1、2018 年北京市首师大附中高考数学三模试卷（理科）一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1 （5 分）已知集合 Mx |lgx1 ，N x|2x2，则 MN（ ）A （2，2） B （0，2） C （2，10 D （，102 （5 分）若 x，y 满足 ，则 2xy 的最小值为（ ）A0 B C D3 （5 分）执行如图所示的程序框图，则输出的 n 的值是（ ）A7 B10 C66 D1664 （5 分）函数 f（x ）cos （x+）的部分图象如图所示，则 f（x ）的单调递减区间为（
2、 第 2 页（共 25 页） A （k ，k + ） ，kz B （2k ，2k+ ） ，k zC （k ，k + ） ，kz D （ ，2k + ） ，k z5 （5 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A B C D6 （5 分）已知 m，n 为异面直线， m平面 ，n平面 直线 l 满足lm，ln，l，l，则（ ）A 且 lB 且 lC 与 相交，且交线垂直于 lD 与 相交，且交线平行于 l7 （5 分）已知双曲线 1（a0，b0）与抛物线 y24x 有一个公共的焦点 F，且两曲线的一个交点为 P若|PF | ，则双曲线
3、的渐近线方程为（ ）第 3 页（共 25 页）Ay x By2x Cy x Dy x8 （5 分）如图，在正方形 OABC 中，O 为坐标原点，点 A 的坐标为（10，0） ，点 C 的坐标为（0，10） ，分别将线段 OA 和 AB 十等分，分点分别记为 A1，A 2，A 9 和B1，B 2，B 9，连接 OBi，过 Ai 作 x 轴的垂线与 OBi 交于点 ，下列说法正确的是（ ）A点 都在同一条直线上B点 都在同一条抛物线上C存在点 在直线 AC 上D存在点 使得二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）9 （5 分）复数 （i 为虚数单位） ，则
4、z 的虚部为 10 （5 分）已知（ax+1） 5 的展开式中 x3 的系数是 10，则实数 a 的值是 11 （5 分）已知直线 （t 为参数）与曲线 M：2cos 交于 P，Q 两点，则|PQ| 12 （5 分）数列a n满足 an2n+1，若使 a1，a 4，a m 构成等比数列，则 m 13 （5 分）如图，在菱形 ABCD 中，AB1，DAB 60 ，E 为 CD 的中点，则的值是 第 4 页（共 25 页）14 （5 分）如右图所示
5、，在棱长为 2 的正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，E 为棱 CC1 的中点，点 P，Q 分别为面 A1B1C1D1 和线段 B1C 上的动点，则PEQ 周长的最小值为 三、解答题（共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）15 （13 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 asinBbcos Cc cosB（）判断ABC 的形状；（）若 ，求 f（A ）的取值范围16 （14 分）某公司为了解用户对其产品的满意度，从 A，B 两地区分别随机调查了 20 个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A 地区：62
6、 73 81 92 95 85 74 64 53 7678 86 95 66 97 78 88 82 76 89B 地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 8293 48 65 81 74 56
7、 54 76 65 79（）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可） ；（）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：满意度评分 低于 70 分 70 分到 89 分 不低于 90 分满意度等级 不满意 满意 非常满意上述 A，B 两地区分别随机调查的 20 个用户中，再分别随机抽取 1 人，求其中来自 A地区的用户的满意度等级高于来自 B 地区的用户的满意度等级的概率；（）设上述 A 地区随机抽查的 20 个用户的满意度评分的平均数为 ，方差
8、为 ；B第 5 页（共 25 页）地区随机抽查的 20 个用户的满意度评分的平均数为 ，方差为 ；比较 与 ，与 的大小（直接写出结论） 17 （13 分）如图，在多面体 ABCDEF 中，底面 ABCD 是边长为 2 的菱形，BAD60，四边形 BDEF 是矩形，平面 BDEF平面 ABCD，BF 3，H 是 CF 的中点（）求证：AC平面 BDEF；（）求直线 DH 与平面 BDEF 所成角的正弦值；（）求二面角 HBDC 的大小18 （13 分）已知函数 f（x ）xe x +a（）求函数 f（x ）的单调区间；（）如果函数 yf（x）有两个不同的零点 x1，x 2（i）求实数 a 的取
9、值范围；（ ii）求证：x 1+x2219 （14 分）已知椭圆 的右焦点为 F（1，0） （）求椭圆 C 的长轴长和离心率；（）过点 F 的直线 l 与椭圆 C 交于点 A，B，点 A，B 在直线 x2 上的射影分别为M，N，求证：直线 AN 与 BM 的交点 P 为定点第 6 页（共 25 页）20 （13 分）设数列a n的前 n 项和为 Sn，若对任意的正整数 n，总存在正整数 m，使得Sna m，则称a n是“H 数列” （1）若数列a n的前 n 项和为 Sn2 n（n N*） ，证明：a n是“H 数列” ；（2）设a n是等差数列，其首项 a11，公差 d0，若a n是“H 数
10、列” ，求 d 的值；（3）证明：对任意的等差数列a n，总存在两个“H 数列”b n和c n，使得anb n+cn（nN *）成立第 7 页（共 25 页）2018 年北京市首师大附中高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1 （5 分）已知集合 Mx |lgx1 ，N x|2x2，则 MN（ ）A （2，2） B （0，2） C （2，10 D （，10【分析】化简集合 M，根据并集的定义写出 MN【解答】解：集合 Mx |lgx1 x|0 x10 ，Nx| 2x2，则
11、MN x|2x 10（2，10故选：C【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题2 （5 分）若 x，y 满足 ，则 2xy 的最小值为（ ）A0 B C D【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z2xy 表示直线在 y轴上的截距的相反数，只需求出可行域直线在 y 轴上的截距最大值即可【解答】解：作出 x，y 满足 表示的平面区域，如图所示：由 z2xy 可得 y2xz，则z 表示直线 z2xy 在 y 轴上的截距的相反数，截距越大，z 越小，作直线 L；y2x0，然后把直线 L 向可行域平移，结合图象可知，当直线 z2xy 平移到 C 时，z 最小由 可得
12、 A（ ， ） ，此时 Zmin2 故选：D第 8 页（共 25 页）【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题3 （5 分）执行如图所示的程序框图，则输出的 n 的值是（ ）A7 B10 C66 D166【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的 n，S 的值，当 S166 时满足条件 S100，退出循环，输出 n 的值为 10【解答】解：模拟执行程序框图，可得S1，n1n4，S17，不满足条件 S100，n7，S66第 9 页（共 25 页）不满足条件 S100，n10，S166满足条件 S100，退出循环，输出 n 的值为 10故选：B【点
13、评】本题主要考查了循环结构的程序框图，依次写出每次循环得到的 n，S 的值是解题的关键，属于基本知识的考查4 （5 分）函数 f（x ）cos （x+）的部分图象如图所示，则 f（x ）的单调递减区间为（ ） A （k ，k + ） ，kz B （2k ，2k+ ） ，k zC （k ，k + ） ，kz D （ ，2k + ） ，k z【分析】由周期求出 ，由五点法作图求出 ，可得 f（ x）的解析式，再根据余弦函数的单调性，求得 f（x ）的减区间【解答】解：由函数 f（x ）cos （x+）的部分图象，可得函数的周期为2（ ）2，f （x）cos （ x+） 再根
14、据函数的图象以及五点法作图，可得 + ，kz，即 ，f（x）cos（x+ ） 由 2k x+ 2k +，求得 2k x2k+ ，故 f（x）的单调递减区间为（，2k+ ） ，k z，故选：D【点评】本题主要考查由函数 yAsin （ x+）的部分图象求解析式，由周期求出 ，由五点法作图求出 的值；还考查了余弦函数的单调性，属于基础题5 （5 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）第 10 页（共 25 页）A B C D【分析】根据已知中的三视图，可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱柱切去一个三棱锥得到的组合体，可得答案【解答】解：根据已知中的三视图，可得该几何体
15、是一个以俯视图为底面的三棱柱切去一个三棱锥得到的组合体，其底面面积 S 11 ，柱体的高为：2，锥体的高为 1，故组合体的体积 V 2 1 ，故选：A【点评】本题考查的知识点是棱柱的体积和表面积，棱锥的体积和表面积，简单几何体的三视图，难度中档6 （5 分）已知 m，n 为异面直线， m平面 ，n平面 直线 l 满足lm，ln，l，l，则（ ）A 且 lB 且 lC 与 相交，且交线垂直于 lD 与 相交，且交线平行于 l【分析】由题目给出的已知条件，结合线面平行，线面垂直的判定与性质，可以直接得到正确的结论第 11 页（共 25 页）【解答】解：由 m平面 ，直线 l 满足 l
16、m ，且 l，所以 l，又 n平面 ， ln，l ，所以 l由直线 m，n 为异面直线，且 m平面 ，n平面 ，则 与 相交，否则，若 则推出 mn，与 m，n 异面矛盾故 与 相交，且交线平行于 l故选：D【点评】本题考查了平面与平面之间的位置关系，考查了平面的基本性质及推论，考查了线面平行、线面垂直的判定与性质，考查了学生的空间想象和思维能力，是中档题7 （5 分）已知双曲线 1（a0，b0）与抛物线 y24x 有一个公共的焦点 F，且两曲线的一个交点为 P若|PF | ，则双曲线的渐近线方程为（ ）Ay x By2x Cy x Dy x【分析】根据抛物线和双曲线有相同的焦点求
17、得 p 和 c 的关系，根据抛物线的定义可以求出 P 的坐标，代入双曲线方程与 p2c，b 2c 2a 2，解得 a，b，得到渐近线方程【解答】解：抛物线 y24x 的焦点坐标 F（1，0） ，p2，抛物线的焦点和双曲线的焦点相同，p2c，即 c1，设 P（m，n） ，由抛物线定义知：|PF|m + m +1 ，m P 点的坐标为（ ， ） 解得： ，则渐近线方程为 y x，故选：C【点评】本题主要考查了双曲线，抛物线的简单性质考查了学生综合分析问题和基本的运算能力解答关键是利用性质列出方程组8 （5 分）如图，在正方形 OABC 中，O 为坐标原点，点 A 的坐标为（10，0） ，点 C 的
18、坐第 12 页（共 25 页）标为（0，10） ，分别将线段 OA 和 AB 十等分，分点分别记为 A1，A 2，A 9 和B1，B 2，B 9，连接 OBi，过 Ai 作 x 轴的垂线与 OBi 交于点 ，下列说法正确的是（ ）A点 都在同一条直线上B点 都在同一条抛物线上C存在点 在直线 AC 上D存在点 使得【分析】由题意，求出过 Ai（i N*，1i 9）且与 x 轴垂直的直线方程为 xi ，B i 的坐标为（10，i） ，即可得到直线 OBi 的方程为 y x由 ，即可得到 Pi 满足的抛物线方程【解答】解：由题意，过 Ai（i N*，1i 9）且与 x 轴垂直的直线方程
19、为 xi ，Bi 的坐标为（10，i） ，直线 OBi 的方程为 y x 设 Pi（x，y） ，由 ，解得 y ，即 x210y点 Pi（iN *，1i9）都在同一条抛物线上，抛物线 E 的方程为 x210y 故选：B【点评】本题主要考查了抛物线的性质、直线与抛物线的位置关系、三角形的面积等基第 13 页（共 25 页）础知识，考查了推理能力、转化与化归方法、计算能力、数形结合的思想方法、函数与方程思想方法、分析问题和解决问题的能力二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）9 （5 分）复数 （i 为虚数单位） ，则 z 的虚部为 【分析】直接利用复数代
20、数形式的乘除运算化简得答案【解答】解： ，z 的虚部为 故答案为： 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题10 （5 分）已知（ax+1） 5 的展开式中 x3 的系数是 10，则实数 a 的值是 1 【分析】在展开式的通项公式，令 x 的指数为 3，利用（ax+1） 5 的展开式中 x3 的系数是 10，即可实数 a 的值【解答】解：（ax+1） 5 的展开式的通项公式为 Tr+1 ，则（ax+1） 5 的展开式中 x3 的系数是 10， 10，a1故答案为：1【点评】二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题的重要方法11 （5 分）已知直线 （t 为参数
21、）与曲线 M：2cos 交于 P，Q 两点，则|PQ| 2 【分析】求出直线的普通方程和曲线 M 的普通方程，曲线 M 是以 M（1，0）为圆心，以 r1 为半径的圆，圆心 M（1，0）到直线 xy10 的距离 d0，则|PQ|2r2【解答】解：直线 （t 为参数） ，直线的普通方程为 xy 10，曲线 M： 2cos，即 22cos，曲线 M 的普通方程为 x2+y22x0，曲线 M 是以 M（1，0）为圆心，以 r1 为半径的圆，第 14 页（共 25 页）圆心 M（1，0）到直线 xy10 的距离 d 0，则|PQ |2r2故答案为：2【点评】本题考查弦长的求法，考查直角坐标方程、极坐标
22、方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题12 （5 分）数列a n满足 an2n+1，若使 a1，a 4，a m 构成等比数列，则 m 13 【分析】由数列a n满足 an2n+1，使 a1，a 4，a m 构成等比数列，可得 a 1am，即923（2m+1） ，解得 m【解答】解：数列a n满足 an2n+1，使 a1，a 4，a m 构成等比数列， a 1am，即 923（ 2m+1） ，解得 m13故答案为：13【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题13 （5 分）如图，在菱形 ABCD 中，AB1，DA
23、B 60 ，E 为 CD 的中点，则的值是 1 【分析】将 表示为 + ，再利用向量的运算法则，数量积的定义求解【解答】解：在菱形 ABCD 中，AB1，BAD 60， + ， 11cos60+ 121故答案为：1【点评】本题考查向量的数量积运算考查向量的加减运算14 （5 分）如右图所示，在棱长为 2 的正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，E 为棱 CC1 的中点，点 P，Q 分别为面 A1B1C1D1 和线段 B1C 上的动点，则PEQ 周长的最小值为 第 15 页（共 25 页）【分析】由题意，PEQ 周长取得最小值时，P 在 B1C1 上，在平面 B1C1CB 上，设
24、 E关于 B1C 的对称点为 N，关于 B1C1 的对称点为 M，求出 MN，即可得出结论【解答】解：由题意，PEQ 周长取得最小值时，P 在 B1C1 上，在平面 B1C1CB 上，设 E 关于 B1C 的对称点为 N，关于 B1C1 的对称点为 M，则EM2EN ，MEN 135，MN 故答案为 【点评】本题考查棱柱的结构特征，考查对称点的运用，考查余弦定理，考查学生的计算能力，属于中档题三、解答题（共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）15 （13 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 asinBbcos Cc cosB（）判断AB
25、C 的形状；（）若 ，求 f（A ）的取值范围【分析】 （I）由已知得 sinAsinBsinBcosC+cosBsin Csin（B+C ）sinA，可得，即可（）化简 ，由 cosA（0，1） ，可得 f（A）的取值范围为【解答】解：（I）因为 asinBbcosCccosB，则 sinAsinBsinBcosCsinCcosB，所以 sinAsinBsinBcosC+cosB sinCsin （B+C）sinA，所以 sinB1，因为B 为ABC 内角，所以 ，则ABC 为直角三角形第 16 页（共 25 页）（） cos 2x （ cosx ） 2 f（A）（cosA ） 2 因为 ，
26、所以 cosA（0，1） ，则当 时，f（A）取得最小值 ；当 cosA1 时， f（A ）取得最大值 ，但 cosA1，所以 f（A）的取值范围为 【点评】本题主要考查三角函数的恒等变形函数最值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键属于中档题16 （14 分）某公司为了解用户对其产品的满意度，从 A，B 两地区分别随机调查了 20 个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A 地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 7678 86 95
27、;66 97 78 88 82 76 89B 地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 8293 48 65 81 74 56 54 76 65 79（）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可） ；（）
28、根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：满意度评分 低于 70 分 70 分到 89 分 不低于 90 分满意度等级 不满意 满意 非常满意上述 A，B 两地区分别随机调查的 20 个用户中，再分别随机抽取 1 人，求其中来自 A地区的用户的满意度等级高于来自 B 地区的用户的满意度等级的概率；（）设上述 A 地区随机抽查的 20 个用户的满意度评分的平均数为 ，方差为 ；B地区随机抽查的 20 个用户的满意度评分的平均数为 ，方差为 ；比较 与 ，与 的大小（直接写出结论） 第 17 页（共 25 页）【分析】 （）由题意能作出两地区用户满意度评分的茎叶图，通过茎叶图可以看出
29、，A 地区用户满意度评分的平均值高于 B 地区用户满意度评分的平均值；A 地区用户满意度评分比较集中，B 地区用户满意度评分比较分散（）记事件 C：“A 地区用户的满意度等级高于 B 地区用户的满意度等级”记 CA1 为事件：“A 地区用户的满意度等级为满意或非常满意” ，记 CA2 为事件：“A 地区用户的满意度等级为非常满意” ，记 CB1 为事件：“B 地区用户的满意度等级为不满意 ”记CB2 为事件：“B 地区用户的满意度等级为满意” 则 CA1 与 CB1 相互独立，C A2 与 CB2相互独立，C B1 与 CB2 互斥，于是：CC B1CA1C B2CA2 P（C ）P（C B1
30、CA1C B2CA2）P（C B1CA1）+P（C B2CA2）P（C B1）P（C A1）+P（C B2）P（C A2） 由此能求出 C 的概率（） ， 【解答】 （本小题满分 13 分）解：（）由题意知，两地区用户满意度评分的茎叶图如下通过茎叶图可以看出，A 地区用户满意度评分的平均值高于 B 地区用户满意度评分的平均值；A 地区用户满意度评分比较集中，B 地区用户满意度评分比较分散（）记事件 C：“A 地区用户的满意度等级高于 B 地区用户的满意度等级”记 CA1 为事件：“A 地区用户的满意度等级为满意或非常满意 ”，第 18 页（共 25 页）记 CA2 为事件：“A 地区用户的满意
31、度等级为非常满意” ，记 CB1 为事件：“B 地区用户的满意度等级为不满意” 记 CB2 为事件：“B 地区用户的满意度等级为满意” 则 CA1 与 CB1 相互独立，C A2 与 CB2 相互独立，C B1 与 CB2 互斥，于是：CC B1CA1C B2CA2所以 P（C）P（C B1CA1C B2CA2）P （C B1CA1）+P（ CB2CA2）P（C B1）P （C A1）+P（C B2）P（C A2） 由题知，C A1，C A2，C B1，C B2 发生的频率分别为 ， ， ， 故 P（C A1） ，P（C A2） ，P（C B1） ，P（C B2） ，故 即 C 的概率为 0.
32、48（） ， 【点评】本题考查茎叶图的应用，考查概率、平均数、方差的求法，考查互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题17 （13 分）如图，在多面体 ABCDEF 中，底面 ABCD 是边长为 2 的菱形，BAD60，四边形 BDEF 是矩形，平面 BDEF平面 ABCD，BF 3，H 是 CF 的中点（）求证：AC平面 BDEF；（）求直线 DH 与平面 BDEF 所成角的正弦值；（）求二面角 HBDC 的大小【分析】 （I）由面面垂直的性质可证 AC 与平面 BDEF 垂直；（）以 O 为原点，OB，OC，ON 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴
33、，建立空间直角坐标系，求出平面 BDEF 的法向量，即可求直线 DH 与平面 BDEF 所成角的正弦值；（）求出平面 BDH、平面 BCD 的法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角第 19 页（共 25 页）HBDC 的大小【解答】 （）证明：四边形 ABCD 是菱形，ACBD又平面 BDEF平面 ABCD，平面 BDEF平面 ABCDBD ，且 AC平面 ABCD，AC平面 BDEF；（）解：设 ACBDO，取 EF 的中点 N，连接 ON，四边形 BDEF 是矩形，O，N 分别为 BD，EF 的中点，ONED，ED平面 ABCD，ON平面 ABCD，由 ACBD，得 OB，OC，ON 两
34、两垂直以 O 为原点，OB，OC，ON 所在直线分别为 x 轴，y 轴， z 轴，如图建立空间直角坐标系底面 ABCD 是边长为 2 的菱形，BAD60，BF 3 ，A（0， ，0） ，B（1，0，0） ，D （1，0，0） ，E （1，0，3） ，F（1，0，3） ，C（0， ，0） ，H（ ， ， ）AC平面 BDEF，平面 BDEF 的法向量 （0，2 ，0） 设直线 DH 与平面 BDEF 所成角为 ， （ ， ， ） ，sin |cos ， | | | ，直线 DH 与平面 BDEF 所成角的正弦值为 ；（）解：由（） ，得 （ ， ， ） ， （2，0，0） 设平面 BDH 的法向
35、量为 （ x，y，z） ，则令 z1，得 （0， ，1）由 ED平面 ABCD，得平面 BCD 的法向量为 （0，0，3） ，第 20 页（共 25 页）则 cos ， ，由图可知二面角 HBDC 为锐角，二面角 HBDC 的大小为 60【点评】本题考查面面垂直的性质，考查线面垂直，考查线面角，面面角，考查向量法的运用，正确求出平面的法向量是关键18 （13 分）已知函数 f（x ）xe x +a（）求函数 f（x ）的单调区间；（）如果函数 yf（x）有两个不同的零点 x1，x 2（i）求实数 a 的取值范围；（ ii）求证：x 1+x22【分析】 （）求出导函数，求出极值点，判断导函数的符
36、号，然后求解函数 f（x）的单调区间；（） （i）如果函数 yf（x）有两个不同的零点 x1，x 2判断极大值大于 0，即可求实数 a 的取值范围；（ii）函数 yf（x）有两个不同的零点 x1，x 2，不妨设 x1x 2，且 f（x 1）f（x 2） ，要证 x1+x22，即证 x22x 1，即证 f（x 1）f （2x 1）0，设 g（x）f（ x）f（2x ）xe x +（x2）e x2 ， （x1）通过函数的导数，判断导函数的符号，推出函数的单调性然后证明即可【解答】 （本小题满分 13 分）解：（）f'（x ）e x xe x （1x）e x第 21 页（共 25 页）令 f
37、'（x）0 得 x1，f' （x ） ，f （x）随 x 变化情况如下表：x （，1） 1 （1，+）f'（x ） + 0 f（x） 极大值 f（x）的单调增区间是（ ，1） ，单调减区间是（1，+）（） （i）要使函数 yf（x）有两个不同的零点，则 f（1）0，即 ，解得 ，当 x+时，f（x）0，可得 a0实数 a 的取值范围为 ；（ii）函数 yf（x）有两个不同的零点 x1，x 2，不妨设 x1x 2，且 f（x 1）f（x 2） ，由（）可知 x11x 2，则 2x 21，且 f（x）在（1，+）单调递减，要证 x1+x22，即证 x22x 1，即证 f（x
38、 2） f（x 1）f（2x 1） ，即证 f（x 1） f（2x 1）0 ，设 g（x）f（ x）f（2x ）xe x +（x2）e x2 ， （x1）则 g'（x ）e xxe x +ex2 +（x2）e x2 （1x ）e x+（x1）e x2 （1x）（e x e x2 ）x1，1x 0，x 1，x21，e x e x2 0，g'（x ）0，g（x ）在（1，+）单调递增， ，从而 x1+x22【点评】本题考查函数的导数的综合应用函数的极值以及函数的单调性的求法，不等式的证明，构造法的应用，考查发现问题解决问题的能力19 （14 分）已知椭圆 的右焦点为 F（1，0）
39、（）求椭圆 C 的长轴长和离心率；（）过点 F 的直线 l 与椭圆 C 交于点 A，B，点 A，B 在直线 x2 上的射影分别为第 22 页（共 25 页）M，N，求证：直线 AN 与 BM 的交点 P 为定点【分析】 （）利用椭圆的方程，求出 b，求出 c，即可得到 a，然后求椭圆 C 的长轴长和离心率；（） 当直线 l 斜率不存在时，易知 ，当直线 l 斜率存在时，设l：yk（x1） ，A （x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，Q（x 0，y 0） ，则 M（2，y 1） ，N （2，y 2） ，联立 消去 y 得（2k 2+1）x 24k 2x+2k220 利用韦达定理以及向量的
40、关系，求解直线 AN 与 BM 的交点 P 为定点【解答】 （本小题满分 14 分）解：（）依题意 ，椭圆 C 的长轴长为 ， ；（） 当直线 l 斜率不存在时，易知 ，当直线 l 斜率存在时，设 l：yk（x1） ，A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，Q （x 0，y 0） ，则M（2，y 1） ，N（2，y 2） ，联立 消去 y 得（2k 2+1）x 24k 2x+2k220显然0 恒成立，则易知 ，则 ， ，y 2y 0），第 23 页（共 25 页）整理得 ，同理可得 y00，综上所述直线 AN 与 BM 的交点 P 为定点 【点评】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位
41、置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力20 （13 分）设数列a n的前 n 项和为 Sn，若对任意的正整数 n，总存在正整数 m，使得Sna m，则称a n是“H 数列” （1）若数列a n的前 n 项和为 Sn2 n（n N*） ，证明：a n是“H 数列” ；（2）设a n是等差数列，其首项 a11，公差 d0，若a n是“H 数列” ，求 d 的值；（3）证明：对任意的等差数列a n，总存在两个“H 数列”b n和c n，使得anb n+cn（nN *）成立【分析】 （1）利用“当 n2 时，a nS nS n1 ，当 n1 时，a 1S 1”即可得到 an，再利用“H”数列的意义
42、即可得出（2）利用等差数列的前 n 项和即可得出 Sn，对n N*， mN*使 Sna m，取 n2 和根据 d0 即可得出；（3）设a n的公差为 d，构造数列：b na 1（n1）a 1（2n）a 1，c n（n1）第 24 页（共 25 页）（a 1+d） ，可证明b n和c n是等差数列再利用等差数列的前 n 项和公式及其通项公式、“H”的意义即可得出【解答】解：（1）当 n2 时，a nS nS n1 2 n2 n1 2 n1 ，当 n1 时，a 1S 12当 n1 时，S 1a 1当 n2 时，S na n+1数列a n是“H”数列（2）S n ，对nN *，mN *使 Sna m
43、，即 ，取 n2 时，得 1+d（m1）d，解得 ，d0，m2，又 mN*，m1，d1（3）设a n的公差为 d，令 bna 1（n1）a 1（2 n）a 1，对nN *，b n+1b na 1，cn（n1） （a 1+d） ，对nN *，c n+1c na 1+d，则 bn+cna 1+（n1）da n，且数列 bn和c n是等差数列数列b n的前 n 项和 Tn ，令 Tn（2m ）a 1，则 当 n1 时，m1；当 n2 时，m 1当 n3 时，由于 n 与 n3 的奇偶性不同，即 n（n3）为非负偶数，mN *因此对nN *，都可找到 mN*，使 Tnb m 成立，即b n为 H 数列数列c n的前 n 项和 Rn ，令 cm（m1） （a 1+d）R n，则 m 对nN *，n（n3）为非负偶数， m N*因此对nN *，都可找到 mN*，使 Rnc m 成立，即c n为 H 数列因此命题得证第 25 页（共 25 页）【点评】本题考查了利用“当 n2 时，a nS nS n1 ，当 n1 时，a 1S 1”求 an、等差数列的前 n 项和公式及其通项公式、新定义“H ”的意义等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力、构造法，属于难题
