1、2018 年天津市十二重点中学高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分.1 （5 分）已知集合 Ax| x2x 0 ，Bx|x|1，则 AB 为（ ）A0，1） B （0，1） C0 ，1 D （1，02 （5 分）已知 x，y 满足不等式组 ，则目标函数 z2xy+3 的最小值为（ ）A1 B2 C4 D53 （5 分）一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果是 ，则判断框中应填入的条件是（ ）Ai5 Bi 5 Ci4 Di44 （5 分）已知 m 为实数，直线 l1：mx+y10，l 2：（3m2）x
2、+my20，则“m1”是“l 1l 2”的（ ）A充要条件 B充分不必要条件C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件5 （5 分）已知函数 f（x ）sin（x+ ） （xR，0 ）的最小正周期为 ，将yf（x ）的图象向左平移| 个单位长度，所得图象关于 y 轴对称，则 的一个值是（ ）第 2 页（共 26 页）A B C D6 （5 分）已知定义在 R 上的函数 f（x）| x|+cosx，则三个数 af （ ） ，bf（） ） ，c f（1） ，则 a，b，c 之间的大小关系是（ ）Aacb Babc Cbca Dc ba7 （5 分）双曲线 C： 1
3、（a0，b0）的左、右焦点分别为 F1，F 2，点 M，N在双曲线上，且 MNF 1F2，| MN| |F1F2|，线段 F1N 交双曲线 C 于点Q，|F 1Q| |F1N|，则该双曲线的离心率是（ ）A B C2 D8 （5 分）已知函数定义在1，+ ）上的函数 f（x） ，则下列说法中正确的个数有（ ）关于 x 的方程 f（x ） 0， （n N）有 2n+4 个不同的零点对于实数 x1，+） ，不等式 xf（x）6 恒成立在1，6）上，方程 6f（x）x0 有 5 个零点当 x2n1 ，2 n， （nN *）时，函数 f（x）的图象与 x 轴围成的面积为 4A0
4、 B1 C2 D3二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.把答案填在答题卡中的相应横线上.9 （5 分）i 为虚数单位，设复数 z 满足 6i ，则 z 的虚部是 10 （5 分）以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线极坐标方程为 （R ） ，它与曲线 ， （ 为参数）相交于两点 A、B，则| AB| 11 （5 分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积 第 3 页（共 26 页）12 （5 分）若 |x|dx49（其中 n0）
5、，则（2x1） n 的展开式中 x3 的系数为 13 （5 分）已知 ab，二次三项式 ax2+4x+b0 对于一切实数 x 恒成立，又x 0R，使+4x0+b0 成立，则 的最小值为 14 （5 分）已知直角梯形 ABCD 中，ADBC，BAD90，ADC45，AD2， BC1，P 是腰 CD 上的动点，则|3 + |的最小值为 三、解答题：本大题 6 小题，共 80 分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.15 （13 分）在锐角ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 （1）求角
6、 B 的大小；（2）已知 4，ABC 的面积为 6 ，求边长 b 的值16 （13 分）某大学在一次公益活动中聘用了 10 名志愿者，他们分别来自于 A、B、C 三个不同的专业，其中 A 专业 2 人，B 专业 3 人，C 专业 5 人，现从这 10 人中任意选取3 人参加一个访谈节目（1）求 3 个人来自两个不同专业的概率；（2）设 X 表示取到 B 专业的人数，求 X 的分布列与数学期望17 （13 分）如图，四边形 ABCD 与 BDEF 均为菱形，FAFC，且DABDBF60（1）求证：AC平面 BDEF；（2）求二面角 EAF B 的余弦值；（3）若 M 为线段 DE 上的一点，满足
7、直线 AM 与平面 ABF 所成角的正弦值为 ，求线段 DM 的长第 4 页（共 26 页）18 （13 分）已知数列a n的前 n 项和 Sn 满足 Sna（S na n+1） ， （a 为常数，a0，a1）（1）求a n的通项公式；（2）设 bna n+Sn，若数列 bn为等比数列，求 a 的值；（3）在满足条件（2）的情形下，c n ，若数列c n的前 n 项和为Tn，且对任意的 nN*满足 Tn 2 ，求实数 的取值范围19 （14 分）已知椭圆 的两个焦点分别为 F1（c，0）和F2（c，0） （c0） ，过点 E（ ）的直线与椭圆相交于 x 轴上方的 A，B 两点，且2 （1）求椭
8、圆的离心率；（2） （i）求直线 AB 的斜率；（ii）设点 C 与点 A 关于坐标原点对称，直线 F2B 上有一点 H（m，n） （m0）在AF1C 的外接圆上，求 的值20 （14 分）已知函数 f（x ） ax+（a1）lnx，g（x）bxlnx 的最大值为 （1）求实数 b 的值；（2）当 a1 时，讨论函数 f（x ）的单调性；（3）当 a0 时，令 F（x ）2f （x）+g（x）+2lnx+2，是否存在区间m ，n第 5 页（共 26 页）（1，+ ） ，使得函数 F（x）在区间 m，n 上的值域为k（m+2） ，k（n+2） ？若存在，求实数 k 的取值范围；若不存在，请说明理
9、由第 6 页（共 26 页）2018 年天津市十二重点中学高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分.1 （5 分）已知集合 Ax| x2x 0 ，Bx|x|1，则 AB 为（ ）A0，1） B （0，1） C0 ，1 D （1，0【分析】解不等式求得集合 A、B，根据交集的定义写出 AB【解答】解：集合 Ax| x2x 0 x|0x 1 ，B x|x|1 x|1x1，则 ABx|0x 10，1） 故选：A【点评】本题考查了解不等式与交集的运算问题，是基础题2 （5 分）已知 x，y 满足不等式组 ，则目标函数 z2xy
10、+3 的最小值为（ ）A1 B2 C4 D5【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数求得最小值【解答】解：由约束条件作出可行域如图，设可行域内一点（x，y ） ，由图可知，直线 z2xy +3 经过 D 点时取到最大值，经过 C 点时取到最小值，联立 ，解得 C（0 ，1） ，z 的最小值为1+3 2，第 7 页（共 26 页）故选：B【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题3 （5 分）一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果是 ，则判断框中应填入的条件是（ &n
11、bsp;）Ai5 Bi 5 Ci4 Di4【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：负值 i1，T0，S0，判断条件成立，执行 i1+1 2，T0+11，S0+ ；判断条件成立，执行 i2+1 3，T1+12，S ；判断条件成立，执行 i3+1 4，T2+13，S ；判断条件不成立，算法结束，输出 S 此时 i4，44 不成立故判断框中应填入的条件是 i4故选：D【点评】本题考查程序框图，考查学生的读图能力，是基础题4 （5 分）已知 m 为实数，直线 l1：mx+y10，l 2：（
12、3m2）x +my20，则“m1”是“l 1l 2”的（ ）A充要条件 B充分不必要条件第 8 页（共 26 页）C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件【分析】根据直线平行的等价条件，求出 m 的值，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：当 m1 时，两直线方程分别为直线 l1：x+y10，l 2：x+y20 满足l1l 2，即充分性成立，当 m0 时，两直线方程分别为 y10，和2x20，不满足条件当 m0 时，则 l1l 2 ，由 得 m23m+20 得 m1 或 m2，由 得 m2，则 m1，即“m1”是“l 1l 2”的充要条件，故选：A【点评】本题主要考查
13、充分条件和必要条件的判断，结合直线平行的等价条件是解决本题的关键5 （5 分）已知函数 f（x ）sin（x+ ） （xR，0 ）的最小正周期为 ，将yf（x ）的图象向左平移| 个单位长度，所得图象关于 y 轴对称，则 的一个值是（ ）A B C D【分析】根据函数的周期求 ，结合三角函数的图象平移关系，结合三角函数的奇偶性进行求解即可【解答】解：函数 f（x ）sin（x+ ） （xR， 0）的最小正周期为 ， ，得 2，则 f（x）sin（2x+ ） ，将 yf（x）的图象向左平移| |个单位长度，所得图象关于 y 轴对称，则 ysin2（x+|）+ sin（2x+2| |+
14、 ） ，图象关于 y 轴对称，2| |+ +k，k Z则| + ，kZ，第 9 页（共 26 页）当 k1 时，| + ，则 或 ，即 的一个值可能为 ，故选：D【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，结合条件求出函数的解析式以及利用三角函数的对称性是解决本题的关键6 （5 分）已知定义在 R 上的函数 f（x）| x|+cosx，则三个数 af （ ） ，bf（） ） ，c f（1） ，则 a，b，c 之间的大小关系是（ ）Aacb Babc Cbca Dc ba【分析】求出 f（x ）的导数，得到函数在（0，+）上为单调增函数，再求出 、（ ） 的范围，则答案可求【解答】解：
15、定义在 R 上的函数 f（x）| x|+cosx 是偶函数，x0 时，f（x）x+cosx ，f（x）1sin x0，f（x）在 x0 时递增， （0，1） ， （ ） 1，又 af（ ） ，bf（ ） ） ，cf （1） ，bca，故选：C【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及函数的奇偶性问题，是中档题7 （5 分）双曲线 C： 1（a0，b0）的左、右焦点分别为 F1，F 2，点 M，N第 10 页（共 26 页）在双曲线上，且 MNF 1F2，| MN| |F1F2|，线段 F1N 交双曲线 C 于点Q，|F 1Q| |F1N|，则该双曲线的离心率是（ ）A
16、B C2 D【分析】运用双曲线的对称性由条件可设 N 的坐标，由向量共线定理可得 Q 的坐标，再由 N，Q 在双曲线上，满足双曲线的方程，即可得到双曲线的离心率【解答】解：由 2c|F 1F2| |MN|，可得|MN|c ，由 MNF 1F2，可设 N（ c，t） ，设 Q（x 0，y 0） ， （x 0+c，y 0） ， （ c，t）|F 1Q| |QN|，（x 0+c，y 0） （ c，t） ，解得 x0 c，y 0 t，N，Q 在双曲线上， 1， 1消去 t 整理可得 7，e 故选：D第 11 页（共 26 页）【点评】本题考查双曲线的方程和运用，注意运用向量共线定理和点满足双曲线的方程
17、，以及离心率的范围，考查化简整理的运算能力，属于中档题8 （5 分）已知函数定义在1，+ ）上的函数 f（x） ，则下列说法中正确的个数有（ ）关于 x 的方程 f（x ） 0， （n N）有 2n+4 个不同的零点对于实数 x1，+） ，不等式 xf（x）6 恒成立在1，6）上，方程 6f（x）x0 有 5 个零点当 x2n1 ，2 n， （nN *）时，函数 f（x）的图象与 x 轴围成的面积为 4A0 B1 C2 D3【分析】根据函数的表达式，作出函数 f（x ）的图象，利用数形结合分别判断即可【解答】解：作出函数 f（x ）的图象，如图：当 n0 时，方程 f（x ） 0
18、等价为 f（x）1，对应方程根的个数为 5 个，而 2n+44 个， 错误；由不等式 xf（x）6 等价为 f（x） ，在 x1，+ ）恒成立，作出函数 y 的图象如图 2，则不等式 xf（x ）6 恒成立，正确；由函数表达式可知 f（1.5） 4，f （3）2，f（6）1第 12 页（共 26 页）由 f（x） x0 得 f（x ） x，设 g（x） x，则 g（6）1，在1，6）上，方程 f（x ） x0 有 4 个零点，错误；令 n1 得，2 n1 ，2 n1 ，2 ，当 x1，2 时，函数 f（x）的图象与 x 轴围成的图形是一个三角形，其面积为：S 142，错误故选：B【点评】本题主
19、要考查函数零点个数的判断，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，难度较大二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.把答案填在答题卡中的相应横线上.9 （5 分）i 为虚数单位，设复数 z 满足 6i ，则 z 的虚部是 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解：由 6i，得 z 第 13 页（共 26 页）z 的虚部是 故答案为： 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题10 （5 分）以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线极坐标方程为 （R ） ，
20、它与曲线 ， （ 为参数）相交于两点 A、B，则| AB| 2 【分析】把直线极坐标方程、曲线参数方程化为普通方程，求出圆心到直线的距离，利用勾股定理求得弦长【解答】解：把直线极坐标方程 化为普通方程是 yx，曲线参数方程 化为普通方程是（x2） 2+（y+2） 29，圆心为（2，2） ，半径为 3，圆心到直线 xy 0 的距离为 d 2 ，则弦长|AB|2 2 2故答案为：2【点评】本题考查了极坐标方程与参数方程化为普通方程的应用问题，是基础题11 （5 分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积 【分析】由已知中的三视图可得，该几何体是一个半圆锥和一个四分之
21、一球的组合体，分别计算它们的体积，相加可得答案【解答】解：由已知中的三视图可得，该几何体是一个半圆锥和一个四分之一球的组合体，球的半径为圆锥的底面半径均为 1，圆锥的高为 2，第 14 页（共 26 页）故四分之一球的体积为： ，半圆锥的体积为： ，故组合体的体积 V + ；故答案为：【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状12 （5 分）若 |x|dx49（其中 n0） ，则（2x1） n 的展开式中 x3 的系数为 280 【分析】由微积分基本定理求得 n，代入（2x1） n，写出二项展开式的通项，由 x 的指数为 2 求得 r 值，则答案可求【
22、解答】解：由 |x|dx49，如图，得 n249，即 n7（2x1） n（2x 1） 7，由 7r3，得 r4（2x1） n 的展开式中 x3 的系数为 故答案为：280【点评】本题考查微积分基本定理的应用，考查二项式系数的性质，是中档题13 （5 分）已知 ab，二次三项式 ax2+4x+b0 对于一切实数 x 恒成立，又x 0R，使+4x0+b0 成立，则 的最小值为 4 【分析】由条件求得 a2，ab4，由此把要求的式子化为 （a ）第 15 页（共 26 页）+ ，利用基本不等式即可求出答案【解答】解：已知 ab，二次三项式 ax2+4x+b0 对于一切实数 x 恒成立，
23、a0，且164ab0，ab4再由x 0R， +4x0+b0，可得0，164ab0，即 ab4，a2， （a ）+2 2 4 ，当且仅当 a + 时取等号故 的最小值为 4 ，故答案为：4 【点评】本题主要考查基本不等式的应用以及函数恒成立的问题，式子的变形是解题的难点和关键，属于中档题14 （5 分）已知直角梯形 ABCD 中，ADBC，BAD90，ADC45，AD2， BC1，P 是腰 CD 上的动点，则|3 + |的最小值为 【分析】建立坐标系，设出 P 的坐标，表示出 ， 的坐标，结合二次函数的性质求出其最小值即可【解答】解：分别以 AD，AB 为 x，y 轴，
24、建立直角坐标系：如图示：，ADC45，AD2，BC1，P 是腰 CD 上的动点，A（0，0） ，B（0，1） ，C（1，1） ，D（2，0） ，则设 P（x，2 x） ，故 3 （3x，3x 6） ， （x ，1x） ，故 1x2，第 16 页（共 26 页）故|3 + | ，而 y8x 220x +258 + ，故|3 + |的最小值是 ，故答案为： 【点评】考查向量在几何中的应用，以及向量模的求法，同时考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力三、解答题：本大题 6 小题，共 80 分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.15 （13 分）在锐角ABC 中，角 A，B，C 的对边分别
25、为 a，b，c，且 （1）求角 B 的大小；（2）已知 4，ABC 的面积为 6 ，求边长 b 的值【分析】 （1）根据题意，利用正弦定理与三角形的内角和定理求得 sinB 的值，从而求得 B 的值；（2）由题意，利用正弦定理与三角形的面积公式求得 a 的值，再由余弦定理求得 b 的值【解答】解：（1）锐角ABC 中， ，bcosA+acosB bsinC，由正弦定理得 sinBcosA+cosBsinA sinBsinC，第 17 页（共 26 页）sin（A+B ） sinBsinC，又 sin（A+B ）sinC 0，sinB ，又 0B ，B ；（2）由 4，利用正弦定理得 c4；又A
26、BC 的面积为 6 ， acsinB a4sin 6 ，解得 a6；由余弦定理 b2a 2+c22ac cosB6 2+42264cos 28，解得 b2 【点评】本题考查了正弦、余弦定理的应用问题，是中档题16 （13 分）某大学在一次公益活动中聘用了 10 名志愿者，他们分别来自于 A、B、C 三个不同的专业，其中 A 专业 2 人，B 专业 3 人，C 专业 5 人，现从这 10 人中任意选取3 人参加一个访谈节目（1）求 3 个人来自两个不同专业的概率；（2）设 X 表示取到 B 专业的人数，求 X 的分布列与数学期望【分析】 （1）令事件 A 表示“3 个来自于两个不同专业” ，A
27、1 表示“3 个人平自于同一个专业” ，A 2 表示“3 个人来自于三个不同专业” ，利用列举法能求出 3 个人来自两个不同专业的概率（2）随机变量 X 有取值为 0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出 X 的分布列和 E（X） 【解答】解：（1）令事件 A 表示“3 个来自于两个不同专业” ，A1 表示“3 个人平自于同一个专业” ，A2 表示“3 个人来自于三个不同专业” ，第 18 页（共 26 页）P（A 1） ，P（A 2） ，3 个人来自两个不同专业的概率：P（A）1P（A 1）P（A 2）1 （2）随机变量 X 有取值为 0，1，2，3，P（X0） ，P（X1） ，P（X
28、2） ，P（X3） ，X 的分布列为：X 0 1 2 3P E（X） 【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列的求法，考查古典概型、对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题17 （13 分）如图，四边形 ABCD 与 BDEF 均为菱形，FAFC，且DABDBF60（1）求证：AC平面 BDEF；（2）求二面角 EAF B 的余弦值；（3）若 M 为线段 DE 上的一点，满足直线 AM 与平面 ABF 所成角的正弦值为 ，求线段 DM 的长第 19 页（共 26 页）
29、【分析】 （1）设 AC 与 BD 交于点 O，连结 FO 推导出 ACBD ，且 O 为 AC 的中点，ACFO，由此能证明 AC平面 BDEF（2）连结 DF，由 OA、OB 、OF 两两垂直，建立空间直角坐标系 Oxyz ，利用向量法能求出二面角 EAF B 的余弦值（3）设 ， （01） ，则（ ，1，0）+（0， ）（0，1 ） ，利用向量法能求出线段 DM 的长【解答】证明：（1）设 AC 与 BD 交于点 O，连结 FO，四边形 ABCD 是菱形，ACBD ，且 O 为 AC 的中点，FAFC， ACFO ，又 FOBD O ，BD 平面 BDEF，FO平面 BDEF，AC平面
30、BDEF解：（2）连结 DF，四边形 BDEF 是菱形，且DBF 60，DBF 是等边三角形，O 为 BD 的中点，FOBD，又 ACFO，BD 平面 ABCD，AC平面 ABCD，FO 平面 ABCD，OA、OB 、OF 两两垂直，建立空间直角坐标系 Oxyz ，如图，设 AB2，四边形 ABCD 为菱形，DAB 60，BD2，AC2 ，DBF 为等边三角形，OF ，A（ ，0，0） ，B（0，1，0） ，D （0，1，0） ，F（0，0， ） ， （ ，1，0） ， （ ，0， ） ， （ ，1，0） ， （0，2，0） ，设平面 AEF 的法向量 （x，y，z） ，第 20 页（共 26
31、 页）则 ，取 x1，得 （1， ，1） ，cos ，二面角 EAF B 的余弦值为 （3）设 ， （01）则 （ ，1，0）+（0， ）（0，1 ） ，|cos | ，化简，得 82+410，解得 或 （舍） ，线段 DM 的长为 【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查线段长的求法，考查运用求解能力、空间想象能力、探索能力、转化与化归思想、函数与方程思想，是中档题18 （13 分）已知数列a n的前 n 项和 Sn 满足 Sna（S na n+1） ， （a 为常数，a0，a1）（1）求a n的通项公式；（2）设 bna n+Sn，若数列 bn为等比数列，求 a 的值
32、；（3）在满足条件（2）的情形下，c n ，若数列c n的前 n 项和为Tn，且对任意的 nN*满足 Tn 2 ，求实数 的取值范围第 21 页（共 26 页）【分析】 （1）n2 时，a nS nS n1 a（S na n+1）a（S n1 a n1 +1） ，化为：anaa n1 ， （a 为常数，a0，a1） n1 时，a 1a（a 1a 1+1） ，可得：a 1a利用等比数列的通项公式可得 an（2）b na n+Sn，可得：b 12a，b 22a 2+a，b 32a 3+a2+a，利用等比数列的性质可得a（3）由（2）可得：a n c n ，利用裂项求和方法、数列的单调性、不等式的解
33、法即可得出【解答】解：（1）n2 时，a nS nS n1 a（S na n+1）a（S n1 a n1 +1） ，化为：a naa n1 ， （a 为常数，a0，a1） n1 时，a 1a（a 1a 1+1） ，可得：a 1a数列a n为等比数列，首项与公比为 a则 ana n（2）b na n+Sn，可得：b 12a，b 22a 2+a，b 32a 3+a2+a，数列b n为等比数列，（2a 2+a） 22a（2a 3+a2+a） ，可得：a （3）由（2）可得：a n cn ，数列c n的前 n 项和为 Tn + + ，对任意的 nN*满足 Tn 2 ， 2 ，化为：3 2+210，解得
34、： 或 1实数 的取值范围是： 或 1第 22 页（共 26 页）【点评】本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式、裂项求和方法、数列的单调性、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题19 （14 分）已知椭圆 的两个焦点分别为 F1（c，0）和F2（c，0） （c0） ，过点 E（ ）的直线与椭圆相交于 x 轴上方的 A，B 两点，且2 （1）求椭圆的离心率；（2） （i）求直线 AB 的斜率；（ii）设点 C 与点 A 关于坐标原点对称，直线 F2B 上有一点 H（m，n） （m0）在AF1C 的外接圆上，求 的值【分析】 （1）由 2 ，可得 ，从而 ，由此可以求出椭圆的离心
35、率（2） （i）由题意知椭圆的方程可写为 2x2+3y26c 2，设直线 AB 的方程为yk（x ） ，设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，则它们的坐标满足方程组，整理，得（2+3k 2）x 218k 2cx+27k2c26c 20再由根的判别式和根与系数的关系求解（ii）解法一：当 k 时，得 y c （x+ c） ，线段 AF1 的垂直平分线 l的方程为直线 l 与 x 轴的交点是AF 1 外接圆的圆心，因此外接圆的方程为（x ）2+y2（c+ ） 2由此可以推导出 值解法二：由椭圆的对称性可知 B，F 2，C 三点共线，由已知条件能够导出四边形 AF1CH第 23 页（共
36、 26 页）为等腰梯形由此入手可以推导出 值【解答】解：（1）由 2 ，可得 ，从而 ，整理可得 a23c 2，故 e ，（2） （i）：由（1）得 b2a 2c 22c 2，所以椭圆的方程可写为 2x2+3y26c 2设直线 AB 的方程为 yk （x ） ，即 yk（x 3c） 由已知设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，则它们的坐标满足方程组消去 y 整理，得（2+3k 2）x 2 18k2cx+27k2c26c 20依题意，48c 2（13k 2）0，而 x1+x2 ，x 1x2 ，由题设知，点 B 为线段 AE 的中点，所以 x1+3c2x 2联立解得 x1 ，x 2将
37、 x1，x 2 代入中，解得 k （ii）解法一：由（i）可知 x10，x 2 ，当 k 时，得 A（0， c） ，由已知得 C（0， c） 线段 AF1 的垂直平分线 l 的方程为 y c （x+ c） ，直线 l 与 x 轴的交点（ ，0）是AF 1C 外接圆的圆心，第 24 页（共 26 页）因此外接圆的方程为（x ） 2+y2（c + ） 2直线 F2B 的方程为 y （x c） ，于是点 H（m，n）的坐标满足方程组 ，由 m0，解得 ，故 综上所述 解法二：由（i）可知 x10，x 2 ，当 k 时，得 A（0， c） ，由已知得 C（0， c） 由椭圆的对称性可知 B，F 2，C
38、 三点共线，因为点 H（m，n）在AF 1C 的外接圆上，且 F1AF 2B，所以四边形 AF1CH 为等腰梯形由直线 F2B 的方程为 y （x c） ，知点 H 的坐标为（m， m c） 因为|AH|CF 1|，所以 m2+（ m c c） 2a 2，解得 mc（舍） ，或 m c则 n ，所以 【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应用，考查逻辑思维能力与运算求解能力，是难题20 （14 分）已知函数 f（x ） ax+（a1）lnx，g（x）bxlnx 的最大值为 （1）求实数 b 的值；（2）当 a1 时，讨论函数 f（x ）的单调性；（3）当 a0 时，令 F（
39、x ）2f （x）+g（x）+2lnx+2，是否存在区间m ，n（1，+ ） ，使得函数 F（x）在区间 m，n 上的值域为k（m+2） ，k（n+2） ？若存在，求实数 k 的取值范围；若不存在，请说明理由【分析】 （1）求出函数的导数，得到函数的单调区间，求出函数的最大值，得到关于 b第 25 页（共 26 页）的方程，解出即可；（2）求出函数的导数，通过讨论 a 的范围，求出函数的单调区间即可；（3）假设存在，问题转化为关于 x 的方程 x2xlnx +2k （x +2）在区间（1，+ ）内是否存在两个不相等的实根，即方程 k 在区间（1，+）内是否存在两个不相等的实根，令 h（x） ，
40、x（1，+） ，根据函数的单调性判断即可【解答】解：（1）函数 g（x）bxlnx 的最大值为 ，x0，g（x ）lnx1 ，由 g（x）lnx 10，得 x ，当 x（0， ）时， g（x）0，当 x（ ，+）时，g（x）0，g（x） maxg（ ）b ln（ ）b+ ，解得 b0（2）f（x）的定义域是（ 0，+） ，f（x）xa+ ，a1 1 即 a2 时，f（x） ，故 f（x）在（0，+ ）递增，若 a 11，而 a1，故 1a2，则当 x（a1 ，1）时，f（x）0，x（0，a1） ， （1，+）时，f（x）0，故 f（x）在（a 1，1）递减，在（0，a1） ， （1，+）递增，
41、若 a 11，即 a2 时，同理 f（x）在（1，a1）递减，在（ 0，1） ，（a1，+）递增；（3）由（1）知 F（x ）x 2 xlnx+2，故 F（x） 2xlnx 1，令 （x ）F（x）2xlnx1，则 （ x）2 0 对x （1，+）恒成立，故 F（x）在区间（ 1，+ ）内递增；第 26 页（共 26 页）故 F（x） F（1）10 恒成立，故函数 F（x）在区间（ 1，+）递增，假设存在区间m，n （1，+） ，使得函数 F（x）在区间m，n 上的值域是k（m+2） ，k（n+2） ，则 ，问题转化为关于 x 的方程 x2xlnx +2k（x+2）在区间（1，+ ）内是否存在两个不相等的实根，即方程 k 在区间（1，+）内是否存在两个不相等的实根，令 h（x） ，x（1，+） ，则 h（x） ，令 p（x）x 2+3x42lnx，则 p（x）2x +3 0 对 x（1，+）恒成立，故函数 p（x）在区间（1，+）递增，故 p（x）p（1）0 恒成立，故 h（x）0，h（x ）在（ 1，+）递增，故方程 k 在区间（1，+）内不存在两个不相等的实根，综上，不存在区间m，n （ 1，+） ，使得函数 F（x）在区间m，n 上的值域为k（m+2） ，k（n+2 ） 【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想、考查转化思想，是一道综合题
