1、2017-2018学年浙江省杭州二中高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案填在答卷相应空格中）1（3分）集合A1，2，3，4，Bx|（x1）（xa）0，若集合AB2，3，4，则实数a的范围是（）A4a5B4a5CC4a5Da42（3分）已知，则a，b，c的大小关系是（）AabcBcabCacbDcba3（3分）已知函数则f（2）（）AB3CD94（3分）下列函数是偶函数，且在0，1上单调递增的是（）ABy12cos22xCy|ln|x|Dy|sin（+x）|5（3分）已知锐角满足，则sincos等于（
2、）ABCD6（3分）若是一组基底，向量，则称（x，y）为向量在基底下的坐标，现已知向量在基底下的坐标为（2，1），则向量在另一组基底下的坐标为（）A（2，1）B（1，2）C（1，2）D（2，1）7（3分）函数的零点个数为（）A1个B2个C3个D4个8（3分）将函数的图象向左平移个单位，得到g（x）的图象，若g（x1）g（x2）4，且x1，x22，2，则x1x2的最大值为（）ABCD9（3分）P为三角形内部一点，m，n，k为大于1的正实数，且满足，若SPAB，SPAC，SPBC分别表示PAB，PAC，PBC的面积，则SPAB：SPAC：SPBC为（）Ak：n：mB（k+1）：（n1）：mCDk2
3、：n2：m210（3分）已知函数f（x）若当方程f（x）m有四个不等实根x1，x2，x3，x4（x1x2x3x4）时，不等式x12+x22+x32+x428（x1+x2+x3+x4）+k（x3x417x1x2）恒成立，则实数k的最小值为（）ABCD二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分，把答案填在答卷中相应横线上）11（4分）设扇形的半径长为4cm，面积为4cm2，则扇形的圆心角的弧度数是 12（4分）若2，则sin（5）sin 13（4分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x+1）为奇函数若f（4）1，则f（2018） 14（4分）若f（sin2x）13sinx+13co
4、sx+16，则 15（4分）设单位向量对任意实数都有，则向量的夹角为 16（4分）在ABC中，A为钝角，AB2，AC3，+且2+31，若|x|（其中x为实数）的最小值为1，则|的最小值为 17（4分）函数f（x）|2x+t|t，x0，1，（t为常数）的最大值为，则t的取值范围为 三、解答题：本大题共4小题，共42分.18（10分）已知函数f（x）Asin（x+），的部分图象如图所示，P为最高点，且PMN的面积为（）求函数f（x）的解析式并写出函数的对称轴方程；（）把函数yf（x）图象向右平移个单位，然后将图象上点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到函数yg（x）的图象，若函数yg（x）在0，
5、5内恰有5个函数值为2的点，求的取值范围19（10分）已知函数f（x）cos（2x）+2sin（x）sin（x+）（）求函数f（x）在区间上的单调性；（）若A，B，C为ABC的三个内角，且为锐角，求cosC的值20（10分）已知OAB的顶点坐标为O（0，0），A（2，3），B（2，1），点P的纵坐标为2，且，点Q是边AB上一点，且（）求点P与点Q的坐标；（）以OP，OQ为邻边构造平行四边形OPMQ，（M为平行四边形的顶点），若E，F分别在线段PM，MQ上，并且满足，试求的取值范围21（12分）已知函数f（x）x|xa|+1（xR）（）当a2时，求函数g（x）f（x）x的零点；（）当a1，求函数
6、yf（x）在x1，3上的最大值；（）对于给定的正数a，有一个最大的正数M（a），使x0，M（a）时，都有|f（x）|2，试求出这个正数M（a），并求它的取值范围2017-2018学年浙江省杭州二中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案填在答卷相应空格中）1（3分）集合A1，2，3，4，Bx|（x1）（xa）0，若集合AB2，3，4，则实数a的范围是（）A4a5B4a5CC4a5Da4【分析】根据集合A1，2，3，4，Bx|1xa，集合AB2，3，4，那么B的范围a要大于4即可得结论【
7、解答】解：由集合A1，2，3，4，Bx|1xa或Bx|ax1集合AB2，3，4，a4故选：D【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2（3分）已知，则a，b，c的大小关系是（）AabcBcabCacbDcba【分析】根据指数幂，对数的性质分别估算，a，b，c的大小即可【解答】解：，0a1，则cab，故选：B【点评】本题主要考查函数值的大小比较，根据对数，指数幂的性质进行估算是解决本题的关键3（3分）已知函数则f（2）（）AB3CD9【分析】当x0时，则f（），由此能求出结果【解答】解：当x0时，则故选：D【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解
8、能力，考查函数与方程思想，是基础题4（3分）下列函数是偶函数，且在0，1上单调递增的是（）ABy12cos22xCy|ln|x|Dy|sin（+x）|【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性以及在区间0，1上的单调性，综合即可得答案【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，对于函数，此函数为偶函数，且在区间0，1上单调递减，A选项错误；对于B，对于函数y12cos22xcos4x，此函数为偶函数，且当0x1时，04x4，故函数y12cos22x在区间0，1上不单调，B选项错误；对于C，对于函数y|ln|x|，该函数为偶函数，且函数y|ln|x|在区间0，1上单调递减，C选项错误；对于D，
9、对于函数y|sin（+x）|sinx|sinx|，定义域为R，且|sin（x）|sinx|sinx|，故该函数为偶函数，且当0x1时，ysinx，结合图象可知，函数y|sin（+x）|在区间0，1上单调递增，符合题意，故选：D【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的判定，关键是掌握函数奇偶性的判断方法5（3分）已知锐角满足，则sincos等于（）ABCD【分析】利用二倍角公式以及两角和与差的三角函数以及同角三角函数基本关系式化简求解即可【解答】解：由，得，sin+cos0，则，两边平方得：，故选：A【点评】本题考查两角和与差的三角函数二倍角公式以及同角三角函数基本关系式的应用，考查计算能力6（3
10、分）若是一组基底，向量，则称（x，y）为向量在基底下的坐标，现已知向量在基底下的坐标为（2，1），则向量在另一组基底下的坐标为（）A（2，1）B（1，2）C（1，2）D（2，1）【分析】通过向量的变换，求出向量，结合平面向量的基本定理转化求解即可【解答】解：由题意，得；设，即（0，3）x（2，1）+y（4，1）（2x4y，xy），则，解得，故选：A【点评】本题考查平面向量的基本定理的应用，是基本知识的考查7（3分）函数的零点个数为（）A1个B2个C3个D4个【分析】令函数，即log4xcosx，分别作出函数h（x）log5x，g（x）cosx的图象，通过数形结合判断方程解的个数【解答】解：令函
11、数，即log4xcosx，分别作出函数h（x）log4x，g（x）cosx，观察可得，在（0，1）内有一交点，由h（）log41，g（）1可知，在内有两个交点，由，可知，当时，两个函数无交点故共有3个交点故选：C【点评】本题考查函数与方程的应用，函数的零点与方程根的关系，考查数形结合以及计算能力8（3分）将函数的图象向左平移个单位，得到g（x）的图象，若g（x1）g（x2）4，且x1，x22，2，则x1x2的最大值为（）ABCD【分析】根据函数yAsin（x+）的图象变换规律，求得g（x）的对称中心，再利用正弦函数的图象和性质，求得x1x2的最大值【解答】解：由题意将函数的图象向左平移个单位，
12、可得，所以g（x）max2，又g（x1）g（x2）4，所以g（x1）2，g（x2）2；或g（x1）2，g（x2）2则有 得，；由得，因为x1，x22，2，所以，故选：C【点评】本题主要考查函数yAsin（x+）的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题9（3分）P为三角形内部一点，m，n，k为大于1的正实数，且满足，若SPAB，SPAC，SPBC分别表示PAB，PAC，PBC的面积，则SPAB：SPAC：SPBC为（）Ak：n：mB（k+1）：（n1）：mCDk2：n2：m2【分析】利用已知条件，结合三角形的面积的比，转化求解即可【解答】解：由，可得，所以SPAB：SPAC：SPBC（k
13、+1）：（n1）：m故选：B【点评】本题考查平面向量基本定理的应用，三角形的面积的比，考查计算能力10（3分）已知函数f（x）若当方程f（x）m有四个不等实根x1，x2，x3，x4（x1x2x3x4）时，不等式x12+x22+x32+x428（x1+x2+x3+x4）+k（x3x417x1x2）恒成立，则实数k的最小值为（）ABCD【分析】求得2x4时f（x）的解析式，作出函数f（x）的图象，求得0mln2，x1x2x3x4，x1+x4x2+x34，x1x21，（4x3）（4x4）1，运用数形结合思想和参数分离，以及换元法，可得k的范围【解答】解：当2x4时，04x2，所以f（x）f（4x）|
14、ln（4x）|，由此画出函数f（x）的图象由题意知，f（2）ln2，故0mln2，且x1x2x3x4，x1+x4x2+x34，x1x21，（4x3）（4x4）1，由，可知，得，设tx1+x2，得，当t2时，趋近，故，故选：A【点评】本题考查函数方程的转化思想，以及不等式恒成立问题解法，注意运用数形结合思想和参数分离，考查运算能力，属于中档题二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分，把答案填在答卷中相应横线上）11（4分）设扇形的半径长为4cm，面积为4cm2，则扇形的圆心角的弧度数是【分析】根据扇形的弧长与面积公式，列方程组求得圆心角的值【解答】解：扇形的半径长为r4cm，面积为S4c
15、m2，设扇形的弧长为l，圆心角为，则lr4，Slr2l4，由解得，扇形的圆心角弧度数是故答案为：【点评】本题考查了扇形的弧长与面积公式的应用问题，是基础题12（4分）若2，则sin（5）sin【分析】由已知化简得到tan的值，然后把所求的式子利用诱导公式及万能公式化简，将tan代入即可求出值【解答】解：由2，得到sin+cos2sin2cos化简得tan3；则sin（5）sin（sin）（cos）sincossin2故答案为：【点评】此题考查学生灵活运用诱导公式化简求值，以及会进行弦切互化做题时注意整体代入求值13（4分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x+1）为奇函数若f（4）1
16、，则f（2018）1【分析】根据题意，分析可得f（x）f（2+x），结合函数的奇偶性可得f（x）f（2+x），进而可得f（x+4）f（2+x）f（x），则函数f（x）是周期为4的周期函数，据此分析可得f（2018）f（2）f（4）1；即可得答案【解答】解：根据题意，f（x+1）为奇函数，则函数f（x）的图象关于点（1，0）对称，则有f（x）f（2+x），又由f（x）是定义在R上的偶函数，f（x）f（x），则有f（x）f（2+x），则f（x+4）f（2+x）f（x），则函数f（x）是周期为4的周期函数，则f（2018）f（2）f（4）1；故答案为：1【点评】本题考查函数的奇偶性与周期性的综合应用
17、，关键是分析求出函数的周期14（4分）若f（sin2x）13sinx+13cosx+16，则1或33【分析】令sinx+cosxt，根据完全平方公式，可得sin2xt21，令，解得答案【解答】解：令sinx+cosxt，则sin2xt21，f（t21）13t+16，令所以故答案为：1或33【点评】本题考查的知识点是函数求值，三角函数化简求值，换元法，难度中档15（4分）设单位向量对任意实数都有，则向量的夹角为【分析】设单位向量的夹角为，对于任意实数都有成立，从而恒成立，进而，推导出，由此能求出向量的夹角【解答】解：设单位向量的夹角为，对于任意实数都有成立，对于任意实数都有成立，即，即，即恒成立
18、，整理可得，再由，得，0，向量的夹角为故答案为：【点评】本题考查两个向量的夹角的求法，考查向量的数量积公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题16（4分）在ABC中，A为钝角，AB2，AC3，+且2+31，若|x|（其中x为实数）的最小值为1，则|的最小值为（）【分析】先由|x|（其中x为实数）的最小值为1，可|x|29x212xcosA+49+44 co s2A，所以当xcosA时，得44cos2A1，解得A，又由2+31得（2+3）21再由|2（+）2426+921（6+12），且2+31，得，所以|21（6+12）1，则得|的最小值为【解答】解：在三角形ABC中，A
19、为钝角，AB2，AC3，若|x|（其中x为实数）的最小值为1，则|x|2x2|22x.+|29x212xcosA+49（xcosA）2+44cos2A，当xcosA时，|x|min144cos2A即得4cos2A3，所以cosA，又A为钝角，所以cosA所以A又因为AB2，AC3，+且2+31，所以|2|+|22|2+2.+2|242+12cosA+92426+92（2+3）2（6+12）1（6+12）又由2+31得（2+3）2142+92112，所以241，则，所以|21（6+12）1所以|的最小值为故答案为：或写作（）【点评】本题考查平面向量的线性运算法则的灵活性，准确性，同时也考查了基本
20、不等式的应用，该题目难度比较大，属于难题17（4分）函数f（x）|2x+t|t，x0，1，（t为常数）的最大值为，则t的取值范围为）【分析】利用换元法，求解m2x的范围，对t进行讨论，求解最大值，可得其范围【解答】解：设m2x当x0，1，当t1时，符合题意；当时，当时，若，即，；若即，；所以：时，最大值为故得t的取值范围为）【点评】本题主要考查函数最值的求解，换元法去绝对值，分类讨论是解决本题的关键三、解答题：本大题共4小题，共42分.18（10分）已知函数f（x）Asin（x+），的部分图象如图所示，P为最高点，且PMN的面积为（）求函数f（x）的解析式并写出函数的对称轴方程；（）把函数yf
21、（x）图象向右平移个单位，然后将图象上点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到函数yg（x）的图象，若函数yg（x）在0，5内恰有5个函数值为2的点，求的取值范围【分析】（）利用三角形面积公式结合函数图象可求周期，利用周期公式可求，由点在函数图象上，结合范围，可求，可得函数f（x）的解析式为，令，即可解得函数f（x）图象的对称轴方程（）利用三角函数的变换，求出g（x）函数的解析式，然后结合正弦函数的图象和性质，可求v的值的范围【解答】解：（）由题设图象知，可得：周期T，点在函数图象上，即，又，从而A2故函数f（x）的解析式为令，解得，即为函数f（x）图象的对称轴方程（）由（）可知函数yf（x）
22、的图象向右平移个单位，得到y2sin2（x）+）2sin（2x），然后将图象上点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到函数yg（x）2sin（2x），要使得yg（x）在0，5内有5个函数值为2的点，只需满足：（4+）T5（5+）T，即：（4+）5（5+），解得：【点评】本题考查三角函数的变换，考查了正弦函数的图象和性质的应用，考查了三角函数恒等变换的应用，考查数形结合思想和计算能力，属于中档题19（10分）已知函数f（x）cos（2x）+2sin（x）sin（x+）（）求函数f（x）在区间上的单调性；（）若A，B，C为ABC的三个内角，且为锐角，求cosC的值【分析】（）化函数f（x）为正弦型
23、函数，根据正弦函数的单调性，即可求出f（x）在区间上的增区间和减区间；（）根据题意，利用三角恒等变换，即可求得cosC的值【解答】解：（）函数f（x）cos（2x）+2sin（x）sin（x+）cos2x+sin2x+（sinxcosx）（sinx+cosx）cos2x+sin2x+sin2xcos2xcos2x+sin2xcos2xsin（2x），令；得，所以函数f（x）在区间上的增区间为；令；得，所以函数f（x）在区间上的减区间为和；（）因为，由得，所以，因为，所以，所以，又C为钝角，所以【点评】本题考查了三角恒等变换与三角函数的图象和性质的应用问题，是基础题20（10分）已知OAB的顶点
24、坐标为O（0，0），A（2，3），B（2，1），点P的纵坐标为2，且，点Q是边AB上一点，且（）求点P与点Q的坐标；（）以OP，OQ为邻边构造平行四边形OPMQ，（M为平行四边形的顶点），若E，F分别在线段PM，MQ上，并且满足，试求的取值范围【分析】（）由题意设点P的坐标，利用向量的坐标表示与共线定理求得点P；利用向量垂直时的数量积为0列方程求得Q的坐标；（）根据平面向量的数量积运算与函数的性质，求得的取值范围【解答】解：（）由题意，设点P（x0，2），则，由可知，3x02（2x0），解得x04；又点Q是边AB上一点，可设，Q的坐标为（4k+2，4k+3）；由，得（4k+2，4k+3）（2，
25、1）0，解得，所以Q的坐标为（1，2）；（）设，则01，（+）（+）（+）+（1）+（1）+（1）+827+28，（01），得的取值范围是13，28【点评】本题考查了平面向量的数量积运算问题，也考查了平面向量的坐标运算问题，是中档题21（12分）已知函数f（x）x|xa|+1（xR）（）当a2时，求函数g（x）f（x）x的零点；（）当a1，求函数yf（x）在x1，3上的最大值；（）对于给定的正数a，有一个最大的正数M（a），使x0，M（a）时，都有|f（x）|2，试求出这个正数M（a），并求它的取值范围【分析】（）f（x）x|x2|+1x，通过x与2的大小讨论，求解函数的零点即可（）当，作出示
26、意图，注意到几个关键点的值求解函数的最值的表达式即可（）当x（0，+）时，f（x）max1，故问题只需在给定的区间内f（x）2恒成立，由，分两种情况讨论：当时，当时，转化求解即可【解答】解：（）f（x）x|x2|+1x，当x2时，方程化简为：x2x10，解得：x或x（舍去），当x2时，方程化简为：x23x+10，解得：x（舍去），或x，或（）当，作出示意图，注意到几个关键点的值：，最值在f（1），f（2），f（a）中取当1a3时，f（x）在1，a上递增，a，3上递减，故f（x）maxf（a）1；当，而，故若a4，f（x）maxf（3）103a若a4，f（x）maxf（1）2a综上：（）当x（0，+）时，f（x）max1，故问题只需在给定的区间内f（x）2恒成立，由，分两种情况讨论：当时，即时，M（a）是方程x2ax+12的较小根当时，即时，M（a）是方程x2+ax+12的较大根综上，【点评】本题考查函数表达式的比较，选取特殊值法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，考查分段函数的应用，函数的最值的求法，属于中档题当x2时，方程化简为，
