1、2017-2018学年浙江省杭州二中高一（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1（3分）设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b2a2+c2+2accosB，则B（）ABCD2（3分）如果abc，且a+b+c0，那么下列结论不成立的是（）Aa2abBacb2Cab2cb2Dacc23（3分）下列不等式一定成立的是（）Alg（x2+）lgxBsinx+2C1Dx2+12|x|4（3分）在等差数列an中，若a2+a34，a4+a56，则a7+a8+a9+a10（）A16B18C20D215（3分）an是等比数列，其中A为ABC的内角，a3，a7是关于
2、x的方程x22xcosAcosA0的两根，且（a3+a7）22a2a8+6，则角A的值为（）ABCD6（3分）已知关于x的不等式ax2+x0的解集中的整数恰有2个，则（）AaBaCa或aDa或a7（3分）已知x0，y0，且，若x+2ym2+2m恒成立，则实数m的取值范围是（）Am4或m2Bm2或m4C4m2D2m48（3分）在ABC中，下列结论正确的是（）若sinAsinB，则AB一定成立若sinAcosB，则ABC一定是直角三角形若b1，c，SABC，则A等于30ABCD9（3分）设An，Bn分别为等比数列an，bn的前n项和，若，则（）ABCD10（3分）已知ABC的三个内角A，B，C所对
3、的边分别是a，b，c，且满足cos（sinA）sin（cosB）sin（sinC），则下列结论中acb；abc；cba；cab，有可能成立的是（）ABCD二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11（4分）函数f（x）lg（ax26ax+a+8）的定义域为R，则实数a的取值范围是 12（4分）上海世博园中的世博轴是一条1000m长的直线型通道，中国馆位于世博轴的一侧（如图所示）现测得中国馆到世博轴两端的距离相等，并且从中国馆看世博轴两端的视角为120据此数据计算，中国馆到世博轴其中一端的距离是 m13（4分）定义函数f（x），则不等式x+1（2x+1）f（
4、x）的解集为 14（4分）已知数列an的首项为1，前n项之和为Sn，且Sn是以c（c0）为公比的等比数列，若an是递增数列，则c的取值范围是 15（4分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，2b，c成等比数列，a2b2+c2bc，则的值为 16（4分）设正实数x，y且xy，则|xy|+y2的最小值为 17（4分）若a，bR+，满足2abc2a2b2c，a2+b21，则实数c的取值范围是 三、解答题（本大题共4小题，共42分）18（10分）已知函数f（x）x2+mx1，mR（1）若关于x的不等式f（x）0的解
5、集是x|2xn，求实数m，n的值；（2）若对于任意xm，m+1，都有f（x）0成立，求实数m的取值范围19（10分）在数列an中a1+2a2+3a3+nann（2n+1）（nN*（1）求数列an的通项公式；（2）求数列的前n项和Tn20（10分）在ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列（1）若b，求a+c的取值范围；（2）若，也成等差数列，求A、C的大小21（12分）已知数列an的前n项和Snn2+n（1）求数列an的通项公式（2）记Tn，若存在正整数n使得Tnm成立，求实数m的取值范围（3）设Bn为数列bn的前n项和，其中bn，若不等式对任意的nN*恒成立，
6、试求正实数t的取值范围2017-2018学年浙江省杭州二中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1（3分）设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b2a2+c2+2accosB，则B（）ABCD【分析】利用余弦定理列出关系式，结合已知等式求出cosB的值，即可确定出B的度数【解答】解：由余弦定理得：b2a2+c22accosB，ABC中，b2a2+c2+2accosB，cosB0，则B故选：C【点评】此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键2（3分）如果abc，且a+b+c0，那么下列结论不成
7、立的是（）Aa2abBacb2Cab2cb2Dacc2【分析】根据不等式的性质分别进行判断即可【解答】解：abc，且a+b+c0，a0，c0，b任意，Aab，aaab，即a2ab成立，Ba0，c0，ac0，即acb2成立，C当b0时，不等式ab2cb2不成立，D.a0，c0，ac0，即acc2成立，故不成立的是C，故选：C【点评】本题主要考查不等式与不等式关系的应用，根据不等式的性质是解决本题的关键3（3分）下列不等式一定成立的是（）Alg（x2+）lgxBsinx+2C1Dx2+12|x|【分析】分别运用对数函数和正弦函数的值域和单调性，判断A，B；由不等式的性质和基本不等式，可判断C，D【
8、解答】解：对于A，lg（x2+）lgx，仅当x0时，成立，故A错误；对于B，sinx+2，当sinx（0，1时，成立；sinx0不成立，故B错误；对于C，（0，1，故C错误；对于D，x2+12|x|，当且仅当x1取得等号，故D恒成立故选：D【点评】本题考查基本不等式的运用，考查对数函数和正弦函数的性质，以及运算能力，属于基础题4（3分）在等差数列an中，若a2+a34，a4+a56，则a7+a8+a9+a10（）A16B18C20D21【分析】设等差数列an的公差为d，由已知条件列出关于a1与d的方程组，求解得到a1与d的值，然后利用等差数列的通项公式化简代值即可得答案【解答】解：设等差数列a
9、n的公差为d，a2+a3（a1+d）+（a1+2d）2a1+3d4，a4+a5（a1+3d）+（a1+4d）2a1+7d6，得：4d2，解得：d，把d代入，解得：a1，则a7+a8+a9+a10（a1+6d）+（a1+7d）+（a1+8d）+（a1+9d）4a1+30d4+3020故选：C【点评】本题考查了等差数列的通项公式，是基础题5（3分）an是等比数列，其中A为ABC的内角，a3，a7是关于x的方程x22xcosAcosA0的两根，且（a3+a7）22a2a8+6，则角A的值为（）ABCD【分析】推导出a3+a72cosA，a3a7a2a8，从而4cos2A2cosA+6，由此能求出角A
10、的值【解答】解：an是等比数列，其中A为ABC的内角，a3，a7是关于x的方程x22xcosAcosA0的两根，且（a3+a7）22a2a8+6，a3+a72cosA，a3a7a2a8，4cos2A2cosA+6，解得cosA或cosA（舍），A故选：A【点评】本题考查角的求法，考查等比数列、韦达定理、三角函数等基础知识，考查运算与求解能力，考查函数与方程思想，是中档题6（3分）已知关于x的不等式ax2+x0的解集中的整数恰有2个，则（）AaBaCa或aDa或a【分析】当a0时，解集中的整数有无数个，不合题意；当a0时，题目转化为32，可得a；当a0时，解集中的整数有无数个，不合题意【解答】解
11、：当a0时，不等式可化为x0，解集中的整数有无数个，不合题意；当a0时，解不等式可得x0，要使解集中的整数恰有2个，则需32，解得a；当a0时，解不等式可得x0或x，解集中的整数有无数个，不合题意综合可得a故选：B【点评】本题考查一元二次不等式的解集，涉及分类讨论和数形结合思想，属中档题7（3分）已知x0，y0，且，若x+2ym2+2m恒成立，则实数m的取值范围是（）Am4或m2Bm2或m4C4m2D2m4【分析】先把x+2y转会为（x+2y）（）展开后利用基本不等式求得其最小值，然后根据x+2ym2+2m求得m2+2m8，进而求得m的范围【解答】解：x+2y（x+2y）（）4+4+28x+2
12、ym2+2m恒成立，m2+2m8，求得4m2故选：C【点评】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用考查了学生分析问题和解决问题的能力8（3分）在ABC中，下列结论正确的是（）若sinAsinB，则AB一定成立若sinAcosB，则ABC一定是直角三角形若b1，c，SABC，则A等于30ABCD【分析】，由正弦定理和大角对大边即可判断命题正确；，举例说明ABC不一定是直角三角形；，利用三角形面积公式求出A30或150【解答】解：对于，由正弦定理得，2R，R为ABC外接圆的半径，a2RsinA，b2RsinB，又sinAsinB，ab，AB，正确；对于，ABC中，不妨令A100，B10，满足s
13、inAcosB，此时三角形不是直角三角形，不正确；对于，若b1，c，SABC，则bcsinA1sinA，sinA，A30或150，错误综上，正确的命题序号是故选：B【点评】本题考查了三角形的边角关系应用问题，是基础题9（3分）设An，Bn分别为等比数列an，bn的前n项和，若，则（）ABCD【分析】设An，Bn分别为公比为q的等比数列an，公比为t的bn的前n项和，q1，t1，令n1可得，再由等比数列的求和公式可得q2，t4，由等比数列的通项公式可得所求值【解答】解：设An，Bn分别为公比为q的等比数列an，公比为t的bn的前n项和，q1，t1，由1t3（1q），且，可得q2，t4，故选：C【
14、点评】本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查运算能力，属于中档题10（3分）已知ABC的三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足cos（sinA）sin（cosB）sin（sinC），则下列结论中acb；abc；cba；cab，有可能成立的是（）ABCD【分析】由三角形的内角范围和正弦函数的性质可得0A，B，C，0sinA1，0sinC1，结合诱导公式和正弦函数的单调性，可得a最大，b，c不确定，再讨论C为最大角，结合诱导公式和二倍角公式，化简整理可得答案【解答】解：ABC的三个内角A，B，C满足A+B+C，0A，B，C，0sinA1，0sinC1，由cos（sinA）si
15、n（cosB）sin（sinC），可得0cosB1，则cosBsinCcos（C），即B+C，A，可得ABC为直角三角形，a为最大边，b，c的大小不确定，若C为最大角，即有cosBsinCsin（+B），可得C+B，A2B，（0B），cos（sinA）sin（cosB）cos（cosB），即有sinA+cosB，而cosB（，1），sinA+cosBcos2B+cosB2cos2B+cosB12（cosB+）2（，2），则B存在，且与0接近，则AB，即cab故选：B【点评】本题考查正弦函数、余弦函数的性质，以及诱导公式的运用，考查判断能力，属于中档题二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共2
16、8分）11（4分）函数f（x）lg（ax26ax+a+8）的定义域为R，则实数a的取值范围是0，1）【分析】对a分类讨论：当a0时，直接验证当a0时，要使函数f（x）lg（ax26ax+a+8）的定义域为R，则，解出即可得出【解答】解：当a0时，f（x）lg8，其定义域为R当a0时，要使函数f（x）lg（ax26ax+a+8）的定义域为R，则，解得0a1综上可得：实数a的取值范围是0，1），故答案为：0，1）【点评】本题考查了对数函数的单调性、一元二次不等式与判别式的关系，考查了计算能力，属于中档题12（4分）上海世博园中的世博轴是一条1000m长的直线型通道，中国馆位于世博轴的一侧（如图所示
17、）现测得中国馆到世博轴两端的距离相等，并且从中国馆看世博轴两端的视角为120据此数据计算，中国馆到世博轴其中一端的距离是m【分析】先中国馆的位置为A，世博轴两端分别为B，C，依题意知A120，ACAB，进而可求得B，再由正弦定理可得AC【解答】解：设中国馆的位置为A，世博轴两端分别为B，C，依题意知A120BC30由正弦定理知：AC故答案为：【点评】本题主要考查正弦定理的应用属基础题13（4分）定义函数f（x），则不等式x+1（2x+1）f（x）的解集为x|x【分析】根据题意，由f（x）的解析式，分析可得不等式x+1（2x+1）f（x）或或，分别解三组不等式，综合即可得答案【解答】解：根据题意
18、，函数f（x），则不等式x+1（2x+1）f（x）或或，解可得，其解集为，解可得，其解集为，解可得：其解集为x|x；综合可得：原不等式的解集为x|x；故答案为：x|x【点评】本题考查其他不等式的解法，涉及分段函数的性质以及应用，属于基础题14（4分）已知数列an的首项为1，前n项之和为Sn，且Sn是以c（c0）为公比的等比数列，若an是递增数列，则c的取值范围是c2【分析】由题意可得：Sncn1，n2时，anSnSn1c0根据an是递增数列，可得a2c11a1，解得c2n2时，an+1an，即可得出【解答】解：由题意可得：Sncn1，n2时，anSnSn1cn1cn2cn2（c1）c0an是递
19、增数列，a2c11a1，解得c2n2时，an+1an，可得：cn1（c1）cn2（c1）又c2解得：c2则c的取值范围是c2故答案为：c2【点评】本题考查了数列通项公式、等比数列的通项公式、数列的单调性、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题15（4分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，2b，c成等比数列，a2b2+c2bc，则的值为【分析】直接利用正弦定理和余弦定理求出A的值，进一步利用化简求出结果【解答】解：若a，2b，c成等比数列，则：4b2ac，则：4sin2BsinAsinC，由于：a2b2+c2bc，则：cosA，由于：0A，则：A，所以：，故
20、答案为：【点评】本题考查的知识要点：正弦定理和余弦定理的应用，等比中项的应用16（4分）设正实数x，y且xy，则|xy|+y2的最小值为【分析】利用绝对值不等式化简，以及配方，结合二次函数和基本不等式，即可得出所求最小值【解答】解：x0，y0，|xy|+y2|xy|+|+|y2|xy+y2|（y）2+（x+）|2|当且仅当y，x即x1，y时取等号，即最小值为，故答案为：【点评】本题考查绝对值不等式的性质，以及基本不等式的运用，考查运算能力，属于中档题17（4分）若a，bR+，满足2abc2a2b2c，a2+b21，则实数c的取值范围是2，1）【分析】2abc2a2b2c2a+b+c，可得abc
21、a+b+c，c，利用三角换元可得c，令tsin+cos，构造关于t的函数，利用导数研究其单调性即可得出【解答】解：2abc2a2b2c2a+b+c，abca+b+c，c，a，b均为正数，且a2+b21，可设acos，bsin，（0，）c，令tsin+cossin（+）（1，则2sincost21，cf（t），t（1，f（t）0，函数f（t）在t（1，上单调递减，f（）f（t）f（1），可得：f（t）2，1）即c2，1）故答案为：2，1）【点评】本题考查了三角函数换元法、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于难题三、解答题（本大题共4小题，共42分）18（10分）已知
22、函数f（x）x2+mx1，mR（1）若关于x的不等式f（x）0的解集是x|2xn，求实数m，n的值；（2）若对于任意xm，m+1，都有f（x）0成立，求实数m的取值范围【分析】（1）根据题意，根据不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系即可求出m、n的值；（2）根据题意得出，解不等式组即可【解答】解：（1）根据题意，关于x的不等式x2+mx10的解集是x|2xn，所以方程x2+mx10的实数根为2和n，由根与系数的关系得，m，n；（2）对于任意xm，m+1，都有f（x）0成立，可得，解得m0，即实数m的取值范围是（，0）【点评】本题主要考查了二次函数的图象和性质应用问题，体现了转化的数学思想
23、，是基础题目19（10分）在数列an中a1+2a2+3a3+nann（2n+1）（nN*（1）求数列an的通项公式；（2）求数列的前n项和Tn【分析】（1）当n2时，根据条件得到n1时式子的和为（n1）（2n1），相减得到an的通项公式，把n1代入判断也满足；（2）把an的通项公式代入到bn中得到bn的通项公式，表示出前n项的和Tn，两边都乘以，相减得到Tn的通项即可【解答】解：（1）n2时，a1+2a2+3a3+（n1）an1（n1）（2n1）nan4n1，an4当n1时，a13满足上式，an4（n1，nN+）（2）记bn则bn，Tn+，而Tn+Tn，Tn7【点评】考查学生会根据已知条件推出
24、数列的通项公式，灵活运用数列的递推式得到数列的前n项的和20（10分）在ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列（1）若b，求a+c的取值范围；（2）若，也成等差数列，求A、C的大小【分析】（1）由A、B、C成等差数列，利用等差数列的性质求出B的度数，得到sinB的值，再由b的值，利用正弦定理表示出a与c，代入a+c中，用A表示出B，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用正弦函数的值域即可确定出a+c的范围；（2）由，成等差数列，利用等差数列的性质列出关系式，再利用正弦定理化简，将sinB的值代入，利用和差化积公式变形，设cost，得到关于t的方
25、程，求出方程的解得到t的值，即为cos的值，即可确定出A与C的度数【解答】解：（1）A、B、C成等差数列，2BA+C，A+B+C，B，A+C，b，由正弦定理1，即asinA，csinC，a+csinA+sinCsinA+sin（A）sinA+cosA+sinAsinA+cosA（sinA+cosA）sin（A+），0A，A+，sin（A+）1，即sin（A+），则a+c的范围为（，；（2），成等差数列，+，由正弦定理化简得：+，整理得：sinA+sinCsinAsinC，2sincoscos（A+C）cos（AC），即cos+cos（AC）0，设cost，则有3t12（2t21）0，整理得：（
26、4t+1）（t1）0，解得：t（舍去）或t1，cos1，即AC0，ACB60【点评】此题考查了正弦、余弦定理，等差数列的性质，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键21（12分）已知数列an的前n项和Snn2+n（1）求数列an的通项公式（2）记Tn，若存在正整数n使得Tnm成立，求实数m的取值范围（3）设Bn为数列bn的前n项和，其中bn，若不等式对任意的nN*恒成立，试求正实数t的取值范围【分析】（1）由当n2时，anSnSn1，又n1时，a1S1，利用Snn2+n，能求出an3n；（2）先求出Tn，再求出Tn中的最大值为T2T3，由此能求出实数m的取值范围；（3）由bn
27、23n8n，Bn，由此代入化简，结合恒成立思想能求出正实数t的取值范围【解答】解：（1）数列an的前n项和Snn2+n，当n2时，Sn1（n1）2+（n1），anSnSn13n，又n1时，a1S13满足上式，an3n；（2）Tn，当n1，2时，Tn+1Tn，当n3时，n+22nTn+1Tn，n1时，T19，n2，3时，T2T3，n4时，TnT3，Tn中的最大值为T2T3，要使Tnm对正整数n成立，只需m，m；（3）bn23n8n，Bn，将Bn代入，化简得，（*）t0，（+t）8n+1，（*）化为16（8n1）8n+1+13t8n+1，整理得t，t（1）对一切的正整数n恒成立，1随n的增大而增大，且（1），t【点评】本题考查数列的通项公式的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意放缩法的合理运用，是难题
