1、2017-2018学年浙江省宁波市九校联考高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（4分）已知集合A1，2a，Ba，b，若AB，则AB（）A，1，0B1，C，1D1，12（4分）已知向量，满足|3，|2，且（），则与的夹角为（）ABCD3（4分）已知A是ABC的内角且sinA+2cosA1，则tanA（）ABCD4（4分）若当xR时，函数f（x）a|x|始终满足0|f（x）|1，则函数yloga|的图象大致为（）ABCD5（4分）将函数f（x）sin（x+）（0）的图象向左平移个单位，所得到的函数图象关于y
2、轴对称，则函数f（x）的最小正周期不可能是（）ABCD26（4分）已知f（x）是奇函数，则，的可能值为（）A，B0，C，D，7（4分）设函数f（x），则使得f（x）f（2x1）成立的x的取值范围是（）A（，1）B（，）（1，+）C（，）（，1）D（，0）（0，）（1，+）8（4分）已知|1，|2，AOB60，+，+22，则在上的投影（）A既有最大值，又有最小值B有最大值，没有最小值C有最小值，没有最大值D既无最大值，双无最小值9（4分）在边长为1的正ABC中，x，y，x0，y0且x+y1，则的最大值为（）ABCD10（4分）定义在R上的偶函数f（x）满足f（x）f（2x），当x0，1时f（x）
3、x2，则函数g（x）|sin（x）|f（x）在区间1，3上的所有零点的和为（）A6B7C8D10二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11（4分）函数f（x）的定义域是 12（6分）计算： ；若2a3b，a，bR，则+ 13（4分）已知（2，3），（1，k）若|，则k ；若，的夹角为钝角，则k的范围为 14（6分）已知函数f（x）cos（2x），则f（） ；若f（），x，则sin（x） 15（4分）向量与的夹角为，若对任意的tR，|的最小值为，则| 16（6分）已知函数f（x），其中a0且a1，若a时方程f（x）b有两个不同的实根，则实数b的取值范围是 ；若f（
4、x）的值域为3，+，则实数a的取值范围是 17（6分）若任意的实数a1，恒有a2bb3a0成立，则实数b的取值范围为 三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18（14分）已知（cosx，sinx），（1，0），（4，4）（）若（），求tanx；（）求|+|的最大值，并求出对应的x的值19（15分）已知函数f（x）Asin（x+），若f（0）（）求A的值；（）将函数f（x）的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象（i）写出g（x）的解析式和它的对称中心；（ii）若为锐角，求使得不等式g（）成立的的取值范围20（15分）已知函数
5、f（x）2sin（x+）（0，|），角的终边经过点P（1，）若A（x1，f（x1），B（x2，f（x2）是f（x）的图象上任意两点，且当|f（x1）f（x2）|4时，|x1x2|的最小值为（）求和的值；（）求函数f（x）在x0，上的单调递减区间；（）当x，m时，不等式f2（x）f（x）20恒成立，求m的最大值21（15分）已知函数f（x）log4（22x+1）+mx的图象经过点p（，+log23）（）求m值并判断的奇偶性；（）设g（x）log4（2x+x+a），若关于x的方程f（x）g（x）在x2，2上有且只有一个解，求a的取值范围22（15分）定义在R上的函数f（x）ax2+x（）当a0时，
6、求证：对任意的x1，x2R都有f（x1）+f（x2）成立；（）当x0，2时，|f（x）|1恒成立，求实数a的取值范围；（）若a，点p（m，n2）（mZ，nZ）是函数yf（x）图象上的点，求m，n2017-2018学年浙江省宁波市九校联考高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（4分）已知集合A1，2a，Ba，b，若AB，则AB（）A，1，0B1，C，1D1，1【分析】根据AB，求出a，b的值，进而可得答案【解答】解：集合A1，2a，Ba，b，若AB，则2a，即a1，且b，故A1，B，1，故
7、AB1，1，故选：D【点评】本题考查的知识点是集合的交并补混合运算，难度不大，属于基础题2（4分）已知向量，满足|3，|2，且（），则与的夹角为（）ABCD【分析】设与的夹角为，根据（），则有（）0，利用向量的运算性质，即可求出cos，结合向量夹角的取值范围，即可求得答案【解答】解：设与的夹角为，（），则（）0，|2+0，即|2+|cos0，又|3，|2，32+32cos0，则cos，又0，故与的夹角为故选：D【点评】本题考查了数量积求两个向量的夹角，数量积判断两个向量的垂直关系根据数量积的定义可以求解两个向量的夹角，注意两个向量的夹角要共起点所形成的角，熟悉向量夹角的取值范围为0，其中夹角为
8、0时，两向量同向，夹角为时，两向量反向两个向量互相垂直，则其数量积为0属于中档题3（4分）已知A是ABC的内角且sinA+2cosA1，则tanA（）ABCD【分析】利用同角三角函数的基本关系，求得sinA和cosA的值，可得tanA的值【解答】解：由，解得或A是ABC的内角，则tanA故选：A【点评】本题考查同角三角函数的基本关系，是基础的计算题4（4分）若当xR时，函数f（x）a|x|始终满足0|f（x）|1，则函数yloga|的图象大致为（）ABCD【分析】由于当xR时，函数f（x）a|x|始终满足0|f（x）|1，利用指数函数的图象和性质可得0a1先画出函数yloga|x|的图象，此函
9、数是偶函数，当x0时，即为ylogax，而函数yloga|loga|x|，即可得出图象【解答】解：当xR时，函数f（x）a|x|始终满足0|f（x）|1因此，必有0a1先画出函数yloga|x|的图象：红颜色的图象而函数yloga|loga|x|，其图象如黑颜色的图象故选：B【点评】本题考查指数函数与对数函数的图象及性质，属于难题5（4分）将函数f（x）sin（x+）（0）的图象向左平移个单位，所得到的函数图象关于y轴对称，则函数f（x）的最小正周期不可能是（）ABCD2【分析】利用函数yAsin（x+）的图象变换规律，三角函数的图象的对称性和周期性，求得函数的最小正周期为，由此得出结论【解答
10、】解：将函数f（x）sin（x+）（0）的图象向左平移个单位，可得ysin（x+）的图象，根据所得到的函数图象关于y轴对称，可得+k+，即8k+2，kZ函数的最小正周期为，则函数f（x）的最小正周期不可能是2，故选：D【点评】本题主要考查函数yAsin（x+）的图象变换规律，三角函数的图象的对称性和周期性，属于基础题6（4分）已知f（x）是奇函数，则，的可能值为（）A，B0，C，D，【分析】根据题意，由奇函数的定义可得f（0）cos0，解可得的值，进而假设x0，则x0，则cos（x+）sin（x+），变形可得的值，据此分析选项即可得答案【解答】解：根据题意，f（x）是奇函数，则f（0）cos0
11、，解可得k+，若x0，则x0，则cos（x+）sin（x+），变形可得：sincos，则k，分析可得：C符合；故选：C【点评】本题考查函数奇偶性的定义，关键是掌握函数奇偶性的定义，属于基础题7（4分）设函数f（x），则使得f（x）f（2x1）成立的x的取值范围是（）A（，1）B（，）（1，+）C（，）（，1）D（，0）（0，）（1，+）【分析】可得出，从而可判断出f（x）在（0，+）上单调递增，在（，0）上单调递减，这样即可由f（x）f（2x1）得出|x|2x1|0，解出x的范围即可【解答】解：；f（x）在（0，+）单调递增，在（，0）上单调递减；由f（x）f（2x1）得，f（|x|）f（|2
12、x1|），即有|x|2x1|0，解得x或x1，故选：C【点评】考查分段函数单调性判断，一次函数和反比例函数的单调性，以及含绝对值函数的处理方法：去绝对值号，函数单调性定义8（4分）已知|1，|2，AOB60，+，+22，则在上的投影（）A既有最大值，又有最小值B有最大值，没有最小值C有最小值，没有最大值D既无最大值，双无最小值【分析】运用向量投影的知识可解决【解答】解：根据题意得：在上的投影为+2222代入得令2t得2t，代入得当t0时，原式有最大值，当t0时，式无最小值故选：B【点评】本题考查平面向量基本定理的简单应用9（4分）在边长为1的正ABC中，x，y，x0，y0且x+y1，则的最大值
13、为（）ABCD【分析】（）（），（）（）1+，由此能求出当xy时，的最大值为【解答】解：由题意得（）（），x，y，x0，y0且x+y1，（）（），（）（）1+，x0，x0，x+y1，xy，1+1+，当且仅当xy时，取等号，当xy时，的最大值为故选：C【点评】本题考查向量知识的运用，考查向量的加法，考查向量的数量积，考查基本不等式的运用，综合性强10（4分）定义在R上的偶函数f（x）满足f（x）f（2x），当x0，1时f（x）x2，则函数g（x）|sin（x）|f（x）在区间1，3上的所有零点的和为（）A6B7C8D10【分析】根据条件判断函数f（x）的周期性，令g（x）0，得|sin（x）|f
14、（x），分别作出yf（x）和y|sin（x）|在区间1，3上的图象，利用图象判断两个函数的交点情况，即可得到所求和【解答】解：定义在R上的偶函数f（x）满足f（x）f（2x），即有f（x）f（x）f（2x），即f（x+2）f（x），可得f（x）的最小正周期为2，当x0，1时f（x）x2，可得x1，0时，f（x）x2；由g（x）0，可得|sin（x）|f（x），作出yf（x）和y|sin（x）|在区间1，3上的图象，可得它们有6个交点，设x1x2x3x4x5x6，可得x1+x30，x4+x64，x20，x52，则所有零点的和为6故选：A【点评】本题主要考查函数零点的判断，利用数形结合转化为两个函
15、数的图象交点个数是解决本题的关键二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11（4分）函数f（x）的定义域是2，+）【分析】使该函数有意义，需要对数的真数大于0，同时需要根号下的代数式大于等于0，【解答】解：要使原式有意义，须有log2（x1）0且x10，即log2（x1）log21且x10ulog2（x1）为增函数，x11，x2故答案为：2，+）【点评】本题考查了函数定义域的求法，解答的关键是使构成函数式的每一部分都要有意义，属基础题12（6分）计算：；若2a3b，a，bR，则+2【分析】利用指数与对数运算性质即可得出大小关系【解答】解：；若2a3b，a，bR，则
16、，b+2故答案为：；2【点评】本题考查了指数与对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题13（4分）已知（2，3），（1，k）若|，则k2；若，的夹角为钝角，则k的范围为k且k【分析】由题意利用两个向量模的计算公式求得k的值，再利用两个向量共线的性质求得k的范围【解答】解：已知（2，3），（1，k），若|，则 4+91+k2，求得k2若，的夹角为钝角，则0，且 与 不平行，即2+3k0，且，求得k，且k，故答案为：k2，k，且k【点评】本题主要考查两个向量模的计算公式，两个向量共线的性质，属于基础题14（6分）已知函数f（x）cos（2x），则f（）；若f（），x，则sin（x）【分析
17、】直接利用三角函数关系式的恒等变变换和同角三角函数关系式的应用求出结果【解答】解：函数f（x）cos（2x），则f（）cos（）cos由于：f（x）cos（2x），所以：，由于：x，故：，则：sin（x）故答案为：【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，同角三角函数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型15（4分）向量与的夹角为，若对任意的tR，|的最小值为，则|2【分析】运用平面向量的数量积，模长公式的求法可得结果【解答】解：向量与的夹角为，|cos|；若对任意的tR，|的最小值为则2t+t2|t+t23，2t2t+230恒成立，当2242（23）0时，
18、|取得最小值24，则|2，故答案为：2【点评】本题考查平面向量的数量积，模长的求法16（6分）已知函数f（x），其中a0且a1，若a时方程f（x）b有两个不同的实根，则实数b的取值范围是（3，）；若f（x）的值域为3，+，则实数a的取值范围是，1）（1，+）【分析】作出f（x）的图象，由图象即可得到yf（x）和yb有两个交点的情况；运用一次函数和指数函数的图象和性质，可得值域，讨论a1，0a1两种情况，即可得到所求a的范围【解答】解：作出f（x）的图象，由a时方程f（x）b有两个不同的实根，可得b3，且b3+0.52，即有b（3，）；函数f（x），当0a1时，x2时，f（x）5x3，x2时，f
19、（x）ax+2a+2递减，可得2a+2f（x）a2+2a+2，f（x）的值域为3，+），可得2a+23，解得a1；当a1时，x2时，f（x）5x3，x2时，f（x）ax+2a+2递增，可得f（x）a2+2a+25，则f（x）的值域为3，+）成立，a1恒成立综上可得a，1）（1，+）故答案为：（3，），1）（1，+）【点评】本题考查函数方程的转化思想和函数的值域的问题解法，注意运用数形结合和分类讨论的思想方法，考查推理和运算能力，属于中档题17（6分）若任意的实数a1，恒有a2bb3a0成立，则实数b的取值范围为（，1【分析】设f（a）a（2b3）b，由题意可得，2b30，且f（1）0恒成立，再
20、由g（x）x+2x在R上递增，且g（1）3，解不等式求交集即可【解答】解：设f（a）a（2b3）b，由于任意的实数a1，恒有a2bb3a0成立，则2b30，且f（1）0恒成立，则有blog23，且3b2b0，由b+2b3，又g（x）x+2x在R上递增，且g（1）3，则g（b）g（1），解得b1又blog23，则有b1故答案为：（，1【点评】本题考查函数恒成立问题，考查构造函数运用单调性解题，考查不等式的解法，考查运算能力，属于中档题和易错题三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18（14分）已知（cosx，sinx），（1，0），（4，4）（）若（），求
21、tanx；（）求|+|的最大值，并求出对应的x的值【分析】（）根据平面向量的坐标运算，利用平行公式求出tanx的值；（II）利用平面向量的坐标运算，利用模长公式和三角函数求出最大值【解答】解：（）计算（3，4），由（）得4cosx3sinx0，tanx；（7分）（II）+（cosx+1，sinx），（cosx+1）2+sin2x2+2cosx，|+|，（10分）当cosx1，即x2k，kZ时，|+|取得最大值为2（14分）【点评】本题考查了平面向量的坐标运算与数量积运算问题，是基础题19（15分）已知函数f（x）Asin（x+），若f（0）（）求A的值；（）将函数f（x）的图象上各点的横坐标缩
22、短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象（i）写出g（x）的解析式和它的对称中心；（ii）若为锐角，求使得不等式g（）成立的的取值范围【分析】（）直接利用已知条件求出函数的关系式，进一步求出结果（）（i）利用三角函数关系式的平移变换和伸缩变换求出函数的关系式，进一步利用整体思想求出函数的对称中心（ii）直接利用三角不等式求出结果【解答】解：（）函数f（x）Asin（x+），若f（0）所以：Asin，解得：A（II）（i）函数f（x）的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象令：（kZ），解得：x（kZ），所以函数的对称中心为（）（kZ），（ii）g（a），即
23、：，由于为锐角，所以：【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数的性质的应用，三角函数不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型20（15分）已知函数f（x）2sin（x+）（0，|），角的终边经过点P（1，）若A（x1，f（x1），B（x2，f（x2）是f（x）的图象上任意两点，且当|f（x1）f（x2）|4时，|x1x2|的最小值为（）求和的值；（）求函数f（x）在x0，上的单调递减区间；（）当x，m时，不等式f2（x）f（x）20恒成立，求m的最大值【分析】（）直接利用已知条件求出函数的关系式（）根据函数的关系式利用整体思想，求出函数的单调区间（
24、）根据函数的定义域求出函数的值域，进一步利用函数的值域求出结果【解答】解：（）当|f（x1）f（x2）|4时，|x1x2|的最小值为所以：T，解得：3函数f（x）2sin（x+）（0，|），角的终边经过点P（1，）解得：（II）由（）得：f（x）2sin（3x），令（kZ）解得：（kZ）所以函数f（x）的单调递减区间为（kZ）由于：x0，所以函数的单调递减区间为和（）由于：x，m时，故：，不等式f2（x）f（x）20恒成立，解得：1f（x）2，所以：，解得：所以m的最大值为【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数关系式的性质的应用，一元二次不等式的解法及应用，主要考查
25、学生的运算能力和转化能力，属于基础题型21（15分）已知函数f（x）log4（22x+1）+mx的图象经过点p（，+log23）（）求m值并判断的奇偶性；（）设g（x）log4（2x+x+a），若关于x的方程f（x）g（x）在x2，2上有且只有一个解，求a的取值范围【分析】（）把点P的坐标代入函数f（x），求得m的值；写出f（x）的解析式，判断f（x）的奇偶性；（II）根据题意，把方程化为对数方程，求出a的解析式，计算满足条件时a的取值范围【解答】解：（）函数f（x）log4（22x+1）+mx的图象经过点p（，+log23），则+log23log4（23+1）+m，m；（3分）所以f（x）l
26、og4（22x+1）x，且定义域为R，f（x）log4（22x+1）+xlog4+xlog4（4x+1）xf（x），则f（x）是偶函数；（7分）（II）根据f（x）g（x），得log4（4x+1）xlog4（4x+1）log42xlog4，（9分）则方程化为log4（2x+x+a）log4，得2x+x+a0，化为ax，且在x2，2上单调递减，（12分）所以使方程有唯一解时a的范围是a6（15分）【点评】本题考查了对数函数的性质与应用问题，也考查了函数与方程的应用问题，是中档题22（15分）定义在R上的函数f（x）ax2+x（）当a0时，求证：对任意的x1，x2R都有f（x1）+f（x2）成立；
27、（）当x0，2时，|f（x）|1恒成立，求实数a的取值范围；（）若a，点p（m，n2）（mZ，nZ）是函数yf（x）图象上的点，求m，n【分析】（）作差比较；（）分离变量后再将恒成立转化为最值；（）根据两个整数的和与积都为偶数，得这两个整数均为偶数【解答】解：（）证明：f（x1）+f（x2）f（）（ax12+x1+ax22+x2）a（）2，a0，f（x1）+f（x2）f（）0，f（x1）+f（x2）f（）（）当x0时，|f（x）|1显然成立，此时aR；当x（0，2时，|f（x）|11ax2+x1a（）2a（）2恒成立，x（0，2，（）2有最大值，（）2有最小值，a（）a，f（x）x2+x，P（m，n2）在函数f（x）的图象上，m2+mn2，变形得（m+2）24n24，（m+22n）（m+2+2n）4，且mZ，nZ，（m+22n）+（m+2+2n）2m+4为偶数，m+22n与m+2+2n同为偶数，或解得：或故答案为：mn0或者m4，n0【点评】本题考查了不等式的证明、不等式恒成立转化为最值属难题
