1、2018-2019学年浙江省宁波市镇海中学高一（上）期末数学试卷一、选择题，本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知点P（sin，cos）在第二象限，则角的终边所在的象限为（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2（5分）对于向量，和实数，下列命题中正确的是（）A若，则或B若，则0或C若，则或D若，则3（5分）已知向量，若，则实数为（）A2B1C1D24（5分）函数f（x）sinx+acosx的图象关于直线对称，则实数a的值是（）AB2CD5（5分）将yf（x）的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，然后将图象向右平
2、移个单位，所得图象恰与重合，则f（x）（）ABCD6（5分）已知函数f（x）（1cos2x）cos2x，xR，则f（x）是（）A最小正周期为的奇函数B最小正周期为的奇函数C最小正周期为的偶函数D最小正周期为的偶函数7（5分）若向量，且，则的值是（）A1BCD18（5分）已知tan，tan是方程lg（3x2x2）0的两个实数根，则tan（+）（）A2BCD9（5分）已知单位向量的夹角为60，若向量满足，则的最大值为（）ABCD10（5分）有下列叙述，函数ytanx的对称中心是（k，0）；若函数f（x）2sin（x+）（0，0）对于任意xR都有成立，则；函数f（x）xsinx在R上有且只有一个零点
3、；已知定义在R上的函数，当且仅当（kZ）时，f（x）0成立则其中正确的叙述有（）A1个B2个C3个D4个二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11（6分）的值为 ；sin10sin70+cos10sin20的值为 12（6分）已知扇形的周长为2，当它的半径为 时，扇形面积最大，这个最大值为 13（6分）已知，若，则实数的值是 ；若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 14（6分）设，是单位向量，且，的夹角为，若，则 ；在方向上的投影为 15（4分）已知为
4、角的终边上的一点，且，则实数a的值为 16（4分）若函数f（x）3cos2x4sinx+2a+1在0，）内有两个不同的零点，则实数a的取值范围是 17（4分）已知O为ABC的外心，若（，R），则+的取值范围是 三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18（14分）已知，（）求与的夹角；（）当x为何值时，与垂直？19（4分）已知函数（）求函数f（x）的最小正周期；（）求函数f（x）在0，的单调递增区间20（14分）设，（0，），且，（）求cos的值；（）求cos的值21（16分）已知和的夹角为，且满足，（）求所有满足
5、条件的所组成的集合A；（）设函数，g（x）sinx+cosxsinxcosx，对于集合A中的任意一个x1，在集合A中总存在着一个x2，使得f（x1）g（x2）+a成立，求实数a的取值范围22（16分）已知实数0，若向量满足，且（）若，求；（）若在上为增函数（1）求实数的取值范围；（2）若对满足题意的恒成立，求x的取值范围2018-2019学年浙江省宁波市镇海中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题，本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知点P（sin，cos）在第二象限，则角的终边所在的象限为（）A第一象限B第二象
6、限C第三象限D第四象限【分析】由题意利用角在各个象限中的符号，得出结论【解答】解：已知点P（sin，cos）在第二象限，sin0，cos0，则角的终边所在的象限为第四象限，故选：D【点评】本题主要考查角在各个象限中的符号，属于基础题2（5分）对于向量，和实数，下列命题中正确的是（）A若，则或B若，则0或C若，则或D若，则【分析】由向量垂直的条件：数量积为0，可判断A；由向量数乘的定义可判断B；由向量的平方即为模的平方，可判断C；向量的数量积不满足消去律，可判断D【解答】解：若，则或或，故A错误；若，则0或，故B正确；若，则|，不能得到或，故C错误；若，则（）0，不一定得到，可能（），故D错误故
7、选：B【点评】本题考查向量数量积的定义和性质，考查判断能力和推理能力，属于基础题3（5分）已知向量，若，则实数为（）A2B1C1D2【分析】根据即可得出，进行数量积的运算即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出【解答】解：；（+1，2）（2，2）2（+1）+40；解得1故选：C【点评】考查向量的数量积运算，以及向量坐标的数量积运算4（5分）函数f（x）sinx+acosx的图象关于直线对称，则实数a的值是（）AB2CD【分析】利用辅助角公式化简函数为一个角的一个三角函数的形式，通过x，函数取得最值，求出a的值即可【解答】解：ysinx+acosxsin（x+），在对称轴x处取得最大值或最小值，s
8、in，解可得，a故选：D【点评】本题是中档题，考查三角函数辅助角公式的应用，注意函数的对称轴就是函数取得最值，考查计算能力5（5分）将yf（x）的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，然后将图象向右平移个单位，所得图象恰与重合，则f（x）（）ABCD【分析】直接利用逆向思维，对函数的关系式进行平移变换和伸缩变换的应用求出函数的关系式【解答】解：采用逆向思维：首先对函数ysin（x+）向左平移个单位，得到：ysin（x+）sin（x+）的图象，进一步把图象上所有的点的横坐标缩短为原来的，纵标不变，故：ysin（2x+）故选：A【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，三角函
9、数图象的伸缩变换和平移变换的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型6（5分）已知函数f（x）（1cos2x）cos2x，xR，则f（x）是（）A最小正周期为的奇函数B最小正周期为的奇函数C最小正周期为的偶函数D最小正周期为的偶函数【分析】利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为 ，由此可得函数的奇偶性和最小正周期【解答】解：函数f（x）（1cos2x）cos2x2sin2xcos2xsin22x，故函数为偶函数，且最小正周期为 ，故选：C【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，复合三角函数的奇偶性，三角函数的周期性和求法，属于中档题7（5分）若向量，
10、且，则的值是（）A1BCD1【分析】由两角和的正切公式得，所以：tan2，由数量积公式及构造齐次式得sin2+（sin1）（sin+1）sin2cos2，代入可求解【解答】解：由，求得，所以：tan2，sin2+（sin1）（sin+1）sin2cos2，故选：B【点评】本题考查了平面向量数量积的性质及运算、构造齐次式求解，属简单题8（5分）已知tan，tan是方程lg（3x2x2）0的两个实数根，则tan（+）（）A2BCD【分析】直接利用对数关系式的变换，进一步利用一元二次方程根和系数关系的应用和三角函数关系式的恒等变变换求出结果【解答】解：已知tan，tan是方程lg（3x2x2）0的两
11、个实数根，即：已知tan，tan是方程3x2x30的两个实数根，所以：，tantan1，则：故选：C【点评】本题考查的知识要点：一元二次方程根和系数关系的应用，三角函数关系式的恒等变变换，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型9（5分）已知单位向量的夹角为60，若向量满足，则的最大值为（）ABCD【分析】由题意设单位向量（1，0），（cos60，sin60），（x，y）；由求出x、y的关系式，利用数形结合求出的最大值【解答】解：由题意，设单位向量（1，0），（cos60，sin60）（，），且（x，y）；则2+3（3x，3y），由，3，化简得x2+1，它表示圆心为C（0，），半径为1的
12、圆，如图所示；由图形知，的最大值为1+故选：A【点评】本题考查了平面向量的模长公式应用问题，也考查了数形结合应用思想，是中档题10（5分）有下列叙述，函数ytanx的对称中心是（k，0）；若函数f（x）2sin（x+）（0，0）对于任意xR都有成立，则；函数f（x）xsinx在R上有且只有一个零点；已知定义在R上的函数，当且仅当（kZ）时，f（x）0成立则其中正确的叙述有（）A1个B2个C3个D4个【分析】由正切函数的对称性可判断；由正弦函数的对称轴可判断；由f（x）的导数判断单调性，结合零点存在定理可判断；由正弦函数和余弦函数的图象和性质，可判断【解答】解：，函数ytanx的对称中心是（，0
13、），kZ，故错误；，若函数f（x）2sin（x+）（0，0）对于任意xR都有成立，可得f（x）的图象关于直线x对称，可得f（）2，故错误；，函数f（x）xsinx的导数为f（x）1cosx0，可得f（x）在R上递增，又f（0）0，即f（x）在R上有且只有一个零点0，故正确；，已知定义在R上的函数，当sinxcosx，即2kx2k+，kZ时，f（x）sinx；当sinxcosx，即2kx2k+，kZ时，f（x）cosx；当2kx2k+和2kx2k，2k+x2k+时，f（x）0，当且仅当（kZ）时，f（x）0成立故正确故选：B【点评】本题考查三角函数的图象和性质，主要是对称性和函数的零点个数、以及
14、函数值的符号，考查化简变形能力和推理能力，属于中档题二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11（6分）的值为；sin10sin70+cos10sin20的值为【分析】直接利用诱导公式及两角和的正弦化简求值【解答】解：sin（）sin；sin10sin70+cos10sin20sin10cos20+cos10sin20sin30故答案为：；【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式及两角和的正弦，是基础题12（6分）已知扇形的周长为2，当它的半径为时，扇形面积最大，这个最大值为【分析】设扇形的半径与中心角分别为r，则2r+r2，可得代入S扇形，利用基本不等式
15、的性质即可得出【解答】解：设扇形的半径与中心角分别为r，则2r+r2，可得可得S扇形r（1r）当且仅当r时取等号故答案为：，【点评】本题考查了弧长公式、扇形面积计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题13（6分）已知，若，则实数的值是3或1；若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是【分析】根据即可得出3（+2）0，解出3，或1；若与的夹角为锐角，则，并且不同向，从而得出3+20，并且1，解出的范围即可【解答】解：；3（+2）0；解得3，或1；与的夹角为锐角；，且，不同向；3+20；，且1；的取值范围为故答案为：3或1，【点评】考查向量坐标的概念，向量平行时的坐标关系，向量数
16、量积的计算公式14（6分）设，是单位向量，且，的夹角为，若，则；在方向上的投影为【分析】根据平面向量数量积的定义可求出与，并计算出平面向量的模，然后代数可求出在方向上的投影【解答】解：由平面向量数量积的定义可得，则，所以，在方向上的投影为，故答案为：；【点评】本题考查平面向量数量积的定义，考查计算能力与推理能力，属于中等题15（4分）已知为角的终边上的一点，且，则实数a的值为1【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得a的值【解答】解：已知为角的终边上的一点，且，则实数a1，故答案为：1【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题16（4分）若函数f（x）3cos2x4sinx+
17、2a+1在0，）内有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（0，1）【分析】把函数f（x）3cos2x4sinx+2a+1在0，）内有两个不同的零点，转化为a3sin2x+2sinx+1在0，）内有两个不同的根，换元后求出函数的值域，结合正弦函数的取值得答案【解答】解：函数f（x）3cos2x4sinx+2a+1在0，）内有两个不同的零点，即方程3cos2x4sinx+2a+10在0，）内有两个不同的根，也就是a3sin2x+2sinx+1在0，）内有两个不同的根，令tsinx，t0，1），g（t）3t2+2t+1（0t1）的值域为（0，且g（0）1a（0，1）故答案为：（0，1）【点评】本题考
18、查三角函数的化简求值，考查函数零点的判定，是中档题17（4分）已知O为ABC的外心，若（，R），则+的取值范围是2，1）【分析】由平面向量的运算：不妨设A（1，0），B（，），C（cos，sin） 则（0，），因为（，R），由向量相等的充要条件可得：，即，由三角函数的辅助角公式+cos2cos（x+），又（0，），所以x+，所以2cos（x+）2，1），故+2，1），【解答】解；不妨设A（1，0），B（，），C（cos，sin） 则（0，），则（1，0），（，），（cos，sin），因为（，R），由向量相等的充要条件可得：，即，即+cos2cos（x+），又（0，），所
19、以x+，所以2cos（x+）2，1），故+2，1），故答案为：2，1）【点评】本题考查了平面向量的运算及三角函数的辅助角公式求值域，属难度较大的题型三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18（14分）已知，（）求与的夹角；（）当x为何值时，与垂直？【分析】（）根据即可得出，从而求出，进而可求出，根据的范围即可求出的值；（）由与垂直即可得出，进行数量积的运算即可求出x的值【解答】解：（）；又0；（）与垂直；解得【点评】考查向量数量积的运算，向量夹角的余弦公式，以及向量垂直的充要条件19（4分）已知函数（）求函数f（x）的最小正周期；（）求函数f（x）在0，
20、的单调递增区间【分析】（）利用三角恒等变换化简函数f（x）的解析式，再根据正弦函数的周期性得到f（x）的最小正周期（）利用正弦函数的单调性得到f（x）的增区间【解答】解：（）函数f（x）sin2x+sinxcosx+sin2xsin（2x）+的最小正周期为；（）令2k2x2k+，求得kxk+，故函数的增区间为k，k+，kZ结合x0，可得增区间为0，、，【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性、单调性，属于中档题20（14分）设，（0，），且，（）求cos的值；（）求cos的值【分析】（）直接利用三角函数关系式的恒等变变换和倍角公式求出结果（）利用（）的结论，进一步利用角的恒等变换的应
21、用求出结果【解答】解：（），（0，），所以：，即：cot，所以：，则：（）由于：，且：，故：，且，故：，所以：cos（+），则：coscos（+），cos（+）cos+sin（+）sin，【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，角的恒等变换的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型21（16分）已知和的夹角为，且满足，（）求所有满足条件的所组成的集合A；（）设函数，g（x）sinx+cosxsinxcosx，对于集合A中的任意一个x1，在集合A中总存在着一个x2，使得f（x1）g（x2）+a成立，求实数a的取值范围【分析】（1）由向量的数量积运算得：0|cos6，又
22、，将两式作商即可，（2）由辅助角公式得：函数2sin（2x），因为，所以则f（x）min，设tsinx+cosxsin（x+），则sinxcosx则h（t）+t+（t1）2+1，t，则h（t）min，对于集合A中的任意一个x1，在集合A中总存在着一个x2，使得f（x1）g（x2）+a成立，则f（x）ming（x）min+a，代入求解即可【解答】解：（1）由，得：0|cos6，又，由得：tan，又0，所以，即所有满足条件的所组成的集合为：，故答案为：；（2）函数2sin（2x），因为，所以则f（x）min1，g（x）sinx+cosxsinxcosx，设tsinx+cosxsin（x+），则si
23、nxcosx则h（t）+t+（t1）2+1，t，则h（t）min，即g（x）min，又对于集合A中的任意一个x1，在集合A中总存在着一个x2，使得f（x1）g（x2）+a成立，则f（x）ming（x）min+a，即a，故答案为：（，）【点评】本题考查了向量的数量积运算、辅助角公式、恒成立及有解问题，属难度较大的题型22（16分）已知实数0，若向量满足，且（）若，求；（）若在上为增函数（1）求实数的取值范围；（2）若对满足题意的恒成立，求x的取值范围【分析】（）设（x0，y0），利用向量的坐标运算可得；（）（1）利用二次函数对称轴在区间左边列式解三角不等式可得；（2）利用不等式（1+|2）x22
24、|2x+15，即|2（x22x）+x240对任意0|1恒成立，可得【解答】解：（）设（x0，y0），则（x0+cos，y0+sin），由|2得 （）24，得22+24，得10+|24，得|，（+）0，y0+sin0，y0sin，0，x0cos+y0sin0，x0，|2x02+y023（）2+（sin）23tan，0，或，当时，x0，y0，当时，x0，y0，所以（，）或（，）（1）f（x）|+x（）|x+（1x）|，f（x）在，+）上为增函数，所以对称轴，即|1，设（x0，y0），则（x0+cos，y0+sin），又，且，y0sin，x0，|2x02+y02（）2+sin21，即 sin2cos2，cos2，cos，11，0，（2）由（1）知（1+|2）x22|2x+15，即|2（x22x）+x240对任意0|1恒成立，解得：1x2【点评】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属难题
