1、2017-2018学年浙江省杭州六校联考高一（下）期中数学试卷一.选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1（4分）已知集合A1，2，B2，3，则AB（）A2B1，2，3C1，3D2，32（4分）下列函数中是奇函数的为（）Ayx1Byx2Cy|x|Dyx3（4分）已知点A（x，y）是30角终边上异于原点的一点，则等于（）ABCD4（4分）已知向量（2，1），（x，2），若，则+等于（）A（2，1）B（2，1）C（3，1）D（3，1）5（4分）已知，0，满足cos，sin，求+的值（）AB或CD+2k6（4分）ABC的三边分别为a，b，c，且a1，B45，SABC2，则ABC的外接圆的直
2、径为（）A5BCD7（4分）已知函数f（x）4x2x+13，则函数f（x）的零点所在的区间为（）A（1，0）B（0，1）C（1，2）D（2，3）8（4分）设、都是锐角，且，则cos等于（）ABC或D或9（4分）设f（x）e1+sinx+e1sinx，x1、，且f（x1）f（x2），则下列结论必成立的是（）Ax1x2Bx1+x20Cx1x2D10（4分）已知在ABC中，P0是边AB上的一个定点，满足，且对于边AB上任意一点P，恒有，则（）ABCABACDACBC二填空题：本大题有6小题，多空题每空3分，单空题每空4分，共28分11（6分） ， 12（6分）在平行四边形
3、ABCD中，|3，|2，若x+y，则x ；y 13（4分）已知tan（x+）2，则tanx的值为 14（4分）在ABC中，若A60，C45，b4，则此三角形的最小边是 15（4分）已知函数f（x）4sinxsin2（+）2sin2x（0）在区间上是增函数，且在区间0，上恰好取得一次最大值，则的取值范围是 16（4分）已知向量，满足|2|+3|2，则|的取值范围是 三解答题（本大题共4小题，共52分，解题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（12分）平面直角坐标系xOy中，A（1，0），B（0，1），C（2，
4、5），D是AC上的动点，满足（R）（1）求|2+|的值；（2）求cosBAC；（3）若，求实数的值18（12分）设函数f（x）sin2x+cos（2x+）（1）求函数的单调递增区间（2）求在0，上，函数的值域19（14分）在锐角ABC中，a，b，c为内角A，B，C的对边，且满足（2ca）cosBbcosA0（1）求角B的大小（2）已知c2，边AC边上的高BD，求ABC的面积S的值20（14分）已知a0，函数f（x）x24|xa|+a（）若a1，求函数f（x）的值域；（）若函数f（x）在1，4上不单调，求实数a的取值范围；（ III）若x1，x2是函数g（x）f（x）t（t为实数）的其中两个零点
5、，且x1ax2，求当a，t变化时，x1+x2的最大值2017-2018学年浙江省杭州六校联考高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一.选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1（4分）已知集合A1，2，B2，3，则AB（）A2B1，2，3C1，3D2，3【分析】由A与B，求出两集合的并集即可【解答】解：A1，2，B2，3，AB1，2，3故选：B【点评】此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键2（4分）下列函数中是奇函数的为（）Ayx1Byx2Cy|x|Dyx【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性，综合即可得答案【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，yx1，
6、其定义域为R，f（x）x1f（x），不是奇函数；对于B，yx2，其定义域为R，有f（x）（x）2x2f（x），是偶函数；对于C，y|x|，其定义域为R，有f（x）|x|x|f（x），是偶函数；对于D，yx，其定义域为R，有f（x）xf（x），是奇函数；故选：D【点评】本题考查函数奇偶性的判断，关键是掌握函数奇偶性的定义，属于基础题3（4分）已知点A（x，y）是30角终边上异于原点的一点，则等于（）ABCD【分析】利用任意角三角函数的定义知：点A（x，y）是角终边上异于原点的一点，则tan，由此利用正切函数的定义能求出结果【解答】解：点A（x，y）是30角终边上异于原点的一点，tan30故选：C
7、【点评】本题考查任意角三角函数值的求法，是基础题，解题时要熟练掌握任意角三角函数的概念4（4分）已知向量（2，1），（x，2），若，则+等于（）A（2，1）B（2，1）C（3，1）D（3，1）【分析】根据题意，由向量平行的判断方法，可得2x20，解可得x的值，即可得的坐标，由向量加法的坐标运算方法，可得答案【解答】解：根据题意，向量（2，1），（x，2），若，则有1x2（2），即x4，即（4，2），则+（2，1），故选：A【点评】本题考查向量平行的判断，解题的关键是熟练掌握平面向量共线（平行）的坐标表示，以及进行正确的运算5（4分）已知，0，满足cos，sin，求+的值（）AB或CD+2k【分
8、析】根据两角和差的余弦公式，进行转化求解即可【解答】解：0，满足cos，sin，sin，cos，则cos（+）coscossinsin，0，0+，+，故选：C【点评】本题主要考查三角函数值的计算，结合两角和差的余弦公式是解决本题的关键6（4分）ABC的三边分别为a，b，c，且a1，B45，SABC2，则ABC的外接圆的直径为（）A5BCD【分析】由a，sinB和面积的值，利用三角形的面积公式求出c的值，然后由a，c及cosB的值，利用余弦定理，求出b的值，利用正弦定理可得ABC的外接圆的直径【解答】解：a1，B45，SABC2，由三角形的面积公式得：SacsinB1c2，c4，又a1，cosB
9、，根据余弦定理得：b21+32825，解得b5ABC的外接圆的直径为故选：B【点评】本题考查学生灵活运用三角形的面积公式及特殊角的三角函数值化简求值，灵活运用余弦定理化简求值，属于中档题7（4分）已知函数f（x）4x2x+13，则函数f（x）的零点所在的区间为（）A（1，0）B（0，1）C（1，2）D（2，3）【分析】由函数的解析式可得f（1）3，f（2）5，故有 f（1）f（2）0，故连续函数f（x）的零点所在区间【解答】解：函数f（x）4x2x+13，f（1）3，f（2）5，f（1）f（2）0，故连续函数f（x）的零点所在区间是（1，2），故选：C【点评】本题考查函数零点的定义以及函数零点
10、判定定理的应用，属于基础题8（4分）设、都是锐角，且，则cos等于（）ABC或D或【分析】由为锐角，根据cos的值，求出sin的值，利用两角和与差的正弦函数公式化简sin（+），且根据其值范围确定出+的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cos（+）的值，所求式子中的角变形为（+），利用两角和与差的余弦函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出值【解答】解：为锐角，cos，sin，sin（+）sincos+cossin（2cos+sin），且，2cos+sin，且+，cos（+），则coscos（+）cos（+）cos+sin（+）sin+故选：B【点评】此题考查了两角和与差的正弦、余弦函数公
11、式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键9（4分）设f（x）e1+sinx+e1sinx，x1、，且f（x1）f（x2），则下列结论必成立的是（）Ax1x2Bx1+x20Cx1x2D【分析】根据条件判断函数是偶函数，结合条件判断函数的单调性，进行判断即可【解答】解：f（x）f（x），故f（x）是偶函数，而当时，f'（x）cosxe1+sinxcosxe1sinxcosx（e1+sinxe1sinx）0，即f（x）在是单调增加的由f（x1）f（x2），可得f（|x1|）f（|x2|），即有|x1|x2|，即，故选：D【点评】本题主要考查函数单调性的应用，根据条件判断函
12、数的奇偶性和单调性是解决本题的关键10（4分）已知在ABC中，P0是边AB上的一个定点，满足，且对于边AB上任意一点P，恒有，则（）ABCABACDACBC【分析】设|4，则|1，过点C作AB的垂线，垂足为H，在AB上任取一点P，设HP0a，由数量积的几何意义，化恒成立，为（a+1）24a（a1）20，从而求得ABC是等腰三角形，ACBC【解答】解：设|4，则|1，过点C作AB的垂线，垂足为H，在AB上任取一点P，设HP0a，如图所示；则由数量积的几何意义可得，|（a+1）|，a，于是恒成立，整理得|2（a+1）|+a0恒成立，只需（a+1）24a（a1）20即可，于是a1，因此我们得到HB2
13、，即H是AB的中点，ABC是等腰三角形，即ACBC故选：D【点评】本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算问题，是中档题二填空题：本大题有6小题，多空题每空3分，单空题每空4分，共28分11（6分）4，【分析】利用对数、指数的性质、运算法则直接求解【解答】解：224，故答案为：4，【点评】本题考查指数式、对数式化简求值，考查对数、指数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题12（6分）在平行四边形ABCD中，|3，|2，若x+y，则x3；y2【分析】可得，又3+2，即可得到x，y的取值【解答】解：|3，|2，|，|，又3+2，x3，y2故答案为：3，2【点评】
14、本题考查了向量的线性运算，属于中档题13（4分）已知tan（x+）2，则tanx的值为【分析】根据已知的条件，利用两角和的正切公式可得 2，解方程求得 tanx的值【解答】解：已知tan（x+）2，2，解得 tanx，故答案为：【点评】本题主要考查两角和的正切公式的应用，属于基础题14（4分）在ABC中，若A60，C45，b4，则此三角形的最小边是44【分析】由三角形内角和定理，算出B180AC75，可得C是最小内角，所以c为此三角形的最小边再根据正弦定理，即可得到答案【解答】解：在ABC中，A60，C45，B180AC75，可得C是最小内角，所以c为此三角形的最小边由正弦定理，可得c44故答
15、案为：44【点评】本题给出三角形的边和角，求它的最小边长着重考查了三角形内角和定理和正弦定理解三角形等知识，属于基础题15（4分）已知函数f（x）4sinxsin2（+）2sin2x（0）在区间上是增函数，且在区间0，上恰好取得一次最大值，则的取值范围是【分析】由正弦函数可知，f（x）2sinx，则，是函数含原点的递增区间根据正弦函数图象的性质解答即可【解答】解：f（x）4sinxsin2（+）2sin2x4sinx2sin2x2sinx（1+sinx）2sin2x2sinx，即：f（x）2sinx，是函数含原点的递增区间又函数在上递增，得不等式组，得，又0，又函数在区间0，上恰好取得一次最大
16、值，根据正弦函数的性质可知x2k+，kZ，即函数在x+处取得最大值，可得0，综上，可得故答案是：【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质，研究有关三角的函数时要利用整体思想，灵活应用三角函数的图象和性质解题，属于基本知识的考查16（4分）已知向量，满足|2|+3|2，则|的取值范围是，2【分析】根据平面向量的数量积与模长、夹角公式，结合三角函数的图象与性质，化简求值即可【解答】解：向量，满足|2|+3|2，4+4+6+94，105，|2|cos，其中为、的夹角；4|cos+44|（2|cos）cos+44，解得；又0，得cos1，1，cos20，1，24cos2+11，25，4，|的取值范围是
17、，2故答案为：，2【点评】本题考查了平面向量的数量积与模长、夹角公式，以及三角函数的图象与性质的应用问题，是中档题三解答题（本大题共4小题，共52分，解题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（12分）平面直角坐标系xOy中，A（1，0），B（0，1），C（2，5），D是AC上的动点，满足（R）（1）求|2+|的值；（2）求cosBAC；（3）若，求实数的值【分析】（1）2+2（1，1）+（1，5）（1，7），利用数量积运算性质即可得出|2+|（2）利用cosBAC即可得出（3）由（R）可得根据，可得（+1）1（51）0即可得出【解答】解：（1）2+2（1，1）+（1，5）（1，7），|2+
18、|5（2）cosBAC（3）（R）（1，5）（1，1）（+1，51），（+1）1（51）0解得【点评】本题考查了向量夹角公式、向量垂直与数量积的关系、向量坐标运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题18（12分）设函数f（x）sin2x+cos（2x+）（1）求函数的单调递增区间（2）求在0，上，函数的值域【分析】（1）利用三角函数的倍角公式结合辅助角公式进行化简，结合函数单调性进行求解即可（2）求出角的范围，结合函数的单调性进行求解即可【解答】解：（1）f（x）sin2x+cos2xcossin2xsinsin2x+cos2xsin2xsin2x+cos2xsin（2x+），（4分）令
19、2k2x+2k+，kZ，则kxk+，kZ，函数f（x）的单调递增区间为k，k+，kZ（8分）（2）0x，2x+，sin（2x+）sin，sin，即sin（2x+），1，即函数f（x）的值域为，1，（12分）【点评】本题主要考查三角函数单调性和值域的求解，利用辅助角公式进行化简是解决本题的关键19（14分）在锐角ABC中，a，b，c为内角A，B，C的对边，且满足（2ca）cosBbcosA0（1）求角B的大小（2）已知c2，边AC边上的高BD，求ABC的面积S的值【分析】（1）由已知及正弦定理，三角函数恒等变换的应用，结合sinC0，可得cosB，根据范围B（0，）可求B的值（2）由已知利用三角
20、形面积公式可得b，由余弦定理可得a29a+180，结合a，b的值，进而根据三角形面积公式即可计算得解【解答】解：（1）（2ca）cosBbcosA0，由正弦定理得（2sinCsinA）cosBsinBcosA0，（2sinCsinA）cosBsinBcosA，2sinCcosBsin（A+B），A+BC，且sinC0，cosB，B（0，），B（2）SacsinBBDb，代入c，BD，sinB，得b，由余弦定理得：b2a2+c22accosBa22a+4，代入b，得a29a+180，解得，或，又锐角三角形，a2c2+b2，a3，SABCacsinB【点评】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换
21、的应用，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了运算求解能力和转化思想，属于中档题20（14分）已知a0，函数f（x）x24|xa|+a（）若a1，求函数f（x）的值域；（）若函数f（x）在1，4上不单调，求实数a的取值范围；（ III）若x1，x2是函数g（x）f（x）t（t为实数）的其中两个零点，且x1ax2，求当a，t变化时，x1+x2的最大值【分析】（）若a1，则，结合二次函数的图象和性质，可得函数f（x）的值域；（）根据函数f（x）在1，4上不单调，结合二次函数的图象和性质，分类讨论，可得满足条件的实数a的取值范围；（III）若x1，x2是函数g（x）f（x）t（t为实
22、数）的其中两个零点，记，当tf1（2）5a4时，方程x24x+5at的根分别为；当tf2（2）3a4时，方程x2+4x3at的根分别为结合x1ax2，对a进行分类讨论，综合讨论结果，可得x1+x2的最大值【解答】（本小题满分10分）（）解：由a1，得当x1时，x24x+51，当x1时，x2+4x37，函数f（x）的值域是7，+）（3分）（）解：当a2时，函数f（x）在（1，4上单调递增；当1a2时，函数在（1，a，（2，4上单调递增，在（a，2上单调递减；当0a1时，函数在（1，2上单调递减，在（2，4上单调递增；0a2（6分）（ III）解：记，当tf1（2）5a4时，方程x24x+5at的根分别为；当tf2（2）3a4时，方程x2+4x3at的根分别为x1ax2，t5a4（1）当0a2时，当tf（a）a2+a时，（7分）当5a4ta2+a时，|a2|+|a+2|4（8分）（2）当a2时，（9分）综上所述，x1+x2的最大值为4（10分）【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的值域，函数的单调性，函数的零点，分类讨论思想，转化思想，综合性强，难度较大
