1、2018-2019 学年甘肃省庆阳市宁县二中高一（下）期中数学试卷一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1 （5 分）cos（ ）等于（ ）A B C D2 （5 分）若 2 弧度的圆心角所对的弧长为 4cm，则这个圆心角所夹的扇形的面积是（ ）A4cm 2 B2cm 2 C4cm 2 D2cm 23 （5 分）已知 ，则 cos（60）的值为（ ）A B C D4 （5 分）函数 y2cos x3 的值不可能是（ ）A0 B1 C3 D55 （5 分）已知事件
2、 M”3 粒种子全部发芽 ”，事件 N“3 粒种子都不发芽” ，那么事件 M和 N 是（ ）A互斥且对立事件 B不是互斥事件C互斥但不对立事件 D对立事件6 （5 分）我校有高一学生 850 人，高二学生 900 人，高三学生 1200 人，学校团委欲用分层抽样的方法抽取 30 名学生进行问卷调查，则下列判断正确的是（ ）A高一学生被抽到的概率最大B高二学生被抽到的概率最大C高三学生被抽到的概率最大D每名学生被抽到的概率相等7 （5 分）给甲乙丙三人打电话，若打电话的顺序是任意的，则第一个打电话给甲的概率为（ ）A B C D8 （5 分）点 P 从（1，0
3、）出发，沿单位圆 x2+y21 顺时针方向运动 弧长到达 Q 点，则 Q 点坐标为（ ）第 2 页（共 17 页）A （ ， ） B （ ， ） C （ ， ） D （ ， ）9 （5 分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的 S 值为（ ）A3 B4 C5 D610 （5 分）已知点 P（sin+cos，tan ）在第四象限，则在0，2）内 的取值范围是（ ）A （ ， ）（ ， ） B （0， ）（ ， ）C （ ， ）（ ， 2） D （ ， ）（， ）11 （5 分）已知函数 f（x ）Asin（x+） （A0，0，0 ）的图象如图，则点
4、 P（，）的坐标是（ ）A （ ， ） B （ ， ） C （ ， ） D （ ， ）12 （5 分）已知 A 是圆上一定点，在圆上其他位置任取一点 B，则弦 AB 的长度大于等于第 3 页（共 17 页）半径长度的概率为（ ）A B C D二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中横线上）.13 （5 分）已知 tan2，则 sincos 14 （5 分）求使得不等式 成立的 x 的取值范围 15 （5 分）比较大小： cos（ ）16 （
5、5 分）将函数 的图象向右平移 个单位，再将所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍，得到函数 yg（x）的图象，则下列关于函数 yg（x）的说法正确的序号是 （1）当 时，函数有最小值 ； （2）图象关于直线 对称；（3）图象关于点 对称； （4）在 上是增函数三、解答题：（本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17 （10 分）已知 ，求 sincos 的值18 （12 分）求证： sin +cos19 （12 分）已知 f（） （1）化简 f（） ；（2）若 （
6、0，） ，且 cos ，求 f（ ）的值20 （12 分）城市公交车的数量太多容易造成资源的浪费，太少又难以满足乘客的需求，为此，某市公交公司在某站台的 60 名候车的乘客在随机抽取 15 人，将他们的候车时间作为样本分成 5 组，如表表示：组别 一 二 三 四 五候车时间（分钟） 0，5） 5， 10） 10，15） 15，20） 20，25）人数 2 6 4 2 l（）估计这 15 名乘客的平均候车时间；（）估计这 60 名乘客中候车时间少于 10 分钟的人数；第 4 页（共 17 页）（）若从上表第三、四组的 6 人中选 2 人作进一步的问卷调查，写出所有可能的抽取结果，并求抽到的 2
7、人恰好来自不同组的概率21 （12 分）已知函数 （0 ）（1）当 时，在给定的坐标系内，用“五点法”做出函数 f（x）在一个周期内的图象；（2）若函数 f（x ）为偶函数，求 的值；（3）在（2）的条件下，求函数在，上的单调递减区间22 （12 分）袋中装有黑球和白球共 7 个，从中任取 2 个球都是白球的概率为 现在甲、乙两人从袋中轮流摸取 1 球，甲先取，乙后取，然后甲再取取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的（1）求袋中原有白球的个数；（2）求取球两次终止的概率（3）求甲取到白球的概率第 5 页（共 17 页）2018-2019 学年甘肃省庆
8、阳市宁县二中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1 （5 分）cos（ ）等于（ ）A B C D【分析】利用诱导公式，特殊角的三角函数值即可计算得解【解答】解：cos（ ） cos（17 ）cos（17 + ）cos （ + ）cos 故选：B【点评】本题主要考查了诱导公式，特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题2 （5 分）若 2 弧度的圆心角所对的弧长为 4cm，则这个圆心角所夹的扇形的面积是（ ）A4c
9、m 2 B2cm 2 C4cm 2 D2cm 2【分析】利用弧长公式，求出圆的半径，再利用扇形的面积公式，求出结果即可【解答】解：弧度是 2 的圆心角所对的弧长为 4，根据弧长公式，可得圆的半径为 2，扇形的面积为： 424cm 2，故选：A【点评】本题考查扇形的弧长公式与扇形的面积公式，属于基础题3 （5 分）已知 ，则 cos（60）的值为（ ）A B C D【分析】利用诱导公式把要求的式子化为 sin（30+ ） ，利用条件求得结果【解答】解：cos（60）sin90（60 ） sin（30+ ） ，第 6 页（共 17 页）故选：C【点评】本题主要考查利用诱导公式求三角函数
10、的值，属于基础题4 （5 分）函数 y2cos x3 的值不可能是（ ）A0 B1 C3 D5【分析】直接求出函数 y2cosx3 的值域得答案【解答】解：1cosx1，22cos x2，则 y2cosx35，1 函数 y2cosx3 的值不可能是 0故选：A【点评】本题考查余弦函数值域的求法，是基础的计算题5 （5 分）已知事件 M”3 粒种子全部发芽 ”，事件 N“3 粒种子都不发芽” ，那么事件 M和 N 是（ ）A互斥且对立事件 B不是互斥事件C互斥但不对立事件 D对立事件【分析】事件 M 与事件 N 在任何一次试验中不会同时发生，而事件 M”3 粒种子全部发芽
11、”的对立事件为”3 粒种子不都发芽” ，可得结论【解答】解：事件 M 与事件 N 在任何一次试验中不会同时发生，故事件 M 和事件 N 互斥而事件 M”3 粒种子全部发芽 ”的对立事件为”3 粒种子不都发芽” ，有可能 1 个不发芽，也有可能 2 个不发芽，也有可能三个不发芽，故事件 M 和事件 N 不对立故事件 M 和事件 N 互斥不对立故选：C【点评】本题主要考查了互斥事件与对立事件的概念，弄清事件 M 的对立事件是关键，属于基础题6 （5 分）我校有高一学生 850 人，高二学生 900 人，高三学生 1200 人，学校团委欲用分层抽样的方法抽取 30 名学生进行问卷调查，则下列判断正确
12、的是（ ）A高一学生被抽到的概率最大B高二学生被抽到的概率最大C高三学生被抽到的概率最大D每名学生被抽到的概率相等【分析】根据抽样的定义和性质进行判断即可第 7 页（共 17 页）【解答】解：由抽样的定义知，无论哪种抽样，样本被抽到的概率都相同，故每名学生被抽到的概率相等，故选：D【点评】本题主要考查抽样的应用，结合抽样的性质是解决本题的关键比较基础7 （5 分）给甲乙丙三人打电话，若打电话的顺序是任意的，则第一个打电话给甲的概率为（ ）A B C D【分析】根据题意，打电话的顺序是任意的，打电话给甲乙丙三人的概率都相等均为 ，从而可得到正确的选项【解答】解：打电话的顺
13、序是任意的，打电话给甲、乙、丙三人的概率都相等，第一个打电话给甲的概率为 故选：B【点评】此题考查了概率的求法：如果一个事件有 n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件 A 出现 m 种结果，那么事件 A 的概率 P（A ） 8 （5 分）点 P 从（1，0）出发，沿单位圆 x2+y21 顺时针方向运动 弧长到达 Q 点，则 Q 点坐标为（ ）A （ ， ） B （ ， ） C （ ， ） D （ ， ）【分析】求出 Q 点所在终边上的最小正角，然后利用任意角的三角函数的定义求出 Q点坐标【解答】解：点 P 从（1，0）出发，沿单位圆 x2+y21 顺时针方向运动 弧长到达Q
14、 点，所以 Q 点所在终边上的最小正角是： ，由任意角的三角函数的定义可知 Q 点坐标为：（cos ， ） ，即（ ， ） 故选：A【点评】本题考查任意角的三角函数的定义的应用，象限角的求法，是基础题第 8 页（共 17 页）9 （5 分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的 S 值为（ ）A3 B4 C5 D6【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：模拟程序的运行，可得S4，n1，不满足条件 S6，S8，n2不满足条件 n3，执行循环体，满足条件 S6，S
15、2，n3不满足条件 n3，执行循环体，不满足条件 S6，S4，n4此时，满足条件 n3，退出循环，输出 S 的值为 4故选：B【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题10 （5 分）已知点 P（sin+cos，tan ）在第四象限，则在0，2）内 的取值范围是（ ）A （ ， ）（ ， ） B （0， ）（ ， ）C （ ， ）（ ， 2） D （ ， ）（， ）【分析】由点 P 的横坐标大于 0 且纵坐标小于 0 解三角不等式求解 的范围第 9 页（共 17 页）【解答】解：点 P（sin+cos，tan ）在第四象限，
16、，由 sin+cos sin（+ ） ，得 2k + 2k+，kZ，即 2k 2k + ，kZ由 tan 0，得 k+ k+，k Z（ ， ）（ ，2） 故选：C【点评】本题考查了三角函数的符号，考查了三角不等式的解法，是基础题11 （5 分）已知函数 f（x ）Asin（x+） （A0，0，0 ）的图象如图，则点 P（，）的坐标是（ ）A （ ， ） B （ ， ） C （ ， ） D （ ， ）【分析】由函数 f（x ）的部分图象求得 A、T、 和 的值即可【解答】解：由函数 f（x ）Asin（x+）的部分图象知，A2，T2（41）6， ，又 x1 时，y2， + +2k，k
17、Z； +2k，kZ；又 0 ， ，第 10 页（共 17 页）点 P（ ， ） 故选：C【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题12 （5 分）已知 A 是圆上一定点，在圆上其他位置任取一点 B，则弦 AB 的长度大于等于半径长度的概率为（ ）A B C D【分析】由几何概型中的线段型得：弦 AB 的长度大于等于半径长度的概率为 ，得解【解答】解：当弦 AB 的长度大于等于半径长度时，点 B 在优弧 CD 上运动，COD ，由几何概型中的线段型可得：弦 AB 的长度大于等于半径长度的概率为 ，故选：C【点评】本题考查了几何概型中的线段型，属简单题二、填空题：（本大
18、题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中横线上）.13 （5 分）已知 tan2，则 sincos 【分析】把所求的式子提取 后，先利用二倍角的正弦函数公式化简，然后再利用万能公式化为关于 tan 的式子，将 tan 的值代入即可求出值【解答】解：tan2，sincos sin2 故答案为：【点评】此题考查了二倍角的正弦函数公式，以及万能公式熟练掌握公式是解题的关第 11 页（共 17 页）键14 （5 分）求使得不等式 成立的 x 的取值范围 【分析】根据正切函数的图象和性质即可得解【解答】解： ，可得：tanx ，由正切函数的图象和性质可得：x
19、故答案为： 【点评】本题主要考查了正切函数的图象和性质的应用，属于基础题15 （5 分）比较大小： cos（ ）【分析】利用诱导公式化简后，根据三角函数的单调性进行判断即可【解答】解：cos（ ）cos（4 ）cos（ ）cos ，cos（ ）cos（4 ）cos（ ）cos ，ycos x 在（0，）上为减函数，cos cos ，即 cos（ ）cos（ ） 故答案为：【点评】本题主要考查函数的大小比较，根据三角函数的诱导公式以及三角函数的单调性是解决本题的关键，属于基础题16 （5 分）将函数 的图象向右平移 个单位，再将所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍，得到函数 yg（x
20、）的图象，则下列关于函数 yg（x）的说法正确的序号是 （1） （2） （1）当 时，函数有最小值 ； （2）图象关于直线 对称；（3）图象关于点 对称； （4）在 上是增函数【分析】由三角函数图象的变换及三角函数图象的性质逐一判断即可得解【解答】解：由已知将函数 的图象向右平移 个单位，得函数第 12 页（共 17 页）解析式为 h（x）2sin4（x ）+ 2sin（4x ） ，再将所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍，得到函数 yg（x）的图象，则 g（x）2sin（2x ） ，对于（1） ，当 时，2x ， ，函数有最
21、小值 ，即（1）正确，对于（2） ，令 2x k ，则 x ，即 k1 时，图象关于直线对称，即（2）正确，对于（3） ，令 2x k ，则 x ，即图象关于点（ ）对称，即（3）错误，对于（4） ，令 2k 2x ，解得 k xk ，即函数在上不单调，即（4）错误，综上，关于函数 yg（x ）的说法正确的序号是（1） 、 （2） ，故答案为：（1） 、 （2） 【点评】本题考查了三角函数图象的变换及三角函数图象的性质，属中档题三、解答题：（本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17 （10 分）已知 ，求 sincos 的值【分析】由条件可知 sincos
22、 0，然后根据 sincos 求出值即可【解答】解： ，sin cos0，sin cos 【点评】本题考查了同角三角函数基本关系式的应用，属基础题第 13 页（共 17 页）18 （12 分）求证： sin +cos【分析】利用 1+2sincos（ sin+cos） 2，将分子化为积后约分即可【解答】证明：1+2sincos （sin +cos） 2，1+sin+cos 0，左端sin+cos 右端【点评】本题考查三角函数中的恒等变换应用，关键在于熟练逆用公式，属于中档题19 （12 分）已知 f（） （1）化简 f（） ；（2）若 （0，） ，且 cos ，求 f（ ）的值【分析】 （1）
23、利用诱导公式能化简 f（ ） ；（2）由 （0，） ，且 cos ，求出 sin ，由此能求出 f（ ）tan 的值【解答】解：（1）f（）tan（2）（0，） ，且 cos ，sin ，第 14 页（共 17 页）f（）tan 1【点评】本题考查三角函数值的求法，考查诱导公式、同角三角函数关系式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题20 （12 分）城市公交车的数量太多容易造成资源的浪费，太少又难以满足乘客的需求，为此，某市公交公司在某站台的 60 名候车的乘客在随机抽取 15 人，将他们的候车时间作为样本分成 5 组，如表表示：组别 一 二 三 四 五候车时间（分钟） 0，5） 5， 10
24、） 10，15） 15，20） 20，25）人数 2 6 4 2 l（）估计这 15 名乘客的平均候车时间；（）估计这 60 名乘客中候车时间少于 10 分钟的人数；（）若从上表第三、四组的 6 人中选 2 人作进一步的问卷调查，写出所有可能的抽取结果，并求抽到的 2 人恰好来自不同组的概率【分析】 （）累积各组组中与频数的积，可得这 15 名乘客的这 15 名乘客的总和，除以 15 可得这 15 名乘客的平均候车时间；（）根据 15 名乘客中候车时间少于 10 分钟频数和为 8，可估计这 60 名乘客中候车时间少于 10 分钟的人数；（）将两组乘客编号，进而列举出所有基本事件和抽到的两人恰好
25、来自不同组的基本事件个数，代入古典概型概率公式可得答案【解答】解：（） min（3 分）（）候车时间少于 10 分钟的概率为 ，（4 分）所以候车时间少于 10 分钟的人数为人（6 分）（）将第三组乘客编号为 a1，a 2，a 3，a 4，第四组乘客编号为 b1，b 2从 6 人中任选两人有包含以下 15 个基本事件：第 15 页（共 17 页）（a 1，a 2） ， （a 1，a 3） ， （a 1，a 4） ， （a 1，b 1） ， （a 1，b 2） ，（a 2，a 3） ， （a 2，a 4） ， （a 2，b 1） ， （a 2，b 2） ， （a 3，a 4） ，（a 3，b 1
26、） ， （a 3，b 2） ， （a 4，b 1） ， （a 4，b 2） ， （b 1，b 2） ，（10 分）其中两人恰好来自不同组包含 8 个基本事件，所以，所求概率为 （12 分）【点评】本题考查的知识点是频率分布直方表，古典概型概率公式，是统计与概率的简单综合应用，难度不大，属于基础题21 （12 分）已知函数 （0 ）（1）当 时，在给定的坐标系内，用“五点法”做出函数 f（x）在一个周期内的图象；（2）若函数 f（x ）为偶函数，求 的值；（3）在（2）的条件下，求函数在，上的单调递减区间【分析】 （1）当 时， ，然后列表，描点，连线画出图象即可；（2）函数 f（x ）为偶函数
27、，则 ，根据 的范围得到 的值；（3）利用整体法求出单调减区间即可【解答】解：（1）当 时， ，列表如下：0x0 2 0 2 0用“五点法”作出函数 的一个周期内的图象，如图所示；第 16 页（共 17 页）（2）函数 f（x ）为偶函数， ，0 ， ；（3）由（2）得，f（x ）2sincosx2，当 x ，时， ，当 ，即 x0， 时 f（x）单调递减函数在，上的单调递减区间0，【点评】本题考查了利用五点作图法画三角函数的图象和三角函数的图象与性质，属基础题22 （12 分）袋中装有黑球和白球共 7 个，从中任取 2 个球都是白球的概率为 现在甲、乙两人从袋中轮流摸取 1 球，甲先取，乙后
28、取，然后甲再取取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的（1）求袋中原有白球的个数；（2）求取球两次终止的概率（3）求甲取到白球的概率【分析】 （1）本题是一个等可能事件的概率，设出袋中原有 n 个白球，写出试验发生包含的事件数和满足条件的事件数，根据等可能事件的概率公式得到关于 n 的方程，解方程即可第 17 页（共 17 页）（2）由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件数 76，满足条件的事件数 43，根据等可能事件的概率公式写出满足条件的事件的概率（3）甲先取，甲只有可能在第 1 次，第 3 次和第 5 次取球这三种情况是互斥关系，根据互斥事件的概率公式得到结果【解答】解：（1）设袋中原有 n 个白球，由题意知： ，解得 n3（舍去 n2） ，即袋中原有 3 个白球（2）记“取球两次终止”为事件 A（3）因为甲先取，所以甲只有可能在第 1 次或第 3 次或第 5 次取到白球记“甲取到白球”为事件 B【点评】考查运用概率知识解决实际问题的能力，相互独立事件是指，两事件发生的概率互不影响，而对立事件是指同一次试验中，不会同时发生的事件，遇到求用至少来表述的事件的概率时，往往先求它的对立事件的概率属基础题
