1、2018-2019学年天津市南开区高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）1（3分）设全集U1，2，3，4，5，6，集合S1，3，5，T3，6，则U（ST）等于（）AB4C2，4D2，4，62（3分）设角2弧度，则所在的象限是（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3（3分）下列函数，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（）Ayx3Bylog3xCy3xD4（3分）若tan3，tan5，则tan（）的值为（）ABCD5（3分）函数f（x）lg（1x2）的单调递减区间是（）A（0，+）B（0，1）C（，0）D
2、（1，0）6（3分）设a20.2，b0.22，clog0.22，则a、b、c的大小关系是（）AabcBbcaCcabDcba7（3分）要得到函数ysin4x的图象，只需将函数的图象（）A.向左平移个单位B.向右平移个单位C向左平移个单位D.向右平移个单位8（3分）设方程x322x的解为x0，则x0所在的大致区间是（）A（0，1）B（1，2）C（2，3）D（3，4）9（3分）设0x2，且sinxcosx，则（）A0xBxCxDx10（3分）在ABC中，若sinC+sin（BA）sin2A，则ABC的形状为（）A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰三角形或直角三角形二、填空题（本大题共5个
3、小题，每小题3分，共15分）11（3分）幂函数f（x）x的图象经过点（2，），则 12（3分）函数的定义域是 13（3分）已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P（4，y）是角终边上一点，且，则y 14（3分）函数的最大值与最小值之和等于 15（3分）有一批材料可以建成360m长的图墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样材料隔成三个面积相等的小矩形（如图所示），则围成场地的最大面积为 m2（围墙厚度不计）三、解答题（本大题共5个小题，共55分，解答应写出文字说明）16（11分）计算：（1）（2）
4、17（11分）已知函数f（x）（1）求f（4）、f（3）、f（f（2）的值；（2）若f（a）10，求a的值18（11分）（1）已知，求cos（3+）tan（）的值；（2）已知，求的值19（11分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x0时，f（x）x22x（1）求函数f（x）的解析式，并画出函数f（x）的图象（2）根据图象写出的单调区间和值域20（11分）已知函数f（x）（cos2xsin2x）+2sinxcosx（1）求f（x）的最小正周期；（2）设x，求f（x）的值域和单调递减区间2018-2019学年天津市南开区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，
5、每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）1（3分）设全集U1，2，3，4，5，6，集合S1，3，5，T3，6，则U（ST）等于（）AB4C2，4D2，4，6【分析】根据集合的基本运算进行求解即可【解答】解：S1，3，5，T3，6，ST1，3，5，6，则U（ST）2，4，故选：C【点评】本题主要考查集合的基本运算，根据补集，并集的定义是解决本题的关键2（3分）设角2弧度，则所在的象限是（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【分析】由2（，），可得答案【解答】解：角2弧度，2（，），故在第三象限，故选：C【点评】本题考查的知识眯是象限角，难度不大，属于基础题3（
6、3分）下列函数，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（）Ayx3Bylog3xCy3xD【分析】根据题意，依次分析选项中函数的定义域以及定义域上的单调性、奇偶性，综合可得答案【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，yx3，其定义域为R，在R上既是奇函数又是增函数，符合题意；对于B，ylog3x，是对数函数，不是奇函数，不符合题意；对于C，y3x，为指数函数，不为奇函数；对于D，y，为反比例函数，其定义域为x|x0，在其定义域上不是增函数，不符合题意；故选：A【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，关键是掌握常见函数的单调性、奇偶性，属于基础题4（3分）若tan3，tan5，则tan（）
7、的值为（）ABCD【分析】根据条件，直接利用两角差的正切公式求得结果【解答】解：tan3，tan5，则tan（），故选：A【点评】本题主要考查两角差的正切公式的应用，属于基础题5（3分）函数f（x）lg（1x2）的单调递减区间是（）A（0，+）B（0，1）C（，0）D（1，0）【分析】令t1x20，可得函数的定义域为（1，1），f（x）lgt，本题即求 tx2+1在（1，1）上的减区间，再利用二次函数的性质求得tx2+1在（0，1）上的减区间【解答】解：令t1x2（1+x）（1x）0，可得1x1，故函数的定义域为（1，1），则f（x）lgt本题即求 tx2+1在（0，1）上的减区间，再利用二次
8、函数的性质可得，tx2+1在（1，1）上的减区间为（0，1），故选：B【点评】本题考查对数函数的单调性和应用、复合函数的单调性、二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题6（3分）设a20.2，b0.22，clog0.22，则a、b、c的大小关系是（）AabcBbcaCcabDcba【分析】容易得出，20.21，00.221，log0.220，从而可得出a，b，c的大小关系【解答】解：20.2201，00.220.201，log0.22log0.210；cba故选：D【点评】考查指数函数和对数函数的单调性，以及指数函数的值域，增函数和减函数的定义7（3分）要得到函数ysin4x的图象，只
9、需将函数的图象（）A.向左平移个单位B.向右平移个单位C向左平移个单位D.向右平移个单位【分析】直接利用正弦型函数的平移变换的应用求出结果【解答】解：要得到函数ysin4x的图象，只需将函数的图象向左平移个单位，即：sin4x故选：C【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，三角函数图象的伸缩变换和平移变换的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型8（3分）设方程x322x的解为x0，则x0所在的大致区间是（）A（0，1）B（1，2）C（2，3）D（3，4）【分析】若连续函数f（x）在区间（a，b）内满足f（a）f（b）0，则函数f（x）在区间（a，b）内必有零点【解答
10、】解：令f（x）x322x，则f（1）1210，f（2）232228170，f（1）f（2）0，函数f（x）在区间（1，2）内有零点，方程x322x的解为x0，则x0所在的大致区间是（1，2）故选：B【点评】掌握函数零点的判断方法是解题的关键9（3分）设0x2，且sinxcosx，则（）A0xBxCxDx【分析】先对进行化简，即|sinxcosx|，再由sinxcosx确定sinxcosx，从而确定x的范围，得到答案【解答】解：，sinxcosxx0，2），故选：B【点评】本题主要考查三角函数的二倍角公式和同角三角函数的基本关系属基础题三角函数这一部分的公式比较多，一定要强化公式的记忆10（3
11、分）在ABC中，若sinC+sin（BA）sin2A，则ABC的形状为（）A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰三角形或直角三角形【分析】由两角和与差的三角函数公式结合三角形的知识可得cosA0或sinAsinB进而可作出判断【解答】解：sinC+sin（BA）sin2A，sin（A+B）+sin（BA）sin2AsinAcosB+cosAsinB+sinBcosAcosBsinA2sinAcosA2sinBcosA2sinAcosAcosA（sinAsinB）0，cosA0或sinAsinB0A，B，A或ABABC为直角三角形或等腰三角形故选：D【点评】本题考查三角形形状的判断，涉及
12、两角和与差的三角函数公式，属基础题二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）11（3分）幂函数f（x）x的图象经过点（2，），则2【分析】幂函数f（x）x的图象经过点（2，），故将点的坐标代入函数解析式，建立方程求【解答】解：幂函数f（x）x的图象经过点（2，），2222故答案为：2【点评】本题考查幂函数的单调性、奇偶性及其应用，解题的关键是利用幂函数的解析式建立关于参数的方程求参数12（3分）函数的定义域是1，2）（2，3）【分析】令被开方数大于等于0，真数大于0，分母不为0得到不等式组，求出x的范围写出区间形式【解答】解：要使函数有意义，需满足解得1x2或2x3故答案为：1，2）
13、（2，3）【点评】求函数的解析式已知的函数的定义域，一般要考虑：开偶次方根的被开方数大于等于0、对数的真数大于0底数大于0且不为1、分母不为013（3分）已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P（4，y）是角终边上一点，且，则y8【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得y的值【解答】解：角的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P（4，y）是角终边上一点，且，则y8，故答案为：8【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题14（3分）函数的最大值与最小值之和等于0【分析】根据题意，设函数f（x）的最大值为M，最小值为N，分析可得f（x）为奇函数，由奇函数的性质分析可得答
14、案【解答】解：根据题意，设函数f（x）的最大值为M，最小值为N，又由f（x）+sin（x）（+sinx）f（x），则函数f（x）为奇函数，则有MN，则有M+N0；故答案为：0【点评】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，注意分析函数f（x）的奇偶性15（3分）有一批材料可以建成360m长的图墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样材料隔成三个面积相等的小矩形（如图所示），则围成场地的最大面积为8100m2（围墙厚度不计）【分析】设出宽，进而可表示出长，利用矩形面积公式求得面积的表达式，再利用二次函数的性质求得矩形面积的最大值【解答】解：设每个小矩形的高为am，则长为b（360
15、4a）m，记面积为Sm2则S3aba（3604a）4a2+360a（0a90）当a45时，Smax8100（m2）所围矩形面积的最大值为8100m2故答案为：8100【点评】本题以实际问题为载体，考查了函数的最值在实际中的应用考查了学生运用所学知识解决实际问题的能力，设出自变量和因变量，将实际问题转化为函数模型是解答本题的关键三、解答题（本大题共5个小题，共55分，解答应写出文字说明）16（11分）计算：（1）（2）【分析】（1）直接利用对数的运算性质化简求值；（2）利用特殊角的三角函数值得答案【解答】解：（1）；（2）01+0【点评】本题考查对数的运算性质，考查三角函数值的求法，是基础题17
16、（11分）已知函数f（x）（1）求f（4）、f（3）、f（f（2）的值；（2）若f（a）10，求a的值【分析】（1）根据分段函数各段的对应法则，分别代入可求（2）由f（a）10，需要知道a的范围，从而求出f（a），从而需对a进行分（1）a1；1a2；a2三种情况进行讨论【解答】解：（1）f（4）2，f（3）6，f（f（2）f（0）0（2）当a1时，a+210，得：a8，不符合 当1a2时，a210，得：a，不符合； a2时，2a10，得a5，所以，a5【点评】本题考查分段函数求值及由函数值求解变量a的值，解题的关键是要根据a的不同取值，确定相应的对应关系，从而代入不同的
17、函数解析式中，体现了分类讨论的思想在解题中的应用18（11分）（1）已知，求cos（3+）tan（）的值；（2）已知，求的值【分析】（1）首先利用同角三角函数关系式的变换求出角的正弦值，进一步求出结果（2）利用三角函数的诱导公式的应用求出结果【解答】解：（1）已知，所以：sin，所以：cos（3+）tan（），（cos），sin，（2）由于，所以：【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，三角函数诱导公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型19（11分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x0时，f（x）x22x（1）求函数f（x）的解析式，并画出函数f（x
18、）的图象（2）根据图象写出的单调区间和值域【分析】（1）当x0时，x0，由已知中当x0时，f（x）x22x，及函数f（x）是定义在R上的偶函数，可求出当x0时函数的解析式，进而得到答案，再由二次函数的图象画法可得到函数的草图；（2）根据图象下降对应函数的单调递减区间，图象上升对应函数的单调递增区间，分析出函数值的取值范围后可得到答案【解答】解：（1）由x0时，f（x）x22x，当x0时，x0，f（x）x2+2x又函数f（x）为偶函数，f（x）x2+2x3故函数的解析式为4函数图象如下图所示：7（2）由函数的图象可知，函数f（x）的单调递增区间为1，0、1，+）单调递减区间为（，1、0，1，函数
19、f（x）的值域为1，+）12【点评】本题考查的知识点是函数图象，函数的单调区间，函数的值域，是函数图象和性质的综合应用，难度中档20（11分）已知函数f（x）（cos2xsin2x）+2sinxcosx（1）求f（x）的最小正周期；（2）设x，求f（x）的值域和单调递减区间【分析】利用倍角公式及辅助角公式化简（1）直接利用周期公式求得f（x）的最小正周期；（2）由x的范围求得相位的范围，进一步得到求f（x）的值域；再由复合函数的单调性求得函数的周期【解答】解：f（x）（cos2xsin2x）+2sinxcosx（1）函数f（x）的最小正周期T；（2）由x，得2x+，f（x），2由，解得，kZf（x）的单调递减区间为【点评】本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查了yAsin（x+）型函数的图象和性质，是中档题
