1、2017-2018学年浙江省杭州市高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每个小题给出的四个选项中，有且仅有一项是符合题目要求的1（3分）已知集合A0，5，B0，1，3，则AB（）A0BC1，3，5D0，1，3，52（3分）函数f（x）ln（x1）的定义域为（）A0，1B（0，1）C（1，+）D（，1）3（3分）已知向量，满足（1，2），（2，0），则2+（）A（4，4）B（2，4）C（2，2）D（3，2）4（3分）log69+log64（）Alog62B2Clog63D35（3分）已知等差数列an的公差为d，前n项和为Sn，若a2S42，则d（）A1B3C
2、5D76（3分）12sin222.5（）A1BCD7（3分）已知点D为ABC的边BC的中点，则（）A（）B（+）C（）D（+）8（3分）为了得到函数ysin2x的图象，可以将函数ycos2x的图象（）A向右平移个单位长度B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度D向左平移个单位长度9（3分）ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则ABC是（）A等边三角形B有一个内角为30的直角三角形C等腰直角三角形D有一个内角为30的等腰三角形10（3分）若实数x，y，z满足x40.5，ylog53，zsin（+2），则（）AxzyByzxCzxyDzyx11（3分）若函数f（x）2ax2x1在区间（
3、0，1）上恰有一个零点，则（）Aa或a1Ba1或a0Ca1Da12（3分）设函数f（x）|AsinxB|（A0，BR），则f（x）的最小正周期（）A与A有关，且与B有关B与A无关，且与B有关C与A无关，且与B无关D与A有关，且与B无关13（3分）设数列an的前n项和为Sn，若存在实数M0，使得对任意的nN*，都有|Sn|M，则称数列an为“L数列”（）A若an是等差数列，且首项a10，则数列an是“L数列”B若an是等差数列，且公差d0，则数列an是“L数列”C若an是等比数列，且公比q满足|q|1，则数列an是“L数列”D若an是等比数列，也是“L数列”，则数列an的公比q满足|q|114（
4、3分）设f（x），记f1（x）f（x），fk+1（x）f（fk（x）（k1，2，3，），则（）A当x2时，不等式f2018（x）2恒成立B当0x2时，f2018（x）单调递增C当0x2时，f2018（x）单调递减D当x0时，不等式f2018（x）0有解15（3分）已知平面向量，满足|1，若对任意平面向量，都有|2（t2）+t（）（）成立，则实数t的最大值是（）A1B1C1D2二、填空题：本大题共8小题，每空3分，共36分16（3分）幂函数f（x）的图象过点，则f（4） 17（6分）设Sn为等比数列an的前n项和若a11，a48，则a3 ，S5 18（3分）已知向量，满足（1，2），（2，m）若
5、，则m 19（6分）已知2sinxcosx，则sinx ，tan2x 20（3分）函数f（x）a2x1（a0，a1）的图象过定点 21（6分）设函数f（x）2sin（2x+）（xR），则函数f（x）的最小正周期是 ，单调递增区间是 22（3分）在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2b2bc，sinC2sinB，则A 23（6分）已知ABC是边长为2的等边三角形，M为ABC内部或边界上任意一点，则（+）的最大值为 ，最小值为 三、解答题：本大题共2小题，共19分，要求写出详细的推证和运算过程24（9分）已知函数f（x）4cosxsin（x）（xR）（I）求f（）；（）求f（x）
6、在0，上的值域25（10分）设正项数列an的前n项和为Sn，若a11，2Snanan+1（nN*）（）求a2，a3以及数列an的通项公式；（）设bn，数列bn的前n项和为Tn；（i）求Tn；（ii）证明：+2Tn（nN*）2017-2018学年浙江省杭州市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每个小题给出的四个选项中，有且仅有一项是符合题目要求的1（3分）已知集合A0，5，B0，1，3，则AB（）A0BC1，3，5D0，1，3，5【分析】由A与B，求出A与B的交集即可【解答】解：集合A0，5，B0，1，3，则AB0，故选：A【点评】此题考
7、查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2（3分）函数f（x）ln（x1）的定义域为（）A0，1B（0，1）C（1，+）D（，1）【分析】由对数式的真数大于0求解x的范围得答案【解答】解：由x10，得x1函数f（x）ln（x1）的定义域为（1，+）故选：C【点评】本题考查函数的定义域及其求法，是基础题3（3分）已知向量，满足（1，2），（2，0），则2+（）A（4，4）B（2，4）C（2，2）D（3，2）【分析】直接利用向量的坐标的加法运算求出结果【解答】解：向量，满足（1，2），（2，0），则：2+2（1，2）+（2，0）（4，4）故选：A【点评】本题考查的知识要点：向量的加法运算
8、的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型4（3分）log69+log64（）Alog62B2Clog63D3【分析】利用对数的运算法则直接求解【解答】解：log69+log64log6362故选：B【点评】本题考查对数值的求法，考查对数性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题5（3分）已知等差数列an的公差为d，前n项和为Sn，若a2S42，则d（）A1B3C5D7【分析】由题意可得，解得即可【解答】解：等差数列an的公差为d，前n项和为Sn，a2S42，解得a15，d3，故选：B【点评】本题考查了等差数列的通项公式和求和公式，考查了运算能力和转化
9、能力，属于基础题6（3分）12sin222.5（）A1BCD【分析】直接利用二倍角公式化简求解即可【解答】解：12sin222.5cos45故选：C【点评】本题考查二倍角公式的应用，三角函数化简求值，考查计算能力7（3分）已知点D为ABC的边BC的中点，则（）A（）B（+）C（）D（+）【分析】由于点D是ABC的边BC上的中点，利用向量的平行四边形法则可得（+），得出答案即可；【解答】解：点D是ABC的边BC上的中点，根据向量的平行四边形法则可得（+），故选：B【点评】本题考查了向量的平行四边形法则和三角形法则、数量积运算，属于基础题8（3分）为了得到函数ysin2x的图象，可以将函数ycos
10、2x的图象（）A向右平移个单位长度B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度D向左平移个单位长度【分析】利用诱导公式，函数yAsin（x+）的图象变换规律，得出结论【解答】解：只需将函数ycos2xsin（2x+）的图象上的所有点沿x轴向右平移个单位长度，可得函数ysin2x的图象，故选：A【点评】本题主要考查诱导公式的应用，函数yAsin（x+）的图象变换规律，统一这两个三角函数的名称，是解题的关键，属于基础题9（3分）ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则ABC是（）A等边三角形B有一个内角为30的直角三角形C等腰直角三角形D有一个内角为30的等腰三角形【分析】由正弦定理结合条件
11、可得 sinBcosB，sinCcosC，故有 BC45且 A90，由此即可判断三角形的形状【解答】解：在ABC 中，则由正弦定理可得 sinBcosB，sinCcosC，BC45，A90，故ABC为等腰直角三角形，故选：C【点评】本题主要考查正弦定理的应用，根据三角函数的值求角，判断三角形的形状的方法，属于中档题10（3分）若实数x，y，z满足x40.5，ylog53，zsin（+2），则（）AxzyByzxCzxyDzyx【分析】利用对数的运算性质及三角函数值的符号进行大小比较【解答】解：x40.52，0ylog53log551，zsin（+2）cos20，zyx故选：D【点评】本题考查三
12、角函数值的符号，考查对数的运算性质，是基础题11（3分）若函数f（x）2ax2x1在区间（0，1）上恰有一个零点，则（）Aa或a1Ba1或a0Ca1Da【分析】讨论a的不同取值以确定方程是否是二次方程及二次方程的根的大致位置，再由方程的根与函数的零点的关系判断即可【解答】解：若函数f（x）2ax2x1在区间（0，1）内恰有一个零点，则方程2ax2x10在区间（0，1）内恰有一个根，若a0，则方程2ax2x10可化为：x10方程的解为1，不成立；若a0，则方程2ax2x10不可能有正根，故不成立；若a0，则1+8a0，且c10；故方程有一正一负两个根，故方程2ax2x10在区间（0，1）内恰有一
13、个解可化为（2a0201）（2a1211）0；解得，a1；故实数a的取值范围是（1，+），故选：C【点评】本题考查了方程的根的判断及分类讨论的数学思想应用，属于中档题12（3分）设函数f（x）|AsinxB|（A0，BR），则f（x）的最小正周期（）A与A有关，且与B有关B与A无关，且与B有关C与A无关，且与B无关D与A有关，且与B无关【分析】根据题意，讨论B0和B0时，求出f（x）|AsinxB|的最小正周期，即可得出正确的结论【解答】解：函数f（x）|AsinxB|（A0，BR），当B0时，f（x）|Asinx|，其最小正周期为，当B0时，f（x）|AsinxB|，其最小正周期为2，f（x
14、）的最小正周期与A无关，且与B有关故选：B【点评】本题考查了三角函数的周期性问题，是基础题13（3分）设数列an的前n项和为Sn，若存在实数M0，使得对任意的nN*，都有|Sn|M，则称数列an为“L数列”（）A若an是等差数列，且首项a10，则数列an是“L数列”B若an是等差数列，且公差d0，则数列an是“L数列”C若an是等比数列，且公比q满足|q|1，则数列an是“L数列”D若an是等比数列，也是“L数列”，则数列an的公比q满足|q|1【分析】求出等差数列的前n项和公式，取d0即可判断A错误；举例首项不为0判断B错误；求出等比数列的前n项和，由绝对值不等式证明C正确；举例说明D错误【
15、解答】解：对于A，若an是等差数列，且首项a10，当d0时，当n+时，|Sn|+，则an不是“L数列”，故A错误；对于B，若an是等差数列，且公差d0，Snna1，当a10时，当n+时，|Sn|+，则an不是“L数列”，故B错误；对于C，若an是等比数列，且公比|q|1，|Sn|，则an是“L数列”，故C正确；对于D，若an是等比数列，且an是“L数列”，则an的公比|q|1或q1，故D错误故选：C【点评】本题是新定义题，考查了等差数列和等比数列的应用，对题意的理解是解答此题的关键，属中档题14（3分）设f（x），记f1（x）f（x），fk+1（x）f（fk（x）（k1，2，3，），则（）A当
16、x2时，不等式f2018（x）2恒成立B当0x2时，f2018（x）单调递增C当0x2时，f2018（x）单调递减D当x0时，不等式f2018（x）0有解【分析】由f（x）（x1）+2，求得f（x）的单调性，由基本不等式可得f（x）在x2时的最值，即可通过单调性可得f2018（x）的最值和单调性，可判断正确结论【解答】解：f（x）（x1）+2，可得f（x）在x2，或x0时递增，在1x2，或0x1时递减，则当x2时，x11，f（x）42，f1（x）2，f2（x）2，不等式f2018（x）2恒成立；当0x2时，f2018（x）不单调；当x0，f（x）递增，即有f（x）0，可得f1（x）0，f2（x
17、）0，不等式f2018（x）0无解综上可得B，C，D均不正确；A正确故选：A【点评】本题考查函数的单调性和最值求法，考查运算能力和推理能力，属于中档题15（3分）已知平面向量，满足|1，若对任意平面向量，都有|2（t2）+t（）（）成立，则实数t的最大值是（）A1B1C1D2【分析】可设（1，0），（0，1），（a，b），（c，d），运用向量数量积的坐标表示可得a2+b2+c2+d2t（ac+bd+bc），要求t的最大值，不妨设a，b，c，d0，可得t的最小值，运用基本不等式和待定系数法即可得到所求t的最大值【解答】解：平面向量，满足|1，可设（1，0），（0，1），（a，b），（c，d），|
18、2（t2）+t（）（）即为2+2t+t（）（），即有a2+b2+c2+d2t（ac+bd+bc），要求t的最大值，不妨设a，b，c，d0，可得t的最小值，设a2+b2+c2+d2（a2+kc2）+（mb2+lc2）+（nb2+d2），由（a2+kc2）+（mb2+lc2）+（nb2+d2）2ac+2bc+2bd，且m+n1k+l，222，即有m，22m1，则21，可得t1，t的最大值为1故选：C【点评】本题考查向量数量积的坐标表示和不等式恒成立问题解法，注意运用坐标法和基本不等式，化简变形是解题的关键，属于难题二、填空题：本大题共8小题，每空3分，共36分16（3分）幂函数f（x）的图象过点，
19、则f（4）2【分析】设出幂函数的解析式，由图象过，确定出解析式，然后令x4即可得到f（4）的值【解答】解：设f（x）xa，因为幂函数图象过，则有3a，a，即f（x），f（4）（4）2故答案为：2【点评】考查学生会利用待定系数法求幂函数的解析式会根据自变量的值求幂函数的函数值17（6分）设Sn为等比数列an的前n项和若a11，a48，则a34，S531【分析】利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出【解答】解：设等比数列an的公比为qa11，a48，q38，解得q2则a3224，S531故答案为：4，31【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18（3
20、分）已知向量，满足（1，2），（2，m）若，则m4【分析】利用向量共线定理即可得出【解答】解：，m40，解得：m4故答案为：4【点评】本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题19（6分）已知2sinxcosx，则sinx，tan2x【分析】联立，解得sinx，cosx可得tanx利用倍角公式可得tan2x【解答】解：联立，解得sinx，cosxtanx2tan2x故答案为：，【点评】本题考查了同角三角函数基本关系式、倍角公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题20（3分）函数f（x）a2x1（a0，a1）的图象过定点（2，0）【分析】令幂指数等于零，求得x，y的中，可得图
21、象经过定点的坐标【解答】解：令2x0，求得x2，y0，可得函数f（x）a2x1（a0，a1）的图象过定点（2，0），故答案为：（2，0）【点评】本题主要考查指数函数的单调性和特殊点，属于基础题21（6分）设函数f（x）2sin（2x+）（xR），则函数f（x）的最小正周期是，单调递增区间是k，k+，kZ【分析】由题意利用正弦函数的周期性和单调性，得出结论【解答】解：函数f（x）2sin（2x+）（xR）的最小正周期是；令2k2x+2k+，求得kxk+，可得函数的增区间为k，k+，kZ，故答案为：；k，k+，kZ【点评】本题主要考查正弦函数的周期性和单调性，属于基础题22（3分）在ABC中，内角
22、A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2b2bc，sinC2sinB，则A30【分析】已知sinC2sinB利用正弦定理化简，代入第一个等式用b表示出a，再利用余弦定理列出关系式，将表示出的c与a代入求出cosA的值，即可确定出A的度数【解答】解：将sinC2sinB利用正弦定理化简得：c2b，代入得a2b2bc6b2，即a27b2，由余弦定理得：cosA，A为三角形的内角，A30故答案为：30【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键23（6分）已知ABC是边长为2的等边三角形，M为ABC内部或边界上任意一点，则（+）的最大值为2，最小值为【分析】建
23、立平面直角坐标系，利用坐标表示点A、B、C，设点M（x，y），计算（+）的最大、最小值即可【解答】解：建立平面直角坐标系，如图所示，ABC中，A（0，），B（1，0），C（1，0），设M（x，y），则；（x，y），（1x，y），（1x，y）；+（2x，2y）；（+）2x2+2y22y2x2+；由图形知，当x0，y时，（+）取得最小值；当x1，y0时，（+）取得最大值2；最大值为2，最小值为故答案为：2，【点评】本题主要考查了平面向量数量积的基本运算，坐标系的建立可以简化基本运算三、解答题：本大题共2小题，共19分，要求写出详细的推证和运算过程24（9分）已知函数f（x）4cosxsin（x）（
24、xR）（I）求f（）；（）求f（x）在0，上的值域【分析】（）展开两角差的正弦，降幂后再由辅助角公式化积，代入x求f（）的值；（）由x的范围可得的范围，则函数值域可求【解答】解：（）f（x）4cosxsin（x）4cosx（sinxcoscosxsin）4cosx（）2sinxcosx2sin2xsin2xf（）；（）x0，则2sin（2x），2即f（x）在0，上的值域为2，2【点评】本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查三角函数值域的求法，是基础题25（10分）设正项数列an的前n项和为Sn，若a11，2Snanan+1（nN*）（）求a2，a3以及数列an的通项公式；（）设bn，数列bn的
25、前n项和为Tn；（i）求Tn；（ii）证明：+2Tn（nN*）【分析】（）先代值计算，并猜想通项公式，利用数学归纳法证明即可，（）（i）根据等比数列的求和公式计算即可，（ii）先根据裂项求和可得+2（1），再用分析法可得要证+2Tn（nN*）只要证n+12n，再用数学归纳法证明即可【解答】解：（）a11，2Snanan+1，2a1a1a2，即a22，2（a1+a2）a2a3，即a33，猜想ann，证明如下：当n1时，显然成立，假设当nk时成立，即akk，则Sk那么当nk+1时，ak+1k+1，故nk+1时也成立，由可得ann，对于nN*都成立，数列an的通项公式为ann；（）bn（）n，（i）Tn1，（ii）由（）可知Sn，2（），+2（1+）2（1），要证明+2Tn，只要证明2（1）2（1），只要证，只要证n+12n，当n1时，不等式显然成立，假设当nk时，不等式成立，即k+12k，那么当nk+1时，k+2k+1+12k+12k+1，即当nk+1时不等式成立，由由可得n+12n，对于nN*都成立，故+2Tn（nN*）【点评】本题考查了数学归纳法和裂项求和，等比数列的求和公式，考查了运算能力和分析推理论证能力，属于中档题
