1、2018-2019 学年安徽省安庆一中高一（下）期中数学试卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 C60，b ，c ，则角 A 为（ ）A45 B60 C75 D1352 （5 分）已知 2，b 的等差中项为 5，则 b 为（ ）A B6 C8 D103 （5 分）在等比数列a n中，a 11， 8，则 a6 的值为（ ）A4 B8 C16 D324 （5 分）若不等式 ax2x +a0 对一切实数 x 都成立，则实数
2、a 的取值范围为（ ）Aa 或 a Ba 或 a0Ca D5 （5 分）若 x，y 满足 ，则 zx 2y 的最小值为（ ）A1 B2 C2 D16 （5 分）已知ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若ABC 的面积为， ，则 A（ ）A105 B75 C30 D157 （5 分）等比数列a n的各项均为正数，已知向量 （ a4，a 5） ， （a 7，a 6） ，且 4，则 log2a1+log2a2+log2a10（ ）A12 B10 C5 D2+log 258 （5 分）如图，某建筑物的高度 BC300m，一架无人机 Q
3、上的仪器观测到建筑物顶部C 的仰角为 15，地面某处 A 的俯角为 45，且BAC 60，则此无人机距离地面的高度 PQ 为（ ）第 2 页（共 20 页）A100m B200m C300m D400m9 （5 分）数列a n中，已知对任意正整数 n，有 ，则等于（ ）A （2 n1） 2 BC4 n1 D10 （5 分）根据市场调查，预测某种日用品从年初开始的 n 个月内累计的需求量 Sn（单位：万件）大约是 Sn （n1，2，12） 据此预测，本年度内，需求量超过 5 万件的月份是（ ）A5 月、6 月 B6 月、7 月 C7 月、8 月 D8 月、9
4、月11 （5 分）已知 x0，y 0，且 ，则 x+y 的最小值为（ ）A3 B5 C7 D912 （5 分）点 P（x ，y ）的坐标满足条件 ，若 ， ，且，则 的最大值为（ ）A2 B3 C4 D5二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分.13 （5 分）甲船在 A 处观察到乙船在它的北偏东 30的方向，两船相距 a 海里，乙船正在向东匀速行驶，经计算得知当甲船以北偏东 75方向前进，可追上乙船，则甲船速度是乙船速度的 倍14 （5 分）在ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，a ，acosB+bsinAc，则AB
5、C 的面积的最大值为 15 （5 分）已知 Sn 是数列a n的前 n 项和，若 ，则 S2019 的值为 16 （5 分）已知 f（x ）是定义在 R 上的不恒为零的函数，且对于任意实数 a、bR 满足：第 3 页（共 20 页）f（ab）af（b）+bf（a） ，f （2）2，a n （nN *） ，b n （nN *） ，考察下列结论：f（0） f（1） ；f（x）为偶函数；数列 bn为等差数列；数列 an为等比数列，其中正确的是 （填序号）三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应
6、写出文字说明、证明过程或演算步骤.17在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 3b2+3c24 bc3a 2（1）求 sinA；（2）若 3csinA asinB，ABC 的面积为 ，求ABC 的周长18已知a n为等差数列，且 a36，S 630（1）求a n的通项公式；（2）若等比数列b n满足 b18，b 2a 1+a2+a3，求 bn的前 n 项和公式19在ABC 中，角 A，B ，C 的对边分别为 a，b，C ，且 （1）求角 A 的大小；（2）若等差数列a n的公差不为零，a 1sinA1，且 a2，a 4，a 8 成等比数列；若 bn，求数列b n的前 n
7、项和 Sn20已知ABC 的三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若cos2A+cos2Ccos 2B1 sinAsinC（1）求角 B 的大小；（2）若 ，求 2a+c 的最大值21已知关于 x 的不等式 ax23x +20 的解集为 x|x1 或 xb（）求 a，b 的值；（）当 x0，y 0 且满足 时，有 2x+yk 2+k+2 恒成立，求 k 的取值范围22已知各项都是正数的数列a n的前 n 项和为 Sn，S n a + ，nN*第 4 页（共 20 页）（1）求数列a n的通项公式；（2）设数列b n满足：b 11，b nb n1 2a n（n2） ，数列 的前 n
8、项和 Tn求证：Tn2（3）若 Tn（n+4 ）对任意 nN*恒成立，求 的取值范围第 5 页（共 20 页）2018-2019 学年安徽省安庆一中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 C60，b ，c ，则角 A 为（ ）A45 B60 C75 D135【分析】由已知利用正弦定理可求 sinB 的值，利用大边对大角可求 B 为锐角，可求 B的值，根据三角形内角和定理可求 A 的值【解答】解：C60，b
9、，c ，由正弦定理可得：sinB ，bc，B 为锐角，B45A180BC75故选：C【点评】本题主要考查了正弦定理，大边对大角，三角形的内角和定理在解三角形中的应用，属于基础题2 （5 分）已知 2，b 的等差中项为 5，则 b 为（ ）A B6 C8 D10【分析】根据等差数列的性质，结合等差中项建立方程关系进行求解即可【解答】解：2，b 的等差中项为 5， 5，得 2+b10，得 b1028，故选：C【点评】本题主要考查等差数列的性质的应用，结合等差中项的定义建立方程是解决本题的关键比较基础第 6 页（共 20 页）3 （5 分）在等比数列a n中，a 11， 8，则 a6 的
10、值为（ ）A4 B8 C16 D32【分析】利用等比数列的通项公式及其性质即可得出【解答】解：设等比数列a n的公比为 q，a 11， 8， 8，解得 q2则 a62 532故选：D【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题4 （5 分）若不等式 ax2x +a0 对一切实数 x 都成立，则实数 a 的取值范围为（ ）Aa 或 a Ba 或 a0Ca D【分析】根据题意得出 ，由此列出不等式组求出 a 的取值范围【解答】解：不等式 ax2x +a0 对一切实数 x 都成立，则 ，即 ，解得 a ，所以实数 a 的取值范围是 a 故
11、选：C【点评】本题考查了利用判别式求不等式恒成立问题，是基础题5 （5 分）若 x，y 满足 ，则 zx 2y 的最小值为（ ）第 7 页（共 20 页）A1 B2 C2 D1【分析】画出不等式组表示的平面区域，结合图象求出最优解，再计算目标函数的最小值【解答】解：画出不等式组 表示的平面区域，如图所示；结合图象知目标函数 zx2y 过点 B 时，z 取得最小值，由 ，解得 B（0，1） ，所以 z 的最小值为 z0212故选：B【点评】本题考查了简单的线性规划应用问题，是基础题6 （5 分）已知ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若ABC 的面积为， ，则 A（
12、 ）A105 B75 C30 D15【分析】推导出 SABC absinC ，从而由余弦定理可求sinCcosC ，可求 tanC1，结合 C 的范围可求 C，进而求 B，利用三角形内角和定理可求 A 的值【解答】解：ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，cABC 的面积为：，第 8 页（共 20 页）S ABC absinC 2abcosC，sinCcosC，tanC1，0C ，C135 ，B 为锐角，可得 B30，A180BC15故选：D【点评】本题考查三角形内角的求法，考查余弦定理、三角形面积公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题7 （5
13、分）等比数列a n的各项均为正数，已知向量 （ a4，a 5） ， （a 7，a 6） ，且 4，则 log2a1+log2a2+log2a10（ ）A12 B10 C5 D2+log 25【分析】利用数量积运算性质、等比数列的性质及其对数运算性质即可得出【解答】解：向量 （a 4，a 5） ， （a 7，a 6） ，且 4，a 4a7+a5a64，由等比数列的性质可得：a 1a10a 4a7a 5a6 2，则 log2a1+log2a2+log2a10log 2（a 1a2a10） 5故选：C【点评】本题考查了数量积运算性质、等比数列的性质及其对数运算性质，考查了推理能力与计算能
14、力，属于中档题8 （5 分）如图，某建筑物的高度 BC300m，一架无人机 Q 上的仪器观测到建筑物顶部C 的仰角为 15，地面某处 A 的俯角为 45，且BAC 60，则此无人机距离地面的高度 PQ 为（ ）A100m B200m C300m D400m【分析】在 RtABC 中求得 AC 的值，ACQ 中求得 AQ 的值，在 RtAPQ 中求得 PQ第 9 页（共 20 页）的值【解答】解：根据题意，可得 RtABC 中，BAC60，BC300，AC 200 ；ACQ 中，AQC45+1560，QAC180456075，QCA180AQCQAC45，由正弦定理，得 ，解得 AQ
15、 200 ，在 Rt APQ 中，PQAQ sin45200 200m 故选：B【点评】本题考查了解三角形的应用问题，是基础题9 （5 分）数列a n中，已知对任意正整数 n，有 ，则等于（ ）A （2 n1） 2 BC4 n1 D【分析】 ，n2 时，a 1+a2+an1 2 n1 1，相减可得：an2 n1 可得 4 n1 再利用等比数列的求和公式即可得出【解答】解： ，n2 时，a 1+a2+an1 2n1 1，相减可得：a n2 n1（2 n1 1）2 n1 （2 n1 ） 24 n1 数列 成等比数列，首项为 1，公比为 4则 第 10 页（共 20 页）故选：D【点评】
16、本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题10 （5 分）根据市场调查，预测某种日用品从年初开始的 n 个月内累计的需求量 Sn（单位：万件）大约是 Sn （n1，2，12） 据此预测，本年度内，需求量超过 5 万件的月份是（ ）A5 月、6 月 B6 月、7 月 C7 月、8 月 D8 月、9 月【分析】利用“当 n1 时，a 1S 1n2 时，a nS nS n1 ”求出 an，由二次不等式的解法解出 an5 即可得出【解答】解：S n （n1，2，12） ，当 n1 时，a 1S 1 ，n2 时，a nS nS n1 （21n2
17、1n 2+2n15） 5，化为 n215n+540，解得 6n9可知当 n7 或 8，需求量超过 5 万件故答案为：7，8故选：C【点评】本题考查了利用“当 n1 时，a 1S 1n2 时，a nS nS n1 ”求出 an，考查了一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题11 （5 分）已知 x0，y 0，且 ，则 x+y 的最小值为（ ）A3 B5 C7 D9【分析】将 x+1+y2（ + ） （x +1+y）的形式，再展开，利用基本不等式，注意等号成立的条件【解答】解：x0，y 0，且 ，x+1+y2（ + ） （x +1+y）2（1+1+ + ）2（2+2
18、）8，第 11 页（共 20 页）当且仅当 ，即 x3，y4 时取等号，x+y7，故 x+y 的最小值为 7，故选：C【点评】本题考查当一个整数式子与一个分式式子在一个题中出现时，求一个式子的最值，常将两个式子乘起，展开，利用基本不等式考查利用基本不等式求最值要注意：一正、二定、三相等12 （5 分）点 P（x ，y ）的坐标满足条件 ，若 ， ，且，则 的最大值为（ ）A2 B3 C4 D5【分析】根据向量线性运算的坐标公式，得到 ，由此代入题中的不等式组，可得关于 、 的不等式组作出不等式组表示的平面区域，利用数形结合即可得到结论【解答】解：若 ， ，且 ，则 （1，1）+（1
19、，1）（+ ， ） ，则 ，代入不等式 ，可得 ，作出不等式组表示的平面区域（阴影部分） ，则 2+ ，则 的几何意义表示直线的斜率，在 A 点出斜率最大，由 A（1，3） ，则 2+ 的最大值为 2+35故选：D第 12 页（共 20 页）【点评】本题主要考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，将条件转换为关于 、 的不等式组是解决本题的关键二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分.13 （5 分）甲船在 A 处观察到乙船在它的北偏东 30的方向，两船相距 a 海里，乙船正在向东匀速行驶，经计算得知当甲船以北偏东 75方向前进，可追上乙船，则甲船速度是乙船速度的 &
20、nbsp; 倍【分析】求出 B，C 的度数，利用正弦定理得出 即可【解答】解：设乙船开始位置为 B，两船在 C 处相遇由已知得 A753045，B30+90120， 故答案为： 【点评】本题考查了正弦定理解三角形的应用，属于中档题14 （5 分）在ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，a ，acosB+bsinAc，则ABC 的面积的最大值为 第 13 页（共 20 页）【分析】运用正弦定理和诱导公式、两角和的正弦公式，同角的商数关系，计算即可得到 A 的值，由余弦定理，结合基本不等式，即可得到 bc 的最大值，利用三角形的面积公式即可计算
21、得解【解答】解：acosB+bsinAc，由正弦定理得：sinCsin AcosB+sinBsinA又A+B+C，sinCsin （A+ B）sinAcosB+cosAsin B由 得 sinAcosA，即： tanA1，又A（0，） ，A ；a ，由余弦定理可得：2b 2+c22bccosAb 2+c2 bc 2bc bc（2 ）bc，可得：bc ，当且仅当 bc 时等号成立，ABC 的面积为 S bcsinA bc ，当且仅当 bc 时，等号成立，即面积最大值为 故答案为： 【点评】本题考查正弦定理、余弦定理和面积公式的运用，同时考查三角函数的恒等变换公式的运用，属于中档题15 （5 分）
22、已知 Sn 是数列a n的前 n 项和，若 ，则 S2019 的值为 0 【分析】直接利用数列的通项公式和数列的周期求出结果【解答】解：由于数列的通项公式为： ，当 n1 时， ，当 n2 时， 当 n3 时， ，当 n4 时， ，第 14 页（共 20 页）当 n5 时， ，所以：数列的周期为 4，故：a 1+a2+a3+a41+01+00，所以：S 20195040+a 2017+a2018+a20191+010故答案为：0【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，数列的周期的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型16 （5 分）已知 f（x ）是定义在 R 上
23、的不恒为零的函数，且对于任意实数 a、bR 满足：f（ab）af（b）+bf（a） ，f （2）2，a n （nN *） ，b n （nN *） ，考察下列结论：f（0） f（1） ；f（x）为偶函数；数列 bn为等差数列；数列 an为等比数列，其中正确的是 （填序号）【分析】令 xy 0，得 f（0）f（00）0，令 xy1 得 f（1）f （11）2f（1） ，f（1）0，可知正确；用特例，f（2）f（12）f（2）+2f （1）2f（2） ，故 f（x）不是偶函数，f（2 n）f（22 n1 ）2f（2 n1 ）+2 n1 f（2）2f（2 n 1）+2 n，有 bnb n1 +1，符合
24、等差数列定义；b11，b n1+（n1）1n，f（2 n）2 nbnn2 n，a n2 n，故数列a n是等比数列【解答】解：f（0）f（00）0，f（1）f （11）2f（1） ，f （1）0，正确；f（1）f（1）（1）2f （1） ，f（1）0，f（2）f（12）f （2）+2f（ 1）2f （2） ，故 f（x）不是偶函数，第 15 页（共 20 页）故错；则 f（2 n）f（22 n1 ）2f（2 n1 ）+2 n1 f（2）2f（ 2n1 ）+2 n，b nb n1 +1，b n是等差数列，正确；b11，b n1+（n1）1n，f（2 n）2 nbnn2 n，a n2 n，故数列a
25、 n是等比数列， 正确故答案为：【点评】本题主要考查数列与函数的综合运用，主要涉及了函数的奇偶性，赋值法，等差数列，等比数列的定义及通项三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 3b2+3c24 bc3a 2（1）求 sinA；（2）若 3csinA asinB，ABC 的面积为 ，求ABC 的周长【分析】 （1）先把题设条件代入关于 A 的余弦定理中，求得 cosA 的值，进而利用同角三角函数的基本关系求得 sinA 的值（2）由已知及正弦定理可解得 b ，利用三角形的面积公式可求
26、c 的值，进而可求b，利用余弦定理可求 a，即可得解ABC 的周长的值【解答】 （本题满分为 12 分）解：（1）3b 2+3c24 bc3a 2，由余弦定理得 cosA ，又 0A，sinA 6 分（2）3csin A asinB，由正弦定理可得：3ac ab，解得：b ，8 分ABC 的面积为 bcsinA ，解得：c2，10 分b3 ，11 分a ，可得：ABC 的周长第 16 页（共 20 页）a+b+c 2+3 + 12 分【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式的综合应用，考查了学生对基础知识的掌握和基本的计算能力，属于基础题18已知a n为等差数列，且 a36，
27、S 630（1）求a n的通项公式；（2）若等比数列b n满足 b18，b 2a 1+a2+a3，求 bn的前 n 项和公式【分析】 （1）设等差数列的公差为 d，由已知列关于首项与公差的方程组，求得首项与公差，则a n的通项公式可求；（2）求出 b2，进一步得到公比，再由等比数列的前 n 项和公式求解【解答】解：（1）a n为等差数列，设公差为 d，由已知可得 ，解得 a110，d2a na 1+（n1）d2n12；（2）由 b18，b 2a 1+a2+a3108624，等比数列b n的公比 q ，b n的前 n 项和公式 22（3） n【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查等比数列的前
28、n 项和，是中档题19在ABC 中，角 A，B ，C 的对边分别为 a，b，C ，且 （1）求角 A 的大小；（2）若等差数列a n的公差不为零，a 1sinA1，且 a2，a 4，a 8 成等比数列；若 bn，求数列b n的前 n 项和 Sn【分析】 （1）运用正弦定理和余弦定理，可得 cosA，进而得到所求角 A；（2）设等差数列的公差为 d，求得首项，运用等比数列中项性质和等差数列的通项公式，解方程可得公差 d，可得数列的通项公式，求得 ，由裂项相消求和，化简可得所求和第 17 页（共 20 页）【解答】解：（1）由 ，根据正弦定理可得 ，即 b2+c2a 2 bc，所以 cosA ，由
29、 0A，得 ；（2）设a n的公差为 d（d0） ，由 a1sinA1，即 a1sin a11，得 a12，a2，a 4，a 8 成等比数列，可得 a42a2a 8即（a 1+3d） 2（a 1+d） （a 1+7d） ，又 d0，可得 d2，则 an2n， ，则 【点评】本题考查三角形的正弦定理、余弦定理的运用，考查等差数列的通项公式和等比数列中项性质，数列的裂项相消求和，考查化简运算能力，属于中档题20已知ABC 的三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若cos2A+cos2Ccos 2B1 sinAsinC（1）求角 B 的大小；（2）若 ，求 2a+c 的最大值【分析】 （
30、1）由正弦定理化简已知等式可得 b2a 2+c2ac，由余弦定理可得cosB ，结合范围 B（0， ） ，可得 B 的值（2）利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求 2a+c2 sin（A+） ，其中tan ，利用正弦函数的性质可求其最大值【解答】 （本题满分为 12 分）解：（1）cos 2A+cos2Ccos 2B1sinAsin C，sin 2Bsin 2A+sin2CsinAsinC ，1 分由正弦定理可得：b 2a 2+c2ac，3 分由余弦定理可得：cosB ，4 分B（0，） ，B 6 分第 18 页（共 20 页）（2） ，B ，可得 2，7 分2a+c4R sinA+2Rs
31、inC4sinA+2sin（ A）5sinA+ cosA2 sin（A+） ，其中 tan 10 分2a+c 的最大值为 2 12 分【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题21已知关于 x 的不等式 ax23x +20 的解集为 x|x1 或 xb（）求 a，b 的值；（）当 x0，y 0 且满足 时，有 2x+yk 2+k+2 恒成立，求 k 的取值范围【分析】 （）根据不等式和方程的关系得到关于 a，b 的方程组，求出 a，b 的值即可；（）根据乘“1”法，结合基本不等式的性质求出 2x+y 的
32、最小值，得到关于 k 的不等式，解出即可【解答】解：（）解一：因为不等式 ax23x+20 的解集为x |x1 或 xb ，所以 1 和 b 是方程 ax23x +20 的两个实数根且 a0，（3 分）所以 ，解得 （6 分）解二：因为不等式 ax23x +20 的解集为x|x 1 或 xb ，所以 1 和 b 是方程 ax23x +20 的两个实数根且 a0，（3 分）由 1 是 ax23x+20 的根，有 a3+20a1，（4 分）将 a1 代入 ax23x +20，得 ax23x+20 x1 或 x2，b2（6 分）（）由（）知 ，于是有+ 1，（7 分）故 2x+y（2x+y ） （
33、+ ）4+ + 8，当 时，左式等号成立，（9 分）第 19 页（共 20 页）依题意必有（2x+y ） mink 2+k+2，即 8k 2+k+2，（10 分）得 k2+k603k 2，所以 k 的取值范围为 3，2 （12 分）【点评】本题考查了二次函数和二次不等式的关系，考查基本不等式的性质以及转化思想，是一道常规题22已知各项都是正数的数列a n的前 n 项和为 Sn，S n a + ，nN*（1）求数列a n的通项公式；（2）设数列b n满足：b 11，b nb n1 2a n（n2） ，数列 的前 n 项和 Tn求证：Tn2（3）若 Tn（n+4 ）对任意 nN*恒成立，求 的取值
34、范围【分析】 （1）S na + ，n N*n2 时，利用 anS nS n1 ，及其等差数列的通项公式即可得出（2）b 11，b nb n1 2a nn（n2） ，利用 bn（b nb n1 ）+（b n1 b n2 ）+（b 2b 1）+b 1，及其裂项求和方法即可得出 Tn进而证明结论（3）T n（n +4） ，即 ，nN *利用基本不等式的性质即可得出【解答】 （1）解：S na + ，n N*n2 时，a nS nS n1 a + ，化为：（a n+an1 ）（a na n1 ）0，a n+an1 0，a na n1 ，n1 时，a 1 + ，解得 a1 数列a n是等差数列，首项与公差为 a n （n1） n（2）证明：b 11，b nb n1 2a nn（n2） ，b n（b nb n1 ）+（b n1 b n2 ）+ （b 2b 1）+ b1n+（n1）+ +2+1第 20 页（共 20 页）， 2 ，数列 的前 n 项和 Tn2 2 2T n2（3）解：T n（n+4 ） ，即 ，nN * ，n N*T n（n+4 ）对任意 nN*恒成立， 的取值范围是 【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、裂项求和方法、累加求和方法、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题
