1、2017-2018学年广东省广州市天河区高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题所给的四个选项中，只有项是符合题目要求的1（5分）已知点P（1，1）落在角终边上，且0，2，则的值为（）ABCD2（5分）不等式x2+x+20的解集为（）A（，2）1，+）B（，12，+）C2，1D1，23（5分）若数列an的通项公式是an（1）n（3n4），则a1+a2+a3+a4+a5+a6（）A9B12C12D154（5分）设向量和分别为3或4，其夹角为，则|等于（）A37B13CD5（5分）函数（其中0，0）的图象的一部分如图所示，则（）6（5分）已知an为等比数列
2、，其前n项和为Sn，若a2a32a1，且a4与2a5的等差中项为3，则S10（）A18B19C20D217（5分）设x，y满足约束条件，则z2x+3y5的最小值为（）A10B3C0D68（5分）关于函数y3cos（2x+）+1，下列结论错误的是（）A其图象关于直线x对称B其图象向右平移个单位得y3cos2x+1C在区间0，上单调递减D其图象关于点（，1）对称9（5分）已知x，y（0，+），2x3（）y，则xy的最大值为（）A2BCD10（5分）已知cos，cos（），且0，那么sin（+）（）ABC1D11（5分）中国古代数学名著张丘建算经中记载：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里”意
3、思是：现有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天走的里程数是前一天的一半，连续行走7日，共走了700里若该匹马连续按此规律行走，则它在第8天到第14天这7天时间所走的总里程为（）A350里B1050里C里D.里12（5分）已知数列an满足，Sn是数列an的前n项和，若S2017+m1010，且a1m0，则的最小值为（）A2BCD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）已知向量 14（5分）设ABC的内角A，B，C所对的边分别内a，b，c，若a2sinC4sinA，cosB，则ABC的面积为 15（5分）设Sn为等差数列an的前n项和，已知S55，S84，当Sn最小时，则n 16（5
4、分）如图，将45直角三角板和30直角三角板拼在一起，其中45直角三角板的斜边与30直角三角板的30角所对的直角边重合，若x+y，x0，y0，则xyx ，y 三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答应写岀文字说明，证明过程或演算步骤.17（10分）已知等差数列an的公差d2，前n项和为Sn（1）若a2，a3，a6成等比数列，求a1；（2）若S5a1a13，求a1的取值范围18（12分）设函数f（x）sin2x3cos2x+，其中03，又已知f（）0（1）求f（x）的最小正周期（2）求在区间0，上的最大值19（12分）设数列an的前项和为Sn，a11，an+1Sn+1（nN*），数列bn中，b
5、n+1bn30（nN*），且b1a1（1）求数列an，bn的通项公式；（2）设数列bnan的前n项和为Tn，若Tn2n+35，求n的最小值20（12分）如图，在ABC中，点D在AC边上，且AD3BC，AB（）求DC的值；（）求tanABC的值21（12分）某公司生产的某批产品的销售量P万件（生产量与销售量相等）与促销费用x万元满足P（其中2xa，a为正常数）已知生产该批产品还需投入成本6（P+）万元（不包含促销费用），产品的销售价格定为（4+）元/件（1）将该产品的利润y万元表示为促销费x万元的函数（2）当促销费用投入多少元时，该公司的利润最大？22（12分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，
6、且f（1）1，对于任意的x1，x2R（x1x2），都有（1）解关于x的不等式f（x23ax）+f（2a2）0；（2）若f（x）m22am+1对所有x1，1，a1，1恒成立，求实数m的取值范围2017-2018学年广东省广州市天河区高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题所给的四个选项中，只有项是符合题目要求的1（5分）已知点P（1，1）落在角终边上，且0，2，则的值为（）ABCD【分析】直接利用任意角的定义，求解即可【解答】解：由题意可得点P（1，1）在第四象限，且x1，y1，且tan1，故故选：D【点评】本题主要考查任意角的三角函数
7、的定义，根据三角函数的值求角，属于基础题2（5分）不等式x2+x+20的解集为（）A（，2）1，+）B（，12，+）C2，1D1，2【分析】把不等式化为x2x20，求出解集即可【解答】解：不等式x2+x+20可化为x2x20，即（x+1）（x2）0，解得1x2，不等式的解集为1，2故选：D【点评】本题考查了不等式的解法与应用问题，是基础题3（5分）若数列an的通项公式是an（1）n（3n4），则a1+a2+a3+a4+a5+a6（）A9B12C12D15【分析】利用通项公式，代入计算求解即可【解答】解：数列an的通项公式是an（1）n（3n4），则a1+a2+a3+a4+a5+a61+25+8
8、11+149故选：A【点评】本题考查了数列递推关系、数列求和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题4（5分）设向量和分别为3或4，其夹角为，则|等于（）A37B13CD【分析】由向量的模的运算及数量积运算可得解【解答】解：|+|22+2+29+16+237，所以|，故选：C【点评】本题考查了向量的模的运算及数量积运算，属简单题5（5分）函数（其中0，0）的图象的一部分如图所示，则（）ABCD【分析】先利用图象中求得函数的周期，求得，最后根据x2时取最大值，求得，即可得解【解答】解：如图根据函数的图象可得：函数的周期为（62）416，又0，当x2时取最大值，即2sin（2+）2，可得：2+2k+
9、，kZ，2k+，kZ，0，故选：B【点评】本题主要考查了由yAsin（x+）的部分图象确定其解析式，考查了学生基础知识的运用和图象观察能力，属于基本知识的考查6（5分）已知an为等比数列，其前n项和为Sn，若a2a32a1，且a4与2a5的等差中项为3，则S10（）A18B19C20D21【分析】设等比数列an的公比为q，由已知可得q和a1的值，代入等比数列的求和公式可得【解答】解：设等比数列an的公比为q，则可得a1qa1q22a1，即a4a1q32，又a4与2a5的等差中项为3，所以a4+2a56，即2+22q6，解得q1，可得a12，故S1010220故选：C【点评】本题考查等比数列的通
10、项公式和求和公式，涉及等差数列的性质，属基础题7（5分）设x，y满足约束条件，则z2x+3y5的最小值为（）A10B3C0D6【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案【解答】解：由x，y满足约束条件，作出可行域如图，联立，解得A（1，0）目标函数z2x+3y5经过可行域的A时取得最小值z有最小值为21+3053故选：B【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题8（5分）关于函数y3cos（2x+）+1，下列结论错误的是（）A其图象关于直线x对称B其图象向右平移个单位得y3cos2x
11、+1C在区间0，上单调递减D其图象关于点（，1）对称【分析】由余弦函数的对称轴特点可判断A；由图象平移规律特点可判断B；由余弦函数的单调性可判断C；由余弦函数的对称中心可判断D【解答】解：函数yf（x）3cos（2x+）+1，由f（）3cos+12，为最小值，可得x为f（x）的对称轴，故A正确；y3cos（2x+）+1的图象向右平移个单位得y3cos（2x+）+1，即为y3cos2x+1，故B正确；当x（0，）时，2x+（，），y3cos（2x+）+1递减，故C正确；由f（）3cos（+）+111，则f（x）的图象不关于点（，1）对称，故D错误故选：D【点评】本题考查三角函数的图象和性质，主要
12、考查函数的对称性和单调性、图象平移，考查化简运算能力和推理能力，属于基础题9（5分）已知x，y（0，+），2x3（）y，则xy的最大值为（）A2BCD【分析】由已知结合指数的运算可得，x+2y3，然后根据xy2xy可求最值【解答】解：x，y（0，+），且2x3（）y22y，x32y，即x+2y3，则xyx（2y），当且仅当x2y时取得最大值故选：B【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是利用和定积最大的结论10（5分）已知cos，cos（），且0，那么sin（+）（）ABC1D【分析】由和的范围，求出的范围，然后由cos和cos（）的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sin
13、和sin（）的值，然后由（）+，利用两角和的余弦函数公式化简后，根据特殊角的三角函数值即可求出的度数【解答】解：由0，得到0，又cos，cos（）cos（），所以sin，sin（）sin（），则coscos（）+cos（）cossin（）sin（），所以：所以：sin（+）sin1故选：C【点评】此题考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系及两角和的余弦函数公式化简求值，是一道基础题，做题时注意角度的变换，属于基础题11（5分）中国古代数学名著张丘建算经中记载：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里”意思是：现有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天走的里程数是前一天的一半，连续行走7日，共走了7
14、00里若该匹马连续按此规律行走，则它在第8天到第14天这7天时间所走的总里程为（）A350里B1050里C里D.里【分析】设该匹马第一日走a1里，利用等比数列前n项和公式求出a1，由此利用等比数列前n项和公式能求出该匹马连续按此规律行走，则它在第8天到第14天这7天时间所走的总里程【解答】解：设该匹马第一日走a1里，马行走的速度逐渐减慢，每天走的里程数是前一天的一半，连续行走7日，共走了700里，700，解得a1350，该匹马连续按此规律行走，则它在第8天到第14天这7天时间所走的总里程为：S14700700（里）故选：C【点评】本题考查等比数列的第8项至第14项的和的求法，是基础题，解题时要
15、认真审题，注意等比数列的性质的合理运用12（5分）已知数列an满足，Sn是数列an的前n项和，若S2017+m1010，且a1m0，则的最小值为（）A2BCD【分析】由S2017a1（a2+a3）+（a4+a5）+（a2016+a2017），结合余弦函数值求和，再由S2017+m1010，可得a1+m2，由a1m0，可得a10，m0，运用乘1法和基本不等式即可得到所求最小值【解答】解：数列an满足，可得a2+a33cos3，a4+a55cos25，a6+a77cos37，a2016+a20172017cos10082017，则S2017a1（a2+a3）+（a4+a5）+（a2016+a201
16、7）3+57+9+20171008，又S2017+m1010，所以a1+m2，由a1m0，可得a10，m0，则（a1+m）（）（2+）（2+2）2当且仅当a1m1时，取得最小值2故选：A【点评】本题考查数列与三角函数的结合，注意运用整体思想和转化思想，考查最值的求法，注意运用乘1法和基本不等式，考查运算能力，属于中档题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）已知向量【分析】利用两个向量共线的性质，可得4sin3cos0，由此求得 tan 的值【解答】解：，则有4sin3cos0，解得 tan，故答案为【点评】本题主要考查两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，属于基础题
17、14（5分）设ABC的内角A，B，C所对的边分别内a，b，c，若a2sinC4sinA，cosB，则ABC的面积为【分析】由正弦定理化简已知可得ac4，由cosB利用同角三角函数基本关系式可求sinB，根据三角形面积公式即可计算得解【解答】解：a2sinC4sinA，由正弦定理可得：a2c4a，解得：ac4，cosB，可得：sinB，SABCacsinB4故答案为：【点评】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题15（5分）设Sn为等差数列an的前n项和，已知S55，S84，当Sn最小时，则n3或4【分析】设等差
18、数列的公差为d，由等差数列的求和公式，解方程可得首项和公差，求得通项公式，判断各项的符号，即可得到所求值【解答】解：Sn为等差数列an的前n项和，公差设为d，S55，S84，可得5a1+10d5，8a1+28d4，解得a13，d1，ana1+（n1）dn4，当1n4时，an0，n5时，an0，可得Sn最小时，则n3或4故答案为：3或4【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题16（5分）如图，将45直角三角板和30直角三角板拼在一起，其中45直角三角板的斜边与30直角三角板的30角所对的直角边重合，若x+y，x0，y0，则xyx，y【分析】根据直角三
19、角形中的边角关系求出各边长，余弦定理求出DB2x2+y2，RtCCB中，由勾股定理得BC2CC2+CB2，即 6（x1）2+y2，由可解得 x、y值【解答】解：由题意得，若设 ADDC1，则 AC，AB2，BC，由题意知，x+y，BCD中，由余弦定理得 DB2DC2+CB22DCCBcos（45+90）1+6+217+2，ADC90，DB2x2+y2，x2+y27+2如图，作x，y，则+，CCx1，CBy，RtCCB中，由勾股定理得 BC2CC2+CB2，即 6（x1）2+y2，由可得 x1+，y故答案为：1+、【点评】本题考查两个向量的数量积的定义，数量积公式的应用，余弦定理、勾股定理得应用
20、，体现了数形集合的数学思想三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答应写岀文字说明，证明过程或演算步骤.17（10分）已知等差数列an的公差d2，前n项和为Sn（1）若a2，a3，a6成等比数列，求a1；（2）若S5a1a13，求a1的取值范围【分析】（1）由等比数列中项性质和等差数列的通项公式，解方程可得首项；（2）由等差数列的求和公式，解不等式即可得到所求首项的范围【解答】解：（1）等差数列an的公差d2，a2，a3，a6成等比数列，可得a32a2a6，即为（a1+4）2（a1+2）（a1+10），解得a11；（2）S5a1a13，且d2，可得5a1+20a1（a1+24），即a12+1
21、9a1200，解得20a11，则a1的取值范围是（20，1）【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式、等比数列中项性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题18（12分）设函数f（x）sin2x3cos2x+，其中03，又已知f（）0（1）求f（x）的最小正周期（2）求在区间0，上的最大值【分析】（1）化函数f（x）为正弦型函数，求出的值，写出f（x）解析式，求出它的最小正周期；（2）求出x0，时f（x）且取值范围，即可得出它的最大值【解答】解：（1）设函数f（x）sin2x3cos2x+sin2x（1+cos2x）+（sin2xcos2x）sin（2x），又f（）sin（）0，k，kZ；3
22、k+1，kZ；又03，1，f（x）sin（2x），f（x）的最小正周期为T；（2）x0，时，2x，sin（2x），f（x）在区间0，上的最大值为【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了三角恒等变换应用问题，是中档题19（12分）设数列an的前项和为Sn，a11，an+1Sn+1（nN*），数列bn中，bn+1bn30（nN*），且b1a1（1）求数列an，bn的通项公式；（2）设数列bnan的前n项和为Tn，若Tn2n+35，求n的最小值【分析】（1）由数列的递推式：n2时，anSnSn1，由等比数列的通项公式可得数列an的通项公式；由等差数列的通项公式可得数列bn的通项公式
23、；（2）求得bnan（3n2）2n1，由数列的错位相减法求和，可得Tn，解不等式可得n的最小值【解答】解：（1）a11，an+1Sn+1（nN*），可得anSn1+1，n2即有an+1anSnSn1an，即为an+12an，由a2S1+12，可得ana22n22n1，上式对n1也成立，则an2n1，nN*；数列bn中，bn+1bn3（nN*），且b1a11，可得bn1+3（n1）3n2，nN*；（2）bnan（3n2）2n1，可得前n项和为Tn120+421+722+（3n2）2n1，2Tn12+422+723+（3n2）2n，相减可得Tn1+3（21+22+2n1）（3n2）2n1+3（3n
24、2）2n，化简可得Tn5+（3n5）2n若Tn2n+35，即为（3n5）2n2n+3，即有3n58，即n，可得整数n的最小值为5【点评】本题考查等差数列的通项公式和等比数列的求和公式的运用，考查数列的求和方法：错位相减法，考查化简运算能力，属于中档题20（12分）如图，在ABC中，点D在AC边上，且AD3BC，AB（）求DC的值；（）求tanABC的值【分析】（）推出DBCC，DBDC，设DCx，则DBx，DA3x由余弦定理AB2DA2+DB22DADBcosADB，即可求出DC（）方法一在ADB中，由ADAB，得ABDADB60，由正弦定理，求出，然后求解方法二在ADB中，由余弦定理转化求解
25、即可【解答】（本小题13分）解：（）如图所示，（1分）故DBCC，DBDC（2分）设DCx，则DBx，DA3x在ADB中，由余弦定理AB2DA2+DB22DADBcosADB（3分）即，（4分）解得x1，即DC1（5分）（）方法一在ADB中，由ADAB，得ABDADB60，故（6分）在ABC中，由正弦定理（7分）即，故，（9分）由，得，（11分）（13分）方法二在ADB中，由余弦定理（7分）由ABD（0，），故（9分）故（11分）故（13分）【点评】本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，三角形的解法，考查计算能力21（12分）某公司生产的某批产品的销售量P万件（生产量与销售量相等）与促销费用x万
26、元满足P（其中2xa，a为正常数）已知生产该批产品还需投入成本6（P+）万元（不包含促销费用），产品的销售价格定为（4+）元/件（1）将该产品的利润y万元表示为促销费x万元的函数（2）当促销费用投入多少元时，该公司的利润最大？【分析】（1）根据产品的利润销售额产品的成本建立函数关系；（2）利用导数基本不等式可求出该函数的最值，注意等号成立的条件【解答】解：（1）由题意知，y（4+）px6（p+），将P代入化简得：y20（x+），（2xa）；（2）y20（x+）20218，当且仅当x4时，上式取等号；当a4时，促销费用投入4万元时，该公司的利润最大；y20（x+），y+，2a4时，函数在2，a上
27、单调递增，xa时，函数有最大值即促销费用投入a万元时，该公司的利润最大【点评】本题主要考查了函数模型的选择与应用，以及基本不等式在最值问题中的应用，同时考查了计算能力，属于中档题22（12分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且f（1）1，对于任意的x1，x2R（x1x2），都有（1）解关于x的不等式f（x23ax）+f（2a2）0；（2）若f（x）m22am+1对所有x1，1，a1，1恒成立，求实数m的取值范围【分析】（1）不等式f（x23ax）+f（2a2）0变形为不等式f（x23ax）f（2a2）f（2a2）（x2a）（xa）0，分当a0，当a0，当a0 三种情况分别求解（2）由条件先判
28、断函数的单调性，利用奇偶性和单调性的性质将不等式转化f（x）minm22am+1成立，构造函数g（a）即可得到结论【解答】解：（1）因为对于任意x1，x21，1，x1x2，总有所以函数f（x）在1，1上是递增的奇函数，不等式f（x23ax）+f（2a2）0变形为不等式f（x23ax）f（2a2）f（2a2）x23ax+2a20（x2a）（xa）0当a0时，不等式解集为：x|ax2a；当a0时，不等式解集为：；当a0时，不等式解集为：x|2axa；（2）所以函数f（x）在1，1上是增函数，且f（x）maxf（1）1所以问题转化为t22t1f（x）maxf（1）1对任意的1，1恒成立令g（）m22m+1，1，1只需解得：m0，或2或m2实数m的取值范围为：m|m0，或2或m2【点评】本题考查了函数的单调性本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，利用条件判断函数的单调性是解决本题的关键，综合考查函数的性质，以及利用函数思想解决不等式恒成立问题的基本思路，属于中档题
