定义域为(,1)(1,+),由f(x)2+2,得f(x)的值域为(,2)(2,+),f(x)的单调递减区间为(,1)和(1,+)(2)g(x)在(0,1)上是减函数,证明如下:g(x)xf(x),g(x),x(0,1),g(x)0,g(x)在(0,1)上是减函数方法二:任设0x1x21,g(x1)g(x2)0x1x21,x1x20,x110,x210,x1(x21),x20,x1(x21)x20,g(x1)g(x2)0,g(x1)g(x2),函数g(

23、x)xf(x)在区间(0,1)上是递减函数【点评】本题考查了函数的单调性及单调区间,属中档题19(16分)已知二次函数f(x)满足f(2+x)f(2x),其图象开口向上,顶点为A,与x轴交于点B(1,0)利C点,且ABC的面积为18(1)求此二次函数的解析式;(2)若方程f(x)m(x1)在区间0,1有解,求实数m的取值范围【分析】(1)根据二次函数的对称轴为x2,得b4a,开口向上得a0,根据B(1,0)得C(5,0),根据SABC18得a,从而可得f(x)(x24x5);(2)转化为g(x)2x2(3m+8)x+3m10在0,1内有零点,利用二次函数的图象列式可求得:m【解答】解:(1)二

24、次函数f(x)ax2+bx+c满足f(2+x)f(2x),函数的对称轴x即b4a,图象开口向上,a0,f(1)0,c5af(x)a(x24x50),A(2,9a)图象与x轴交于点B(1,0),根据对称性可知C(5,0),BC6,ABC的面积为S6|9a|18a,f(x)(x24x5);(2)f(x)(x24x5)m(x1)在区间0,1有解,即2x2(3m+8)x+3m100在区间0,1上有解,(3m+8)28(3m10)9m2+24m+1440恒成立,g(x)2x2(3m+8)x+3m10有两个零点,又g(x)在0,1上有零点,g(0)g(1)0或,m或m,综上所述:实数m的取值范围时,+)【

25、点评】本题主要考查二次函数的对称轴,顶点与轴的交点和平面图形,函数的零点,二次方程实根的分布,属中档题20(16分)已知aR,函数f(x)log2(+a)(1)当a5时,解不等式f(x)0;(2)若关于x的方程f(x)log2(a4)x+2a50的解集中恰好有一个元素,求a的取值范围(3)设a0,若对任意t,1,函数f(x)在区间t,t+1上的最大值与最小值的差不超过1,求a的取值范围【分析】(1)当a5时,解导数不等式即可(2)根据对数的运算法则进行化简,转化为一元二次方程,讨论a的取值范围进行求解即可(3)根据条件得到f(t)f(t+1)1,恒成立,利用换元法进行转化,结合对勾函数的单调性

26、进行求解即可【解答】解:(1)当a5时,f(x)log2(+5),由f(x)0;得log2(+5)0,即+51,则4,则+40,即x0或x,即不等式的解集为x|x0或x(2)由f(x)log2(a4)x+2a50得log2(+a)log2(a4)x+2a50即log2(+a)log2(a4)x+2a5,即+a(a4)x+2a50,则(a4)x2+(a5)x10,即(x+1)(a4)x10,当a4时,方程的解为x1,代入,成立当a3时,方程的解为x1,代入,成立当a4且a3时,方程的解为x1或x,若x1是方程的解,则+aa10,即a1,若x是方程的解,则+a2a40,即a2,则要使方程有且仅有一个解,则1a2综上,若方程f(x)log2(a4)x+2a50的解集中恰好有一个元素,则a的取值范围是1a2,或a3或a4(3)函数f(x)在区间t,t+1上单调递减,由题意得f(t)f(t+1)1,即log2(+a)log2(+a)1,即+a2(+a),即a设1tr,则0r,当r0时,0,当0r时,yr+在(0,)上递减,r+,实数a的取值范围是a【点评】本题主要考查函数最值的求解,以及对数不等式的应用,利用换元法结合对勾函数的单调性是解决本题的关键综合性较强,难度较大

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