1、2017-2018学年浙江省杭州二中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1（3分）已知集合Ax|x21，Bx|（x21）（x24）0，则集合AB的子集个数为（）A1B2C3D42（3分）已知，则a，b，c三者的大小关系是（）AbcaBcbaCabcDbac3（3分）幂函数f（x）的图象过点，则f（8）（）A8B6C4D24（3分）已知函数f（x）是奇函数，当x0时，f（x）lnx，则的值为（）ABCln2Dln25（3分）已知lga+lgb0，函数f（x）ax与函数g（x）logbx的图象可能是（）ABCD6（3分）已知a是f（x）的零点，若0x0a，则f
2、（x0）的值满足（）Af（x0）0Bf（x0）0Cf（x0）0Df（x0）的符号不确定7（3分）已知函数，（aR）在区间0，1上单调递增，则实数a的取值范围是（）A（，1B0，1C（，1D（，11，+）8（3分）已知函数，则下列结论正确的是（）A关于（0，0）对称B关于（0，1）对称C关于y轴对称D关于x1对称9（3分）设函数f（x），若ff（a）ff（a）+1，则实数a的取值范围为（）A（1，0B1，0C（5，4D5，410（3分）已知函数f（x）x|xa|a，aR，若对任意的x3，5，f（x）0恒成立，则实数a的取值范围是（）AB3，5CD二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）
3、11（4分）函数值域为 ，单调递增区间是 12（4分）已知xlog23，则 13（4分）已知函数，且函数h（x）f（x）x+a有且只有一个零点，则实数a的取值范围是 14（4分）已知f（x）是定义在D上的函数，若存在区间m，nD，使函数f（x）在m，n上的值域恰为km，kn，则称函数f（x）是k型函数，若函数是3型函数，则m ，n 15（4分）某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q（单位：元/100kg）与上市时间t（单位：天）的数据如下表：时间t60100180种植成本Q11684
4、116根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间z的变化关系Qat+b，Qat2+bt+c，Qabt，Qalogat利用你选取的函数，求得：（I）西红柿种植成本最低时的上市天数是 ；（）最低种植成本是 （元/100kg）16（4分）已知f（x）是R上的奇函数，f（1）1，且对任意x0，恒有，则 17（4分）若一元二次不等式ax22bx+c0，（a+b0）对xR恒成立，则的最小值为 三、解答题（本大题共4小题，共42分）18（8分）设常数aR，集合Ax|（x1）（xa）0，Bx|xa1（1）若a2，求AB，A（RB
5、）；（2）若ABR，求a的取值范围19（10分）已知是奇函数，且（1）求实数a，b的值；（2）判断函数f（x）在（，1上的单调性，并加以证明；（3）求f（x）的最大值20（12分）设f（x）loga（x2a）+loga（x3a），其中a0且a1（1）若a2，解不等式f（x）1（2）当xa+3，a+4时，不等式f（x）1恒成立，求a的取值范围21（12分）函数fn（x）xn+bx+c（nZ，b，cR）（1）若n1，且f1（1）f1（）4，试求实数b，c的值；（2）设n2，若对任意x1，x21，1有|f2（x1）f2（x2）|4恒成立，求b的取值范围；（3）当n1时，已知bx2+cxa0，设g（x
6、），是否存在正数a，使得对于区间上的任意三个实数m，n，p，都存在以f1（g（m），f1（g（n），f1（g（p）为边长的三角形？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由2017-2018学年浙江省杭州二中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1（3分）已知集合Ax|x21，Bx|（x21）（x24）0，则集合AB的子集个数为（）A1B2C3D4【分析】由二次不等式的解法，化简集合A，解方程可得集合B，求得A，B的交集，由子集的个数公式，即可得到所求值【解答】解：集合Ax|x21x|x1或x1，Bx|（x21）（x24）01，1，2，
7、2，则集合AB2，2，则集合AB的子集个数为224故选：D【点评】本题考查集合的交集的定义，考查二次不等式的解法和方程的化简，运用定义法是关键，属于基础题2（3分）已知，则a，b，c三者的大小关系是（）AbcaBcbaCabcDbac【分析】利用对数函数、指数函数的单调性求解【解答】解：，alog20.3log210，b20.3201，0c0.30.20.301，bca故选：A【点评】本题考查三个数的大小的比较，则基础题，解题时要认真审题，注意对数函数、指数函数的单调性的合理运用3（3分）幂函数f（x）的图象过点，则f（8）（）A8B6C4D2【分析】设出幂函数，利用幂函数经过的点，求出函数的
8、解析式，即可求解函数值【解答】解：幂函数f（x）x，函数的图象过点，可得3，幂函数f（x），f（8）4故选：C【点评】本题考查幂函数的解析式的求法，函数值的求法，考查计算能力4（3分）已知函数f（x）是奇函数，当x0时，f（x）lnx，则的值为（）ABCln2Dln2【分析】由函数f（x）是奇函数，当x0时，f（x）lnx，知当x0时，f（x）ln（x），由此能求出的值【解答】解：函数f（x）是奇函数，当x0时，f（x）lnx，当x0时，f（x）ln（x），f（ln）f（2）ln2故选：C【点评】本题考查函数值的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意奇函数的性质和对数函数性质的灵活运用5（3分
9、）已知lga+lgb0，函数f（x）ax与函数g（x）logbx的图象可能是（）ABCD【分析】先求出a、b的关系，将函数g（x）进行化简，得到函数f（x）与函数g（x）的单调性是在定义域内同增同减，再进行判定【解答】解：lga+lgb0ab1则b从而g（x）logbxlogax，f（x）ax与函数f（x）与函数g（x）的单调性是在定义域内同增同减结合选项可知选B，故选：B【点评】本题主要考查了对数函数的图象，以及指数函数的图象和对数运算等有关知识，属于基础题6（3分）已知a是f（x）的零点，若0x0a，则f（x0）的值满足（）Af（x0）0Bf（x0）0Cf（x0）0Df（x0）的符号不确定
10、【分析】由题意可得 f（a）0，再由函数f（x）的解析式可得函数在区间（0，+）上是增函数，结合0x0a，可得f（x0）0，从而得到答案【解答】解：已知a是f（x）的零点，f（a）0 再由函数f（x）的解析式可得函数在区间（0，+）上是增函数，且 0x0a，可得f（x0）0，故选：A【点评】本题主要考查函数的零点的定义，函数的单调性的应用，属于基础题7（3分）已知函数，（aR）在区间0，1上单调递增，则实数a的取值范围是（）A（，1B0，1C（，1D（，11，+）【分析】求函数的导数，利用函数的单调性和导数之间的关系进行求解，注意要对a进行讨论【解答】解：f（x）ex，a0时，f（x）0，f（
11、x）在0，1递增，a0时，由f（x）0解得e2xa，即xlna，此时函数单调递增，由f（x）0解得e2xa，即xlna，此时函数单调递减，若f（x）在区间0，1上单调递增，则lna0，解得0a1，即a（0，1，综上：a1，故选：A【点评】本题主要考查函数单调性的应用，利用分类讨论，结合函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键综合考查导数的应用8（3分）已知函数，则下列结论正确的是（）A关于（0，0）对称B关于（0，1）对称C关于y轴对称D关于x1对称【分析】根据函数中心对称的性质即可求出对称中心【解答】解：f（x）x+，f（x）x+，f（x）+f（x）x+x+2，函数f（x）关于（0，1）对
12、称，故选：B【点评】本题考查了函数的图象，以及函数的对称性，属于基础题9（3分）设函数f（x），若ff（a）ff（a）+1，则实数a的取值范围为（）A（1，0B1，0C（5，4D5，4【分析】讨论f（a）与f（a）+1的取值，从而化简不等式，从而利用排除法确定答案【解答】解：当f（a）0，f（a）+10，即a5时；ff（a）f（4+a）8+a，ff（a）+19+a，故ff（a）ff（a）+1，故ff（a）ff（a）+1不成立；当f（a）0，0f（a）+14，即5a4时，ff（a）8+a，ff（a）+1f（5+a）（5+a）2，8+a（5+a）2在（5，4上显然成立；故结合选项可知，A，B，D一
13、定不正确，故选：C【点评】本题考查了分类讨论的思想及排除法的应用10（3分）已知函数f（x）x|xa|a，aR，若对任意的x3，5，f（x）0恒成立，则实数a的取值范围是（）AB3，5CD【分析】讨论a的取值：a3，3a5，a5，三种情况，求出每种情况下的f（x）的最小值，让最小值大于等于0从而求出a的取值范围【解答】解：f（x）x|xa|a；若a3，则x3时，f（x）在3，5上取得最小值f（3）3（3a）a94a；94a0，a；a；若3a5，则xa时，f（x）取得最小值f（a）a；a0，不满足f（x）0；即这种情况不存在；若a5，则x5时，f（x）取得最小值f（5）5（a5）a4a25；4a
14、250，a；a；综上得a的取值范围为：（，+），故选：D【点评】本题考查了函数恒成立问题，考查分类讨论思想以及转化思想，是一道中档题二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11（4分）函数值域为R，单调递增区间是（，1）【分析】令tx22x30，求得函数的定义域结合y，t0，求得函数的值域；求出t的减区间，即为y的增区间【解答】解：令tx22x30，求得x1，或x3，故函数的定义域为x|x1，或x3 ，且y由于t（x1）240，故yR由于t的减区间为（，1），y的增区间为（，1），故答案为：R；（，1）【点评】本题主要考查复合函数的值域和单调性，二次函数、对数函数的性质，属于中档题1
15、2（4分）已知xlog23，则【分析】直接由对数的运算性质求解即可【解答】解：xlog23，2x3，故答案为：【点评】本题考查了对数的运算性质，是基础题13（4分）已知函数，且函数h（x）f（x）x+a有且只有一个零点，则实数a的取值范围是（1，+）【分析】利用数形结合画出函数yf（x）的图象，通过函数h（x）f（x）x+a有且只有一个零点，求出a的范围【解答】解：函数，函数h（x）f（x）x+a有且只有一个零点，就是yf（x）的图象与yxa的图象有且只有一个交点，如图：显然当a1时，两个函数有且只有一个交点，故答案为：（1，+）【点评】本题考查函数零点个数的判断，考查数形结合，考查分析问题解
16、决问题的能力14（4分）已知f（x）是定义在D上的函数，若存在区间m，nD，使函数f（x）在m，n上的值域恰为km，kn，则称函数f（x）是k型函数，若函数是3型函数，则m4，n0【分析】新定义函数yx2+x是3型函数，可得区间m，n为增区间，由题意可得：，则说明m、n是方程的两根，求解得答案【解答】解：30，区间m，n为增区间，由题意可得：，则说明m、n是方程的两根，即方程x2+4x0的两根，解得：x4或x0，又mn，m4，n0故答案为：4，0【点评】本题是新定义题，考查了函数值域的求法，关键是对题意的理解，是中档题15（4分）某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本
17、Q（单位：元/100kg）与上市时间t（单位：天）的数据如下表：时间t60100180种植成本Q11684116根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间z的变化关系Qat+b，Qat2+bt+c，Qabt，Qalogat利用你选取的函数，求得：（I）西红柿种植成本最低时的上市天数是120；（）最低种植成本是80（元/100kg）【分析】由提供的数据知，描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系函数不可能是单调函数，故选取二次函数Qat2+bt+c进行描述，将表格所提供的三组数据代入Q，即得函数解析式；（I）根据Q的函数关系，由二次函数的性质即可求得答案；（）由（I）
18、中的结论，即可得到答案【解答】解：由提供的数据知，描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系函数不可能是常数函数，也不是单调函数，而函数Qat+b，Qabt，Qalogbt，在a0时，均为单调函数，这与表格提供的数据不吻合，故选取二次函数Qat2+bt+c进行描述，将表格所提供的三组数据（60，116），（100，84），（180，116）分别代入Q可得，解得a，b，c224，Qt2t+224，（I）Qt2t+224的对称轴为t120，开口向上，在对称轴处即t120天时函数取最小值；（）当t120时，Q1202120+22480；故答案为：120，80【点评】本题主要考查函数模型的选择与应用解
19、决实际问题通常有四个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果；（4）转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型属于中档题16（4分）已知f（x）是R上的奇函数，f（1）1，且对任意x0，恒有，则【分析】根据关系式和奇函数的性质得出f（）与f（）的关系，从而得出结论【解答】解：当x0时，01，令解得x，f（）f（）f（），再令得x，f（）f（）f（），同理可得：f（）f（），f（）f（1）1，f（）故答案为：【点评】本题考查了奇函数的性质，属于中档题17（4分）若一元二次不等式ax22bx+c0，（a+b0）对xR恒成立，则的最小值
20、为3+2【分析】根据题意，由二次函数恒成立的性质分析可得a0且b2ac，又由a+b0，则ab，设b1，即a1，由此将M化简变形可得M1+，又由ac1，则M可以变形为，设ta+，分析可得，结合二次函数的性质分析可得的最小值，进而可得M的最小值，即可得答案【解答】解：根据题意，若一元二次不等式ax22bx+c0对xR恒成立，则有a0且（2b）24ac0，即a0且b2ac，又由a+b0，则ab，设b1，即a1，则M1+，ac1，则c，则，设ta+，则t，则2（2+），当且仅当t时等号成立，此时M3+2，取得最小值；故答案为：3+2【点评】本题考查一元二次函数的性质及应用，关键是将M变形三、解答题（本
21、大题共4小题，共42分）18（8分）设常数aR，集合Ax|（x1）（xa）0，Bx|xa1（1）若a2，求AB，A（RB）；（2）若ABR，求a的取值范围【分析】（1）a2时求出集合A、B，再计算AB和A（RB）；（2）讨论a1、a1和a1时，求出集合ABR时a的取值范围【解答】解：（1）a2时，集合Ax|（x1）（x2）0（，12，+），Bx|x21x|x11，+）；AB12，+）；RB（，1），A（RB）（，1）；（2）当a1时，A（，1a，+），Ba1，+）；若ABR，则a11，1a2；当a1时，易得AR，此时ABR；当a1时，A（，a1，+），Ba2，+），若ABR，则a1a，显然成立
22、，a1；综上，a的取值范围是（，2【点评】本题考查了并集及其运算，二次不等式以及不等式恒成立的应用问题，是中档题19（10分）已知是奇函数，且（1）求实数a，b的值；（2）判断函数f（x）在（，1上的单调性，并加以证明；（3）求f（x）的最大值【分析】（1）根据函数奇偶性的性质和条件建立方程关系即可求实数a，b的值；（2）根据函数单调性的定义即可证明函数f（x）在（，1上的单调性；（3）根据函数的单调性求出函数的最大值即可【解答】解：（1）f（x）是奇函数，f（x）f（x），因此bb，即b0又f（2），4a+210，a2；（2）由（1）知f（x），f（x）在（，1上为减函数，令g（x）x+，则
23、g（x）的单调性和f（x）的单调性相反，证明：设x1x21，则g（x1）g（x2）x1+x2（x1x2）（1），x1x21，x1x20，x1x21，10，g（x1）g（x2）0，即g（x1）g（x2）g（x）在（，1上为增函数，则f（x）在（，1递减；（3）由（1）（2）f（x）在（，1）递减，在（1，0）递增，在（0，1）递增，在（1，+）递减，故f（x）maxf（1）【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用以及函数单调性的证明，根据相应的定义是解决本题的关键20（12分）设f（x）loga（x2a）+loga（x3a），其中a0且a1（1）若a2，解不等式f（x）1（2）当xa+3，a+4时，
24、不等式f（x）1恒成立，求a的取值范围【分析】（1）将a2代入函数的解析式，得到关于x的不等式，解出即可；（2）利用对数的运算性质化简函数f（x）loga（x）2，求出函数的定义域，判断出内函数g（x）（x）2在a+3，a+4上单调递增，将函数在区间a+3，a+4上f（x）1恒成立，转化为f（x）max1，再对底数a进行分类讨论，分别求出f（x）max，从而求得a的取值范围【解答】解：（1）a2时，f（x）log2（x4）+log2（x6）log2（x4）（x6），f（x）1即6x5+故不等式的解集是（6，5+；（2）f（x）loga（x2a）+loga（x3a）loga（x25ax+6a2）
25、loga（x）2，根据题意可知，解得，x3a，a+33a，即a，（a+3）（a2）0，g（x）（x）2在区间a+3，a+4上单调递增若0a1，则f（x）在区间a+3，a+4上单调递减，f（x）在区间a+3，a+4上的最大值为f（a+3）loga（2a29a+9），不等式f（x）1在xa+3，a+4恒成立，等价于f（x）max1，即loga（2a29a+9）1，2a29a+9a，解得a或a，又0a1，0a1若1a，则f（x）在区间a+3，a+4上单调递增，f（x）在区间a+3，a+4上的最大值为f（a+4）loga（2a212a+16），不等式f（x）1在xa+3，a+4恒成立，等价于f（x）m
26、ax1，即loga（2a212a+16）1，2a212a+16a，即2a213a+160，解得a，1a且，a综合，a的取值范围为（0，1）【点评】本题考查了对数的运算，以及复合函数的单调性和函数的恒成立问题对于函数恒成立问题，如果能参变量分离的一般选用参变量分离的方法转化为函数的最值进行求解，否则直接运用函数的最值求解对于对数的底数是参数的话，一般要对其进行分类讨论进行求解，运用分类讨论的数学思想方法属于中档题21（12分）函数fn（x）xn+bx+c（nZ，b，cR）（1）若n1，且f1（1）f1（）4，试求实数b，c的值；（2）设n2，若对任意x1，x21，1有|f2（x1）f2（x2）|
27、4恒成立，求b的取值范围；（3）当n1时，已知bx2+cxa0，设g（x），是否存在正数a，使得对于区间上的任意三个实数m，n，p，都存在以f1（g（m），f1（g（n），f1（g（p）为边长的三角形？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由【分析】（1）由条件，可得b，c的方程，解方程可得b，c；（2）当n2时，f2（x）x2+bx+c，对任意x1，x21，1有|f2（x1）f2（x2）|4恒成立等价于f2（x）在1，1上的最大值与最小值之差M4讨论对称轴和区间的关系，判断单调性，可得最值，解不等式即可得到所求范围；（3）设tg（x），由x，可得t，1则yt+在，1上恒有2yminym
28、ax讨论顶点处x与区间，1的关系，求得单调性，可得最值，解不等式即可得到存在，求得a的范围【解答】解：（1）n1，且，可得1+b+c4，2+b+c4，解得b2，c1；（2）当n2时，f2（x）x2+bx+c，对任意x1，x21，1有|f2（x1）f2（x2）|4恒成立等价于f2（x）在1，1上的最大值与最小值之差M4当1，即b2时，f2（x）在1，1递增，f2（x）minf2（1）1b+c，f2（x）maxf2（1）1+b+c，M2b4（舍去）；当10，即0b2时，f2（x）在1，递减，在（，1递增，f2（x）minf2（）c，f2（x）maxf2（1）1+b+c，M（+1）24恒成立，故0b
29、2；当01即2b0时，f2（x）在1，递减，在（，1递增，f2（x）minf2（）c，f2（x）maxf2（1）1b+c，M（1）24恒成立，故2b0；当1，即b2时，f2（x）在1，1递减，f2（x）minf2（1）1+b+c，f2（x）maxf2（1）1b+c，M2b4矛盾综上可得，b的取值范围是2b2；（3）设tg（x），由x，可得t，1则yt+在，1上恒有2yminymax当a（0，时，yt+在，1上递增，ymin+3a，ymaxa+1，又2yminymax则a，即有a；当a（，时，yt+在，）递减，（，1）递增，可得ymin2，ymaxmax3a+，a+1a+1，又2yminymax解得74a7+4，即有a；当a（，1）时，yt+在，）递减，（，1）递增，可得ymin2，ymaxmax3a+，a+13a+，又2yminymax解得a，即有a1；当a1，+）时，yt+在，1上递减，ymina+1，ymax3a+，又2yminymax则a，即有1a综上可得，存在这样的三角形，a的取值范围是a【点评】本题考查不等式恒成立问题和存在性问题的解法，注意运用转化思想，转化为求最值，以及运用分类讨论的思想方法，注意对称轴或顶点与区间的关系，考查化简整理的运算能力，属于难题
