1、第 1 页（共 23 页）南开区 2020 届上学期九年级 9 月考试数学试卷一、选择题1下列方程中是一元二次方程是（ ）A B2x+67 Cx 2+y25 D3x 25x+202如图，是中心对称图形的是（ ）A BC D3某学习小组的 6 名同学在一次数学竞赛中的成绩分别是 94 分、98 分、90 分、94 分、80 分、74 分，则下列结论正确的是（ ）A中位数是 90 分 B众数是 94 分C平均分是 91 分 D方差是 204如果 a、b 同号，那么二次函数 yax 2+bx+1 的大致图象是（ ）A BC D5已知二次函数 y2（x 3） 2+1，下列说法正确的是（ ）A开口向上，
2、顶点坐标（3 ，1）B开口向下，顶点坐标（3， 1）C开口向上，顶点坐标（ 3，1）D开口向下，顶点坐标（ 3，1）第 2 页（共 23 页）6函数 y3x+k 2 的图象不经过第二象限，则 k 的取值范围是（ ）Ak2 Bk2 Ck2 Dk 27如图，ODC 是由OAB 统点 O 顺时针旋转 30后得到的图形，若点 D 恰好落在 AB 上，则A 的度数为（ ）A70 B75 C60 D658受国际金融危机影响，市自来水公司号召全市市民节约用水决定采取月用水量分段收费办法，某户居民应交水费 y（元）与用水量 x（吨）的函数关系如图所示若该用户本月用水 21 吨，则应交水费（ ）A52.5 元
3、B45 元 C42 元 D37.8 元9在函数 y （a 为常数）的图象上有三个点（ 1，y 1） ， （ ，y 2） ， （ ，y 3） ，则函数值y1、y 2、y 3 的大小关系是（ ）Ay 2y 1y 3 By 3y 2y 1 Cy 1y 2y 3 Dy 3y 1y 210如图，四边形 ABCD 是菱形，AC6，BD 8，AHBC 于 H，则 AH 等于（ ）A B4 C D511如图，直线 y x+4 与 x 轴、y 轴分别交于点 A 和点 B，点 C、D 分别为线段 AB、OB 的中点，点P 为 OA 上一动点，当 PC+PD 最小时，点 P 的坐标为（ ）第 3 页（共 23 页）
4、A （3，0） B （6，0） C （ ，0） D （ ，0）12如图，在正方形 ABCD 中，AB3，点 EF 分别在 CD，AD 上，CEDF ，BE，CF 相交于点 G若图中阴影部分的面积与正方形 ABCD 的面积之比为 2：3，则BCG 的周长为（ ）A7 B3+ C8 D3+二、填空题13已知函数 yx 2+2x+3，当 时，函数 y 随 x 增大而减小14在一个不透明的盒子里装有 4 个黑球和若干个白球，它们除颜色外完全相同，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复，共摸球 40 次，其中 10 次摸到黑球，则估计盒子中大约有 个白球15若 x0 是关于 x 的
5、一元二次方程（m +2）x 23x+m 240 的一个根，则 m 的值为 16如图，Rt ABC 中，C90，以斜边 AB 为边向外作正方形 ABDE，且正方形对角线交于点 O，连接 OC，已知 AC5，OC6 ，则另一直角边 BC 的长为 17如图，在矩形 ABCD 中，AD AB，BAD 的平分线交 BC 于点 E，DHAE 于点 H，连接 BH 并延长交 CD 于点 F，连接 DE 交 BF 于点 O，下列结论：AEDCED；OEOD；BH HF；BC CF 2HE ； ABHF，第 4 页（共 23 页）其中正确的有 18如图，在每个小正方形边长为 1 的网格中，点 A，B，C 均在格
6、点上（）AC 的长度等于 ；（）在图中有一点 P，若连接 AP，PB，PC，满足 AP 平分A，且 PCPB，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出点 P，并简要说明点 P 的位置是如何找到的（不要求证明） 三、解答题19解下列方程：（1）x 24x10（配方法）（2） （x+4） 25（x +4）20箱子里有 4 瓶牛奶，其中有一瓶是过期的现从这 4 瓶牛奶中不放回地任意抽取 2 瓶（1）请用树状图或列表法把上述所有等可能的结果表示出来；（2）求抽出的 2 瓶牛奶中恰好抽到过期牛奶的概率第 5 页（共 23 页）21如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于 A（3，1） 、B（m，3）
7、两点，（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）写出使一次函数的值大于反比例函数的 x 的取值范围；（3）连接 AO、BO，求ABO 的面积22如图，以ABC 的三边为边在 BC 的同一侧分别作三个等边三角形，即ABD、BCE 、ACF，请回答下列问题：（1）四边形 ADEF 是什么四边形？（2）当ABC 满足什么条件时，四边形 ADEF 是矩形？（3）当ABC 满足什么条件时，以 A、D、E、F 为顶点的四边形不存在？第 6 页（共 23 页）23某房地产开发公司计划建 A、B 两种户型的经济适用住房共 80 套，该公司所筹资金不少于 2090 万元，但不超过 2096 万元，且所筹资金全
8、部用于建房，两种户型的建房成本和售价如表：（1）该公司对这两种户型住房有哪几种建房方案？（2）若该公司所建的两种户型住房可全部售出，利用函数的知识说明采取哪一种建房方案获得利润最大？并求出最大利润A B成本（万元/套） 25 28售价（万元/套） 30 3424已知：如图 1，在平面直角坐标系中，直线 1：yx+4 与坐标轴分别相交于点 A、B 与 2：y x相交于点 C（1）求点 C 的坐标；（2）若平行于 y 轴的直线 xa 交于直线 1 于点 E，交直线 l2 于点 D，交 x 轴于点 M，且 ED2DM，求 a 的值；（3）如图 2，点 P 是第四象限内一点，且BPO135，连接 AP
9、，探究 AP 与 BP 之间的位置关系，并证明你的结论第 7 页（共 23 页）答案与解析一、选择题1下列方程中是一元二次方程是（ ）A B2x+67 Cx 2+y25 D3x 25x+20【解答】解：A、不是整式方程，故错误B、是一元一次方程，故错误；C、方程含有两个未知数，故错误；D、符合一元二次方程的定义，正确；故选：D2如图，是中心对称图形的是（ ）A BC D【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；B、不是中心对称图形，故此选项错误；C、是中心对称图形，故此选项正确；D、不是中心对称图形，故此选项错误；故选：C3某学习小组的 6 名同学在一次数学竞赛中的成绩分别是 94 分、
10、98 分、90 分、94 分、80 分、74 分，则下列结论正确的是（ ）A中位数是 90 分 B众数是 94 分C平均分是 91 分 D方差是 20【解答】解：A、这组数据按从小到大排列为：74、80、90、94、94、98，所以这组数据的中位数为92（分） ，所以 A 选项错误；B、这组数据的众数为 94（分） ，所以 B 选项正确；C、这组数据的平均分： （ 94+98+90+94+80+74）88.3 （分） ，所以 C 选项错误；第 8 页（共 23 页）D、方差 （9488） 2+（9888） 2+（9088） 2+（9488） 2+（7488） 2+（8088） 273，所以 D
11、 选项错误故选：B4如果 a、b 同号，那么二次函数 yax 2+bx+1 的大致图象是（ ）A BC D【解答】解：a0，b0 时，抛物线开口向上，对称轴 x 0，在 y 轴左边，与 y 轴正半轴相交，a0，b0 时，抛物线开口向下，对称轴 x 0，在 y 轴左边，与 y 轴正半轴坐标轴相交，D 选项符合故选：D5已知二次函数 y2（x 3） 2+1，下列说法正确的是（ ）A开口向上，顶点坐标（3 ，1）B开口向下，顶点坐标（3， 1）C开口向上，顶点坐标（ 3，1）D开口向下，顶点坐标（ 3，1）【解答】解：y2（x3） 2+1，抛物线开口向上，顶点坐标为（3，1） ，故选：A6函数 y3
12、x+k 2 的图象不经过第二象限，则 k 的取值范围是（ ）Ak2 Bk2 Ck2 Dk 2【解答】解：一次函数 y3x+k 2 的图象不经过第二象限，第 9 页（共 23 页）则可能是经过一三象限或一三四象限，经过一三象限时，k20；经过一三四象限时，k20故 k2故选：A7如图，ODC 是由OAB 统点 O 顺时针旋转 30后得到的图形，若点 D 恰好落在 AB 上，则A 的度数为（ ）A70 B75 C60 D65【解答】解：由题意得AOD30、OA OD，AADO 75，故选：B8受国际金融危机影响，市自来水公司号召全市市民节约用水决定采取月用水量分段收费办法，某户居民应交水费 y（元
13、）与用水量 x（吨）的函数关系如图所示若该用户本月用水 21 吨，则应交水费（ ）A52.5 元 B45 元 C42 元 D37.8 元【解答】解：设直线 AB 解析式为 ykx+b，把（15，27） （20，39.5）代入得： ，解之得： 即 y2.5x10.5，当 x21 时，y42故选：C9在函数 y （a 为常数）的图象上有三个点（ 1，y 1） ， （ ，y 2） ， （ ，y 3） ，则函数值y1、y 2、y 3 的大小关系是（ ）Ay 2y 1y 3 By 3y 2y 1 Cy 1y 2y 3 Dy 3y 1y 2第 10 页（共 23 页）【解答】解：反比例函数的比例系数为 a
14、2+10，图象的两个分支在一、三象限，且在每个象限 y 随 x 的增大而减小，1 0，点（1，y 1） ， （ ，y 2）在第三象限，y 2y 10， 0，点（ ，y 3）在第一象限，y 30，y 2y 1y 3故选：A10如图，四边形 ABCD 是菱形，AC6，BD 8，AHBC 于 H，则 AH 等于（ ）A B4 C D5【解答】解：四边形 ABCD 是菱形，CO AC 3，BO BD4，AO BO，BC5，S 菱形 ABCD ACBD 6824，S 菱形 ABCDBCAH，BCAH24，AH故选：C11如图，直线 y x+4 与 x 轴、y 轴分别交于点 A 和点 B，点 C、D 分别
15、为线段 AB、OB 的中点，点P 为 OA 上一动点，当 PC+PD 最小时，点 P 的坐标为（ ）第 11 页（共 23 页）A （3，0） B （6，0） C （ ，0） D （ ，0）【解答】解：（方法一）作点 D 关于 x 轴的对称点 D，连接 CD交 x 轴于点 P，此时 PC+PD 值最小，如图所示令 y x+4 中 x0，则 y 4，点 B 的坐标为（0，4） ；令 y x+4 中 y0，则 x+40，解得：x6，点 A 的坐标为（6，0） 点 C、D 分别为线段 AB、OB 的中点，点 C（3，2） ，点 D（0，2） 点 D和点 D 关于 x 轴对称，点 D的坐标为（0，2）
16、 设直线 CD的解析式为 ykx+b，直线 CD过点 C（3，2 ） ，D（0，2） ，有 ，解得： ，直线 CD的解析式为 y x2第 12 页（共 23 页）令 y x2 中 y0，则 0 x2，解得：x ，点 P 的坐标为（ ，0） 故选 C（方法二）连接 CD，作点 D 关于 x 轴的对称点 D，连接 CD交 x 轴于点 P，此时 PC+PD 值最小，如图所示令 y x+4 中 x0，则 y 4，点 B 的坐标为（0，4） ；令 y x+4 中 y0，则 x+40，解得：x6，点 A 的坐标为（6，0） 点 C、D 分别为线段 AB、OB 的中点，点 C（3，2） ，点 D（0，2）
17、，CDx 轴，点 D和点 D 关于 x 轴对称，点 D的坐标为（0，2） ，点 O 为线段 DD的中点又OPCD，点 P 为线段 CD的中点，点 P 的坐标为（ ，0） 故选：C12如图，在正方形 ABCD 中，AB3，点 EF 分别在 CD，AD 上，CEDF ，BE，CF 相交于点 G若图中阴影部分的面积与正方形 ABCD 的面积之比为 2：3，则BCG 的周长为（ ）第 13 页（共 23 页）A7 B3+ C8 D3+【解答】解：阴影部分的面积与正方形 ABCD 的面积之比为 2：3，阴影部分的面积为 96，空白部分的面积为 963，由 CEDF，BCCD，BCECDF90，可得BCE
18、 CDF，BCG 的面积与四边形 DEGF 的面积相等，均为 3 ，CBEDCF，DCF+BCG90，CBG+BCG90，即BGC90，设 BGa，CGb，则 ab ，又a 2+b23 2，a 2+2ab+b29+6 15，即（a+b） 215，a+b ，即 BG+CG ，BCG 的周长 +3，故选：D二、填空题13已知函数 yx 2+2x+3，当 x 1 时，函数 y 随 x 增大而减小【解答】解：函数 yx 2+2x+3（x 1） 2+4，该函数开口向下，当 x1 时，y 随 x 的增大而减小，故答案为：x114在一个不透明的盒子里装有 4 个黑球和若干个白球，它们除颜色外完全相同，摇匀后
19、从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复，共摸球 40 次，其中 10 次摸到黑球，则估计盒子中大约有 12 个白球【解答】解：共试验 40 次，其中有 10 次摸到黑球，第 14 页（共 23 页）白球所占的比例为 ，设盒子中共有白球 x 个，则 ，解得：x12故答案为：1215若 x0 是关于 x 的一元二次方程（m +2）x 23x+m 240 的一个根，则 m 的值为 2 【解答】解：把 x0 代入方程（m +2）x 23x+m 240 得到 m240，解得：m2，m20m2，故答案为：216如图，Rt ABC 中，C90，以斜边 AB 为边向外作正方形 ABDE，且正方
20、形对角线交于点 O，连接 OC，已知 AC5，OC6 ，则另一直角边 BC 的长为 7 【解答】解法一：如图 1 所示，过 O 作 OFBC ，过 A 作 AMOF ，四边形 ABDE 为正方形，AOB90，OA OB，AOM+BOF90，又AMO90，AOM+ OAM90，BOFOAM，在AOM 和BOF 中，AOMBOF（AAS） ，AMOF ，OMFB，又ACBAMFCFM90，第 15 页（共 23 页）四边形 ACFM 为矩形，AMCF，ACMF 5，OFCF，OCF 为等腰直角三角形，OC6 ，根据勾股定理得：CF 2+OF2OC 2，解得：CFOF6，FBOM OFFM 651，
21、则 BCCF+BF6+17故答案为：7解法二：如图 2 所示，过点 O 作 OMCA，交 CA 的延长线于点 M；过点 O 作 ONBC 于点 N易证OMAONB，OM ON，MA NB O 点在ACB 的平分线上，OCM 为等腰直角三角形OC6 ，CMON6MACMAC 651，BCCN+NB6+17故答案为：7第 16 页（共 23 页）17如图，在矩形 ABCD 中，AD AB，BAD 的平分线交 BC 于点 E，DHAE 于点 H，连接 BH 并延长交 CD 于点 F，连接 DE 交 BF 于点 O，下列结论：AEDCED；OEOD；BH HF；BC CF 2HE ； ABHF，其中正
22、确的有 【解答】解：在矩形 ABCD 中，AE 平分BAD ，BAE DAE45，ABE 是等腰直角三角形，AE AB，AD AB，AEAD ，在ABE 和AHD 中，ABE AHD（AAS ） ，BEDH，ABBEAHHD，ADEAED （18045）67.5，CED1804567.567.5，AEDCED，故 正确；第 17 页（共 23 页）AHB （18045）67.5，OHEAHB（对顶角相等） ，OHE AED，OEOH ，DOH9067.522.5，ODH67.54522.5，DOHODH，OHOD，OEOD OH ，故 正确；EBH9067.522.5，EBHOHD，又BEDH
23、，AEBHDF45在BEH 和HDF 中BEHHDF（ASA） ，BHHF ，HEDF，故正确；由上述 、可得 CDBE、DFEH CE，CF CDDF，BCCF（CD+ HE）（ CDHE）2HE ，所以正确；ABAH ，BAE 45，ABH 不是等边三角形，ABBH ，即 ABHF ，故错误；综上所述，结论正确的是故答案为：18如图，在每个小正方形边长为 1 的网格中，点 A，B，C 均在格点上（）AC 的长度等于 5 ；（）在图中有一点 P，若连接 AP，PB，PC，满足 AP 平分A，且 PCPB，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出点 P，并简要说明点 P 的位置是如何找到的（
24、不要求证明） 取格点O、E、F ，M ， N，作射线 AO，连接 EF，MN 交网格线于 H，Q，HQ 与射线 AO 的交点于点 P，点 P即为所求 第 18 页（共 23 页）【解答】解：（）AC ，故答案为：5；（2）如图所示：点 P 即为所求：故答案为：取格点 O、E、F，M ，N ，作射线 AO，连接 EF，MN 交网格线于 H，Q，HQ 与射线 AO的交点于点 P，点 P 即为所求三、解答题19解下列方程：（1）x 24x10（配方法）（2） （x+4） 25（x +4）【解答】解：（1）x 24x10，x24x1，x 24x+45 ，（x2） 25，x2 ；（2）（x+4） 25（
25、x +4）（x+4） 25（x +4）0，（x+45） （x +4）0，x1 或 x4；20箱子里有 4 瓶牛奶，其中有一瓶是过期的现从这 4 瓶牛奶中不放回地任意抽取 2 瓶（1）请用树状图或列表法把上述所有等可能的结果表示出来；（2）求抽出的 2 瓶牛奶中恰好抽到过期牛奶的概率第 19 页（共 23 页）【解答】解：（1）设这四瓶牛奶分别记为 A、B、C 、D，其中过期牛奶为 A，画树状图如图所示，由图可知，共有 12 种等可能结果；（2）由树状图知，所抽取的 12 种等可能结果中，抽出的 2 瓶牛奶中恰好抽到过期牛奶的有 6 种结果，所以抽出的 2 瓶牛奶中恰好抽到过期牛奶的概率为 21
26、如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于 A（3，1） 、B（m，3）两点，（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）写出使一次函数的值大于反比例函数的 x 的取值范围；（3）连接 AO、BO，求ABO 的面积【解答】解：（1）设一次函数的解析式为 ykx+b（k0） ，反比例函数的解析式为 y （a0） ，把 A（3，1）代入 y 得：a3，即反比例函数的解析式为 y ，把 B（m，3）代入 y 得：3 ，解得：m1，即 B 的坐标为（1，3） ，把 A、B 的坐标代入 ykx+ b 得： ，解得：k1，b4，即一次函数的解析式为 yx +4；第 20 页（共 23 页）（2）函数 y
27、和 yx+4 的交点为 A（3，1） 、B （1，3） ，使一次函数的值大于反比例函数的 x 的取值范围是3x1 或 x0；（3）设一次函数 yx +4 和 x 轴的交点为 N，和 y 轴的交点为 M，当 x0 时，y4，当 y0 时， x4，即 OM 4，ON4，A（3，1） 、B（1，3） ，ABO 的面积为 SMON S BOM S AON 44 41 41422如图，以ABC 的三边为边在 BC 的同一侧分别作三个等边三角形，即ABD、BCE 、ACF，请回答下列问题：（1）四边形 ADEF 是什么四边形？（2）当ABC 满足什么条件时，四边形 ADEF 是矩形？（3）当ABC 满足什
28、么条件时，以 A、D、E、F 为顶点的四边形不存在？【解答】解：（1）四边形 ADEF 是平行四边形理由：ABD，EBC 都是等边三角形ADBD AB，BCBEECDBAEBC60DBE+EBAABC+ EBADBEABC在DBE 和ABC 中第 21 页（共 23 页）BDBADBEABCBEBC，DBEABCDEAC又ACF 是等边三角形，ACAFDEAF同理可证：ADEF ，四边形 ADEF 平行四边形（2）四边形 ADEF 是矩形，FAD90BAC360DAFDABFAC360906060150BAC150时，四边形 ADEF 是矩形（3）当BAC60时，以 A，D，E，F 为顶点的四
29、边形不存在理由如下：若BAC60，则DAF360BAC DAB FAC360606060180此时，点 A、D、E、F 四点共线，以 A、D、E、F 为顶点的四边形不存在23某房地产开发公司计划建 A、B 两种户型的经济适用住房共 80 套，该公司所筹资金不少于 2090 万元，但不超过 2096 万元，且所筹资金全部用于建房，两种户型的建房成本和售价如表：（1）该公司对这两种户型住房有哪几种建房方案？（2）若该公司所建的两种户型住房可全部售出，利用函数的知识说明采取哪一种建房方案获得利润最大？并求出最大利润A B成本（万元/套） 25 28售价（万元/套） 30 34【解答】解：（1）设建造
30、 A 型的住房 x 套，则建造 B 型住房（80x）套，第 22 页（共 23 页），解得，48x50，x 为整数，x48，49，50，共有三种建房方案，方案一：建造 A 型的住房 48 套，建造 B 型住房 32 套，方案二：建造 A 型的住房 49 套，建造 B 型住房 31 套，方案三：建造 A 型的住房 50 套，建造 B 型住房 30 套；（2）设利润为 w 元，w（3025）x +（3428） （ 80x ）x+480，48x50，当 x48 时，w 取得最大值，此时 w48+480432，80x 32，答：采用建房方案一：建造 A 型的住房 48 套，建造 B 型住房 32 套，
31、可以获得利润最大，最大利润是432 万元24已知：如图 1，在平面直角坐标系中，直线 1：yx+4 与坐标轴分别相交于点 A、B 与 2：y x相交于点 C（1）求点 C 的坐标；（2）若平行于 y 轴的直线 xa 交于直线 1 于点 E，交直线 l2 于点 D，交 x 轴于点 M，且 ED2DM，求 a 的值；（3）如图 2，点 P 是第四象限内一点，且BPO135，连接 AP，探究 AP 与 BP 之间的位置关系，并证明你的结论【解答】解：（1）联立两直线解析式得： ，第 23 页（共 23 页）解得： ，则 C 坐标为（3，1） ；（2）由题意：M（a，0）D（a， a） E（a，a+4）DE2DM| a（a +4）|2| a|解得 a2 或 6（3）如图 2 中，过 O 作 OQOP ，交 BP 的延长线于点 Q，可得POQ 90，BPO135，OPQ 45 ，QOPQ45，POQ 为等腰直角三角形，OPOQ ，AOBPOQ90，AOB+BOP POQ+POB，即AOPBOQ，OAOB 4， ，AOPBOQ，APOBQO45，APB BPOAPO 90，则 APBP
