1、2018-2019学年天津市静海一中、宝坻一中、杨村一中等六校联考高一（下）期末数学试卷一、选择题（本题共10小题，每题4分，共40分）1（4分）已知空间中两点A（2，1，4），B（4，1，2），则AB长为（）ABCD2（4分）在ABC中，a，b分别是角A，B的对边，a1，b，A30，则角B为（）A45B90C135D45或1353（4分）在区间3，3上随机选取一个数X，则|X|1的概率为（）ABCD4（4分）设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A若m，m，则B若m，mn，则nC若m，mn，则nD若，m，则m5（4分）若圆C1：x2+y21与圆C2：x2+y26x
2、8y+m0外切，则m（）A21B19C9D116（4分）已知直三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都相等，M为A1C1的中点，则AM与BC1所成角的余弦值为（）ABCD7（4分）在ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若bsinAacosB0，且b2ac，则的值为（）ABC2D48（4分）点A（2，3），B（3，2），直线axy20与线段AB相交，则实数a的取值范围是（）AB或CD或9（4分）已知圆C：x2+y26x+80，由直线yx1上一点向圆引切线，则切线长的最小值为（）A1B2CD10（4分）已知圆C1：（x2）2+（y3）21，圆C2：（x3）2+（y4）29，M，N分别是
3、圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为（）A1B54C62D二、填空题（本题共5小题，每题4分，共20分）11（4分）学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为100且支出在20，60）元的样本，其频率分布直方图如图，则支出在50，60）元的同学人数为 12（4分）已知直线ax+3y+10与直线2x+（a+1）y+10平行，则a值为 13（4分）球的内接圆柱的表面积为20，侧面积为12，则该球的表面积为 14（4分）在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，sinA+sinB4sinC0，且ABC的周长为5，面积，则sinC 15（4分）已
4、知圆C：（x3）2+（y4）2r2上有两个点到直线3x+4y0的距离为3，则半径r的取值范围是 三、解答题（本题共5小题，共60分）16（10分）某地区有小学21所，中学14所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取5所学校，对学生进行视力检查（1）求应从小学、中学中分别抽取的学校数目；（2）若从抽取的5所学校中抽取2所学校作进一步数据分析：列出所有可能抽取的结果；求抽取的2所学校至少有一所中学的概率17（12分）在ABC中，a、b、c分别是角A，B，C的对边，且（1）求角B的大小；（2）若b，a+c4，求ABC的面积18（12分）已知圆C：x2+y22x4y200（1）求圆C关于直线x2y20
5、对称的圆D的标准方程；（2）过点P（4，4）的直线l被圆C截得的弦长为8，求直线l的方程；（3）当k取何值时，直线kxy+3k+10与圆C相交的弦长最短，并求出最短弦长19（12分）如图，在多面体ABCDE中，AEB为等边三角形，ADBC，BCAB，ABBC2AD2，点F为边EB的中点（）求证：AF平面DEC；（）求证：平面DEC平面EBC；（）求直线AB与平面DEC所成角的正弦值20（14分）已知圆C过点M（1，4），N（3，2），且圆心在直线4x3y0上（1）求圆C的方程；（2）平面上有两点A（2，0），B（2，0），点P是圆C上的动点，求|AP|2+|BP|2的最小值；（3）若Q是x轴上
6、的动点，QR，QS分别切圆C于R，S两点，试问：直线RS是否恒过定点？若是，求出定点坐标，若不是，说明理由2018-2019学年天津市静海一中、宝坻一中、杨村一中等六校联考高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共10小题，每题4分，共40分）1（4分）已知空间中两点A（2，1，4），B（4，1，2），则AB长为（）ABCD【分析】根据空间中两点间的距离公式计算即可【解答】解：点A（2，1，4），B（4，1，2），则AB长为|AB|2故选：C【点评】本题考查了空间中两点间的距离公式应用问题，是基础题2（4分）在ABC中，a，b分别是角A，B的对边，a1，b，A30，则角B为（）
7、A45B90C135D45或135【分析】由已知利用正弦定理求出sinB的值，根据B的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出角B的度数【解答】解：a1，b，A30，根据正弦定理，得：sinB，又ba，得到BA，即30B180，则B45或135故选：D【点评】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题3（4分）在区间3，3上随机选取一个数X，则|X|1的概率为（）ABCD【分析】求出不等式的解集，根据几何概型的概率公式计算即可【解答】解：不等式|X|1的解为1X1，则在区间3，3上随机选取一个数X，满足|X|1的概率为P故选：B【点评】本题考查了几何概型的概率计
8、算问题，是基础题4（4分）设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A若m，m，则B若m，mn，则nC若m，mn，则nD若，m，则m【分析】在A中，与相交或平行；在B中，n或n；在C中，由线面垂直的判定定理得n；在D中，m与平行或m【解答】解：设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则：在A中，若m，m，则与相交或平行，故A错误；在B中，若m，mn，则n或n，故B错误；在C中，若m，mn，则由线面垂直的判定定理得n，故C正确；在D中，若，m，则m与平行或m，故D错误故选：C【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解
9、能力，是中档题5（4分）若圆C1：x2+y21与圆C2：x2+y26x8y+m0外切，则m（）A21B19C9D11【分析】化两圆的一般式方程为标准方程，求出圆心和半径，由两圆心间的距离等于半径和列式求得m值【解答】解：由C1：x2+y21，得圆心C1（0，0），半径为1，由圆C2：x2+y26x8y+m0，得（x3）2+（y4）225m，圆心C2（3，4），半径为圆C1与圆C2外切，解得：m9故选：C【点评】本题考查两圆的位置关系，考查了两圆外切的条件，是基础题6（4分）已知直三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都相等，M为A1C1的中点，则AM与BC1所成角的余弦值为（）ABCD【分析】以A
10、为原点，在平面ABC中过A作AC的垂线为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AM与BC1所成角的余弦值【解答】解：以A为原点，在平面ABC中过A作AC的垂线为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，设直三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2，A（0，0，0），M（0，1，2），B（，1，0），C1（0，2，2），（0，1，2），（，1，2），设AM与BC1所成角为，则cos，AM与BC1所成角的余弦值为故选：A【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题7（4分）在ABC中，内角
11、A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若bsinAacosB0，且b2ac，则的值为（）ABC2D4【分析】先由条件利用正弦定理求得角B，再由余弦定理列出关于a，c的关系式，然后进行合理的变形，求得的值【解答】解：ABC中，由bsinAacosB0，利用正弦定理得sinBsinAsinAcosB0，tanB，故B由余弦定理得b2a2+c22accosBa2+c2ac，即 b2（a+c）23ac，又b2ac，所以 4b2（a+c）2，求得2，故选：C【点评】本题考查正弦定理、余弦定理得应用解题先由正弦定理求得角B，再由余弦定理列出关于a，c的关系式，然后进行合理的变形，求得的值，属于中档题8（4
12、分）点A（2，3），B（3，2），直线axy20与线段AB相交，则实数a的取值范围是（）AB或CD或【分析】直线axy20经过定点C（0，2），斜率为a，数形结合利用直线的斜率公式，求得实数a的取值范围【解答】解：如图：直线axy20经过定点C（0，2），斜率为a，当直线axy20经过点A（2，3）时，有kAC当直线ax+y+20经过点B（3，2）时，有kBCa，故选：C【点评】本题主要考查恒过定点的直线，直线的斜率公式的应用，属于中档题9（4分）已知圆C：x2+y26x+80，由直线yx1上一点向圆引切线，则切线长的最小值为（）A1B2CD【分析】由题意画出图形，求出圆心到直线的距离，再由勾
13、股定理求解【解答】解：由圆C：x2+y26x+80，得（x3）2+y21圆C的圆心坐标为（3，0），半径为1如图，圆心（3，0）到直线xy10的距离d，圆的半径为定值1由直线yx1上一点向圆引切线，则切线长的最小值为故选：A【点评】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，是中档题10（4分）已知圆C1：（x2）2+（y3）21，圆C2：（x3）2+（y4）29，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为（）A1B54C62D【分析】求出圆C1关于x轴的对称圆的圆心坐标A，以及半径，然后求解圆A与圆C2的圆心距减去两个
14、圆的半径和，即可求出|PM|+|PN|的最小值【解答】解：如图圆C1关于x轴的对称圆的圆心坐标A（2，3），半径为1，圆C2的圆心坐标（3，4），半径为3，由图象可知当P，M，N，三点共线时，|PM|+|PN|取得最小值，|PM|+|PN|的最小值为圆C3与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和，即：|AC2|314454故选：B【点评】本题考查圆的对称圆的方程的求法，两个圆的位置关系，两点距离公式的应用，考查转化思想与计算能力二、填空题（本题共5小题，每题4分，共20分）11（4分）学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为100且支出在20，60）元的样本，其频率分布直方图如图，
15、则支出在50，60）元的同学人数为30【分析】由频率分布直方图求出支出在50，60）元的频率，由此能求就出支出在50，60）元的同学人数【解答】解：由频率分布直方图得：支出在50，60）元的频率为：1（0.01+0.024+0.036）100.3，支出在50，60）元的同学人数为：1000.330故答案为：30【点评】本题考查频数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题12（4分）已知直线ax+3y+10与直线2x+（a+1）y+10平行，则a值为3【分析】由直线ax+3y+10与直线2x+（a+1）y+10平行，能求出a的值【解答】解：直线ax+3y+10与直线
16、2x+（a+1）y+10平行，解得a3故答案为：3【点评】本题考查实数值的求法，考查直线与直线平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题13（4分）球的内接圆柱的表面积为20，侧面积为12，则该球的表面积为25【分析】由题意，设底面半径为r，圆柱高为h，根据圆柱可得r和h的值，圆柱的中截面对角线是球的直径，可求该球的表面积【解答】解：由题意，设圆柱底面半径为r，圆柱高为h，那么圆柱的底面积Sr2（2012）4，则r2，侧面积S2rh12，可得：h3圆柱的中截面是边长分别为4和3的长方形，其对角线为5球的半径R为，则球的表面积S4R225故答案为：25【点评】本题考查球的表面积的求法，关键
17、是公式的记忆与应用，是中档题14（4分）在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，sinA+sinB4sinC0，且ABC的周长为5，面积，则sinC【分析】利用正弦定理化简已知的第一个等式，得到a+b4c，代入第二个等式中计算，即可求出c的长，利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积S，代入已知的等式中，利用完全平方公式变形后，将a+b4代入化简，即可求出sinC的值【解答】解：ABC中，sinA+sinB4sinC0，a+b4c，ABC的周长L5，a+b+c5，c1，a+b4面积S（a2+b2），absinC（a2+b2）（a+b）22abab，sinC故答案为：【点评】此题考查
18、了正弦定理，三角形的面积公式，完全平方公式的运用，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，属于中档题15（4分）已知圆C：（x3）2+（y4）2r2上有两个点到直线3x+4y0的距离为3，则半径r的取值范围是（2，8）【分析】圆心（3，4）到直线l：3x+4y0的距离为d5，根据已知条件画出图形，数形结合可得半径r的取值范围【解答】解：如图，圆C：（x3）2+（y4）2r2的圆心（3，4）到直线3x+4y0的距离为d则要使圆C上有两个点到直线3x+4y0的距离为3，圆C的半径r的取值范围是（2，8）故答案为：（2，8）【点评】本题考查圆的半径的取值范围的求法，注意数形结合思想的合理运用，是中档题三、解
19、答题（本题共5小题，共60分）16（10分）某地区有小学21所，中学14所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取5所学校，对学生进行视力检查（1）求应从小学、中学中分别抽取的学校数目；（2）若从抽取的5所学校中抽取2所学校作进一步数据分析：列出所有可能抽取的结果；求抽取的2所学校至少有一所中学的概率【分析】（1）先求出分层抽样的比例，再根据分层抽样的定义和方法，求出应从小学、中学中分别抽取的学校数目（2）所抽取的3所小学分别记为a1，a2，a3；2所中学分别记为b1 b2，用列举法写出所有可能抽取的结果由题意利用古典概型，求出至少有一所中学的概率【解答】解：（1）学校总数为35所，分层抽样的比
20、例为 ，应从小学抽取的学校数目为：213，应从小学抽取的学校数目为：142故从小学、中学中分别抽取的学校数目为3所、2所（2）所抽取的3所小学分别记为a1，a2，a3；2所中学分别记为b1 b2，应抽取的2所学校的所有结果为：a1，a2，a1，a3，a2，a3，a1，b1，a2，b1，a3，b1，a1，b2，a2，b2，a3，b2，b1，b2，共10种设“抽取的2所学校至少有一所中学”作为事件A，其结果共有7种，所以，P（A）【点评】本题主要考查分层抽样的定义和方法，古典概型，属于基础题17（12分）在ABC中，a、b、c分别是角A，B，C的对边，且（1）求角B的大小；（2）若b，a+c4，求
21、ABC的面积【分析】（1）根据正弦定理表示出a，b及c，代入已知的等式，利用两角和的正弦函数公式及诱导公式变形后，根据sinA不为0，得到cosB的值，由B的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出角B的度数；（2）由（1）中得到角B的度数求出sinB和cosB的值，根据余弦定理表示出b2，利用完全平方公式变形后，将b，a+c及cosB的值代入求出ac的值，然后利用三角形的面积公式表示出ABC的面积，把ac与sinB的值代入即可求出值【解答】解：（1）由正弦定理得：a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC，将上式代入得，即2sinAcosB+sinCcosB+cosCsinB0，即2sinA
22、cosB+sin（B+C）0，A+B+C，sin（B+C）sinA，2sinAcosB+sinA0，即sinA（2cosB+1）0，sinA0，cosB，B为三角形的内角，B（2）将b，a+c4，B代入余弦定理b2a2+c22accosB得：b2（a+c）22ac2accosB，即即13162ac（1），ac3，SABCacsinB【点评】本题主要考查正弦定理，余弦定理及三角函数的恒等变形熟练掌握定理及公式是解本题的关键属于中档题18（12分）已知圆C：x2+y22x4y200（1）求圆C关于直线x2y20对称的圆D的标准方程；（2）过点P（4，4）的直线l被圆C截得的弦长为8，求直线l的方程
23、；（3）当k取何值时，直线kxy+3k+10与圆C相交的弦长最短，并求出最短弦长【分析】（1）根据圆心关于直线对称，半径相等可得圆D的标准方程（2）根据点到直线的距离和勾股定理列方程可解得（3）直线l过定点M（3，1），当CMl时，弦长最短，据此可求得【解答】解（1）圆心C（1，2），r5，设D（m，n），因为圆心C与D关于直线对称，所以D（3，2），r5所以圆D标准方程为：（x3）2+（y+2）225（2）设点C到直l距离d，因为28d3当l斜率不存在时，直线方程x4，满足题意l斜率存在时，设直线方程为y+4k（x4）d3k综上，直线方程x4或3x+4y+40（3）直线l过定点M（3，1），
24、当CMl时，弦长最短，kCM，k4此时最短弦长为24【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题19（12分）如图，在多面体ABCDE中，AEB为等边三角形，ADBC，BCAB，ABBC2AD2，点F为边EB的中点（）求证：AF平面DEC；（）求证：平面DEC平面EBC；（）求直线AB与平面DEC所成角的正弦值【分析】（I）取EC中点M，连结FM，证明AFDM，得到AF平面DEC（II）证明CBBE，推出CB平面ABE，证明AFCB，AFBE，证明AF平面EBC，然后证明平面DEC平面EBC（ III）解：取BC中点N，连结DN，说明直线AB与平面DEC所成角即为直线DN与平面DEC所成角，
25、过N作NHEC，垂足为H，连接DH然后转化求解即可【解答】（本小题满分13分）（I）证明：取EC中点M，连结FM，；（2分）AF平面DEC，DM平面DEC，AF平面DEC（4分）（II）证明：EB2+CB2EC2CBBE（5分）又CBAB，ABBEB，CB平面ABE，AF平面ABE，AFCB（6分）又ABE为等边三角形，F为边EB的中点，AFBE，CBBEB，AF平面EBC，由（ I）可知，AFDM，AF平面DEC（7分）AF平面DEC，平面DEC平面EBC（8分）（ III）解：取BC的中点H，直线AB与平面DEC所成角即为直线DH与平面DEC所成角，过N作NHEC，垂足为H，连接DH平面D
26、EC平面EBCEC，NH平面EBC，NHEC，NH平面DECDN为DH在平面CDE的射影，HDN为直线DN与平面DEC所成角（11分）在RtDNH中，直线AB与平面DEC所成角的正弦值为（13分）【点评】本题考查直线与平面垂直的判断定理以及直线与平面平行的判断定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力20（14分）已知圆C过点M（1，4），N（3，2），且圆心在直线4x3y0上（1）求圆C的方程；（2）平面上有两点A（2，0），B（2，0），点P是圆C上的动点，求|AP|2+|BP|2的最小值；（3）若Q是x轴上的动点，QR，QS分别切圆C于R，S两点，试问：直线RS是否
27、恒过定点？若是，求出定点坐标，若不是，说明理由【分析】（1）由题意设C（a，），再由|CM|CN|列式求得a，可得圆心坐标，进一步求出半径，则圆的方程可求；（2）设P（x，y），可得|AP|2+|BP|22|PO|2+8，求出|PO|的最小值得答案；（3）设Q（t，0），写出以CQ为直径的圆的方程，与已知圆C的方程联立可得直线RS的方程，再由直线系方程可得直线RS恒过定点【解答】解：（1）圆心C在直线4x3y0上，设C（a，），由|CM|CN|，得解得：a3圆心C为（3，4），半径r|CM|2圆C方程为：（x3）2+（y4）24；（2）设P（x，y），则|AP|2+|BP|2（x+2）2+y2+（x2）2+y22（x2+y2）+82|PO|2+8，（|AP|2+|BP|2）min18+826；（3）设Q（t，0），则以CQ为直径的圆圆心为D（，2），半径为则圆D方程为，即为x2+y2（3+t）x4y+3t0直线RS为圆C与圆D的相交弦，两圆联立可得RS的方程为：（3t）x+4y+3t210即（3x）t+3x+4y210，由，直线RS恒过定点（3，3）【点评】本题考查圆的方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题
