1、2017-2018学年江苏省苏州市常熟市高一（上）期中数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分）.1（5分）设集合A1，2，3，B2，4，则AB 2（5分）函数f（x）+lnx的定义域为 3（5分）已知f（x），则f（f（1） 4（5分）设a0.32，b20.3，clog0.32，则a，b，c三个数从小到大的顺序是 5（5分）已知幂函数yf（x）的图象经过点（2，16），则函数f（x）的解析式是 6（5分）函数f（x）1+ax2（a0，且a1）恒过定点 7（5分）已知函数f（x1）x22x，则f（x） 8（5分）计算：log535+log5log514 9（5分）设函数f（x
2、）lg（2x）向左平移一个单位后所得函数为g（x），则函数g（x）的表达式为g（x） 10（5分）若方程log2x7x的根x0（n，n+1），则整数n 11（5分）函数f（x）是R上的奇函数，且当x0时，f（x）2x，则f（3log23） 12（5分）已知定义在实数集R上的偶函数f（x）在区间0，+）上是单调增函数，若f（lgx）f（1），则实数x的取值范围 13（5分）已知函数f（x）在区间（，+）内是减函数，则a的取值范围是 14（5分）函数f（x），若关于x的方程f2（x）+f（x）+b+10有4个不同的实数根，则实数b的取值范围是 二、解答题：本大题共6小题，共90分解答写出文字说明、
3、证明过程或演算过程15（14分）设UR，Ax|x2|1，Bx|0，Cx|axa+1，a为实数（1）分别求AB，A（UB）；（2）若BCC，求a的取值范围16（14分）已知f（x）为二次函数，且f（x）的两个零点为1和3，g（x）为对数函数，且yf（x）和yg（x）都经过点（2，1）（1）求函数yg（f（x）的定义域；（2）若x2，16，求函数yg（g（x）的值域17（14分）为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒，已知药物释放过程中，室内每立方米空气中含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比已知6分钟后药物释放完毕，药物释放完毕后，y与t的函数关系是为y（），如图所示，根据图中提供的信息
4、，回答下列问题：（1）求从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式；（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.125毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少分钟后，学生才能回到教室？18（16分）已知函数f（x）x2+mx4在区间2，1上的两个端点各取得最大值和最小值（1）求实数m的所有取值组成的集合A；（2）试写出f（x）在区间2，1上的最大值g（m）（3）设h（x）x2+x+7，设F（m），其中BRA，求函数yF（m）的最小值19（16分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数（1）求a的值；（2）判断并证明函数f（x）的单
5、调性，并利用结论解不等式f（）+f（3x2）0；（3）是否存在实数k，使得函数f（x）在m，n上的取值范围是，若存在，求出实数k的取值范围；若不存在，请说明理由20（16分）已知函数f（x）|x2ax|（aR）（1）讨论函数f（x）的奇偶性；（2）设函数g（x）+x，h（x）lnx，若对任意x10，1，总存在x21，e使得g（x1）h（x2），求实数a的取值范围；（3）当a为常数时，若函数yf（x）b在区间0，2上存在两个零点，求实数b的取值范围2017-2018学年江苏省苏州市常熟市高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分）.1（5分）设集合
6、A1，2，3，B2，4，则AB2【分析】由A与B，求出两集合的交集即可【解答】解：A1，2，3，B2，4，AB2，故答案为：2【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2（5分）函数f（x）+lnx的定义域为（0，2【分析】根据函数成立的条件，即可得到结论【解答】解：要使函数f（x）有意义，则，即，解得0x2，即函数的定义域为（0，2，故答案为：（0，2【点评】本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件3（5分）已知f（x），则f（f（1）【分析】先求出f（1）（）12，从而f（f（1）f（2），由此能求出结果【解答】解：f（x），f（1）（）12，f
7、（f（1）f（2）故答案为：【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用4（5分）设a0.32，b20.3，clog0.32，则a，b，c三个数从小到大的顺序是cab【分析】根据指数和对数的性质可得20.3大于1，0.32的范围，以及log20.3小于0，即可比较大小【解答】解：由指数和对数函数的性质得：20.31，log0.320，00.321；三个数的大小顺序为20.30.32log0.32故答案为：c，a，b【点评】本题考查学生灵活运用指数和对数函数的性质及利用中间量比较大小，基本知识的考查5（5分）已知幂函数yf（x）的图象经过点（2，16），则函数
8、f（x）的解析式是f（x）x4【分析】由已知得2a16，解得a4，由此求出f（x）x4【解答】解：幂函数yf（x）xa的图象经过点（2，16），2a16，解得a4，f（x）x4故答案为：f（x）x4【点评】本题考查函数的解析式的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意幂函数的性质的合理运用6（5分）函数f（x）1+ax2（a0，且a1）恒过定点（2，2）【分析】根据指数函数的性质进行求解即可【解答】解：由x20得x2，此时f（2）1+a01+12，即函数过定点（2，2），故答案为：（2，2）【点评】本题主要考查指数函数过定点问题，利用指数幂等于0是解决本题的关键7（5分）已知函数f（x1）x22
9、x，则f（x）x21【分析】利用换元法求解即可【解答】解：函数f（x1）x22x，令x1t，则xt+1那么f（x1）x22x转化为f（t）（t+1）22（t+1）t21所以得f（x）x21故答案为：x21【点评】本题考查了解析式的求法，利用了换元法属于基础题8（5分）计算：log535+log5log5142【分析】利用对数运算性质即可得出【解答】解：原式log22312故答案为：2【点评】本题考查了对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题9（5分）设函数f（x）lg（2x）向左平移一个单位后所得函数为g（x），则函数g（x）的表达式为g（x）lg（2x+2）【分析】根据题意，由函数
10、图象平移变化的规律可得g（x）lg2（x+1）lg（2x+2），即可得答案【解答】解：根据题意，函数f（x）lg（2x）向左平移一个单位后所得函数为g（x），则g（x）lg2（x+1）lg（2x+2），即g（x）lg（2x+2），故答案为：lg（2x+2）【点评】本题考查函数图象的变化，注意图象左右平移，只针对变量x10（5分）若方程log2x7x的根x0（n，n+1），则整数n4【分析】设函数f（x）log2x+x7，则f（x）是（0，+）上的增函数，x0是f（x）的零点，由f（4）f（5）0，可得x0（4，5），从而可求出k的值【解答】解：由于x0是方程log2x7x的根，设f（x）log
11、2x+x7，显然f（x）是（0，+）上的增函数，x0是连续f（x）的零点因为f（4）log24+4710，f（5）log25+570，故x0（4，5），则n4；故答案为：4【点评】本题主要考查了函数的零点的定义，判断函数的零点所在的区间的方法，属于基础题11（5分）函数f（x）是R上的奇函数，且当x0时，f（x）2x，则f（3log23）【分析】根据奇函数的性质，可得f（3log23）f（log233），结合对数的运算性质，可得答案【解答】解：函数f（x）是R上的奇函数，且当x0时，f（x）2x，f（3log23）f（log233），故答案为：【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，熟练掌
12、握函数奇偶性的定义和性质，是解答的关键12（5分）已知定义在实数集R上的偶函数f（x）在区间0，+）上是单调增函数，若f（lgx）f（1），则实数x的取值范围（0，）（10，+）【分析】直接根据偶函数图象关于y轴对称的性质列出不等式，运算求解即为结果【解答】解：根据题意，f（x）是定义在实数集R上的偶函数，且在x0，+）上是单调增函数，则f（1）f（1），结合偶函数的图象，不等式f（lgx）f（1）等价为：|lgx|1，即lgx1或lgx1，解得，x（0，）（10，+），故答案为：（0，）（10，+）【点评】本题主要考查了函数奇偶性与单调性的综合应用，涉及对数函数的图象和性质，对数不等式的解法
13、，属于中档题13（5分）已知函数f（x）在区间（，+）内是减函数，则a的取值范围是【分析】若函数f（x）在区间（，+）内是减函数，则，解得a的取值范围【解答】解：函数f（x）在区间（，+）内是减函数，解得a故答案为：【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的单调性，难度中档14（5分）函数f（x），若关于x的方程f2（x）+f（x）+b+10有4个不同的实数根，则实数b的取值范围是15，5）【分析】先将函数进行换元，转化为一元二次函数问题结合函数f（x）的图象，从而确定b的取值范围【解答】解：令tf（x），则原函数等价为yt2+bt+1+b作出函数f（x）的图象如图，由图象可知当t3，2
14、t1时，函数yt和yf（x）各有两个交点要使方程f2（x）+f（x）+b+10有4个不同的实数根，则方程t2+bt+1+b0有两个根t1，t2，不妨令t1t2，令g（t）t2+bt+1+b，若t13，2t21，则，解得15b5若t13，若t23，则解得b；若2t11，2t21，则，解得b故答案为：15，5）【点评】本题考查复合函数零点的个数问题，以及二次函数根的分布，换元是解决问题的关键，属中档题二、解答题：本大题共6小题，共90分解答写出文字说明、证明过程或演算过程15（14分）设UR，Ax|x2|1，Bx|0，Cx|axa+1，a为实数（1）分别求AB，A（UB）；（2）若BCC，求a的取
15、值范围【分析】（1）先求出A1，3，B（2，4），由此能求出AB，UB，A（UB）（2）由BCC，得CB，由此能求出a的取值范围【解答】解：（1）由|x2|1，得1x21，解得1x3，A1，3，由，得（x2）（x4）0，解得B（2，4），AB（2，3UB（，24，+），A（UB）（，34，+）（2）BCC，CB，Ca，a+1，B（2，3），解得2a3，a的取值范围（2，3）【点评】本题考查交集、补集、并集、实数值的求法，考查交集、补集、并集、子集等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题16（14分）已知f（x）为二次函数，且f（x）的两个零点为1和3，g（x）为对数函数，且y
16、f（x）和yg（x）都经过点（2，1）（1）求函数yg（f（x）的定义域；（2）若x2，16，求函数yg（g（x）的值域【分析】（1）直接根据函数的两根式求出函数的关系式，进一步确定函数的定义域（2）利用（1）的结论，进一步求出函数的值域【解答】解：（1）已知f（x）为二次函数，且f（x）的两个零点为1和3，则：f（x）a（x1）（x3），由于yf（x）经过点（2，1）则：f（2）1，解得：a1，所以：f（x）（x1）（x3）x2+4x3，设：g（x）logmx，yg（x）都经过点（2，1）解得：m2，所以：g（x）log2xygf（x），令：x2+4x30，解得：1x3，所以：yg（f（x）
17、的定义域为：（1，3），（2）yg（g（x）g（log2x）log2（log2x）设：log2xt，由于x2，16，则：1t4，所以：0y2函数yg（g（x）的值域为：0，2【点评】本题考查的知识要点：函数的关系式的求法，函数的定义域的应用，复合函数的应用17（14分）为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒，已知药物释放过程中，室内每立方米空气中含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比已知6分钟后药物释放完毕，药物释放完毕后，y与t的函数关系是为y（），如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：（1）求从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式；（
18、2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.125毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少分钟后，学生才能回到教室？【分析】（1）根据函数的定义域，在不同的定义域内求出函数的关系式（2）利用（1）的结论解不等式即得结果【解答】解（1）药物释放完毕的瞬间，即t，则：y1，当时，设ykt，根据图中提供的信息可知：ykt经过（），解得：k10室内每立方米空气中含药量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数的关系式为：y，（2）根据题意：，即：，解得：所以：从药物释放开始，至少需要经过51分钟后，学生才能回到教室【点评】本题考查的知识要点：函数的解析式的应用，分段函数的关系式的应
19、用18（16分）已知函数f（x）x2+mx4在区间2，1上的两个端点各取得最大值和最小值（1）求实数m的所有取值组成的集合A；（2）试写出f（x）在区间2，1上的最大值g（m）（3）设h（x）x2+x+7，设F（m），其中BRA，求函数yF（m）的最小值【分析】（1）问题等价于函数在区间2，1上是单调函数，由二次函数可得1，或2，解得不等式即可；（2）分类讨论结合单调性可得：当 m4时g（m）f（1）m3，当m2时g（m）f（2）2m（3）由题意可知F（m）的表达式，判断yF（m）的单调性然后求解最小值【解答】解：（1）f（x）x2+mx4在区间2，1上的两个端点处取得最大值和最小值，函数在区
20、间2，1上是单调函数，又函数f（x）的图象为开口向上的抛物线，对称轴为x必有1，或2，解得m4或 m2，实数m的所有取值组成的集合Am|m4或 m2；（2）当 m4时，2，函数f（x）在区间2，1上单调递增，函数f（x）的最大值g（m）f（1）m3；当m2 时，1，函数f（x）在区间2，1上单调递减，函数f（x）的最大值g（m）f（2）2mg（m）（3）由题意可知F（m），F（m）在（，2）上是单调减函数，（2，）是增函数，（，4）是减函数，（4，+）是增函数F（m）minminF（2），F（4）1【点评】本题考查二次函数区间的最值，函数的单调性的判断，考查数形结合，属中档题19（16分）已知
21、函数f（x）是定义在R上的奇函数（1）求a的值；（2）判断并证明函数f（x）的单调性，并利用结论解不等式f（）+f（3x2）0；（3）是否存在实数k，使得函数f（x）在m，n上的取值范围是，若存在，求出实数k的取值范围；若不存在，请说明理由【分析】（1）由题意可得f（0）0，解方程可得a的值；（2）f（x）在R上为增函数运用单调性即可得证；再由f（x）为奇函数和增函数，将不等式转化为分式不等式，即可得到解集；（3）假设存在实数k，使得函数f（x）在m，n上的取值范围是，由f（x）在R上递增，可得有两个不等实根，设3xt（t0），则t2（k+1）tk0有两个不等的正根，可得k的不等式组，解不等式
22、即可得到k的范围，即可判断存在性【解答】解：（1）函数f（x）是定义在R上的奇函数，可得f（0）0，即0，解得a1；（2）f（x）在R上为增函数理由是：f（x）1，设x1x2，则f（x1）f（x2）（1）（1），由x1x2，可得，即得0，（1+）（1+）0，则f（x1）f（x2）0，即f（x1）f（x2），可得f（x）在R上递增；f（）+f（3x2）0，即为f（）f（3x2）f（23x），由f（x）在R上递增，可得23x，即为0，即为或，可得解集为（，）（1，2）；（3）假设存在实数k，使得函数f（x）在m，n上的取值范围是，由f（x）在R上递增，可得，即有两个不等实根，设3xt（t0），则t
23、2（k+1）tk0有两个不等的正根，则即为，可得3+2k0故存在实数k（3+2，0），使得函数f（x）在m，n上的取值范围是，【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用，考查不等式的解法和函数方程的转化思想，以及运算能力，属于中档题20（16分）已知函数f（x）|x2ax|（aR）（1）讨论函数f（x）的奇偶性；（2）设函数g（x）+x，h（x）lnx，若对任意x10，1，总存在x21，e使得g（x1）h（x2），求实数a的取值范围；（3）当a为常数时，若函数yf（x）b在区间0，2上存在两个零点，求实数b的取值范围【分析】（1）函数f（x）|x2ax|的定义域为R，分a0和a0判定函数
24、的奇偶性；（2）对任意x10，1，总存在x21，e使得g（x1）h（x2），可得函数g（x）的值域为h（x）的值域的子集，可得当x1，e时，h（x）的值域是0，1，当x0，1时，g（x）+x|xa|+x0恒成立，问题转化为g（x）1在0，1上恒成立，即|xa|1x对任意x0，1恒成立，去绝对值后分离参数a求解；（3）函数yf（x）b在区间0，2上存在两个零点，即方程|x2ax|b在0，2上有两个不同解，然后对a分类讨论，利用函数单调性求解得答案【解答】解：（1）函数f（x）|x2ax|的定义域为R，当a0时，f（x）x2，满足f（x）（x）2x2f（x），函数为偶函数；当a0时，f（a）2a2
25、，f（a）0，f（a）f（a）且f（a）f（a），f（x）为非奇非偶函数；（2）对任意x10，1，总存在x21，e使得g（x1）h（x2），可得函数g（x）的值域为h（x）的值域的子集，当x1，e时，h（x）的值域是0，1，当x0，1时，g（x）+x|xa|+x0恒成立，问题转化为g（x）1在0，1上恒成立，即|xa|1x对任意x0，1恒成立，即x1xa1x对任意x0，1恒成立，即对任意x0，1恒成立，解得a1；（3）函数yf（x）b在区间0，2上存在两个零点，即方程|x2ax|b在0，2上有两个不同解，当a0时，f（x）在0，2上单调递增，不合题意；当a0时，令，解得x（考虑x0）当2，即a4时，f（x）在0，2上单调递增，不合题意；当2a，即2a4时，f（x）在0，上单调递增，在，a上单调递减，则f（2），即2a4；当a2，即a2时，f（x）在0，上单调递增，在，2上单调递减，在a，2上单调递增，则b0或f（2），即b0或42a；当2，即0a时，f（x）在0，上单调递增，在，a上单调递减，在a，2上单调递增，且f（2）f（），则b0或bf（），即b0或b综上所述：当0时，b0或b；当时，b0或42a；当2a4时，2a4；当a0或a4时，b不存在【点评】本题考查恒成立问题，考查函数零点的判定，体现了分类讨论的数学思想方法，属难题
