1、第 1 页（共 18 页）武汉市江岸区 2019-2020 学年上学期九年级 9 月月考数学试卷一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）1 （3 分）下列方程中，是一元二次方程的是（ ）Ax 2+2x40 B6x 2+26x 2xC3x+20 Dx 2+2xy3y 202 （3 分）若 x1，x 2 是一元二次方程 x22x30 的两个根，则 x1x2 的值是（ ）A3 B3 C2 D23 （3 分）某旅游景点 8 月份共接待游客 25 万人次，10 月份共接待游客 64 万人次设每月的平均增长率为 x，则可列方程为（ ）A25（1+x） 264 B25（1x） 264C64（1+x） 22
2、5 D64（1 x） 2254 （3 分）要得到二次函数 yx 2+2x2 的图象，需将 yx 2 的图象（ ）A向左平移 2 个单位，再向下平移 2 个单位B向右平移 2 个单位，再向上平移 2 个单位C向左平移 1 个单位，再向上平移 1 个单位D向右平移 1 个单位，再向下平移 1 个单位5 （3 分）对于抛物线 y （x1） 23 的说法错误的是（ ）A抛物线的开口向下B抛物线的顶点坐标是（1， 3）C抛物线的对称轴是直线 x1D当 x1 时，y 随 x 的增大而增大6 （3 分）已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程 x26x+80 的根，则该三角形的周长为（ ）A8 B10
3、C8 或 10 D127 （3 分）关于 x 的方程（a5）x 24x 10 有实数根，则 a 满足（ ）Aa1 Ba1 且 a5 Ca1 且 a5 Da58 （3 分）8 月 23 号到校前，小希将收到学校的一条短信通知发给若干同学，每个收到的同学又给相同数量的同学转发了这条短信，此时收到这条短信的同学共有 157 人，小希给（ ）个同学发了短第 2 页（共 18 页）信A10 B11 C12 D139 （3 分）在平面直角坐标系中，二次函数 yx 2+2x3 的图象如图所示，点 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2）是该二次函数图象上的两点，其中3x 1x 20，则下列结论正确的是（
4、 ）Ay 1y 2 By 1y 2Cy 的最小值是3 Dy 的最小值是 410 （3 分）对于每个非零自然数 n，抛物线 yx 2 x+ 与 x 轴交于 An，B n 两点，以 AnBn表示这两点间的距离，则 A1B1+A2B2+A3B3+A2019B2019 的值是（ ）A B C D二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）11 （3 分）函数 y（m 23m +2）x 2+mx+1，则当 m 时，它为正比例函数；当 m 时，它为一次函数；当 m 时，它为二次函数12 （3 分）如图，抛物线 yx 2+2x+3 与 y 轴交于点 C，点 D（0，1） ，点 P 是抛物线上的动点，若PCD
5、是以 CD 为底的等腰三角形，则点 P 的坐标为 13 （3 分）若关于 x 的一元二次方程 kx2+2（k+1）x+k10 有两个实数根，则 k 的取值范围是 14 （3 分）已知二次函数 y3（x1） 2+k 的图象上有三点 A（1，y 1） ，B（2，y 2） ，C （5，y 3） ，则y1，y 2，y 3 的大小关系为 15 （3 分）已知 a26a50 和 b26b50 中，ab，则 的值是 16 （3 分）已知二次函数 y（x2a） 2+（a1） （a 为常数） ，当 a 取不同的值时，其图象构成一个第 3 页（共 18 页）“抛物线系” 如图分别是当 a1，a0，a1，a2 时二
6、次函数的图象它们的顶点在一条直线上，这条直线的解析式是 y 三、解答题（共 8 小题，满分 72 分）17 （8 分）解方程：（1） （x2） 2（2x +3） 2（用合适的方法）（2）3x 24 x+20（用公式法解）18 （8 分）将二次函数一般式：y x26x +21 用配方法化成顶点式 ya（xh） 2+k 的形式，并指出其对称轴，顶点坐标，增减性19 （8 分）已知 x1，x 2 是方程 2x25x+10 的两个实数根，求下列各式的值：（1）x 1x22+x12x2（2） （x 1x 2） 220 （8 分）要修一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，使喷出
7、的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为 1m 处达到最高，高度为 3m，水柱落地处离池中心 3m，水管应多长？21 （8 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2（2k +1）x+4k30（1）求证：无论 k 取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）当一矩形 ABCD 的对角线长为 AC ，且矩形两条边 AB 和 BC 恰好是这个方程的两个根时，求矩形 ABCD 的周长22 （10 分）如图，利用一面长为 34 米的墙，用铁栅栏围成一个矩形自行车场地 ABCD，在 AB 和 BC 边第 4 页（共 18 页）各有一个 2 米宽的小门（不用铁栅栏）设矩形 ABCD 的边 AD 长为 x 米
8、，AB 长为 y 米，矩形的面积为S 平方米，且 xy （1）若所用铁栅栏的长为 40 米，求 y 与 x 的函数关系式，并直接写出自变量 x 的取值范围：（2）在（1）的条件下，求 S 与 x 的函数关系式，并求出怎样围才能使矩形场地的面积为 192 平方米？23 （10 分）已知：如图，正方形 ABCD，点 E 是 DC 边上的一动点，过点 C 作 AE 的垂线交 AE 延长线于点 F，过 D 作 DHCF ，垂足为 H，点 O 是 AC 中点，连 HO（1）如图 1，当CAEDAE 时，证明：AE2CF；（2）如图 2，当点 E 在 DC 上运动时，线段 AF 与线段 HO 之间是否存在
9、确定的数量关系？若存在，证明你发现的结论：若不存在，请说明理由；（3）当 E 为 DC 中点时，AC 2 ，直接写出 AF 的长 24 （12 分）如图，已知抛物线 C1：y a（x+2） 25 的顶点为 P，与 x 轴相交于 A、B 两点（点 A 在点B 的左边） ，点 B 的横坐标是 1（1）求 P 点坐标及 a 的值；（2）如图（1） ，抛物线 C2 与抛物线 C1 关于 x 轴对称，将抛物线 C2 向右平移，平移后的抛物线记为C3，C 3 的顶点为 M，当点 P、M 关于点 B 成中心对称时，求 C3 的解析式；（3）如图（2） ，点 Q 是 x 轴正半轴上一点，将抛物线 C1 绕点
10、Q 旋转 180后得到抛物线 C4抛物线C4 的顶点为 N，与 x 轴相交于 E、F 两点（点 E 在点 F 的左边） ，当以点 P、N 、F 为顶点的三角形是直角三角形时，求点 Q 的坐标第 5 页（共 18 页）第 6 页（共 18 页）2019-2020 学年湖北省武汉六中上智中学九年级（上）月考数学试卷（9 月份）参考答案与试题解析一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）1 （3 分）下列方程中，是一元二次方程的是（ ）Ax 2+2x40 B6x 2+26x 2xC3x+20 Dx 2+2xy3y 20【解答】解：A、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项正确；B、由原方程得到 x+
11、20，未知数的最高次数是 1，属于一元一次方程，故本选项错误；C、该方程中未知数的最高次数是 1，属于一元一次方程，故本选项错误；D、该方程中含有 2 个未知数，属于二元二次方程，故本选项错误；故选：A2 （3 分）若 x1，x 2 是一元二次方程 x22x30 的两个根，则 x1x2 的值是（ ）A3 B3 C2 D2【解答】解：x 1，x 2 是一元二次方程 x22x30 的两个根，x 1x2 3故选：B3 （3 分）某旅游景点 8 月份共接待游客 25 万人次，10 月份共接待游客 64 万人次设每月的平均增长率为 x，则可列方程为（ ）A25（1+x） 264 B25（1x） 264C
12、64（1+x） 225 D64（1 x） 225【解答】解：设每月的平均增长率为 x，依题意得：25（1+x） 264故选：A4 （3 分）要得到二次函数 yx 2+2x2 的图象，需将 yx 2 的图象（ ）A向左平移 2 个单位，再向下平移 2 个单位B向右平移 2 个单位，再向上平移 2 个单位C向左平移 1 个单位，再向上平移 1 个单位第 7 页（共 18 页）D向右平移 1 个单位，再向下平移 1 个单位【解答】解：原抛物线的顶点坐标为（0，0） ，新抛物线的顶点坐标为（1，1） ，将原抛物线向右平移 1 个单位，再向下平移 1 个单位可得到新抛物线故选：D5 （3 分）对于抛物线
13、 y （x1） 23 的说法错误的是（ ）A抛物线的开口向下B抛物线的顶点坐标是（1， 3）C抛物线的对称轴是直线 x1D当 x1 时，y 随 x 的增大而增大【解答】解：y （x 1） 23 中 a 0，开口向下，顶点坐标为（1，3） ，对称轴为x1，当 x1 时，y 随着 x 的增大而减小故选：D6 （3 分）已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程 x26x+80 的根，则该三角形的周长为（ ）A8 B10 C8 或 10 D12【解答】解：x 26x +80（x4） （x2）0x 14，x 22，由三角形的三边关系可得：腰长是 4，底边是 2，所以周长是：4+4+210故选：B7
14、（3 分）关于 x 的方程（a5）x 24x 10 有实数根，则 a 满足（ ）Aa1 Ba1 且 a5 Ca1 且 a5 Da5【解答】解：分类讨论：当 a 50 即 a5 时，方程变为4x10，此时方程一定有实数根；当 a 50 即 a5 时，关于 x 的方程（a5）x 24x 10 有实数根16+4（a5）0，第 8 页（共 18 页）a1a 的取值范围为 a1故选：A8 （3 分）8 月 23 号到校前，小希将收到学校的一条短信通知发给若干同学，每个收到的同学又给相同数量的同学转发了这条短信，此时收到这条短信的同学共有 157 人，小希给（ ）个同学发了短信A10 B11 C12 D1
15、3【解答】解：设小希给 x 个同学发了短信，依题意，得：1+x+x 2157，解得：x 113，x 212故选：C9 （3 分）在平面直角坐标系中，二次函数 yx 2+2x3 的图象如图所示，点 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2）是该二次函数图象上的两点，其中3x 1x 20，则下列结论正确的是（ ）Ay 1y 2 By 1y 2Cy 的最小值是3 Dy 的最小值是 4【解答】解：yx 2+2x3（ x+3） （x1） ，则该抛物线与 x 轴的两交点横坐标分别是3、1又 yx 2+2x3（x+1 ） 2 4，该抛物线的顶点坐标是（1，4） ，对称轴为 x1A、无法确定点 A、B 离对
16、称轴 x1 的远近，故无法判断 y1 与 y2 的大小，故本选项错误；B、无法确定点 A、B 离对称轴 x1 的远近，故无法判断 y1 与 y2 的大小，故本选项错误；C、y 的最小值是4，故本选项错误；D、y 的最小值是4，故本选项正确故选：D10 （3 分）对于每个非零自然数 n，抛物线 yx 2 x+ 与 x 轴交于 An，B n 两点，以 AnBn表示这两点间的距离，则 A1B1+A2B2+A3B3+A2019B2019 的值是（ ）第 9 页（共 18 页）A B C D【解答】解：当 y0 时，x 2 x+ 0，（x ） （x ）0，解得 x1 ，x 2 ，A n，B n 两点为（
17、 ，0） ， （ ，0） ，A nBn ，A 1B1+A2B2+A3B3+A2019B20191 + + + 1 故选：D二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）11 （3 分）函数 y（m 23m +2）x 2+mx+1，则当 m 1 或 2 时，它为正比例函数；当 m 1 或 2 时，它为一次函数；当 m m 1 且 m2 时，它为二次函数【解答】解：m 23m+20，则（m1） （m2）0，解得：m 11，m 22，故 m1 且 m2 时，它为二次函数；当 m1 或 2 时，它为一次函数；故答案为：1 或 2；1 或 2；m 1 且 m212 （3 分）如图，抛物线 yx 2+2x+3
18、 与 y 轴交于点 C，点 D（0，1） ，点 P 是抛物线上的动点，若PCD 是以 CD 为底的等腰三角形，则点 P 的坐标为 （1+ ，2）或（1 ，2） 【解答】解：当 x0 时，y x 2+2x+33，则 C（0，3） ，PCD 是以 CD 为底的等腰三角形，第 10 页（共 18 页）点 P 为直线 y2 与抛物线 yx 2+2x+3 的交点，当 y2 时，x 2+2x+32，解得 x11+ ，x 21 ，P 点坐标为（1+ ，2）或（1 ，2） 故答案为（1+ ，2）或（1 ，2） 13 （3 分）若关于 x 的一元二次方程 kx2+2（k+1）x+k10 有两个实数根，则 k 的
19、取值范围是 k，且 k0 【解答】解：ak，b2（k+1） ，c k1，4（k+1） 24k （k 1）3k+10，解得：k ，原方程是一元二次方程，k0故本题答案为：k ，且 k014 （3 分）已知二次函数 y3（x1） 2+k 的图象上有三点 A（1，y 1） ，B（2，y 2） ，C （5，y 3） ，则y1，y 2，y 3 的大小关系为 y 2y 1y 3 【解答】解：B（2，y 2） ，C （5，y 3） ，在对称轴的右侧，y 随 x 的增大而减小，25，y 2y 3，根据二次函数图象的对称性可知，A（1，y 1）中，与 D（3，y ）对称，可得 y1y 3，故 y2y 1y 3，
20、故答案是：y 2y 1y 315 （3 分）已知 a26a50 和 b26b50 中，ab，则 的值是 【解答】解：由已知可得：a、b 为方程 x26x50 的两个根，a+b6，ab5 ，故答案为： 16 （3 分）已知二次函数 y（x2a） 2+（a1） （a 为常数） ，当 a 取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系” 如图分别是当 a1，a0，a1，a2 时二次函数的图象它们的顶点在一条直线上，这条直线的解析式是 y 第 11 页（共 18 页）【解答】解：由已知得抛物线顶点坐标为（2a，a1） ，设 x2a，ya1 ，2，消去 a 得，x 2y2，即 y x1三、解答题（共 8 小题，
21、满分 72 分）17 （8 分）解方程：（1） （x2） 2（2x +3） 2（用合适的方法）（2）3x 24 x+20（用公式法解）【解答】解：（1） （x2） 2（2x+3） 2，（x2）（2x +3） ，x2（2x+3）或 x22 x+3，解得 x1 ，x 25；（2）3x 24 x+20，b24ac（4 ） 243224，x ，x1 ，x 2 18 （8 分）将二次函数一般式：y x26x +21 用配方法化成顶点式 ya（xh） 2+k 的形式，并指出其对称轴，顶点坐标，增减性【解答】解：y x26x +21 （x 6） 2+3，则该函数的对称轴是直线 x6，顶点坐标为（6，3） ，
22、当 x6 时，y 随 x 的增大而减小，当 x6 时，y 随 x 的增大而增大第 12 页（共 18 页）19 （8 分）已知 x1，x 2 是方程 2x25x+10 的两个实数根，求下列各式的值：（1）x 1x22+x12x2（2） （x 1x 2） 2【解答】解：x 1+x2 ，x 1x2 ，（1）原式x 1x2（x 1+x2） ；（2）原式（x 1+x2） 24x 1x2（ ） 24 20 （8 分）要修一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为 1m 处达到最高，高度为 3m，水柱落地处离池中心 3m，水管应多长？【解答
23、】解：以池中心为原点，竖直安装的水管为 y 轴，与水管垂直的为 x 轴建立直角坐标系由于在距池中心的水平距离为 1m 时达到最高，高度为 3m，则设抛物线的解析式为：ya（x1） 2+3（0x 3） ，代入（3，0）求得：a 将 a 值代入得到抛物线的解析式为：y （x1） 2+3（0x 3） ，令 x0，则 y 2.25故水管长为 2.25m21 （8 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2（2k +1）x+4k30（1）求证：无论 k 取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）当一矩形 ABCD 的对角线长为 AC ，且矩形两条边 AB 和 BC 恰好是这个方程的两个根时，求矩形
24、ABCD 的周长【解答】 （1）证明：（2k+1） 24（4k3）第 13 页（共 18 页）4k 2+4k+116k +124k 212k+13（2k3） 2+4，（2k3） 20，0，无论 k 取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）根据题意得 AB+BC2 k+1，ABBC 4k3，而 AB2+BC2AC 2（ ） 2，（2k+1） 22（4k 3）31，整理得 k2k60，解得 k13，k 22，而 AB+BC2k +10，ABBC4k30，k 的值为 2，AB+BC5，矩形 ABCD 的周长为 1022 （10 分）如图，利用一面长为 34 米的墙，用铁栅栏围成一个矩形自行
25、车场地 ABCD，在 AB 和 BC 边各有一个 2 米宽的小门（不用铁栅栏）设矩形 ABCD 的边 AD 长为 x 米，AB 长为 y 米，矩形的面积为S 平方米，且 xy（1）若所用铁栅栏的长为 40 米，求 y 与 x 的函数关系式，并直接写出自变量 x 的取值范围：（2）在（1）的条件下，求 S 与 x 的函数关系式，并求出怎样围才能使矩形场地的面积为 192 平方米？【解答】解：（1）y2x +44，自变量 x 的取值范围 5 x ；（2）S2x 2+44x，2x 2+44x192 解得 x16，x 216，x 216第 14 页（共 18 页）不合题意，舍去AD 长 6 米，AB
26、长 32 米23 （10 分）已知：如图，正方形 ABCD，点 E 是 DC 边上的一动点，过点 C 作 AE 的垂线交 AE 延长线于点 F，过 D 作 DHCF ，垂足为 H，点 O 是 AC 中点，连 HO（1）如图 1，当CAEDAE 时，证明：AE2CF；（2）如图 2，当点 E 在 DC 上运动时，线段 AF 与线段 HO 之间是否存在确定的数量关系？若存在，证明你发现的结论：若不存在，请说明理由；（3）当 E 为 DC 中点时，AC 2 ，直接写出 AF 的长 【解答】 （1）证明：如图 1，延长 AD、CH 交于 M，AFCF，AFCAFM90，DAECAE，AFAF，ACFA
27、MF（ASA） ，CFFM，CM2CF，四边形 ABCD 是正方形，ADCD，ADC90，ADCCDM90，ADEEFC90，AEDCEF，第 15 页（共 18 页）ECFEAD，ADECDM（ASA） ，AECM2CF；（2）解：AF OH，理由是：如图 2，过 O 作 ONDH 于 N，OM CH 于 M，连接 OD，OMH ONHMHN90，四边形 MONH 为矩形，MON90，四边形 ABCD 是正方形，ODOC，DOC90，MOCDON，OMCOND90，OMCOND（AAS） ，OM ON，矩形 MONH 是正方形，OH OM，ACF 中，OAOC，OMAF，CMFM，AF2OM
28、 ， ，即 AF OH；（3）ADEEFC 90，AEDCEF，ADECFE， 2，四边形 ABCD 是正方形，且 AC2 ，第 16 页（共 18 页）ADCD2，E 是 CD 的中点，DECE1，由勾股定理得：AE ，设 EFx，则 CF2x，CE x 1，x ，EF ，AF + ；故答案为： 24 （12 分）如图，已知抛物线 C1：y a（x+2） 25 的顶点为 P，与 x 轴相交于 A、B 两点（点 A 在点B 的左边） ，点 B 的横坐标是 1（1）求 P 点坐标及 a 的值；（2）如图（1） ，抛物线 C2 与抛物线 C1 关于 x 轴对称，将抛物线 C2 向右平移，平移后的抛
29、物线记为C3，C 3 的顶点为 M，当点 P、M 关于点 B 成中心对称时，求 C3 的解析式；（3）如图（2） ，点 Q 是 x 轴正半轴上一点，将抛物线 C1 绕点 Q 旋转 180后得到抛物线 C4抛物线C4 的顶点为 N，与 x 轴相交于 E、F 两点（点 E 在点 F 的左边） ，当以点 P、N 、F 为顶点的三角形是直角三角形时，求点 Q 的坐标【解答】解：（1）由抛物线 C1：y a（x+2） 25 得，顶点 P 的坐标为（2，5） ，点 B（1，0）在抛物线 C1 上，0a（1+2） 25，第 17 页（共 18 页）解得 a ；（2）连接 PM，作 PHx 轴于 H，作 MG
30、x 轴于 G，点 P、M 关于点 B 成中心对称，PM 过点 B，且 PBMB，PBHMBG，MG PH5 ，BGBH3，顶点 M 的坐标为（4，5） ， （也可以用中点坐标公式）抛物线 C2 由 C1 关于 x 轴对称得到，抛物线 C3 由 C2 平移得到，抛物线 C3 的表达式为 y （x4） 2+5；（3）抛物线 C4 由 C1 绕点 x 轴上的点 Q 旋转 180得到，顶点 N、P 关于点 Q 成中心对称，由（2）得点 N 的纵坐标为 5，设点 N 坐标为（m，5） ，作 PHx 轴于 H，作 NGx 轴于 G，作 PKNG 于 K，旋转中心 Q 在 x 轴上，EFAB2BH6，FG3，点 F 坐标为（m+3，0） H 坐标为（2，0） ，K 坐标为（m，5） ，顶点 P 的坐标为（2，5） ，根据勾股定理得：PN2NK 2+PK2m 2+4m+104，PF2PH 2+HF2m 2+10m+50，NF25 2+3234 ，当 PNF90时，PN 2+NF2PF 2，解得 m ，Q 点坐标为（ ，0） 第 18 页（共 18 页）当 PFN90时，PF 2+NF2PN 2，解得 m ，Q 点坐标为（ ，0） PN NK10NF，NPF90综上所得，当 Q 点坐标为（ ，0）或（ ，0）时，以点 P、N 、F 为顶点的三角形是直角三角形
