1、2017-2018学年浙江省杭州市地区（含周边）重点中学高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（4分）已知集合Px|x0，Qx|1x1，则PQ（）A（1，1）B（0，1）C（0，+）D（1，+）2（4分）（）ABCD3（4分）设函数f（x）log2x+2x3，则函数f（x）的零点所在的区间为（）A（0，1）B（1，2）C（2，3）D（3，4）4（4分）将函数f（x）sin2x的图象向右平移个单位，所得图象对应的函数表达式为（）Aysin（2x）Bysin（2x+）Cysin（2x）Dysin（2x+）5（4分）
2、已知函数yf（x）+x是偶函数，且f（2）1，则f（2）（）A2B3C4D56（4分）下列函数中，周期为，且在区间（）上单调递减的是（）AysinxcosxBy|cos2x|Cytan（x+）Dysinxcosx7（4分）已知a（），blog93，c，则a，b，c的大小关系是（）AabcBcabCacbDcba8（4分）定义在区间（0，）上的函数y2cosx的图象与函数y3tanx的图象的交点为M，则点M到x轴的距离为（）ABC1D9（4分）已知定义域为R的函数f（x）满足f（x）f（x1），则函数f（x）在区间1，1）上的图象可能是（）ABCD10（4分）如图，在平面内，ABC是边长为3的正
3、三角形，四边形EFGH是边长为1且以C为中心的正方形，M为边GF的中点，点N是边EF上的动点，当正方形EFGH绕中心C转动时，的最大值为（）ABCD二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分11（4分）计算：tan120 12（4分）求值： 13（4分）已知不共线的三个向量，满足，则 14（4分）已知幂函数f（x）x的图象过点（4，2），则 ；log3f（3） 15（4分）若两个非零向量满足|，则向量与的夹角的大小为 16（4分）已知函数若f（x）在上既有最大值又有最小值，则实数a的取值范围是 17（4分）设关于x的方程x2ax20和x2x1a0的实根分别为x1，x2和x3，x4，若x1
4、x3x2x4，则a的取值范围是 三、解答题：本大题共4小题，共52分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤18（12分）已知函数f（x）2cos2x+2sinxcosx1（）求的值；（）求函数f（x）的最大值和单调递增区间19（12分）已知向量，是同一平面内的三个向量，其中（）若，且，求向量的坐标；（）若，且，求20（14分）已知函数f（x）（2x1）（2x+13）a，其中a是常数（）若a6，且f（x）0，求实数x的取值范围；（）若方程f（x）0有两个不相等实根，求实数a的取值范围21（14分）已知函数f（x）log2（a+），其中a为实数（）若a1，求函数f（x）的定义域；（）若关于x的
5、不等式f（x）log2（|x2a|+2）对任意x3，6恒成立，求实数a的取值范围2017-2018学年浙江省杭州市地区（含周边）重点中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（4分）已知集合Px|x0，Qx|1x1，则PQ（）A（1，1）B（0，1）C（0，+）D（1，+）【分析】进行交集的运算即可【解答】解：PQ（0，1）故选：B【点评】考查描述法、区间表示集合的定义，以及交集的运算2（4分）（）ABCD【分析】直接用向量加减法容易得解【解答】解：故选：D【点评】此题考查了向量加减法，属容易
6、题3（4分）设函数f（x）log2x+2x3，则函数f（x）的零点所在的区间为（）A（0，1）B（1，2）C（2，3）D（3，4）【分析】判断函数的单调性与连续性，利用零点判定定理求解即可【解答】解：函数f（x）log2x+2x3，在x0时是连续增函数，因为f（1）log21+2310，f（2）log22+431+10，所以f（1）f（2）0，由零点判定定理可知，函数的零点在（1，2）故选：B【点评】本题考查函数的零点判定定理的应用，函数的单调性的判断是一疏忽点4（4分）将函数f（x）sin2x的图象向右平移个单位，所得图象对应的函数表达式为（）Aysin（2x）Bysin（2x+）Cysin
7、（2x）Dysin（2x+）【分析】根据函数yAsin（x+）的图象变换规律，可得结论【解答】解：函数ysin2x的图象向右平移个单位，那么所得的图象的函数解析式是ysin2（x）sin（2x），故选：C【点评】本题主要考查函数yAsin（x+）的图象变换规律，属于中档题5（4分）已知函数yf（x）+x是偶函数，且f（2）1，则f（2）（）A2B3C4D5【分析】由函数yf（x）+x是偶函数，得f（2）2f（2）+2，得f（2）f（2）+2+25【解答】解：函数yf（x）+x是偶函数，f（2）2f（2）+2，f（2）f（2）+2+25故选：D【点评】本题考查了函数的奇偶性的应用，属于基础题6（
8、4分）下列函数中，周期为，且在区间（）上单调递减的是（）AysinxcosxBy|cos2x|Cytan（x+）Dysinxcosx【分析】利用正弦函数的周期性和单调性，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论【解答】解：ysinxcosxsin（x）的最小正周期为2，故D错误，排除Dysinxcosxsin2x的最小正周期为，在区间（）上，2x（，），函数单调递减，故B正确y|cos2x|的最小正周期为，故C不满足条件，故排除C，故选：A【点评】本题主要考查正弦函数的周期性和单调性，属于基础题7（4分）已知a（），blog93，c，则a，b，c的大小关系是（）AabcBcabCacbDcba【
9、分析】利用幂函数指数函数与对数函数的单调性即可得出【解答】解：a（），blog93，c1，cba故选：D【点评】本题考查了幂函数指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题8（4分）定义在区间（0，）上的函数y2cosx的图象与函数y3tanx的图象的交点为M，则点M到x轴的距离为（）ABC1D【分析】由题意令2cosx3tanx，x（0，），求出x的值，再计算对应的y值【解答】解：由题意，令2cosx3tanx，x（0，），可得2cos2x3sinx，即 22sin2x3sinx，即 2sin2x+3sinx20，求得sinx，x，y2cos2即点M到x轴的距离为故选：B
10、【点评】本题考查了正切函数和余弦函数的应用问题，是基础题9（4分）已知定义域为R的函数f（x）满足f（x）f（x1），则函数f（x）在区间1，1）上的图象可能是（）ABCD【分析】函数的图象的平移和对称即可判断【解答】解：由函数f（x）满足f（x）f（x1），可知，把f（x）在1，0上的图象向右平移一个单位，然后再关于x轴对称得到f（x）在（0，1上的图象，故只有C满足故选：C【点评】本题考查了函数的图象的平移和对称，属于基础题10（4分）如图，在平面内，ABC是边长为3的正三角形，四边形EFGH是边长为1且以C为中心的正方形，M为边GF的中点，点N是边EF上的动点，当正方形EFGH绕中心C转
11、动时，的最大值为（）ABCD【分析】把向量用表示，所求数量积化为两个数量积的差，新的数量积最值容易确定，进而得解【解答】解：，当共线反向时，的最小值为，的最大值为，故选：A【点评】此题考查了数量积，数形结合分析最值等，难度适中二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分11（4分）计算：tan120【分析】利用诱导公式以及特殊角的三角函数求解即可【解答】解：tan120tan60故答案为：【点评】本题考查诱导公式的应用，三角函数化简求值，是基本知识的考查12（4分）求值：1【分析】利用指数、对数的性质、运算法则直接求解【解答】解：lg10+（2）121故答案为：1【点评】本题考查指数式、对
12、数式化简求值，考查指数、对数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题13（4分）已知不共线的三个向量，满足，则2【分析】在原式两边同时减去，不难转化为的关系，得解【解答】解：由+，得，（+），2，故答案为：2【点评】此题考查了向量之间的数乘关系，难度不大14（4分）已知幂函数f（x）x的图象过点（4，2），则；log3f（3）【分析】根据幂函数的图象过点（4，2）求出的值，写出f（x）的解析式，再计算log3f（3）的值【解答】解：幂函数f（x）x的图象过点（4，2），42，解得；f（x），log3f（3）log3f（3）log3故答案为：，【点评】本题考查了幂函数的图象与性质的
13、应用问题，是基础题15（4分）若两个非零向量满足|，则向量与的夹角的大小为【分析】直接利用向量的夹角运算和数量积运算求出结果【解答】解：非零向量满足|，则：，所以，即：，则：故答案为：【点评】本题考查的知识要点：向量的数量积运算的应用，向量的夹角公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型16（4分）已知函数若f（x）在上既有最大值又有最小值，则实数a的取值范围是（，0）【分析】画出函数f（x）的图象，若f（x）在上既有最大值又有最小值，结合图象得到，解得即可【解答】解：f（x）的图象如图所示f（x）在上既有最大值又有最小值，解得a0，故a的取值范围为（，0），故答案为：（，0）
14、，【点评】本题考查了函数的图象和画法和识别，以及函数的最值问题，属于中档题17（4分）设关于x的方程x2ax20和x2x1a0的实根分别为x1，x2和x3，x4，若x1x3x2x4，则a的取值范围是（1，1）【分析】由x2ax20，得，由x2x1a0，得ax2x1在同一个坐标系中画出和yx2x1的图象，求出两函数的交点坐标，数形结合得答案【解答】解：由x2ax20，得，由x2x1a0，得ax2x1在同一个坐标系中画出和yx2x1的图象如图：由，化简得x32x2x+20，此方程显然有根x2，x32x2x+2（x+1）（x1）（x2）0，解得x1或x1或x2，当x2，或x1时，y1；当x1时，y1
15、，由题意可知，1a1a的取值范围是（1，1）故答案为：（1，1）【点评】本题考查根的存在性及根的个数判断，考查数学转化思想方法及数形结合的解题思想方法，是中档题三、解答题：本大题共4小题，共52分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤18（12分）已知函数f（x）2cos2x+2sinxcosx1（）求的值；（）求函数f（x）的最大值和单调递增区间【分析】（）利用三角函数恒等变换的应用可求f（x）2sin（2x+），利用特殊角的三角函数值即可计算得解（）由（）知，利用正弦函数的图象和性质即可求解【解答】（本题满分12分）解：（）f（x）2cos2x+2sinxcosx1sin2x+cos2
16、x2sin（2x+），（4分）（6分）（）由（）知，当2x+2k+，即xk+时，f（x）max2，（9分）由2k2x+2k+，得kxk+，（kZ），所以，单调递增区间为：k，k+，（kZ） （12分）（其他解法酌情给分）【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，特殊角的三角函数值，正弦函数的图象和性质的综合应用，考查了转化思想，属于基础题19（12分）已知向量，是同一平面内的三个向量，其中（）若，且，求向量的坐标；（）若，且，求【分析】（）令，则4，由此能求出结果（）由，得，由此能求出结果【解答】（本题满分12分）解：（）令，则4，解得24，2，（4分），或（6分）（），（9分）（12分）
17、【点评】本题考查向量的坐标、向量的数量积的求法，考查向量平行、向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题20（14分）已知函数f（x）（2x1）（2x+13）a，其中a是常数（）若a6，且f（x）0，求实数x的取值范围；（）若方程f（x）0有两个不相等实根，求实数a的取值范围【分析】（）求得a6时的不等式，由指数不等式的解法可得所求解集；（）可令t2x，则方程f（x）0有两个不相等的实根等价于方程2t25t+3a0有两个不相等的正实根t1，t2，由判别式大于0和韦达定理，解不等式即可得到所求范围【解答】解：（）由已知a6，且f（x）0，可得2（2x）252x30，可得2x3或2x（舍
18、去），解得xlog23，则x的取值范围是log23，+）；（）f（x）（2x1）（2x+13）a2（2x）252x+3a，令t2x，则方程f（x）0有两个不相等的实根等价于方程2t25t+3a0有两个不相等的正实根t1，t2，则有【点评】本题考查指数不等式的解法，考查函数方程的转化思想，以及二次方程实根的分布，考查运算能力，属于中档题21（14分）已知函数f（x）log2（a+），其中a为实数（）若a1，求函数f（x）的定义域；（）若关于x的不等式f（x）log2（|x2a|+2）对任意x3，6恒成立，求实数a的取值范围【分析】（）代入a的值，求出函数的解析式，解不等式求出函数的定义域即可；（
19、）问题转化为|x2a|+2a0在x3，6恒成立，记g（x）|x2a|+2a，则g（x）max0，求出函数的最大值，从而确定a的范围即可【解答】解：（）a1，由，解得：x2或x2，f（x）的定义域为（，2）（2，+） （5分）（）由题意log2（a+）log2（|x2a|+2）对任意x3，6恒成立，即|x2a|+2a0在x3，6恒成立，记g（x）|x2a|+2a，则g（x）max0，又g（x） （9分）（1）当2a3，即a时，g（x）x+23a，此时g（x）在x3，6上单调递增，所以只需g（6）0，得a，a；（2）当2a6即a3时，g（x）x+2+a（x2+）+a，又yx2+在x3，4上单调递减，在4，6上单调递增，g（x）maxg（4）0，得a4，3a4；（3）当32a6即a3时，由（1）和（2）可知g（x）maxmaxg（4），g（6）maxa4，73a，得a40且73a0，即a4，a3，综上所述，a4（14分）【点评】本题考查了函数的定义域问题，考查函数的最值以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题
