2017-2018学年江苏省苏州市新区一中高一(上)期中数学试卷(含详细解答)

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1、2017-2018学年江苏省苏州市新区一中高一(上)期中数学试卷一、填空题本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案直接填写在答题卷相应位置上.1(5分)A1,2的子集共有   个2(5分)设U1,2,3,4,5,若AB2,(UA)B4,(UB)A3则U(AB)   3(5分)幂函数f(x)图象过点,则f(4)的值为   4(5分)已知函数f(x),则ff(0)   5(5分)函数y的定义域为   6(5分)函数yax2+1(a0,a0)不论a为何值,恒过定点为   7(5分)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在0,+)上

2、单调递增,若f(1)f(x),则x的取值范围   8(5分)已知,用a,b的代数式表示log1435   9(5分)设AN*,且A,从A到Z的两个函数分别为f(x)x2+1,g(x)3x+5若对于A中的任意一个x,都有f(x)g(x),则集合A   10(5分)已知的大小关系为   11(5分)下列结论中:定义在R上的函数f(x)在区间(,0上是增函数,在区间0,+)也是增函数,则函数f(x)在R上是增函数;若f(2)f(2),则函数f(x)不是奇函数;函数yx0.5是(0,1)上的减函数;若函数的对应法则和值域相同,则定义域也相同;写出上述所有正确结论

3、的序号:   12(5分)在平面直角坐标系xOy中,设点P(x1,y1),Q(x2,y2),定义d(P,Q)|x1x2|+|y1y2|若点P(1,1),点Q在一次函数的图象上运动,则使d(P,Q)取得最小值时点Q的坐标是   13(5分)已知函数f(x)若函数g(x)f(x)x有三个不同的零点,则实数m的取值范围是   14(5分)设实数a1,若函数f(x)x|xa|+2a对任意的实数x2,3恒大于等于0,则实数a的取值范围是   二、解答题:本大题共6小题,共计90分15(14分)已知集合Sx|x2px+q0,Tx|x2(p+2)x+60,且ST2(1

4、)求log9(p+q2)的值;(2)求ST16(14分)(1)(2)lg2lg50+lg5lg202lg2lg5eln217(14分)(1)已知,求的值(2)已知函数f(x)满足f(3x)x,求f(5)18(16分)已知函数f(x)是实数集R上的奇函数,当x0时,f(x)log3x+x4()求f(1)的值;()求函数f(x)的表达式;()求证:方程f(x)0在区间(0,+)上有唯一解19(16分)根据市场调查,某种新产品投放市场的30天内,每件销售价格P (元)与时间t (天 tN*)的关系满足下图,日销量Q (件)与时间t  (天)之间的关系是Qt+50(tN*) () 写出该产品

5、每件销售价格P与时间t的函数关系式;() 在这30天内,哪一天的日销售金额最大?(日销量金额每件产品销售价格日销量)20(16分)已知函数(a0,a1)是奇函数() 当a1时,判断函数f(x)在(1,+)上的单调性,并给出证明;() 当x(n2,a2)时,函数f(x)的值域是(1,+),求实数a与n的值;() 令函数g(x)ax2+8(x1)af(x)5,a8时,存在最大实数t,使得x(1,t时,5g(x)5恒成立,请写出t关于a的表达式2017-2018学年江苏省苏州市新区一中高一(上)期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案直接填写在答题卷相

6、应位置上.1(5分)A1,2的子集共有4个【分析】若集合A中有n个元素,则集合A有2n个子集【解答】解:A1,2的子集共有:224故答案为:4【点评】本题考查集合的子集个数的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意子集定义的合理运用2(5分)设U1,2,3,4,5,若AB2,(UA)B4,(UB)A3则U(AB)1,5【分析】根据题意,求出集合A、B,再求出AB和U(AB)【解答】解:U1,2,3,4,5,若AB2,(UA)B4,B2,4,又(UB)A3,A2,3,AB2,3,4,U(AB)1,5故答案为:1,5【点评】本题考查了集合的定义与运算问题,是基础题3(5分)幂函数f(x)图象过点,则

7、f(4)的值为2【分析】先由已知条件求幂函数的解析式,再求f(4)【解答】解:设幂函数f(x)xaf(x)的图象过点(2,)2aaf(x)f(4)故答案为:2【点评】本题考查求幂函数的解析式和函数值,要注意根式与指数幂的互化属简单题4(5分)已知函数f(x),则ff(0)0【分析】由函数的解析式求得f(0)的值,进而求得ff(0)的值【解答】解:函数,则f(0)301,ff(0)f(1)log210,故答案为 0【点评】本题主要考查利用分段函数求函数的值,属于基础题5(5分)函数y的定义域为【分析】函数y有意义,可得05x31,解不等式即可得到所求定义域【解答】解:函数y有意义,可得,即为05

8、x31,解得x,则定义域为故答案为:【点评】本题考查函数的定义域的求法,注意运用对数的真数大于0,以及偶次根式被开方数非负,考查运算能力,属于基础题6(5分)函数yax2+1(a0,a0)不论a为何值,恒过定点为(2,2)【分析】令x2可得yax2+12,故函数yax2+1(a0,a0)不论a为何值,恒过定点(2,2)【解答】解:由于函数yax过定点(0,1),令x2可得yax2+12,故函数yax2+1(a0,a0)不论a为何值,恒过定点(2,2),故答案为 (2,2)【点评】本题主要考查指数函数的单调性和特殊点,属于基础题7(5分)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在0,+)上单调递

9、增,若f(1)f(x),则x的取值范围(,1)(1,+)【分析】根据函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化进行求解即可【解答】解:f(x)是定义在R上的偶函数,且在0,+)上单调递增,不等式f(1)f(x)等价为,f(1)f(|x|),即|x|1,得x1或x1,即不等式的解集为(,1)(1,+),故答案为:(,1)(1,+)【点评】本题主要考查不等式的求解,结合函数奇偶性和单调性的性质进行转化是解决本题的关键8(5分)已知,用a,b的代数式表示log1435【分析】利用指数、对数性质、运算法则、换底公式直接求解【解答】解:,blog25,log1435故答案为:【点评】本题考查对数式、指数式

10、化简求值,考查指数、对数性质、运算法则、换底公式等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想,是基础题9(5分)设AN*,且A,从A到Z的两个函数分别为f(x)x2+1,g(x)3x+5若对于A中的任意一个x,都有f(x)g(x),则集合A4【分析】若对于A中的任意一个x,都有f(x)g(x),则x2+13x+5,结合AN*,可得答案【解答】解:令x2+13x+5,则x1,或x4,又由AN*,且A,故A4,故答案为:4【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质,映射的定义,难度不大,属于基础题10(5分)已知的大小关系为abc【分析】直接由指数函数和对数函数的单调性求解即可【解答】解:

11、0a0.320.301,abc故答案为:abc【点评】本题考查了对数值大小的比较,考查了指数函数和对数函数的单调性的应用,是基础题11(5分)下列结论中:定义在R上的函数f(x)在区间(,0上是增函数,在区间0,+)也是增函数,则函数f(x)在R上是增函数;若f(2)f(2),则函数f(x)不是奇函数;函数yx0.5是(0,1)上的减函数;若函数的对应法则和值域相同,则定义域也相同;写出上述所有正确结论的序号:【分析】根据函数的单调性定义判断是真命题,根据幂函数的图象与性质判断是真命题,举例说明、是假命题【解答】解:对于,函数f(x)在区间(,0上是增函数,则任取x1(,0,都有f(x1)f(

12、0);又f(x)在区间0,+)也是增函数,则任取x20,+),都有f(0)f(x2);任取x1x2,x1、x2R,都有f(x1)f(x2),函数f(x)在R上是增函数,正确;对于,函数y0(xR)既是奇函数又是偶函数,且f(2)f(2),错误;对于,由0.50,知幂函数yx0.5,是(0,1)上的减函数,正确;对于,如函数y0(xR),当定义域不同时,函数对应法则和值域可以相同,错误;综上,正确结论的序号是故答案为:【点评】本题考查了函数的定义与性质的应用问题,也考查了命题真假的判断问题,是综合题12(5分)在平面直角坐标系xOy中,设点P(x1,y1),Q(x2,y2),定义d(P,Q)|x

13、1x2|+|y1y2|若点P(1,1),点Q在一次函数的图象上运动,则使d(P,Q)取得最小值时点Q的坐标是(0,1)【分析】设出Q的坐标,利用新定义,写出d(P,Q)的表达式,通过绝对值不等式的性质和意义,考虑最小值取得的条件,即可得到所求坐标【解答】解:设Q(x,1+x),由题意d(P,Q)|1x|+|x|(|x1|+|x|)+|x|,当且仅当x0时,|x1|+|x|取得最小值1,|x|取得最小值0,即d(P,Q)取得最小值1,此时Q(0,1)故答案为:(0,1)【点评】本题考查新定义的理解与应用,考查计算能力,运用绝对值不等式的性质和绝对值的意义是解题的关键,属于中档题13(5分)已知函

14、数f(x)若函数g(x)f(x)x有三个不同的零点,则实数m的取值范围是1,2)【分析】由题意可得直线yx和直线y2有交点,且yx2+4x+2的图象和直线yx有两个交点,即必须使函数y2x有零点,并且函数yx2+3x+2(x+1)(x+2)有两个零点,从而得到m的范围【解答】解:由题意可得函数f(x)若它的图象和直线yx有3个不同的交点,即直线yx和直线y2有交点,且yx2+4x+2的图象和直线yx有两个交点,即必须使函数y2x有零点,并且函数yx2+3x+2(x+1)(x+2)有两个零点,从而得到m2并且m1,故答案为:1,2)【点评】本题主要考查函数零点与方程根的关系,体现了转化的数学思想

15、,属于基础题14(5分)设实数a1,若函数f(x)x|xa|+2a对任意的实数x2,3恒大于等于0,则实数a的取值范围是1,23.5,+)【分析】由题意可得f(x)的最小值大于等于0,讨论f(x)在f(2)和f(3)处取得最小值时,a的范围,注意检验是否成立【解答】解:实数a1,若函数f(x)x|xa|+2a对任意的实数x2,3恒大于等于0,即为f(x)的最小值大于等于0由抛物线,可得可得最小值为顶点处或端点处取得,若f(2)取得最小,且为2|2a|+2a0,解得1a2,此时抛物线f(x)x(xa)+2a开口向上,区间2,3在对称轴x的右边,为递增区间,成立;a2时,1,f(2)不为最小值;若

16、f(3)取得最小,且为3|3a|+2a0,解得a3.5,此时抛物线f(x)x(ax)+2a开口向下,最小值为f(2)或f(3),f(2)2|2a|+2a0恒成立,a3.5成立;而2a3.5,f(2)2|2a|+2a0恒成立;f(3)3|3a|+2a,当a3时,f(3)0;f()+2a0,f(x)的最小值不恒大于等于0,综上可得a的取值范围是1,23.5,+)故答案为:1,23.5,+)【点评】本题考查含绝对值的函数的恒成立问题解法,考查分类讨论思想方法,以及二次函数的最值的求法,考查运算能力,属于难题二、解答题:本大题共6小题,共计90分15(14分)已知集合Sx|x2px+q0,Tx|x2(

17、p+2)x+60,且ST2(1)求log9(p+q2)的值;(2)求ST【分析】(1)由题意列方程组求出p、q的值,再计算log9(p+q2)的值;(2)由(1)化简集合S、T,求出ST的值【解答】解:(1)集合Sx|x2px+q0,Tx|x2(p+2)x+60,且ST2,解得p3,q2;log9(p+q2)log93;7分(2)由(1)知,集合Sx|x23x+201,2,Tx|x25x+602,3,ST 1,2,3 14分【点评】本题考查了解方程组与集合的运算问题,是基础题16(14分)(1)(2)lg2lg50+lg5lg202lg2lg5eln2【分析】(1)利用指数性质、运算法则直接求

18、解(2)利用对数性质、运算法则、换底公式直接求解【解答】解:(1)1+(2)lg2lg50+lg5lg202lg2lg5eln2lg2(lg5+1)+lg5(lg2+1)2lg2lg52lg2lg5+lg2+lg5lg2+lg52lg2lg52lg+lg52121【点评】本题考查对数式、指数式化简求值,考查指数、对数性质、运算法则等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想、是基础题17(14分)(1)已知,求的值(2)已知函数f(x)满足f(3x)x,求f(5)【分析】(1)由,求出a+a17,从而()2a+a12725,进而,由此能求出(2)设3xt,则xlog3t,从而f(t)log

19、3t,由此能求出f(5)【解答】解:(1),a+a1+29,a+a17,()2a+a12725,7分(2)f(x)满足f(3x)x,设3xt,则xlog3t,f(t)log3t,f(5)log3514分【点评】本题考查函数值的求法,考查函数性质等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题18(16分)已知函数f(x)是实数集R上的奇函数,当x0时,f(x)log3x+x4()求f(1)的值;()求函数f(x)的表达式;()求证:方程f(x)0在区间(0,+)上有唯一解【分析】()利用已知条件函数的奇偶性以及函数的解析式求解f(1)的值;() 利用函数的奇偶性转化求解函数f(x)的

20、表达式;()通过f(3)0,转化为方程f(x)0在区间(0,+)上有解x3,设函数g(x)log3x,h(x)4x利用函数的单调性,证明求解即可【解答】解:()函数f(x)是实数集R上的奇函数所以f(1)f(1)因为当x0时,f(x)log3x+x4,所以f(1)log31+143所以f(1)f(1)3.(3分)()当x0时,f(0)f(0)f(0),解得f(0)0;.(4分)当x0时,x0,所以f(x)log3(x)+(x)4log3(x)x4所以f(x)log3(x)x4,从而f(x)log3(x)+x+4.(6分)所以f(x).(8分)()因为f(3)log33+340,所以方程f(x)

21、0在区间(0,+)上有解x3.(10分)又方程f(x)0可化为log3x4x设函数g(x)log3x,h(x)4x由于g(x)在区间(0,+)上是单调增函数.(12分),h(x)在区间(0,+)上是单调减函数,.(14分)所以,方程g(x)h(x) 在区间(0,+)上只有一个解所以,方程f(x)0在区间(0,+)上有唯一解 .(16分)(指出解且直接指出f(x)单调性给满分)【点评】本题考查函数与方程的综合应用,函数的单调性以及函数的解析式的求法,函数的零点的个数的判断,考查转化思想以及计算能力19(16分)根据市场调查,某种新产品投放市场的30天内,每件销售价格P (元)与时间t (天 tN

22、*)的关系满足下图,日销量Q (件)与时间t  (天)之间的关系是Qt+50(tN*) () 写出该产品每件销售价格P与时间t的函数关系式;() 在这30天内,哪一天的日销售金额最大?(日销量金额每件产品销售价格日销量)【分析】() 结合函数的图象,利用一次函数与常函数,写出该产品每件销售价格P与时间t的函数关系式;()通过日销量金额每件产品销售价格日销量,列出分段函数,分别求解函数的最大值,即可得到结果【解答】解:()根据图象,每件销售价格P与时间t的函数关系为:P.(4分)()设日销售金额y(元),则.(6分).(8分)若0t20,tN时,yt2+20t+1500(t10)2+1

23、600,当t10时,ymax1600;.(11分)若20t30,tN*时,y50t+2500是减函数,.(14分)y5020+25001500,因此,这种产品在第10天的日销售金额最大,最大日销售金额是1600元.(16分)【点评】本题考查分段函数的应用,实际问题的解决方法,考查分析问题解决问题的能力20(16分)已知函数(a0,a1)是奇函数() 当a1时,判断函数f(x)在(1,+)上的单调性,并给出证明;() 当x(n2,a2)时,函数f(x)的值域是(1,+),求实数a与n的值;() 令函数g(x)ax2+8(x1)af(x)5,a8时,存在最大实数t,使得x(1,t时,5g(x)5恒

24、成立,请写出t关于a的表达式【分析】()根据函数的奇偶性的定义求出m的值,判断函数的单调性即可;()结合函数的单调性分别求出a,n的值即可;()由f(x)解析式及题意,将g(x)解析式变形,利用二次函数性质确定出使得x(1,t时5g(x)5恒成立的最大实数t,并求出t与a的关系式即可【解答】解:()由已知条件得f(x)+f(x)0对定义域中的x均成立即1x21m2x2,对定义域中的x均成立,即(m21)x20,m21当m1时,f(x)不合题意舍去,当m1时f(x)是奇函数,m1,设,当x1x21时,t1t2当a1时,logat1logat2,即f(x1)f(x2),当a1时,f(x)在(1,+)上是减函数()函数f(x)的定义域为(,1)(1,+),n2a21,无解1n2a2,a3f(x)在(n2,a2)为减函数,要使f(x)的值域为(1,+),则,a2+,n1(),则函数yg(x)的对称轴,a8,函数g(x)在x(1,t上单调减则1xt,有g(t)g(x)g(1),g(1)11a,又a8,g(1)35.(14分)t是实数,使得x(1,t上5g(x)5恒成立,g(t)5,at28t80【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性,函数值域求解,考查数形结合、分类讨论的思想

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