1、11.3 二项分布及其应用最新考纲 考情考向分析1.了解独立事件的概念.2.了解独立重复试验的模型及二项分布.以了解独立重复试验、二项分布的概念为主，重点考查二项分布概率模型的应用.识别概率模型是解决概率问题的关键.在高考中，常以选择、填空题的形式考查，难度为中低档.1.相互独立事件(1)对于事件 A，B，若事件 A 的发生与事件 B 的发生互不影响，则称事件 A，B 是相互独立事件.(2)若 A 与 B 相互独立，则 P(AB)P (A)P(B).(3)若 A 与 B 相互独立，则 A 与 ， 与 B， 与 也都相互独立.B A A B(4)若 P(AB)P(A)P (B)，则 A 与 B
2、相互独立.2.独立重复试验与二项分布(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的.(2)在 n 次独立重复试验中，用 X 表示事件 A 发生的次数，设每次试验中事件 A 发生的概率为 p，则 P(Xk)C pk(1p )nk (k0，1，2，n)，此时称随机变量 X 服从二项分布，kn记为 XB (n，p)，并称 p 为成功概率 .3.两点分布与二项分布的均值、方差(1)若随机变量 X 服从两点分布，则 E(X)p，D (X)p(1 p).(2)若 X B(n，p)，
3、则 E(X)np，D(X) np(1p).概念方法微思考“事件相互独立”与“事件互斥”有何不同？提示 两事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件发生与否对另一事件发生的概率没有影响，两事件相互独立不一定互斥.题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打 “”或“”)(1)相互独立事件就是互斥事件.( )(2)对于任意两个事件，公式 P(AB)P(A)P( B)都成立.( )(3)二项分布是一个概率分布，其公式相当于( ab) n二项展开式的通项公式，其中ap，b1p.( )题组二 教材改编2.P55T3天气预报，在元旦假期甲地的降雨概率是 0.2，乙地的降雨概率
4、是 0.3.假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为( )A.0.2 B.0.3 C.0.38 D.0.56答案 C解析 设甲地降雨为事件 A，乙地降雨为事件 B，则两地恰有一地降雨为 A B，B AP(A B) P(A )P ( B)B A B AP(A )P( )P( )P(B)B A0.20.70.80.30.38.3.P69B 组 T1抛掷两枚骰子，当至少一枚 5 点或一枚 6 点出现时，就说这次试验成功，则在 10 次试验中成功次数的均值为_.答案 509解析 抛掷两枚骰子，当两枚骰子不出 现 5 点和 6 点时的概率 为 ，所以至少有一次出4
5、6 46 49现 5 点或 6 点的概率为 1 ，用 X 表示 10 次试验中成功的次数，则 XB ，E(X)49 59 (10，59)10 .59 509题组三 易错自纠4.两个实习生每人加工一个零件，加工成一等品的概率分别为 和 ，两个零件能否被加工成23 34一等品相互独立，则这两个零件恰好有一个一等品的概率为( )A. B. C. D.12 512 14 16答案 B解析 因为两人加工成一等品的概率分别为 和 ，23 34且相互独立，所以两个零件恰好有一个一等品的概率为 P .23 14 13 34 5125.小王通过英语听力测试的概率是 ，他连续测试 3 次，那么其中恰有 1 次通过
6、的概率是( )13A. B. C. D.49 29 427 227答案 A解析 所求概率 PC 1 31 .13(13) (1 13) 496.国庆节放假，甲去北京旅游的概率为 ，乙去北京旅游的概率为 ，假定两人的行动相互之13 14间没有影响，那么这段时间内至少有 1 人去北京旅游的概率为_.答案 12解析 记在国庆期间“甲去北京旅游”为事件 A，“乙去北京旅游”为事件 B，又 P( )ABP( )P( )1P( A)1P( B) ，A B (1 13)(1 14) 12“甲、乙两人至少有 1 人去北京旅游 ”的对立事件为“甲、乙两人都不去北京旅游” ，故所求概率为 1P( )1 .AB12
7、 12题型一 相互独立事件的概率例 1 (2018温州“十五校联合体”期中联考) 一个口袋中装有 n 个红球(n4 且 nN *)和 5个白球，从中摸两个球，两个球颜色相同则为中奖.(1)若一次摸两个球，其中奖的概率为 ，求 n 的值；49(2)若一次摸一个球，记下颜色后，又把球放回去.当 n4 时，求两次摸球中奖的概率.解 (1)一次摸奖从 n5 个球中任选两个，有 C 种，它们等可能，其中两球不同色有2n 5C C 种，一次摸 奖中奖的概率 P1 .1n 1510nn 5n 4 n2 n 20n2 9n 20由 ，得 n4 或 n5.n2 n 20n2 9n 20 49(2)若 n4，两次
8、摸球( 每次摸球后放回) 中奖的概率是P .49 49 59 59 4181思维升华 求相互独立事件同时发生的概率的方法(1)首先判断几个事件的发生是否相互独立.(2)求相互独立事件同时发生的概率的方法利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解；正面计算较烦琐或难以入手时，可从其 对立事件入手计 算.跟踪训练 1 甲、乙两队进行排球决赛.现在的情形是甲队只要再赢一局就获得冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军.若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( )A. B. C. D.12 35 23 34答案 D解析 设 Ai (i 1，2)表示继续比赛时，甲在第 i 局获胜；B 事件表示甲队获得冠军，
9、则 BA 1 1A2，AP(B )P(A 1)P( 1A2) .A12 12 12 34题型二 独立重复试验例 2 一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得 10 分，出现两次音乐获得 20 分，出现三次音乐获得 100 分，没有出现音乐则扣除 200 分(即获得200 分). 设每次击鼓出现音乐的概率为 ，且各次击鼓出现音乐相互独立.12(1)设每盘游戏获得的分数为 X，求 X 的分布列；(2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？解 (1)X 可能的取值为 10，20，100， 200.根据题意，有
10、P(X10)C 1 2 ，13 (12) (1 12) 38P(X20)C 2 1 ，23 (12) (1 12) 38P(X100)C 3 0 ，3 (12) (1 12) 18P(X200)C 0 3 .03 (12) (1 12) 18所以 X 的分布列为X 10 20 100 200P 38 38 18 18(2)设“第 i 盘游戏没有出现音乐”为事件 Ai(i1，2， 3)，则 P(A1)P(A 2)P(A 3)P (X200) .18所以“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为1P(A 1A2A3)1 31 .(18) 1512 511512因此，玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概
11、率是 .511512思维升华 在求 n 次独立重复 试验中事件恰好发生 k 次的概率 时，首先要确定好 n 和 k 的值，再准确利用公式求概率.跟踪训练 2 投篮测试中，每人投 3 次，至少投中 2 次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为 0.6，且每次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( )A.0.648 B.0.432C.0.360 D.0.312答案 A解析 所求概率为 C 0.620.40.6 30.648.23题型三 二项分布及其均值、方差例 3 某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A 和 B，系统 A 和系统 B 在任意时刻发生故障的概率分别为 和
12、 p.110(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为 ，求 p 的值；4950(2)设系统 A 在 3 次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量 ，求 的分布列及均值E().解 (1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件 C，那么1P( )1 p ，解得 p .C110 4950 15(2)由题意，得随机变量 可能的取值为 0，1，2，3，则 P( 0) 3 ，(110) 11 000P(1)C 2 ，13(1 110) (110) 271 000P(2)C 2 ，23 (1 110) 110 2431 000P(3) 3 .(1 110) 7291 000随机变量 的分布列为
13、0 1 2 3P 11 000 271 000 2431 000 7291 000故随机变量 的均值E()0 1 2 3 .11 000 271 000 2431 000 7291 000 2710(或 B(3，910)， E 3910 2710.)思维升华 在根据独立重复 试验求二项分布的有关问题时 ，关键是理清事件与事件之间的关系，确定二项分布的试验次数 n 和变量的概率，求得概率，列出分布列 .跟踪训练 3 (2018台州模拟)有 10 道数学单项选择题，每题选对得 4 分，不选或选错得 0 分.已知某考生能正确答对其中的 7 道题，余下的 3 道题每题能正确答对的概率为 .假设每题答1
14、3对与否相互独立，记 为该考生答对的题数， 为该考生的得分，则 P(9)_，E() _.(用数字作答)答案 3229解析 7， 8，9，10，P(9)C 2 3 ；23(13) 23 19 23 2928，32，36，40，P( 28) 3 ，(23) 827P( 32)C 2 ，1313 (23) 49P( 36)C 2 ，23(13) 23 29P( 40) 3 ，(13) 127所以 E()28 32 36 40 32.827 49 29 1271.甲、乙两人参加“社会主义价值观”知识竞赛，甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为和 ，甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人中恰有一人获得
15、一等奖的概率为( )35 14A. B. C. D.34 23 57 1120答案 D解析 根据题意，恰有一人获 得一等奖就是甲获奖乙没获奖 或甲没获奖乙获奖， 则所求概率是 ，故选 D.35 (1 14) 14 (1 35) 11202.袋中装有 2 个红球，3 个黄球，有放回地抽取 3 次，每次抽取 1 球，则 3 次中恰有 2 次抽到黄球的概率是( )A. B. C. D.25 35 18125 54125答案 D解析 袋中装有 2 个红球，3 个黄球，有放回地抽取 3 次，每次抽取 1 球，每次取到黄球的概率 P1 ，3 次中恰有 2 次抽到黄球的概率 PC 2 .35 23(35)(
16、1 35) 541253.某种子每粒发芽的概率都为 0.9，现播种了 1 000 粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2 粒，补种的种子数记为 X，则 X 的均值为( )A.100 B.200C.300 D.400答案 B解析 记不发芽的种子数为 Y，则 YB(1 000，0.1)，E(Y)1 0000.1100.又 X2Y，E(X )E(2Y)2E(Y)200.4.一袋中有 5 个白球，3 个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现 10 次时停止，设停止时共取了 X 次球，则 P(X12) 等于( )A.C 10 2 B.C 9 2102(38) (58) 912(
17、38)(58)C.C 9 2 D.C 10 2911(58)(38) 911(38) (58)答案 D解析 “X12”表示第 12 次取到红球，前 11 次有 9 次取到红球，2 次取到白球，因此 P(X12) C 9 238 911(38)(58)C 10 2.911(38) (58)5.甲射击命中目标的概率是 ，乙命中目标的概率是 ，丙命中目标的概率是 .现在三人同时12 13 14射击目标，则目标被击中的概率为( )A. B. C. D.34 23 45 710答案 A解析 设“甲命中目标”为事件 A，“乙命中目标”为事件 B，“丙命中目标”为事件 C，则击中目标表示事件 A，B，C 中
18、至少有一个 发生.又 P( )P( )P( )P( )1 P(A)1P(B)ABC A B C1P (C) .(1 12) (1 13) (1 14) 14故目标被击中的概率 P1P( ) .ABC346.(2019湖州质检)设随机变量 X 服从二项分布 XB ，则函数 f(x)x 24xX 存在零点(5，12)的概率是( )A. B. C. D.56 45 3132 12答案 C解析 函数 f(x)x 24x X 存在零点，16 4X 0，X 4.X 服从 XB ，(5，12)P(X 4)1P(X5) 1 .125 31327.(2018杭州四校联考)若 B ，D( ) ，则 n_ ，E()
19、_.(n，12) 32答案 6 3解析 由 D() n ，32 12 (1 12)得 n6，E( )6 3.128.(2018杭州高考仿真测试)一个盒子中有大小形状完全相同的 m 个红球和 6 个黄球，现从中有放回的摸取 5 次，每次随机摸出一个球，设摸到红球的个数为 X，若 E(X)3，则m_，P(X 2)_.答案 9 144625解析 由题意知每次随机抽出 1 个球为红球的概率为 ，所以 XB ，则由 E(X)mm 6 (5，mm 6)3，得 5 3，解得 m 9，所以 ，mm 6 mm 6 35所以 P(X2)C 2 3 .25(35)(1 35) 1446259.4 支足球队两两比赛，
20、一定有胜负，每队赢的概率都为 .若每队赢的场数各不相同，则共12有_种结果；其概率为_.答案 24 38解析 4 支足球队两两比赛，一定有 胜负，每 队赢的概率都 为 0.5，并且每队赢的场数各不相同，4 队比 6 场只考虑胜场，且各不相同，胜场分别为 0，1，2，3，共有 A 4321244种结果，概率为 PA 6 .4(12) 3810.若将甲、乙两个球随机放入编号为 1，2，3 的三个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则在 1，2 号盒子中各有一个球的概率是_.答案 29解析 将甲、乙两个球随机放入 编号为 1，2，3 的三个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则有 339(种)不同的放法，其
21、中在 1，2 号盒子中各有一个球的结果有 2 种，故所求概率是 .2911.设随机变量 XB(2 ，p)，随机变量 YB(3，p) ，若 P(X1) ，则 P(Y1)_.59答案 1927解析 XB(2 ，p)，P(X 1)1P(X0) 1C (1p) 2 ，0259解得 p .又 YB(3，p)，13P(Y1)1P( Y0)1C (1p) 3 .03192712.挑选空军飞行员可以说是“万里挑一” ，要想通过需要五关：目测、初检、复检、文考(文化考试) 、政审.若某校甲、乙、丙三位同学都顺利通过了前两关，根据分析甲、乙、丙三位同学通过复检关的概率分别是 0.5，0.6，0.75，能通过文考关
22、的概率分别是0.6，0.5，0.4，由于他们平时表现较好，都能通过政审关，若后三关之间通过与否没有影响.(1)求甲、乙、丙三位同学中恰好有一人通过复检的概率；(2)设只要通过后三关就可以被录取，求录取人数 X 的分布列 .解 (1)设 A，B，C 分别表示事件 “甲、乙、丙通过复检” ，则所求概率 PP(A )P( B )BC ACP( C)0.5(10.6)(10.75) (10.5)0.6(1 0.75)(10.5)(1 0.6)AB0.750.275.(2)甲被录取的概率为 P 甲 0.50.60.3，同理 P 乙 0.60.50.3，P 丙 0.750.40.3.甲、乙、丙每位同学被录
23、取的概率均为 0.3，故可看成是独立重复试验，即 XB(3 ，0.3)，X 的可能取值为 0，1，2，3，其中 P(Xk) C (0.3)k3k(10.3) 3k .故 P(X0)C 0.30(1 0.3)30.343，03P(X1)C 0.3(10.3) 20.441，13P(X2)C 0.32(10.3)0.189，23P(X3)C 0.330.027，3故 X 的分布列为X 0 1 2 3P 0.343 0.441 0.189 0.02713.如图所示，某快递公司送货员从公司 A 处准备开车送货到某单位 B 处，有ACDB，AE FB 两条路线.若该地各路段发生堵车与否是相互独立的，且各
24、路段发生堵车事件的概率如图所示(例如 ACD 算作两个路段，路段 AC 发生堵车事件的概率为 ，路段 CD 发生堵车事件的概率为 ).若使途中发生堵车事件的概率较小，则由 A 到 B16 110应选择的路线是_.答案 AE F B解析 路线 ACDB 途中发生堵车事件的概率P11 ，(1 16) (1 110) (1 25) 1120路线 AE F B 途中发生堵车事件的概率P21 .(1 15) (1 18) (1 15) 1125因为 P(2).从回答对题数的均值考查，两人水平相当；从回答 对题数的方差考 查，甲 较稳定；从至少正确回答 2 题的概率考查，甲获得通 过的可能性大.因此可以判断甲的通 过能力较强.
