1、2018-2019学年浙江省宁波市镇海中学高一（下）期初数学试卷（2月份）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（4分）已知函数f（x），则f（f（1）f（5）的值为A1B2C3D32（4分）已知集合Px|0lgx2lg3，Qx|1，则PQ为（）A（0，2）B（1，9）C（1，4）D（1，2）3（4分）下列函数的周期不为的是（）Ay|sin2x|ByCy（sinxcosx）2Dycosx+cos|x|4（4分）已知（4，3），（5，12）则向量在方向上的投影为（）ABCD5（4分）下列关系正确的是（）Atan20sin1cos8B
2、0cos8sin1tan2Ctan2cos80sin1Dtan20cos8sin16（4分）若非零向量，满足|+|，则（）A|2|2+|B|2|2+|C|2|+2|D|2|+2|7（4分）在ABC中，sinA，cosB，则cosC（）ABCD8（4分）向量，满足|2，当实数t1时，向量和的夹角范围是（）A0，）B）C）D）9（4分）已知函数f（x）sinx+acosx（aR）对任意xR都满足，则函数g（x）sinx+f（x）的最大值为（）A5B3CD10（4分）定义在R上的奇函数f（x）满足，当x（0，2）时，f（x）cos（x1），且x2时，有f（x）（x2），则函数F（x）x2f（x）x在
3、2，5上的零点个数为（）A9B8C7D6二.填空题：本大题共7小题，每题5分，共35分11（5分）函数ysinxcosx的图象可由函数ycosx+sinx的图象至少向左平移 个单位长度得到12（5分）函数f（x）（）的单调递减区间为 13（5分）已知（0，），sin与cos是关于x的一元二次方程13x2+7x+m0的两根，则的值为 14（5分）已知|2，|4，则|+|的范围是 15（5分）在ABC中，AD为BC上的中线，AB1，AD5，ABC45，则sinADC ，AC 16（5分）已知函数f（x）的定义域为R
4、，对任意x1x2，有1，且f（1）1，则不等式f（log2|3x1|）2log2|3x1|的解集为 17（5分）在ABC中，AB4，AC5，BAC，H为ABC内一点，SHAB：SHCB：SHAC2：3：5，则 三、解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤18已知，为锐角，且tan，sin（）求sin（+）；（）求+219已知（2+sinx，1），（2，2），（sinx3，1），（1，k）（xR，kR）（）若，且（），求x的值；（）是否存在实数k和x，使（+）（）？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由20在ABC中，a，b，c
5、分别为角A，B，C的对边，已知0（1）求角A的值；（2）若a2，求三角形周长的取值范围21已知定义在2，2上的偶函数f（x）满足：当x0，2时，（1）求函数f（x）的解析式；（2）设函数g（x）ax2a（a0），若对于任意的x1，x22，2，都有g（x1）f（x2）成立，求实数a的取值范围22已知向量（cosx，cosx），（sinx，cosx），且函数f（x）的两个对称中心之间的最小距离为（1）求f（）；（2）若函数G（x）m+1f（）在0，上恰有两个零点，求实数m的取值范围2018-2019学年浙江省宁波市镇海中学高一（下）期初数学试卷（2月份）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小
6、题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（4分）已知函数f（x），则f（f（1）f（5）的值为A1B2C3D3【分析】推导出f（1）2，f（5）2，由此能求出f（f（1）f（5）【解答】解：函数f（x），f（1）2，f（5）532，f（f（1）f（5）f（0）201，故选：A【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题2（4分）已知集合Px|0lgx2lg3，Qx|1，则PQ为（）A（0，2）B（1，9）C（1，4）D（1，2）【分析】可解出集合P，Q，然后进行交集的运算即可【解答】解：Px|1x9，Qx|0x2；PQ（1
7、，2）故选：D【点评】考查描述法、区间的定义，对数函数的单调性，分式不等式的解法，以及交集的运算3（4分）下列函数的周期不为的是（）Ay|sin2x|ByCy（sinxcosx）2Dycosx+cos|x|【分析】由题意根据三角函数的周期性，得出结论【解答】解：函数y|sin2x|的最小正周期为，满足条件；函数y|tanx|的最小正周期为 ，满足条件；函数y（sinxcosx）21sin2x 的最小正周期为，满足条件；函数ycosx+cos|x|2cosx的最小正周期为2，不满足条件，故选：D【点评】本题主要考查三角函数的周期性，属于基础题4（4分）已知（4，3），（5，12）则向量在方向上的
8、投影为（）ABCD【分析】由向量在方向上的投影为，根据向量数量积的性质的坐标表示代入可求【解答】解：（4，3），（5，12），4531216，则向量在方向上的投影为，故选：C【点评】本题主要考查了向量数量积的性质的坐标表示，属于基础试题5（4分）下列关系正确的是（）Atan20sin1cos8B0cos8sin1tan2Ctan2cos80sin1Dtan20cos8sin1【分析】根据三角函数的图象和函数值的关系，分别判断角2，1，8的象限即可【解答】解：1是第一象限，sin10，2是第二象限，tan20，且tan21，cos8cos（82），82是第二象限，cos8cos（82）0，tan
9、2cos80sin1，故选：C【点评】本题主要考查三角函数值的大小比较，利用条件判断角的象限是解决本题的关键6（4分）若非零向量，满足|+|，则（）A|2|2+|B|2|2+|C|2|+2|D|2|+2|【分析】本题是对向量意义的考查，根据|+|+|进行选择，题目中注意|+2|+|的变化，和题目所给的条件的应用【解答】解：|+2|+|+|+|2|，是非零向量，必有+，上式中等号不成立|2|+2|，故选：C【点评】大小和方向是向量的两个要素，分别是向量的代数特征和几何特征，借助于向量可以实现某些代数问题与几何问题的相互转化7（4分）在ABC中，sinA，cosB，则cosC（）ABCD【分析】由
10、B为三角形的内角，以及cosB的值大于0，可得出B为锐角，由cosB的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinB的值，由sinB的值大于sinA的值，利用正弦定理得到b大于a，根据大角对大边可得B大于A，由B为锐角可得出A为锐角，再sinA，利用同角三角函数间的基本关系求出cosA的值，最后利用诱导公式得到cosCcos（A+B），再利用两角和与差的正弦函数公式化简后，将各自的值代入即可求出值【解答】解：B为三角形的内角，cosB0，B为锐角，sinB，又sinA，sinBsinA，可得A为锐角，cosA，则cosCcos（A+B）cos（A+B）cosAcosB+sinAsinB+故选：A
11、【点评】此题考查了两角和与差的余弦函数公式，诱导公式，同角三角函数间的基本关系，以及正弦定理，熟练掌握定理及公式是解本题的关键8（4分）向量，满足|2，当实数t1时，向量和的夹角范围是（）A0，）B）C）D）【分析】由共线向量得：不妨设（t1），则点C在OB的延长线上运动，由数量积表示两向量的夹角得：向量和的夹角可用OAC表示，由图知：OAC，），得解【解答】解：由|2，得，的夹角为，不妨设，（t1），不妨设（t1），则点C在OB的延长线上运动，向量和的夹角可用OAC表示，由图知：OAC，），故选：B【点评】本题考查了共线向量、数量积表示两向量的夹角，属中档题9（4分）已知函数f（x）sinx
12、+acosx（aR）对任意xR都满足，则函数g（x）sinx+f（x）的最大值为（）A5B3CD【分析】由题意可得f（），求出a1，可得函数g（x）2sinx+cosx，从而得到g（x）的最大值【解答】解：函数f（x）sinx+acosx（aR）对任意xR都满足，f（x）的图象关于直线x对称，f（）+a，解得a1则函数g（x）sinx+f（x）2sinx+cosx 的最大值为，故选：C【点评】本题考查三角函数的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意三角函数性质的合理运用10（4分）定义在R上的奇函数f（x）满足，当x（0，2）时，f（x）cos（x1），且x2时，有f（x）（x2），则
13、函数F（x）x2f（x）x在2，5上的零点个数为（）A9B8C7D6【分析】根据函数奇偶性和递推关系，分别取出f（x）在2，5上解析式和图象，利用数形结合确定两个图象的交点个数即可【解答】解：当x（0，2）时，f（x）cos（x1）cos（x）sin（x），f（x）是奇函数，f（0）0，当x2时，有f（x）（x2），f（2）（0）0，f（4）（2）0，若x（2，0），则x（0，2），则f（x）sin（x）sin（x）f（x），即f（x）sin（x），x（2，0）即当2x2时，f（x）sin（x），当2x4时，0x22，此时f（x）（x2）sin（x2）sin（x）sin（x），当4x5时，2x
14、23，此时f（x）（x2）sin（x2）sin（x）sin（x），由F（x）x2f（x）x0，得：当x0时，由F（0）0，即x0是F（x）的一个零点，当x0时，由x2f（x）x0得xf（x）1，即f（x），作出函数f（x）与g（x）在，2，5上的图象如图：由图象知两个函数在2，5上共有7个交点，加上一个x0，故函数F（x）x2f（x）x在2，5上的零点个数为8个，故选：B【点评】本题主要考查函数与方程的应用，利用函数奇偶性和递推关系求出函数的解析式和图象，利用函数与方程的关系转化为两个函数图象交点个数问题是解决本题的关键综合性较强，运算量较大，有一定的难度二.填空题：本大题共7小题，每题5分，
15、共35分11（5分）函数ysinxcosx的图象可由函数ycosx+sinx的图象至少向左平移个单位长度得到【分析】利用两角和差的三角公式化简函数的解析式，再根据函数yAsin（x+）的图象变换规律，得出结论【解答】解：函数ycosx+sinx2sin（+x），ysinxcosx2sin（x）2sin（x+），故把函数ycosx+sinx的图象至少向左平移个单位，可得ysinxcosx的图象，故答案为：【点评】本题主要考查两角和差的三角公式，函数yAsin（x+）的图象变换规律，属于基础题12（5分）函数f（x）（）的单调递减区间为，+）【分析】先求出函数的定义域，再利用二次函数、指数函数的性
16、质可得，本题即求tx2x1在定义域内的增区间，再根据二次函数的性质可得结论【解答】解：函数f（x）（），x2x10，求得x，或 x，故函数的定义域为x|x，或 x，本题即求tx2x1在定义域内的增区间，再根据二次函数的性质可得tx2x1在定义域内的增区间为，+），故答案为：，+）【点评】本题主要考查复合函数的单调性，二次函数、指数函数的性质，属于中档题13（5分）已知（0，），sin与cos是关于x的一元二次方程13x2+7x+m0的两根，则的值为【分析】由已知结合根与系数的关系求得sin+cos，进一步求得sincos，联立求得sin，cos的值，得到tan的值，则的值可求【解答】解：sin
17、与cos是关于x的一元二次方程13x2+7x+m0的两根，sin，两边平方得：，（0，），sin0，cos0，则sincos联立，解得sin，costan则故答案为：【点评】本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是中档题14（5分）已知|2，|4，则|+|的范围是（4，2【分析】设m，|n，根据|2，|4，可得m2+n2+2mncos4，m2+n22mncos16，利用向量三角形法则、基本不等式的性质即可得出【解答】解：设m，|n，|2，|4，m2+n2+2mncos4，m2+n22mncos16，m2+n210，则4|+|2，|+|的范围是（4，2故答案为：
18、（4，2【点评】本题考查了向量三角形法则、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题15（5分）在ABC中，AD为BC上的中线，AB1，AD5，ABC45，则sinADC，AC【分析】由已知在ABD中，利用正弦定理可得sinADB，进而可求sinADC的值，在ABD中，由余弦定理解得BD，可求BC，由余弦定理可得AC的值【解答】解：AB1，AD5，ABC45，在ABD中，由正弦定理可得：sinADBsinADCsinADB在ABD中，由余弦定理AD2AB2+BD22ABADcosABC，可得：251+BD22，即：BD2BD240，解得：BD4，或3（舍去），BC2BD8，由余弦定
19、理可得：AC，故答案为：，【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和数形结合思想，属于中档题16（5分）已知函数f（x）的定义域为R，对任意x1x2，有1，且f（1）1，则不等式f（log2|3x1|）2log2|3x1|的解集为（，0）（0，1）【分析】根据题意，设g（x）f（x）+x，将1变形可得0，分析可得函数g（x）在R上为增函数，结合f（1）的值可得g（1）的值，则f（log2|3x1|）2log2|3x1|可以转化为g（log2|3x1|）g（1），进而可得log2|3x1|1|3x1|2，解可得x的值，即可得答案【解答】解：根据题意，设g（x
20、）f（x）+x，若函数f（x）满足对任意x1x2，有1，则0，则函数g（x）在R上为增函数，又由f（1）1，则g（1）1+12，f（log2|3x1|）2log2|3x1|f（log2|3x1|）+log2|3x1|2g（log2|3x1|）g（1）log2|3x1|1，则有0|3x1|2，解可得：x1且x0，即不等式的解集为（，0）（0，1）；故答案为：（，0）（0，1）【点评】本题考查函数单调性的判断，关键是构造新函数，并分析函数的单调性，属于综合题17（5分）在ABC中，AB4，AC5，BAC，H为ABC内一点，SHAB：SHCB：SHAC2：3：5，则3【分析】根据题意建立平面直角坐标
21、系，利用数形结合与面积的比求出点H的坐标，再用坐标表示出向量，从而求出平面向量的数量积【解答】解：根据题意建立平面直角坐标系，如图所示；则A（0，0），B（4，0），C（5cos60，5sin60），即C（，）；又SHAB：SHCB：SHAC2：3：5，SHABSABC，作HEAB于E，则H的纵坐标yHE；又SHACSABC，作HFAC于F，则HFABsin60；设HAE，则HAsin，HAsin（60），2，即2，求得tan，点H的横坐标xAE，H（，），（，），（0，2），0+（）23故答案为：3【点评】本题考查了平面向量的数量积与应用问题，也考查了三角形面积计算问题，是难题三、解答题：本
22、大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤18已知，为锐角，且tan，sin（）求sin（+）；（）求+2【分析】（）由题意利用同角三角函数的基本关系求得的正弦、余弦，再求出的余弦，利用两角和的正弦公式求出sin（+）的值（）先求出+2的余弦值，再根据+2的范围，求出+2的值【解答】解：（），为锐角，且tan，sin2+cos21，sin，cossin，cos，求sin（+）sincos+cossin+（）sin22sincos，cos22cos21，2还是锐角，0+2cos（+2）coscos2sinsin2，+2【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和的三角公
23、式，二倍角公式的应用，根据三角函数的值求角，属于中档题19已知（2+sinx，1），（2，2），（sinx3，1），（1，k）（xR，kR）（）若，且（），求x的值；（）是否存在实数k和x，使（+）（）？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由【分析】（I）先根据（2，2），（sinx3，1），求出的坐标，再根据，找到向量坐标满足的关系式，根据x的范围，就可求出x的值（II）先假设存在实数k和x，使（）（），则可得（）（）0，再用向量数量级积的坐标公式计算，若能解出k的值，则存在，否则，不存在【解答】解：（2，2），（sinx3，1），（sinx1，1），（2+sinx）sinx1，（I
24、I）（3+sinx，1+k），（sinx1，1）若（）（），则即（3+sinx）（sinx1）（1+k）0，ksin2x+2sinx4（sinx+1）25，xR，存在k5，1使（）（）【点评】本题考查了向量共线以及向量平行的充要条件，两者不要混淆20在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知0（1）求角A的值；（2）若a2，求三角形周长的取值范围【分析】（1）由正弦定理，余弦定理化简已知等式可求cosA，结合A的范围可求A的值（2）由正弦定理可求csinC，bsinB，设周长为y，利用三角函数恒等变换的应用化简得ysin（B+）+2，可求范围B+，利用正弦函数的性质可求取值范围【解答
25、】（本题满分为12分）解：（1）0，由余弦定理可得：0，由正弦定理可得：+0，整理可得：02sinBcosA+sinCcosA+cosCsinA，02sinBcosA+sinB，sinB0，可得：cosA，A（0，），A（6分）（2）a2，A，csinC，bsinB，（7分）设周长为y，则ya+c+b2+sinB+sinC2+sinB+sin（B）2+2cosB+sinB，（8分）sin（B+）+2，（9分）0B，B+，sin（B+）1，ysin（B+）+2（4，+2周长的取值范围是（4，+2（12分）【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质在解三
26、角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题21已知定义在2，2上的偶函数f（x）满足：当x0，2时，（1）求函数f（x）的解析式；（2）设函数g（x）ax2a（a0），若对于任意的x1，x22，2，都有g（x1）f（x2）成立，求实数a的取值范围【分析】（1）根据题意，设x2，0，则x0，2，由函数的解析式可得f（x）的解析式，进而利用函数奇偶性的性质分析可得f（x）的表达式，综合即可得答案；（2）根据题意，求出函数f（x）的最小值与g（x）的最大值，分析可得f（x）ming（x）max，解即可得答案【解答】解：（1）根据题意，设x2，0，则x0，2，从而，因为f（x）定义x2，2在偶函数，所以
27、因此，（2）因为对任意x1，x22，2，都有g（x1）f（x2）成立，所以g（x）maxf（x）min又因为f（x）是定义在2，2上的偶函数所以f（x）在区间2，0和区间0，2上的值域相同当x2，0时，设，则函数化为，则f（x）min0又g（x）maxg（2）a2所以a20即a2，因此，a的取值范围为0a2【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及函数的恒成立问题，注意将恒成立问题转化为函数的最值问题22已知向量（cosx，cosx），（sinx，cosx），且函数f（x）的两个对称中心之间的最小距离为（1）求f（）；（2）若函数G（x）m+1f（）在0，上恰有两个零点，求实数m的取
28、值范围【分析】（1）根据向量数量积的定义结合辅助角公式进行化简，结合三角函数的对称性质求出的周期和即可（2）求出函数G（x）的解析式，利用参数法，结合三角函数的图象和性质进行求解即可【解答】解：（1）f（x）cosxsinxcos2xsin2x（1+cos2x）sin2xcos2xsin（2x），函数f（x）的两个对称中心之间的最小距离为，得T，即T，得1，即f（x）sin（2x）则f（）sin（2）1，（2）函数G（x）m+1f（）m+1sin（x）0，得msin（x）1，当0x时，x，当x且x时，ysin（x）才有两个交点，此时sin（x）1，则，sin（x），即0sin（x），1sin（x）11，即1m1，即实数m的取值范围是1，1）【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用向量数量积的定义结合辅助角公式进行化简是解决本题的关键运算量较大
