1、2017-2018学年广东省广州市增城区高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分1（5分）sin150的值是（）ABCD12（5分）已知sin，为第一象限角，则tan的值是（）ABCD3（5分）半径为2，弧长为的扇形的面积为（）ABCD4（5分）等差数列an中，a1+a510，a47，则数列an的公差为（）A1B2C3D45（5分）若向量（2，3），（4，7），则（）A（2，4）B（2，4）C（6，10）D（6，10）6（5分）若sin（），则cos2（）ABCD7（5分）两圆x2+y29和x2+y28x+6y+90的位置关系是（）A相离B相交C内切D外切8（5
2、分）将函数ysin（2x+）的图象沿x轴向右平移个单位后得到一个偶函数的图象，则一个取值可以为（）ABCD09（5分）已知等比数列an中，a12，a518，则a2a3a4等于（）A36B216C36D21610（5分）如图，四边形ABCD是正方形，延长CD至E，使得DECD，若点P为CD的中点，且，则+（）A3BC2D111（5分）一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60，行驶4h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15，这时船与灯塔的距离为多少km（）A20B30C15D3012（5分）已知函数f（x）asin2x+bcos2x（a，b为常数，ab0，xR），若
3、f（x）f（x）对一切xR恒成立，则函数yf（x）是（）A奇函数且它的图象关于（，0）对称B偶函数且它的图象关于（，0）对称C奇函数且它的图象关于（，0）对称D偶函数且它的图象关于（，0）对称二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）已知cos0，sin0，则为第 象限角14（5分）已知|1，|2，向量与的夹角为60，则|+| 15（5分）已知tan2，tan（+），则tan的值为 16（5分）设函数f（x），数列an满足anf（n），nN*，且数列an是递增数列，则实数a的取值范围是 三、解答题：共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤17（10分）设等差数列
4、an的前n项和为Sn，且a12，a36（1）求数列an的通项公式；（2）若Sk110，求k的值；（3）设数列的前n项和为Tn，求T2015的值18（12分）已知函数f（x）sin2x+cos2x（xR）（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）的最大值以及取得最大值时x的集合19（12分）在平面直角坐标系中，设向量（cosA，sinA），（cosB，sinB），其中A，B为ABC的两个内角（1）若，求证：C为直角；（2）若，求证：tanA3tanB20（12分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos 2C（1）求sin C的值；（2）当a2，2sin Asin C时，
5、求b和c的长21（12分）若数列an的前n项和Sn满足2Sn3an1（nN*），等差数列bn满足b13a1，b3S2+3（1）求数列an、bn的通项公式；（2）设cn，求数列cn的前n项和为Tn22（12分）已知圆O的方程为x2+y21，直线l1过点A（3，0），且与圆O相切（1）求直线l1的方程；（2）设圆O与x轴相交于P，Q两点，M是圆O上异于P，Q的任意一点，过点A且与x轴垂直的直线为l2，直线PM交直线l2于点P，直线QM交直线l2于点Q求证：以PQ为直径的圆C总经过定点，并求出定点坐标2017-2018学年广东省广州市增城区高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共
6、12小题，每小题5分，共60分1（5分）sin150的值是（）ABCD1【分析】利用sin（180）sin即可求得答案【解答】解：sin150sin（18030）sin30，故选：A【点评】本题考查运用诱导公式化简求值，属于基础题2（5分）已知sin，为第一象限角，则tan的值是（）ABCD【分析】由已知求得cos，再由商的关系求解【解答】解：由sin，且为第一象限角，得cos，故选：C【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题3（5分）半径为2，弧长为的扇形的面积为（）ABCD【分析】根据S扇形LR，代入计算即可【解答】解：S扇形LR，L，R2，S扇形2故
7、选：B【点评】本题考查扇形的面积公式，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键，属于基础题4（5分）等差数列an中，a1+a510，a47，则数列an的公差为（）A1B2C3D4【分析】设数列an的公差为d，则由题意可得 2a1+4d10，a1+3d7，由此解得d的值【解答】解：设数列an的公差为d，则由a1+a510，a47，可得2a1+4d10，a1+3d7，解得d2，故选：B【点评】本题主要考查等差数列的通项公式的应用，属于基础题5（5分）若向量（2，3），（4，7），则（）A（2，4）B（2，4）C（6，10）D（6，10）【分析】根据平面向量的线性表示与坐标运算，计算即可【解答】解：向量（
8、2，3），（4，7），则+（24，37）（2，4）故选：A【点评】本题考查了平面向量的线性表示与坐标运算问题，是基础题6（5分）若sin（），则cos2（）ABCD【分析】利用诱导公式化简，然后通过二倍角公式转化求解即可【解答】解：sin（），可得cos，cos22cos212故选：C【点评】本题考查二倍角公式的应用，诱导公式的应用，考查计算能力7（5分）两圆x2+y29和x2+y28x+6y+90的位置关系是（）A相离B相交C内切D外切【分析】分别由两圆的方程找出两圆心坐标和两个半径R和r，然后利用两点间的距离公式求出两圆心的距离d，比较d与Rr及d与R+r的大小，即可得到两圆的位置关系【解
9、答】解：把x2+y28x+6y+90化为（x4）2+（y+3）216，又x2+y29，所以两圆心的坐标分别为：（4，3）和（0，0），两半径分别为R4和r3，则两圆心之间的距离d5，因为4354+3即RrdR+r，所以两圆的位置关系是相交故选：B【点评】此题考查学生掌握两圆的位置关系的判别方法，利用运用两点间的距离公式化简求值，是一道综合题8（5分）将函数ysin（2x+）的图象沿x轴向右平移个单位后得到一个偶函数的图象，则一个取值可以为（）ABCD0【分析】由题意利用yAsin（x+）的变换规律，诱导公式，三角函数的奇偶性，求得的一个取值【解答】解：将函数ysin（2x+）的图象沿x轴向右平
10、移个单位后得到ysin（2x+）的图象，再根据得到的函数是一个偶函数的图象，+k+，kZ则一个取值可以为，故选：A【点评】本题主要考查yAsin（x+）的变换规律，诱导公式，三角函数的奇偶性，属于基础题9（5分）已知等比数列an中，a12，a518，则a2a3a4等于（）A36B216C36D216【分析】由等比数列的性质可得 a1a5a2a4a3236，解得a3的值，即可得解【解答】解：由等比数列的性质可得 a1a5a2a4a3236，a36，a2a3a4a33216故选：B【点评】本题考查等比数列的性质，得到a1a5a3236，是解题的关键属于基础题10（5分）如图，四边形ABCD是正方形
11、，延长CD至E，使得DECD，若点P为CD的中点，且，则+（）A3BC2D1【分析】建立如图所示的直角坐标系，设正方形的边长为1，可以得到的坐标表示，进而得到答案【解答】解：由题意，设正方形的边长为1，建立坐标系如图，则B（1，0），E（1，1），（1，0），（1，1），（，），又点P为CD的中点，（，1），1，+，故选：B【点评】本题考查的知识点是向量在几何中的应用，向量加减的几何意义，数形结合思想，难度中档11（5分）一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60，行驶4h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15，这时船与灯塔的距离为多少km（）A20B30C15D
12、30【分析】设过B点的南北方向直线与直线AB交于点D，且CDxkm，结合题中数据在RtBCD中算出BD（2+）xkm，然后在RtADB中算出AD（2+3）x，根据ACADCD15460km建立关于x的方程解出x15（1）km，最后在RtBCD中利用三角函数的定义加以计算，即可算出此时的船与灯塔的距离【解答】解：设根据题意，可得RtBCD中，设CDxkm，CBD15，tanCBD（2）x由此可得BD（2+）xkmRtADB中，ABD60ADBD（2+3）x因此，ACADCD（2+3）xx154即（2+2）x60，解之得x15（1）km由此可得RtBCD中，BC30km，即此时的船与灯塔的距离为3
13、0km故选：B【点评】本题给出实际应用问题，求航行过程中船与灯塔的距离着重考查了利用正余弦定理解三角形、直角三角形中三角函数的定义和方位角的概念等知识，属于中档题12（5分）已知函数f（x）asin2x+bcos2x（a，b为常数，ab0，xR），若f（x）f（x）对一切xR恒成立，则函数yf（x）是（）A奇函数且它的图象关于（，0）对称B偶函数且它的图象关于（，0）对称C奇函数且它的图象关于（，0）对称D偶函数且它的图象关于（，0）对称【分析】根据三角函数化简，f（x）f（x）对一切xR恒成立，可知函数关于x对称即可建立关系【解答】解：函数f（x）asin2x+bcos2xsin（2x+），
14、其中tan其对称轴x，+，kZ函数yf（x）sin（2（x）+）sin（2x+）cos（2x+k），函数yf（x）是偶函数；当x时，可得函数yf（x）cos（+k）sin（k）0图象关于（，0）对称，故选：D【点评】本题考查正弦函数的对称性，辅助角公式化简是关键，属于中档题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）已知cos0，sin0，则为第四象限角【分析】由cos0，可得为第一，四象限角，或x轴的非负半轴，由sin0可得为第三，四象限角，或y轴的非负半轴，取公共部分即可【解答】解：由三角函数的符号规律可知：由cos0，可得为第一，四象限角，或x轴的非负半轴，同理由sin0
15、可得为第三，四象限角，或y轴的非负半轴，取公共部分可得为第四象限角，故答案为：四【点评】本题考查三角函数值的符号，以及象限角和轴线角的定义，属基础题14（5分）已知|1，|2，向量与的夹角为60，则|+|【分析】由题意可得 1，再根据|+|，计算求得结果【解答】解：由题意可得 |cos60121，|+|，故答案为：【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，求向量的模的方法，属于基础题15（5分）已知tan2，tan（+），则tan的值为3【分析】直接利用两角和的正切函数，求解即可【解答】解：tan2，tan（+），可知tan（+），即，解得tan3故答案为：3【点评】本题考查两角和的正切函数
16、，基本知识的考查16（5分）设函数f（x），数列an满足anf（n），nN*，且数列an是递增数列，则实数a的取值范围是（3，4）【分析】由题意可得4a0，a1，且f（8）f（9），解不等式组求交集，即可得到所求范围【解答】解：函数f（x），数列an满足anf（n），nN*，且数列an是递增数列，可得4a0，且a1，8（4a）+1a2，即a4，且a1，且a3，可得3a4，故答案为：（3，4）【点评】本题考查数列的单调性，注意结合一次函数、指数函数的单调性，考查运算能力，属于中档题三、解答题：共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤17（10分）设等差数列an的前n项和为Sn，且a
17、12，a36（1）求数列an的通项公式；（2）若Sk110，求k的值；（3）设数列的前n项和为Tn，求T2015的值【分析】（1）由题意列关于首项和公差的方程组，求得公差，则数列an的通项公式可求；（2）直接利用等差数列的前n项和公式求得k的值；（3）求出等差数列的前n项和，再由裂项相消法求T2015的值【解答】解：（1）设等差数列an的公差为d，由，解得d2，数列an的通项公式an2+（n1）22n；（2）由，解得k10或k11（舍去）；（3），T2015【点评】本题考查等差数列的通项公式与前n项和的求法，训练了利用裂项相消法求数列的前n项和，是中档题18（12分）已知函数f（x）sin2x
18、+cos2x（xR）（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）的最大值以及取得最大值时x的集合【分析】（1）利用辅助角公式化简，即可求解f（x）的最小正周期；（2）结合正弦函数的性质，即可求最大值以及取得最大值时x的集合【解答】解：函数f（x）sin2x+cos2x2sin（2x+）（1）f（x）的最小正周期T；（2）有正弦函数的性质可知：当2x+时，kZ函数ysin（2x+）取得最大值为1函数f（x）sin2x+cos2x2sin（2x+）的最大值为2此时的x（kZ）即取得最大值时x的集合为x|x（kZ）【点评】本题考查三角函数的图象及性质的应用，最值的求解属于基础题19（12分）在平面
19、直角坐标系中，设向量（cosA，sinA），（cosB，sinB），其中A，B为ABC的两个内角（1）若，求证：C为直角；（2）若，求证：tanA3tanB【分析】（1）由向量垂直的性质得：0，从而，进而A+B，由此能证明C为直角（2）由，得3sinBcosAsinAcosB0，由此能证明tanA3tanB【解答】证明：（1）向量（cosA，sinA），（cosB，sinB），其中A，B为ABC的两个内角，0，A+B（0，），A+B，C为直角（2）证明：，3sinBcosAsinAcosB0，sinAcosB3sinBcosA，tanA3tanB【点评】本题考查角为直角的证明，考查两个角的正切
20、值的倍数的证明，考查向量垂直、向量平行、三角函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题20（12分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos 2C（1）求sin C的值；（2）当a2，2sin Asin C时，求b和c的长【分析】（1）注意角的范围，利用二倍角公式求得sinC的值；（2）利用正弦定理先求出边长c，由二倍角公式求cosC，再用余弦定理解方程求出边长b【解答】解：（1）由cos2C12sin2C，及0C，解得sinC；（2）当a2，2sinAsinC时，由正弦定理，解得c4；由cos2C2cos2C1，及0C，解得cosC；由余弦定理
21、c2a2+b22abcosC，化简得b2b120，解得b 或b2；所以b或b2，c4【点评】本题考查了正弦、余弦定理的应用问题，也考查了三角恒等变换的应用问题，是中档题21（12分）若数列an的前n项和Sn满足2Sn3an1（nN*），等差数列bn满足b13a1，b3S2+3（1）求数列an、bn的通项公式；（2）设cn，求数列cn的前n项和为Tn【分析】（1）由数列递推式求出a1，在数列递推式中取nn1得另一递推式，作差后得到数列an为等比数列，则数列an的通项公式可求，再由b13a1，b3S2+3求出数列bn的首项和公差，则bn的通项公式可求；（2）把数列an、bn的通项公式代入cn，直接
22、由错位相减法求数列cn的前n项和为Tn【解答】解：（1）当n1时，2S13a11，a11，当n2时，2an2Sn2Sn1（3an1）（3an11），即an3an1，a110，数列an是以a11为首项，3为公比的等比数列，设bn的公差为d，b13a13，b3S2+372d+3，d2bn3+（n1）22n+1；（2）cn，由得，【点评】本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了错位相减法求数列的前n项和，是中档题22（12分）已知圆O的方程为x2+y21，直线l1过点A（3，0），且与圆O相切（1）求直线l1的方程；（2）设圆O与x轴相交于P，Q两点，M是圆O上异于P，Q的任意一点，过点A且
23、与x轴垂直的直线为l2，直线PM交直线l2于点P，直线QM交直线l2于点Q求证：以PQ为直径的圆C总经过定点，并求出定点坐标【分析】（1）由已知中直线l1过点A（3，0），我们可以设出直线的点斜式方程，化为一般式方程后，代入点到直线距离公式，根据直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，可以求出k值，进而得到直线l1的方程；（2）由已知我们易求出P，Q两个点的坐标，设出M点的坐标，我们可以得到点P与Q的坐标（含参数），进而得到以PQ为直径的圆的方程，根据圆的方程即可判断结论【解答】解：（1）由题意，可设直线l1的方程为yk（x3），即kxy3k0（2分）又点O（0，0）到直线l1的距离为，解得，所以直线l1的方程为，即或（5分）（2）对于圆O的方程x2+y21，令x1，即P（1，0），Q（1，0）又直线l2方程为x3，设M（s，t），则直线PM方程为解方程组，得，同理可得：（9分）所以圆C的圆心C的坐标为，半径长为，又点M（s，t）在圆上，又s2+t21故圆心C为，半径长所以圆C的方程为，（11分）即0即，又s2+t21故圆C的方程为，令y0，则（x3）28，所以圆C经过定点，y0，则x，所以圆C经过定点且定点坐标为（15分）【点评】本题考查的知识是直线和圆的方程的应用，其中熟练掌握直线与圆不同位置关系时，点到直线的距离与半径的关系，弦长公式等是解答本题的关键
