1、2.5 绝对值不等式最新考纲 考情考向分析1.会解|x b|c，|x b|c ，| xa| |x b|c，| xa| |xb|c 型不等式2.了解不等式|a|b|ab|a| b|.绝对值不等式的解法，利用绝对值不等式求最值是考查的重点；高考中绝对值不等式和数列、函数的结合是常见题型，解答题居多，难度为中高档.1绝对值三角不等式(1)定理 1：如果 a，b 是实数，则|ab| a|b| ，当且仅当 ab0 时，等号成立(2)定理 2：如果 a，b，c 是实数，那么|ac |ab| |bc|，当且仅当(ab)(bc )0 时，等号成立2绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式| x|a 的解集：不
2、等式 a0 a0 aa (，a)(a，) (，0)(0，) R(2)|ax b|c(c 0)和|ax b| c( c0)型不等式的解法：|ax b| cc axbc；|ax b| cax bc 或 axbc.概念方法微思考|x a|xb|c(c0)和| xa| |xb| c( c0)型不等式有哪些解法？各体现了什么数学思想？提示 (1)利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；(2)利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；(3)通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想题组一 思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打 “”或“”)(1)|x2|的几何意义是数
3、轴上坐标为 x 的点到点 2 的距离( )(2)|x|a 的解集是x |xa 或 x|ab| 恒成立( )题组二 教材改编2P20T7不等式 35；当2xa 23a 的解集为非空数集，则实数 a 的取值范围是( )A12 Da1 或 a2答案 B解析 (|x1|x3|) max2，a 23a0 时，因为|x t22| |xt 22t1| xt 22(xt 22t1)|2t1，要使原不等式无解， 则需3t2t1，解得 0 时，92 92|tm |maxm 4，即 m4m14，即 m ，不符合 题 意，92综上 m 的取值范围是 m .92思维升华 (1)恒成立问题可转化为函数的最值问题(2)和绝
4、对值有关的最值可以利用绝对值的性质进行改编或者化 为分段函数解决(3)和绝对值不等式有关的范围或最值问题，可利用绝对值的几何意义或绝对值三角不等式进行放缩(4)利用特殊点的函数值可探求范围；若函数解析式中含有 绝对值，也可化为分段函数跟踪训练 2 (2016浙江)已知 a3，函数 F(x)min2|x1| ，x 22ax4a2，其中minp，qError!(1)求使得等式 F(x)x 22ax4a2 成立的 x 的取值范围；(2)求 F(x)的最小值 m(a)；求 F(x)在区间0,6 上的最大值 M(a)解 (1)由于 a3，故当 x1 时， (x22ax4a2)2|x1| x 22( a1
5、)(2x)0，当 x1 时，(x 22ax4a2) 2| x1|(x2)(x2a)所以，使得等式 F(x)x 22ax4a2 成立的 x 的取值范围是2,2a(2)设函数 f(x)2|x 1| ，g(x)x 22ax4a2，则 f(x)minf (1)0，g(x) ming(a)a 24a2，所以，由 F(x)的定义知 m(a)min ，f1，ga即 m(a)Error!当 0x2 时，F (x)f(x )max 2F(2)f0，f2当 22 ，所以 M(a)Error!1不等式|2x1|1 D x|x1答案 A解析 方法一 原不等式即为|2x 1|2(l0)对任意的实数 x 都成立，则正数
6、l 的取值范围为( )A(0,2 ) B(2 ，)3 3C(0,2 D2 ，)3 3答案 B解析 因为|f( x)f(x l)2|f (x)f (xl)|max|2f(x) 2|，|2f(xl )2|，所以 |2f(x)2|2或|2 f(x l)2|2，即 f(x)2 或 f(xl)2 的解集为 R，解 f(x)2 得 x ，当3 3 x 时，有 f(xl)2，解得 xl ，因为 l0，所以由数形结合知3 3 3 3 l ，l2 .所以正数 l 的取值范围为(2 ， )3 3 3 38(2018金华十校调研)若 a，b，c R，且|a| 1，|b|1，| c|1，则下列说法正确的是( )A.
7、|ab bc ca 32| |a2|B. |ab bc ca 32| |a b2 |C. |ab bc ca 32| |a b c2 |D以上都不正确答案 A解析 由题意知，1abbcca3，对于选项 A， ， ，显然不等式|ab bc ca 32| 12 |a2| 12成立，对 a，b，c 分别取特殊值 ，取 a1， b1，c0，排除选项 B，取 a1，b0， c1，排除选项 C，故选 A.9若关于 x 的不等式|x| |x a|0)的最小值为 ，则实数 a_.|x 1x a| |x 1x a| 32答案 54解析 f(x) 2x2a|x 1x a| |x 1x a| 2x2a 2x 2a|
8、(x 1x a) (x 1x a)| |2x| 2x2a2 2a42a.2x 2x2x当且仅当 2x，即 x1 时，等号成立2x由 42a ，解得 a .32 54经验证，当 x 1，a 时， 54 |x 1x a| |x 1x a| ，|(x 1x a) (x 1x a)|即两处不等号取等条件相同11(2018嘉兴市基础测试)当 1x 3 时，|3a2b| a2b| |a| 对任意的实数(x mx 1)a，b 都成立，则实数 m 的取值范围是 _答案 94， )解析 当 a0 时，不等式恒成立；当 a0 时，原 问题可转 化为当 1x 3 时， x 1mx对任意的实 数 a，b 都成立，因为
9、 4，所以当 1x3|3a 2b| |a 2b|a| |3a 2b| |a 2b|a| 4|a|a|时，x 3，即 mx (3x )恒成立 设 f(x)x (3x)(x1,3 )，易得 f(x)max ，所以只需mx 94mf(x) max，即 m .综上，实数 m 的取值范围是 .94 94， )12(2018浙江十校联盟适应性考试) 对任意的 x，yR，|x1| x|y1| y1|的最小值为_；若正实数 x，y ，z 满足 x22y 2z 21，则 t xy yzxz 的最大值是433 2_答案 3 62解析 由绝对值不等式的性质得|x 1|x| |y1| |y1|(1x)x|(1y)(1
10、 y)|3 ，1x 22y 2z 2 x2 y2 y2 z2 x2 z22 xy2 yz2 xz，23 43 23 12 13 12 223 33 66当且仅当 x y z 时等号成立，262 1 ，(2223xy 233yz 266xz) 32 32即 t xy yzxz 的最大 值为 .433 2 32 6213 (2018金 丽 衢 十 二 校 模 拟 )设 实 数 a， b， 则 “|a b2| |b a2| 1”是“ 2 2 ”的( )(a 12) (b 12) 32A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案 A解析 2 2 a2a b 2b a2ab
11、2b1b 2aa 2b1，(a 12) (b 12) 32 14 14 32令 b2ax，a 2by，|x |y|x y|xy ，|x |y|1xy1，而反之 xy1|x |y |1，故是充分不必要条件，故选 A.14(2018浙江六校协作体联考) 已知函数 f(x)x 1，若|f(x)1| a0 对任意的1|fx 1|xR 且 x2 恒成立，则实数 a 的取值范围为_；不等式|f(2x)|5|f(2x1)|的解集为_答案 (，2) 12，2解析 因为|f( x)1| a0 对任意的 xR 且 x2 恒成立，所以| f(x)1|fx 1|1| a 对任意的 xR 且 x2 恒成立，令 y| f
12、(x)1| ，因为 y|f(x)1|1|fx 1| 1|fx 1| x2| 2，当且 仅当| x2| ，即 x1 或 x3 时等号成立，所以实数1|fx 1| 1|x 2| 1|x 2|a 的取值范围为(，2)不等式|f(2x)| 5|f(2x 1)| 等价于|2 x1|5|2x 2|，等价于|2x1|2 x2|5，等价于Error!或 Error!或Error!解得 x0，若集合A xZ |2x2x a2|2x 2x a2|2a0 中的元素有且仅有 2 个，则实数 a 的取值范围为_答案 1,2)解析 因为|2x 2xa2| |2x 2xa2|(2x 2x a 2)(2x 2xa2)|2a，
13、当且仅当a2x 2x2a 时等号成立，所以集合 A 中有且仅有两个元素等价于不等式a2x 2x2a 有且仅有两个整数解因为函数 f(x)2x 2x 22 2 的图象关于直线 x 对称，又 f(2)8，f(1)(x 14) 178 141，f(0)2 ，f(1)1，f(2)4，作出函数 yf(x)的图象如图所示，由图知，要使a2x 2x2a 有两个整数解，则 1a2.16(2018绍兴诸暨市期末考试) 已知 a，bR，f(x)|2 axb| ，若对于任意的 x0,4，xf(x) 恒成立，则 a2b_.12答案 2解析 因为 f(x)的几何意义为 g(x)2 ，h(x)ax b 图象上的点( x，g(x)，(x，h(x)的竖直x距离又由 f(x) 得ax b 2 axb 对任意的 x0,4 恒成立，故 g(x)212 12 x 12被夹在 竖直距离为 1 的平行直线 yh(x) 之间，如图，所以直线 yaxb 过点(0,0)，x12 12(4,4)，即a1，b 0，从而 a2b2.12
