1、2018-2019学年江苏省苏州市高一（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上）1（5分）已知集合A1，2，5，B2，3，则AB 2（5分）函数f（x）log0.2（4x）的定义域为 3（5分）若角的终边经过点P（1，2），则tan 4（5分）已知向量（3，5），（4，1），则向量的坐标为 5（5分）已知cos，且是第四象限角，则cos（+）的值是 6（5分）下列函数中，定义域是R且在定义域上为减函数的是 yex；yx；ylnx；y|x|7（5分）已知函数f（x），若f（x）3，则x 8（5分）已知函数f（x）3
2、x+x5的零点在区间（n，n+1）内，则整数n 9（5分）计算： 10（5分）把函数ysinx的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上的所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），则得到的图象的函数解析式为 11（5分）某次帆船比赛LOGO（如图1）的设计方案如下：在RtABO中挖去以点O为圆心，OB为半径的扇形BOC（如图2），使得扇形BOC的面积是RtABO面积的一半设AOB（rad），则的值为 12（5分）如图，在长方形ABCD中，M，N分别为线段BC，CD的中点，若，1，2R，则1+2的值为 13（5分）如图，在矩形纸片ABCD中，AB6cm，AD10cm，沿着过C点的直线将矩形右下角折
3、起，使得右下角顶点B落在矩形的左边AD上设折痕所在的直线与AB交于M点，记翻折角BCM为，则tan的值是 14（5分）已知函数，设函数g（x）f（x）f（x）+k（kR），若函数g（x）在R上恰有两个不同的零点，则k的值为 二、解答题（本大题共6小题，共计90分请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15（14分）设全集UR，已知集合A1，2，Bx|0x3，集合C为不等式组的解集（1）写出集合A的所有子集；（2）求UB和BC16（14分）设向量（cosx，1），（，4sinx）（1）若，求tanx的值；（2）若（+），且x0，求向量的模17（14分）已知函数f（x）是
4、定义在R上的偶函数，当x0时，f（x）log2（1x）（1）当x0时，求函数f（x）的表达式；（2）记集合Mx|f（x）log2（|x1|+1），求集合M18（16分）某校高一数学研究小组测量学校的一座教学楼AB的高度已知测角仪器距离地面的高度为h米，现有两种测量方法：方法I（如图1）用测角仪器，对准教学楼的顶部A，计算并记录仰角（rad）；后退a米，重复中的操作，计算并记录仰角（rad）方法II（如图2）用测角仪器，对准教学楼的顶部A底部B，测出教学楼的视角ACB（rad），测试点与教学楼的水平距离b米请你回答下列问题：（1）用数据，a，h表示出教学楼AB的高度；（2）按照方法II，用数据，
5、b，h表示出教学楼AB的高度19（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（3，4），B（5，12）（1）求的值；（2）若AOB的平分线交线段AB于点D，求点D的坐标；（3）在单位圆上是否存在点C，使得64？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由20（16分）定义：若对定义域内任意x，都有f（x+a）f（x）（a为正常数），则称函数f（x）为“a距”增函数（1）若f（x）2xx，x（0，+），试判断f（x）是否为“1距”增函数，并说明理由；（2）若，xR是“a距”增函数，求a的取值范围；（3）若，x（1，+），其中kR，且为“2距”增函数，求f（x）的最小值2018-2019学年江苏
6、省苏州市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上）1（5分）已知集合A1，2，5，B2，3，则AB2【分析】利用交集定义直接求解【解答】解：集合A1，2，5，B2，3，AB2故答案为：2【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题2（5分）函数f（x）log0.2（4x）的定义域为（，4）【分析】可看出，要使得函数f（x）有意义，则需满足4x0，解出x的范围即可【解答】解：要使函数f（x）有意义，则：4x0；x4；f（x）的定义域为：（，4）故答案为：（，4
7、）【点评】考查函数定义域的概念及求法，对数的真数大于03（5分）若角的终边经过点P（1，2），则tan2【分析】由三角函数的定义，tan，求出值即可【解答】解：角的终边经过点P（1，2），tan故答案为：2【点评】本题考查三角函数的定义tan，利用公式求值题4（5分）已知向量（3，5），（4，1），则向量的坐标为（1，4）【分析】进行向量坐标的减法运算即可【解答】解：（1，4）故答案为：（1，4）【点评】考查向量减法的几何意义，以及向量坐标的减法运算5（5分）已知cos，且是第四象限角，则cos（+）的值是【分析】根据sin的值和是第四象限的角，利用同角三角函数间的基本关系求出sin的值，然后
8、把原式利用诱导公式化简后代入即可求出【解答】解：cos，且是第四象限角，所以sin，则cos（+）sin故答案为：【点评】此题是一道基础题，要求学生掌握象限角的定义，利用运用同角三角函数间的基本关系、及诱导公式化简求值6（5分）下列函数中，定义域是R且在定义域上为减函数的是yex；yx；ylnx；y|x|【分析】判断每个函数的定义域和单调性即可【解答】解：yex在R上是减函数，yx在R上是增函数，ylnx的定义域不是R，y|x|在R上没有单调性；定义域是R且在定义域上为减函数的是故答案为：【点评】考查指数函数、一次函数的单调性，以及对数函数的定义域7（5分）已知函数f（x），若f（x）3，则x
9、【分析】当x1时，f（x）x+23；当1x2时，f（x）x23；当x2时，f（x）2x3，由此能求出结果【解答】解：函数f（x），f（x）3，当x1时，f（x）x+23，解得x1，不合题意；当1x2时，f（x）x23，解得x（舍负），当x2时，f（x）2x3，解得x，不舍题意综上，x故答案为：【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题8（5分）已知函数f（x）3x+x5的零点在区间（n，n+1）内，则整数n1【分析】先设出对应函数，把方程的根转化为对应函数的零点，再计算区间端点值，看何时一正一负即可求出结论【解答】解：方程3x+x50的
10、解就是函数f（x）3x+x5的零点，可知f（x）3x+x5在R上单调递增，又f（1）3+150，f（2）9+350，f（1）f（2）0，又f（x）在R上连续，根据零点存在定理，f（x）在（1，2）上有零点，故n1，故答案为1【点评】本题考查用二分法求区间根的问题以及函数思想和方程思想的应用，属于基础题9（5分）计算：7【分析】利用换底公式换底，并进行对数的运算即可【解答】解：原式故答案为：7【点评】考查对数的运算，以及对数的换底公式10（5分）把函数ysinx的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上的所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），则得到的图象的函数解析式为ysin（2x）【分析】先
11、根据左加右减进行左右平移，然后根据横坐标伸长到原来的倍时，x的系数变为原来的2倍进行横向变换从而可得函数解析式【解答】解：由题意，将函数ysinx的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，利用左加右减，可得所函数图象的解析式为ysin（x），再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），利用x的系数变为原来的2倍进行横向变换，可得图象的函数解析式是ysin（2x）故答案为：ysin（2x）【点评】本题的考点是利用图象变换得函数解析式，主要考查三角函数的平移变换，周期变换关键是利用平移的原则是左加右减、上加下减11（5分）某次帆船比赛LOGO（如图1）的设计方案如下：在RtABO中挖去以点O为
12、圆心，OB为半径的扇形BOC（如图2），使得扇形BOC的面积是RtABO面积的一半设AOB（rad），则的值为【分析】圆的半径为r，AOB，根据三角函数的定义可得ABrtan，求出三角形面积和扇形的面积，即可求出【解答】解：设圆的半径为r，AOB，tan，ABrtan，SOABABOBr2tanS扇形r（r）r2，扇形BOC的面积是RtABO面积的一半，2r2r2tan，故答案为：【点评】本题考查了解三角形的有关问题，扇形的面积公式，属于基础题12（5分）如图，在长方形ABCD中，M，N分别为线段BC，CD的中点，若，1，2R，则1+2的值为【分析】运用平面向量基本定理可解决此问题【解答】解：
13、根据题意得，（）+；+1+21（）+2（）（12）+（+2）12+2解得1； 21+2故答案为【点评】本题考查平面向量基本定理的简单应用13（5分）如图，在矩形纸片ABCD中，AB6cm，AD10cm，沿着过C点的直线将矩形右下角折起，使得右下角顶点B落在矩形的左边AD上设折痕所在的直线与AB交于M点，记翻折角BCM为，则tan的值是【分析】直接利用解三角形知识的应用和勾股定理的应用求出结果【解答】解：根据矩形纸片ABCD，如图所示：设MBx，BCCE10，CD6利用勾股定理：DE2EC2DC2解得：DE8，所以：AE2，AM6x，进一步利用勾股定理：AM2+AE2EM2，整理：22+（6x）
14、2x2，解得：x，故：tan故答案为：【点评】本题考查的知识要点：解三角形知识的应用，勾股定理的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型14（5分）已知函数，设函数g（x）f（x）f（x）+k（kR），若函数g（x）在R上恰有两个不同的零点，则k的值为【分析】求得x0，x0，x0，yf（x）f（x）的解析式，并作出图象，由题意可得f（x）f（x）k有两个不等实根，通过图象观察即可得到所求k的值【解答】解：函数，当x0时，f（0）1，f（x）f（x）0；当x0时，x0，f（x）f（x）x+1（x1）2xx2；当x0时，x0，f（x）f（x）（x1）2（x+1）x2+x；作出函数yf（
15、x）f（x）的图象，由函数g（x）在R上恰有两个不同的零点，可得f（x）f（x）k有两个不等实根由图象可得k，即有k时，两图象有两个交点，故答案为：【点评】本题考查函数方程的转化思想和数形结合思想方法，考查分类讨论思想方法和化简能力，属于中档题二、解答题（本大题共6小题，共计90分请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15（14分）设全集UR，已知集合A1，2，Bx|0x3，集合C为不等式组的解集（1）写出集合A的所有子集；（2）求UB和BC【分析】（1）容易得出集合B的所有子集为：，1，2，1，2；（2）可求出集合C，然后进行补集和并集的运算即可【解答】解：（1）
16、A的所有子集为：，1，2，1，2；（2）Cx|1x2，UBx|x0，或x3；BCx|1x3【点评】考查描述法、列举法的定义，子集的定义，以及并集和补集的定义16（14分）设向量（cosx，1），（，4sinx）（1）若，求tanx的值；（2）若（+），且x0，求向量的模【分析】（1）根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出，从而可求出tanx的值；（2）可求出，根据即可得出，从而可得出sin2x，根据x的范围即可得出，这样即可求出的坐标，从而求出【解答】解：（1）；（2）；【点评】考查向量垂直的充要条件，向量坐标的数量积运行，以及向量平行时的坐标关系，二倍角的正弦公式17（14分）已知函数f
17、（x）是定义在R上的偶函数，当x0时，f（x）log2（1x）（1）当x0时，求函数f（x）的表达式；（2）记集合Mx|f（x）log2（|x1|+1），求集合M【分析】（1）根据f（x）是R上的偶函数，并且当x0时，f（x）log2（1x）即可设x0，从而求出f（x）log2（1+x）f（x），从而可得出f（x）的解析式；（2）根据f（x）log2（|x1|+1），可讨论x0和x0：x0时，|x1|+12x，从而可得出log2（1x）log2（2x），显然这种情况不存在；x0时，可得出log2（1+x）log2（|1x|+1），从而得出x|1x|两边平方即可求出x值，从而得出集合M【解答】解
18、：（1）f（x）是R上的偶函数，且x0时，f（x）log2（1x）；设x0，x0，则：f（x）log2（1+x）f（x）；（2）f（x）log2（|x1|+1）；当x0时，|x1|+11x+12x；log2（1x）log（2x）；1x2x，显然x；当x0时，log2（1+x）log2（|x1|+1）；1+x|x1|+1；x|x1|；x2x22x+1；解得x；综上得，【点评】考查偶函数的定义，偶函数在对称区间上的解析式的求法，以及对数函数的单调性18（16分）某校高一数学研究小组测量学校的一座教学楼AB的高度已知测角仪器距离地面的高度为h米，现有两种测量方法：方法I（如图1）用测角仪器，对准教学
19、楼的顶部A，计算并记录仰角（rad）；后退a米，重复中的操作，计算并记录仰角（rad）方法II（如图2）用测角仪器，对准教学楼的顶部A底部B，测出教学楼的视角ACB（rad），测试点与教学楼的水平距离b米请你回答下列问题：（1）用数据，a，h表示出教学楼AB的高度；（2）按照方法II，用数据，b，h表示出教学楼AB的高度【分析】（1）由题意可求CE，DE，根据DECEa，可得，可求AE，即可求得教学楼AB的高度（2）过C作CEAB，垂足为E，则tanBCE，根据tanACEtan（ACBBCE），ACB，利用两角差的正切函数公式可求tanACE，进而求得AEb，即可求得教学楼AB的高度【解答】
20、解：（1）由题意可知，tan，tan，所以，CE，DE，因为，DECEa，所以，AE，所以教学楼AB的高度为：AE+h+h（2）过C作CEAB，垂足为E，则tanBCE，所以tanACEtan（ACBBCE），因为ACB，所以tanACEtan（ACBBCE），所以，AECEtanACEb，所以教学楼AB的高度为b+h【点评】本题考查的是解三角形的应用仰角俯角问题，考查了三角函数相关计算，考查了数形结合思想和转化思想的应用，属于中档题19（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（3，4），B（5，12）（1）求的值；（2）若AOB的平分线交线段AB于点D，求点D的坐标；（3）在单位圆上是否
21、存在点C，使得64？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）由数量积的坐标运算直接求得；（2）由点D在直线AB上，得，得4ab8，再由AODBOD得ab，可得点D的坐标；（3）假设存在点C（cos，sin）满足条件，由64得cos2sin，又sin2+cos21可得点C的坐标【解答】解：（1）（3，4），（5，12）35+41263；（2）设点D（a，b），则（a3，b4），（2，8），点D在直线AB上，8（a3）2（b4），4ab8，再设AODBOD，coscos13（3a+4b）5（5a+12b），ab，由得a，b，D（，）；（3）假设单位圆上是存在点C（cos，sin
22、）满足条件，（3cos，4sin）（5cos，12sin）sin2+cos28cos16sin+63648（cos+2sin）cos+2sin0，cos2sin，又sin2+cos21，sin2，或单位圆上存在点C（，）或C（，）满足题意【点评】本题考查了向量数量积的坐标运算，考查了推理能力与计算能力，属于中档题20（16分）定义：若对定义域内任意x，都有f（x+a）f（x）（a为正常数），则称函数f（x）为“a距”增函数（1）若f（x）2xx，x（0，+），试判断f（x）是否为“1距”增函数，并说明理由；（2）若，xR是“a距”增函数，求a的取值范围；（3）若，x（1，+），其中kR，且为“
23、2距”增函数，求f（x）的最小值【分析】（1）根据新定义，作差证明即可，（2）根据新定义可得3x2+3xa+a20恒成立，再根据二次函数的性质即可求出a的范围，（3）根据复合函数的单调性，只要求出（x+2）2+k（x+2）x2+k|x|，函数的最小值，分类讨论，即可求出【解答】解：（1）对任意的x（0，+），f（x+1）f（x）（2x+1x1）（2xx）2x1，x0，212x10，f（x+1）f（x）0，故f（x）是“1距”增函数；（2）f（x+a）f（x）（x+a）3（x+a）+4x3+x43x2a+3xa2+a3a，又f（x）为“a距”增函数，3x2a+3xa2+a3a0恒成立，a0，3x
24、2+3xa+a20恒成立，9a212（a2）0，a21a1；（3）f（x）2x2+k|x|，x（1，+），其中kR，且为“2距”增函数，当x1时，f（x+2）f（x）恒成立，y2x增函数，（x+2）2+k（x+2）x2+k|x|当x0时，（x+2）2+k（x+2）x2+kx，即4x+2+2k恒成立，4+2k0，解得k2，当1x0时，（x+2）2+k（x+2）x2kx，即4x+4+2kx+2k恒成立，（x+1）（k+2）0，解得k2，综上所述k2，又yx2+k|x|（|x|+）2，x1，|x|0，当k0时，|x|0，则y（|x|+）2的最小值为0，即函数f（x）的最小值为1，当2k0时，即|x|，函数y（|x|+）2的最小值，函数f（x）的最小值为，综上所述f（x）min【点评】本题考查了抽象函数，考查了推理能力与计算能力，属于难题
