1、2018-2019学年广东省广州市天河区高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1（5分）设全集U1，2，3，4，集合S1，3，T4，则（US）T等于（）A2，4B4CD1，3，42（5分）已知向量（x，1），（1，2），若，则（）A（）B（）C（3，1）D（3，1）3（5分）已知函数f（x），则f（f（）的值是（）AB9CD94（5分）设a（），b，clog2，则（）AbacBabcCbcaDcab5（5分）函数f（x）lnx+2x6的零点一定位于下列哪个区间（）A（1，2）B（2，3）C（3，4）D（5，
2、6）6（5分）已知角的终边经过点P（4，3），则的值等于（）ABCD7（5分）已知函数f（x）Asin（x+）（xR，A0，0，|）的图象（部分）如图所示，则f（x）的解析式是（）Af（x）2sin（x+）Bf（x）2sin（2x+）Cf（x）2sin（x+）Df（x）2sin（2x+）8（5分）若两个非零向量，满足|2|2，|3，则，的夹角是（）ABCD9（5分）九章算术是我国古代数学成就的杰出代表作，其中方田章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积（弦矢+矢2），弧田（如图）由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为，弧长为4米
3、的弧，按上述经公式计算（1.73），所得弧田面积约是（）A16平方米B18平方米C20平方米D25平方米10（5分）偶函数f（x）（xR）满足：f（5）f（2）0，且在区间0，3与3，+）上分别递减和递增，则不等式xf（x）0的解集为（）A（，5）（2，2）（5，+）B（，5）（2，0）（2，5）C（52）（2，5）D（5，2）（0，2）（5，+）11（5分）已知锐角满足cos（）cos2，则tan2（）ABCD12（5分）如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别为AB、AD上的点，且，连接AC、MN交于P点，若，则的值为（）ABCD二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分)13（5
4、分）函数f（x）+lg（x+1）的定义域是 14（5分）已知cos（+），则sin（2+） 15（5分）已知函数f（x），g（x）f（x）+x+a，若g（x）存在2个零点，则实数a取值范围是 16（5分）函数f（x）2sin（2x）的图象为C，如下结论中正确的是 图象C关于直线x对称；图象C关于点（，0）对称；函数f（x）在区间（）内是增函数；由y2sin2x图象向右平移个单位长度可以得到图象C三、解答题（本大题共6小题，满分70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（10分）已知向量（1，0），（1，1）（1）若|2，且，求向量的坐标；（2）若2，+m，且A、B、C三点共线，求实数m
5、的值18（12分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（2）（1）求函数f（x）的解析式；（2）判断函数f（x）在区间（0，1）上的单调性，并用定义法证明19（12分）已知函数f（x）2sin（）（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递减区间；（2）先列表，并用描点法作出函数f（x）在0，4上的简图20（12分）某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券类稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票类风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比已知两类产品各投资1万元时的收益分别为0.125万元和0.5万元，如图：（）分别写出两类产品的收益y（万元）与投资额x（万元）的函数关系；（）
6、该家庭有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大收益，最大收益是多少万元？21（12分）已知（2cosx，1），（sinx+cosx，1），函数f（x）（1）求函数f（x）在区间0，上的最大值和最小值；（2）若f（x0），x0，求cos2x0的值；（3）若函数yf（x）在区间（）上是单调递增函数，求正数的取值范围22（12分）已知函数g（x）ax22ax+1+b（a0）在区间1，1上有最大值4和最小值0设f（x）（1）求实数a，b的值；（2）若不等式f（x）kx0在x（0，+）上恒成立，求实数k的取值范围；（3）若f（|2x1|）+k3k0有三个不同的实数解，求实数k的
7、取值范围2018-2019学年广东省广州市天河区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1（5分）设全集U1，2，3，4，集合S1，3，T4，则（US）T等于（）A2，4B4CD1，3，4【分析】利用集合的交、并、补集的混合运算求解【解答】解：全集U1，2，3，4，集合Sl，3，T4，（US）T2，442，4故选：A【点评】本题考查集合的交、并、补集的混合运算，是基础题，解题时要认真审题2（5分）已知向量（x，1），（1，2），若，则（）A（）B（）C（3，1）D（3，1）【分析】根据即可得
8、出，从而得出，这样即可求出的坐标【解答】解：；2x10；故选：A【点评】考查平行向量的坐标关系，以及向量坐标的加法运算3（5分）已知函数f（x），则f（f（）的值是（）AB9CD9【分析】由已知得f（）2，从而f（f（）f（2），由此能求出结果【解答】解：函数f（x），f（）2，f（f（）f（2）故选：C【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用4（5分）设a（），b，clog2，则（）AbacBabcCbcaDcab【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出【解答】解：a（）（0，1），b1，clog20，则cab故选：D【点评】本题考查了指数函数与
9、对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题5（5分）函数f（x）lnx+2x6的零点一定位于下列哪个区间（）A（1，2）B（2，3）C（3，4）D（5，6）【分析】要求函数的零点所在的区间，根据所给的函数的解析式，把区间的端点代入函数的解析式进行验算，得到函数的值同0进行比较，在判断出区间两个端点的乘积是否小于0，得到结果【解答】解：函数f（x）lnx+2x6f（1）40，f（2）ln240f（3）ln3ln10，f（2）f（3）0，函数的零点在（2，3）上，故选：B【点评】本题考查函数的零点的判定定理，本题解题的关键是做出区间的两个端点的函数值，本题是一个基础题6（5分）已知角的
10、终边经过点P（4，3），则的值等于（）ABCD【分析】由角的终边经过点P（4，3），利用任意角的三角函数定义求出tan的值，然后利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简所求的式子后，将tan的值代入即可求出值【解答】解：角的终边经过点P（4，3），tan，则tan（+）故选：B【点评】此题考查了两角和与差的正切函数公式，特殊角的三角函数值，以及任意角的三角函数定义，根据题意得出tan的值是解本题的关键7（5分）已知函数f（x）Asin（x+）（xR，A0，0，|）的图象（部分）如图所示，则f（x）的解析式是（）Af（x）2sin（x+）Bf（x）2sin（2x+）Cf（x）2sin
11、（x+）Df（x）2sin（2x+）【分析】根据图象可得周期T2，A2，利用周期公式可求，利用2sin（+）2及的范围可求的值，即可确定函数解析式【解答】解：根据图象判断：周期T4（）2，A2，2sin（+）2，+2k+，kz，2k+，kz，|，f（x）2sin（x+）故选：A【点评】本题考查了三角函数的图象和性质，考查了由yAsin（x+）的部分图象确定其解析式，关键是据图确定参变量的值，属于中档题8（5分）若两个非零向量，满足|2|2，|3，则，的夹角是（）ABCD【分析】根据题意，设，的夹角是，由数量积的计算公式可得（）22+4+429，代入数据计算可得cos的值，结合的范围，分析可得答
12、案【解答】解：根据题意，设，的夹角是，又由|2|2，且|3，则（）22+4+429，即1+4（12cos）+169，解可得cos1，则；故选：D【点评】本题考查向量数量积的计算，关键是掌握由向量的数量积求向量夹角的方法9（5分）九章算术是我国古代数学成就的杰出代表作，其中方田章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积（弦矢+矢2），弧田（如图）由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为，弧长为4米的弧，按上述经公式计算（1.73），所得弧田面积约是（）A16平方米B18平方米C20平方米D25平方米【分析】在RtAOD中，由题意OA4
13、，DAO，即可求得OD，AD的值，根据题意可求矢和弦的值，即可利用公式计算求值得解【解答】解：如图，由题意可得：AOB，弧长为4米，OA6在RtAOD中，可得：AOD，DAO，ODAO63，可得：矢633，由ADAOsin63，可得：弦2AD236，所以：弧田面积（弦矢+矢2）（63+32）9+4.520平方米故选：C【点评】本题考查扇形的面积公式，考查学生对题意的理解，考查学生的计算能力，属于中档题10（5分）偶函数f（x）（xR）满足：f（5）f（2）0，且在区间0，3与3，+）上分别递减和递增，则不等式xf（x）0的解集为（）A（，5）（2，2）（5，+）B（，5）（2，0）（2，5）C
14、（52）（2，5）D（5，2）（0，2）（5，+）【分析】利用偶函数关于y轴对称的性质并结合题中给出函数的单调区间画出函数f（x）的图象，再由xf（x）0得到x与f（x）异号得出结论【解答】解：根据题意，xf（x）0或，等价于求函数yf（x）的图象在第二、四象限时x的取值范围又由偶函数f（x）（xR）满足f（5）f（2）0，则f（5）f（2）f（5）f（2）0，且f（x）在区间0，3与3，+）上分别递减与递增，其草图为：即x（2，5）函数图象位于第四象限，x（，5）（2，0）函数图象位于第二象限综上：xf（x）0的解集为：（，5）（2，0）（2，5），故选：B【点评】本题考查函数的奇偶性与单调
15、性的应用，关键是分析得到函数的图象草图11（5分）已知锐角满足cos（）cos2，则tan2（）ABCD【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，求得cossin，sin2，判断 0，2还是锐角，再求得cos2的值，可得tan2的值【解答】解：锐角满足cos（）cos2，cos+sincos2sin2，cossin，平方可得1sin2，sin2cossin，0，2还是锐角，故cos2，则tan2，故选：C【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题12（5分）如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别为AB、AD上的点，且，连接A
16、C、MN交于P点，若，则的值为（）ABCD【分析】根据向量的加减的几何意义和三点共线即可求出答案【解答】解：，连（+）（+）+，三点M，N，P共线+1，故选：C【点评】本题考查了平面向量的线性运算，及三点共线的充要条件，属于中档题二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分)13（5分）函数f（x）+lg（x+1）的定义域是（1，1【分析】由函数的解析式知，对数的真数大于0，偶次根号下非负，易得关于x的不等式组，解出它的解集即可得到函数的定义域【解答】解：由题意，可令，解得1x1，函数f（x）+lg（x+1）的定义域是（1，1故答案为：（1，1【点评】本题考查求对数函数定义域，解题的关键
17、是理解函数定义域的定义，找出自变量满足的不等式，解出定义域，本题中用到了对数的真数大于是，偶次根号下非负这些限制条件，属于是函数概念考查基本题14（5分）已知cos（+），则sin（2+）【分析】根据诱导公式和二倍角公式即可求出【解答】解：cos（+），cos，sin（2+）cos22cos211，故答案为：【点评】本题考查了诱导公式和二倍角公式，属于基础题15（5分）已知函数f（x），g（x）f（x）+x+a，若g（x）存在2个零点，则实数a取值范围是1，+）【分析】由g（x）0得f（x）xa，分别作出两个函数的图象，根据图象交点个数与函数零点之间的关系进行转化求解即可【解答】解：由g（x）
18、0得f（x）xa，作出函数f（x）和yxa的图象如图：当直线yxa的截距a1，即a1时，两个函数的图象都有2个交点，即函数g（x）存在2个零点，故实数a的取值范围是1，+），故答案为：1，+）【点评】本题主要考查分段函数的应用，利用函数与零点之间的关系转化为两个函数的图象的交点问题是解决本题的关键16（5分）函数f（x）2sin（2x）的图象为C，如下结论中正确的是图象C关于直线x对称；图象C关于点（，0）对称；函数f（x）在区间（）内是增函数；由y2sin2x图象向右平移个单位长度可以得到图象C【分析】由正弦函数的对称轴特点可判断；由正弦函数的对称中心特点可判断；由正弦函数的增区间可判断；由
19、三角函数的图象变换特点可判断【解答】解：函数f（x）2sin（2x），由f（）2sin2，为最小值，可得图象C关于直线x对称，故正确；由f（）2sin0，图象C关于点（，0）对称，故正确；由x（），可得2x（，），即有f（x）在区间（）内是增函数，故正确；由y2sin2x图象向右平移个单位长度可以得到y2sin2（x）的图象，故错误故答案为：【点评】本题考查三角函数的图象和性质，考查函数的对称性和单调性、图象变换，考查运算能力，属于中档题三、解答题（本大题共6小题，满分70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（10分）已知向量（1，0），（1，1）（1）若|2，且，求向量的坐标；（2
20、）若2，+m，且A、B、C三点共线，求实数m的值【分析】（1）可设，根据及即可得出x+y0，x2+y28，联立即可求出x，y，即得出向量的坐标；（2）可先求出，根据A、B、C三点共线可得出，从而得出m+1+m0，解出m即可【解答】解：（1）设；，且；，x2+y28；联立得，或；（2），；A、B、C三点共线；m+1+m0；【点评】考查向量平行时的坐标关系，向量垂直的充要条件，以及向量坐标的数量积运算18（12分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（2）（1）求函数f（x）的解析式；（2）判断函数f（x）在区间（0，1）上的单调性，并用定义法证明【分析】（1）根据题意，由奇函数的性质可得f
21、（0）0，则n0，又由f（2），解可得m的值，将m、n的值代入函数的解析式，计算可得答案；（2）根据题意，设0x1x21，由作差法分析可得答案【解答】解：（1）根据题意，函数f（x）是定义在R上的奇函数，则f（0）0，则n0，又由f（2），则f（2），解可得m1，则f（x），（2）由（1）的结论，f（x）在（0，1）上为增函数，证明：0x1x21，则f（x1）f（x2）又由0x1x21，则（x1x2）0，（1x1x2）0，则有f（x1）f（x2）0，则函数f（x）在（0，1）上为增函数【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的性质以及应用，涉及单调性的判断，属于基础题19（12分）已知函数f（x）
22、2sin（）（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递减区间；（2）先列表，并用描点法作出函数f（x）在0，4上的简图【分析】（1）利用正弦函数的图象和性质即可求出f（x）的最小正周期与单调减区间；（2）列表如下，作出它在0，4上的简图即可；【解答】（本题满分为12分）解：（1）f（x）的最小正周期为T4；（4分）令+2k+2k，kZ，解得：+4kx+4k，kZ，可得单调递减区间为：+4k，+4k，kZ（2）列表如下：x 0 2 y 0 2 02 0连线成图如下：【点评】本题主要考查了五点法作函数yAsin（x+）的图象，考查了正弦函数的图象和性质的应用，属于基础题20（12分）某家庭进行理财投
23、资，根据长期收益率市场预测，投资债券类稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票类风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比已知两类产品各投资1万元时的收益分别为0.125万元和0.5万元，如图：（）分别写出两类产品的收益y（万元）与投资额x（万元）的函数关系；（）该家庭有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大收益，最大收益是多少万元？【分析】（）由投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比，结合函数图象，我们可以利用待定系数法来求两种产品的收益与投资的函数关系；（）由（）的结论，我们投资债券类稳健型产品x万元（0x2
24、0），则投资股票类风险型产品20x万元这时可以构造出一个关于收益y的函数，然后利用求函数最大值的方法进行求解【解答】解：（）投资债券类稳健型产品的收益满足函数：ykx（x0），由题知，当x1时，y0.125，则k0.125，即y0.125x，投资股票类风险型产品的收益满足函数：（x0），由题知，当x1时，y0.5，则k0.5，即，（）设投资债券类稳健型产品x万元（0x20），则投资股票类风险型产品20x万元，由题知总收益（0x20），令（），则x20t2，当t2，即x16时，ymax3（万元）答：投资债券类稳健型产品16万元，投资股票类风险型产品4万元，此时受益最大为3万元【点评】函数的实际应
25、用题，我们要经过析题建模解模还原四个过程，在建模时要注意实际情况对自变量x取值范围的限制，解模时也要实际问题实际考虑将实际的最大（小）化问题，利用函数模型，转化为求函数的最大（小）是最优化问题中，最常见的思路之一21（12分）已知（2cosx，1），（sinx+cosx，1），函数f（x）（1）求函数f（x）在区间0，上的最大值和最小值；（2）若f（x0），x0，求cos2x0的值；（3）若函数yf（x）在区间（）上是单调递增函数，求正数的取值范围【分析】由向量数量积的坐标表示，结合两角和的正弦公式可求f（x）2sin（2x+）（1）由x0，结合正弦函数的性质可求函数f（x）在区间0，上的最大
26、值及最小值；（2）若f（x0），可求2sin（2x0+），结合同角平方关系可求cos（2x0+），然后由cos2x0cos（2x0+），利用两角差的余弦公式即可求解（3）由yf（x）2sin（2x+），结合正弦函数的单调性可求单调递增区间，然后与区间（）进行比较可求【解答】解：（2cosx，1），（sinx+cosx，1），f（x）2cosx（sinx+cosx）12sinxcosx+2cos2x12sin（2x+）（1）x0，函数f（x）在区间0，上的最大值2，最小值1；（2）若f（x0），则2sin（2x0+），sin（2x0+），x0，cos（2x0+），cos2x0cos（2x0+）（
27、3）yf（x）2sin（2x+），令2x+，kz，可得，令k0可得，yf（x）2sin（2x+），在区间（）上是单调递增函数，解可得，0令k1可得，yf（x）2sin（2x+），在区间（）上是单调递增函数，此时不存在，经检验，k1时，k2时，不符合题意，故0【点评】本题主要考查了向量的数量积的运算性质及两角和的余弦公式，正弦函数的性质的灵活应用是求解本题的关键22（12分）已知函数g（x）ax22ax+1+b（a0）在区间1，1上有最大值4和最小值0设f（x）（1）求实数a，b的值；（2）若不等式f（x）kx0在x（0，+）上恒成立，求实数k的取值范围；（3）若f（|2x1|）+k3k0有三个
28、不同的实数解，求实数k的取值范围【分析】（1）由函数g（x）a（x1）2+1+ba，a0，所以g（x）在区间1，1上是减函数，故g（1）4，g（1）0，由此解得a、b的值；（2）不等式可化为k（1）2在x0恒成立，由平方数非负可得不等式右边的最小值，从而求得k的取值范围；（3）方程f（|2x1|）+k3k0|2x1|2（2+3k）|2x1|+（1+2k）0，（|2x1|0），令|2x1|t，则t2（2+3k）t+（1+2k）0（t0），构造函数h（t）t2（2+3k）t+（1+2k），通过数形结合与等价转化的思想即可求得k的范围【解答】解：（1）函数g（x）ax22ax+b+1a（x1）2+1
29、+ba，因为a0，所以g（x）在区间1，1上是减函数，故g（1）3a+b+14，g（1）1+ba0，解得a1，b0；（2）由f（x）kx0即为x22x+1kx20，即为k（1）2在x0恒成立，由（1）20，当且仅当x1时取得最小值0，所以k的取值范围是（，0；（3）方程f（|2x1|）+k3k0可化为：|2x1|2（2+3k）|2x1|+（1+2k）0，|2x1|0，令|2x1|t，则方程化为t2（2+3k）t+（1+2k）0（t0），方程f（|2k1|）+k3k0有三个不同的实数解，由t|2x1|的图象知，t2（2+3k）t+（1+2k）0（t0），有两个根t1、t2，且0t11t2或0t11，t21记h（t）t2（2+3k）t+（1+2k），则，或，k0【点评】本题考查二次函数在闭区间上的最值，考查函数恒成立问题问题，考查数形结合与等价转化、函数与方程思想的综合应用，属于难题
