1、2017-2018学年浙江省宁波市高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（4分）若数列an为等比数列，且a21，q2，则a4（）A1B2C3D42（4分）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，cC45，b1，B30，则边长c（）ABCD3（4分）函数的定义域为（）ARB1，5C1，5D（，15，+）4（4分）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c若，则（）AB1CD5（4分）一个正方体的顶点都在表面积为48的球面上，则该正方体的棱长为（）A2BC4D6（4分）设a，bR，若a|b|0
2、，则下列不等式中正确的是（）Aba0Ba3+b30Cb+a0Da2b207（4分）一圆锥侧面积是其底面积的3倍，则该圆锥侧面展开图圆心角的弧度数为（）ABCD8（4分）设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c若a，b，c成等差数列，且5sinA3sinB，则C（）ABCD9（4分）公差为d的等差数列an与公比为q的等比数列bn分别满足|an|2，|bn|2，nN*，则下列说法正确的是（）Ad0，q可能不为1Bd0，q1Cq1，d可能不为0Dd可能不为0，q可能不为110（4分）已知正实数a，b满足a2+ab+b23，则的取值范围是（）A3，+）B（1，3C（0，3D（0，1二、填空题：
3、本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题6分，共36分.11（6分）实数A、G分别为1和3的等差中项、等比中项，则A ，A与G的大小关系为A G（填“”、“”或“”）12（6分）已知关于x的不等式x2ax30的解集为（1，3），则实数a ；此时，关于x的不等式|xa|2的解集为 13（6分）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都是边长为1的正方形，则该几何体的表面积为 ，体积为 14（6分）ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，a7，b+c8，则bc ，ABC的面积S 15（4分）等比数列an，其前n项和，则实数a 16（4分）数列an满足，则通项公式an 17（4
4、分）对于任意的实数x和非零实数a，不等式恒成立，则实数m的取值范围为 三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18已知等差数列an的前n项和为Sn，且S444，S856（）求Sn；（）求Sn的最大值19记集合AxR|（x1）2a2x2（）若2A，求实数a的取值范围；（）若A，求实数a的值20在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且c（acosBbcosA）3b2（）求证：a2b；（）若，求cosB的值212018年5月21日5点28分，在我国西昌卫星发射中心，由中国航天科技集团有限公司抓总研制的嫦娥四号中继星“鹊桥”搭乘长征四号丙运载火箭升空
5、，这标志着我国在月球探测领域取得新的突破早在1671年，两位法国天文学家就已经成功测量出了地球与月球之间的距离，接下来，让我们重走这两位科学家的测量过程如图，设O为地球球心，C为月球表面上一点，A，B为地球上位于同一子午线（经线）上的两点，地球半径记为R步骤一：经测量，A，B两点的纬度分别为北纬30和南纬60，即，可求得；步骤二：经测量计算，CAB，CBA，计算|AC|；步骤三：利用以上测量及计算结果，计算|OC|请你用解三角形的相关知识，求出步骤二、三中的|AC|及|OC|的值（结果均用，R表示）22已知数列an满足a11，且当nN*时，恒有an1|3anan+1|（）求证：i）an1；ii
6、）an+12an+1，nN*；（）记，证明：Tn1，nN*2017-2018学年浙江省宁波市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（4分）若数列an为等比数列，且a21，q2，则a4（）A1B2C3D4【分析】根据题意，由等比数列的通项公式可得a4a2q2，代入数据即可得答案【解答】解：根据题意，等比数列an中，a21，q2，则a4a2q24；故选：D【点评】本题考查等比数列的通项公式，关键是掌握等比数列的通项公式的形式2（4分）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，cC45，
7、b1，B30，则边长c（）ABCD【分析】直接利用正弦定理求解即可【解答】解：在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，cC45，b1，B30，由正弦定理可得：c故选：C【点评】本题考查正弦定理的应用，是基本知识的考查3（4分）函数的定义域为（）ARB1，5C1，5D（，15，+）【分析】根据二次函数的性质求出函数的定义域即可【解答】解：由题意得：x24x50，即（x5）（x+1）0，解得：x5或x1，故选：D【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式的性质，是一道基础题4（4分）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c若，则（）AB1CD【分析】利用余弦定理求得a2+
8、c2b2ac，再计算的值【解答】解：ABC中，cosB，a2+c2b2ac，1故选：B【点评】本题考查了余弦定理应用问题，是基础题5（4分）一个正方体的顶点都在表面积为48的球面上，则该正方体的棱长为（）A2BC4D【分析】利用正方体外接球直径为其体对角线长，容易得解【解答】解：正方体外接球直径为正方体的体对角线长，R2，正方体棱长为4，故选：C【点评】此题考查了正方体的外接球问题，属容易题6（4分）设a，bR，若a|b|0，则下列不等式中正确的是（）Aba0Ba3+b30Cb+a0Da2b20【分析】取a2，b1代入计算可排除A，B，D【解答】解：因为a|b|0，a|b|当a2，b1时，ba
9、30，排除A；a3+b323170，排除B； a2b222130，排除D故选：C【点评】本题考查了不等式的基本性质，属基础题7（4分）一圆锥侧面积是其底面积的3倍，则该圆锥侧面展开图圆心角的弧度数为（）ABCD【分析】设出圆锥的母线与底面半径，利用已知条件列出方程求解即可【解答】解：设母线长为R，底面半径为r，底面周长2r，底面面积r2，侧面面积rR，侧面积是底面积的3倍，3r2rR，R3r，故选：A【点评】本题考查圆锥的展开图，扇形和圆锥的相关计算，考查空间想象能力以及计算能力8（4分）设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c若a，b，c成等差数列，且5sinA3sinB，则C（）A
10、BCD【分析】利用a，b，c成等差数列得到a，b和c的关系式，利用正弦定理和已知等式求得a和b的关系式，分别设出a，b和c，最后利用余弦定理即可求得cosC的值，则C可得【解答】解：a，b，c成等差数列，2ba+c，5sinA3sinB，由正弦定理得5a3b，设a3t，b5t，则c7t，cosC，0C，C故选：B【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用解题过程中巧妙的运用了正弦定理和余弦定理完成了边和角问题的转化9（4分）公差为d的等差数列an与公比为q的等比数列bn分别满足|an|2，|bn|2，nN*，则下列说法正确的是（）Ad0，q可能不为1Bd0，q1Cq1，d可能不为0Dd可能
11、不为0，q可能不为1【分析】由数列的函数特性说明d0，举例说明q可能不为1，从而得答案【解答】解：若公差d0，则数列an一定为递增数列或递减数列，则必定存在mN*，使得am2或am2与已知矛盾，则d0；当等比数列bn的首项为b12，公比q时，|bn|2|d0，q可能不为1故选：A【点评】本题是等差数列与等比数列的综合题，考查等差数列与等比数列的通项公式，是中档题10（4分）已知正实数a，b满足a2+ab+b23，则的取值范围是（）A3，+）B（1，3C（0，3D（0，1【分析】由条件可得1+1+，再由基本不等式和不等式的性质，可得所求范围【解答】解：正实数a，b满足a2+ab+b23，则1+1
12、+，由+24，当且仅当ab取得等号，即有（0，2，则1+（1，3故选：B【点评】本题考查基本不等式的运用：求最值，考查变形能力和转化思想，属于中档题二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题6分，共36分.11（6分）实数A、G分别为1和3的等差中项、等比中项，则A2，A与G的大小关系为AG（填“”、“”或“”）【分析】运用等差数列和等比数列的中项性质，可得A，G，进而得到它们的大小关系【解答】解：实数A、G分别为1和3的等差中项、等比中项，可得2A1+3，可得A2，G213，可得G，则AG故答案为：2，【点评】本题考查等差数列和等比数列的中项性质，考查方程思想和运算能力，属于
13、基础题12（6分）已知关于x的不等式x2ax30的解集为（1，3），则实数a2；此时，关于x的不等式|xa|2的解集为0，4【分析】由不等式的解集与不等式的关系可知，端点为相应方程的根，利用韦达定理可求出a的值，再代入绝对值不等式即可解出不等式的解集【解答】解：由题意可知，1和3是关于x的方程x2ax30的两实根，由韦达定理可得1+3a2，关于x的不等式|xa|2为|x2|2，等价于2x22，解得0x4，因此，关于x的不等式|xa|2的解集为0，4，故答案为：2；0，4【点评】本题考查绝对值不等式的解法，解决本题的关键在于理解不等式解集与不等式之间的关系，属于中等题13（6分）一个几何体的三视
14、图如图所示，其中正视图和侧视图都是边长为1的正方形，则该几何体的表面积为3+，体积为【分析】该几何体是一个直三棱柱，利用三视图的数据求解几何体的体积与表面积即可【解答】解：如图所示，该几何体是一个直三棱柱，是以俯视图为底面是三棱柱，棱柱的底面是等腰直角三角形，腰长为1，棱柱的高为1，其左侧面与底侧面都是边长为1的正方形且相互垂直，其三棱柱的表面积S3+三棱柱的体积为：故答案为：；【点评】本题考查了三棱柱的三视图及其J几何体的表面积体积的求法，属于基础题14（6分）ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，a7，b+c8，则bc15，ABC的面积S【分析】由已知利用余弦定理可求bc的值，
15、进而根据三角形面积公式即可计算得解【解答】解：，a7，b+c8，由余弦定理a2b2+c22bccosA，可得：49b2+c2+bc（b+c）2bc64bc，解得：bc15，SABCbcsinA故答案为：15，【点评】本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题15（4分）等比数列an，其前n项和，则实数a1【分析】由题意可得 a1，a2，a3，根据等比数列的定义可得4（a2）（4），解方程求出实数a的值【解答】解：由题意可得 a1a2，a2s2s1（a4）（a2）2，a3s3s2（a8）（a4）4，4（a2）（4），a1，故答案为：1【点评】本题考查等比
16、数列的定义和性质，等比数列的前n项和公式，第n项与前n项和的关系，求出等比数列的前三项，是解题的关键16（4分）数列an满足，则通项公式an【分析】当n1时，a11；当n2时，作差可得an，从而求通项公式；【解答】解：当n1时，a11；当n2时，a1+2a2+3a3+（n1）an1（n1）2，作差可得，nann2（n1）22n1，故an，a11也满足上式；故an，故答案为：【点评】本题考查了分类讨论的思想应用及数列的性质的判断与应用17（4分）对于任意的实数x和非零实数a，不等式恒成立，则实数m的取值范围为3，1【分析】先由绝对值三角不等式和基本不等式求出|+|3，再由题意可得m2+2m3，解
17、得即可【解答】解：由绝对值不等式的性质可得|x+|+|x|（x+）（x）|+|，等号成立当且仅当（x+）（x）0，又|+|+|23，等号成立当且仅当a6时，|+|3，不等式恒成立，m2+2m3，解得3m1，故实数m的取值范围为3，1，故答案为：3，1【点评】本题考查了绝对值三角不等式和基本不等式，以及函数恒成立的问题，属于中档题三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18已知等差数列an的前n项和为Sn，且S444，S856（）求Sn；（）求Sn的最大值【分析】设等差数列an的首项为a1，公差为d，由已知列式求得首项与公差（）直接代入等差数列的前n项和公式
18、求Sn；（）利用二次函数求最值【解答】解：设等差数列an的首项为a1，公差为d，由S444，S856，得，解得a114，d2（）；（），其对称轴方程为n，nN*，当n7或8时，Sn的最大值为56【点评】本题考查了等差数列的前n项和的求法，是基础题19记集合AxR|（x1）2a2x2（）若2A，求实数a的取值范围；（）若A，求实数a的值【分析】（）由集合AxR|（x1）2a2x2，2A，得14a2，由此能求出实数a的取值范围（）由A，得（1a2）x22x+10无解，由此能求出实数a的值【解答】解：（）集合AxR|（x1）2a2x2，2A，14a2，解得a或a实数a的取值范围是（，）（，+）（）A
19、，（x1）2a2x2无解，（1a2）x22x+10无解，44（1a2）0，解得a0实数a的值是0【点评】本题考查实数的取值范围的求法，考查元素与集合的关系、空集、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题20在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且c（acosBbcosA）3b2（）求证：a2b；（）若，求cosB的值【分析】（）由余弦定理化简已知等式即可得证（）由已知及余弦定理可得cb，再根据余弦定理即可计算得解cosB的值【解答】解：（）证明：c（acosBbcosA）3b2，由余弦定理可得 acbc3b2，即a2+c2b2b2c2+a26b2，即a
20、24b2，则a2b（），a2b，由余弦定理可得：c2a2+b2ab3b2，可得：cb，cosB【点评】本题主要考查余弦定理的应用，比较基础要求熟练掌握相应的公式212018年5月21日5点28分，在我国西昌卫星发射中心，由中国航天科技集团有限公司抓总研制的嫦娥四号中继星“鹊桥”搭乘长征四号丙运载火箭升空，这标志着我国在月球探测领域取得新的突破早在1671年，两位法国天文学家就已经成功测量出了地球与月球之间的距离，接下来，让我们重走这两位科学家的测量过程如图，设O为地球球心，C为月球表面上一点，A，B为地球上位于同一子午线（经线）上的两点，地球半径记为R步骤一：经测量，A，B两点的纬度分别为北纬
21、30和南纬60，即，可求得；步骤二：经测量计算，CAB，CBA，计算|AC|；步骤三：利用以上测量及计算结果，计算|OC|请你用解三角形的相关知识，求出步骤二、三中的|AC|及|OC|的值（结果均用，R表示）【分析】由已知结合正弦定理求|AC|；在AOC中，由余弦定理求|OC|【解答】解：如图，CAB，CBA，ACB，由正弦定理可得：，|AC|；在AOC中，【点评】本题考查三角形的解法，考查正弦定理即余弦定理的应用，是中档题22已知数列an满足a11，且当nN*时，恒有an1|3anan+1|（）求证：i）an1；ii）an+12an+1，nN*；（）记，证明：Tn1，nN*【分析】（）i）由
22、绝对值为非负数，即可得证；ii）由绝对值不等式的解法，整理即可得证；（）由an+12an+1，结合数列恒等式可得an2n1，则，再由裂项相消求和和不等式的性质，即可得证【解答】证明：（）i）a11，且当nN*时，恒有an1|3anan+1|，由|3anan+1|0，可得an10，即an1；ii）由当nN*时，恒有an1|3anan+1|，可得1anan+13anan1，即有1+2anan+14an1，则an+12an+1，nN*；（）由an+12an+1，可得an+1+12（an+1），由an+1（a1+1）22222n，则an2n1，则，可得+11，即Tn1，nN*【点评】本题考查数列不等式的证明，注意运用绝对值不等式的解法和放缩法证明、以及裂项相消求和，考查运算能力和推理能力，属于中档题
