1、1二次函数一、选择题1 （2018山东枣庄3 分）如图是二次函数 y=ax2+bx+c图象的一部分，且过点 A（3，0） ，二次函数图象的对称轴是直线 x=1，下列结论正确的是（ ）Ab 24ac Bac0 C2ab=0 Dab+c=0【分析】根据抛物线与 x轴有两个交点有 b24ac0 可对 A进行判断；由抛物线开口向上得 a0，由抛物线与 y轴的交点在 x轴下方得 c0，则可对 B进行判断；根据抛物线的对称轴是 x=1对 C选项进行判断；根据抛物线的对称性得到抛物线与 x轴的另一个交点为（1，0） ，所以 ab+c=0，则可对 D选项进行判断【解答】解：抛物线与 x轴有两个交点
2、，b 24ac0，即 b24ac，所以 A选项错误；抛物线开口向上，a0，抛物线与 y轴的交点在 x轴下方，c0，ac0，所以 B选项错误；二次函数图象的对称轴是直线 x=1， =1，2a+b=0 ，所以 C选项错误；抛物线过点 A（3，0） ，二次函数图象的对称轴是 x=1，抛物线与 x轴的另一个交点为（1，0） ，ab+c=0，所以 D选项正确；故选：D【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象为抛物线，当 a0，抛物线开口向上；对称轴为直线 x= ；抛物线与 y轴的交点坐标为（0，c） ；当 b24ac0，抛物线与 x轴有两个交点；当 b2
3、4ac=0，抛物线与 x轴有一个交点；当 b24ac0，抛物线与 x轴没有交点2 （2018四川成都3 分）关于二次函数 ，下列说法正确的是（ ） A. 图像与 轴的交点坐标为 B. 图像的对称轴在 轴的右侧 C. 当 时， 的值随 值的增大而减小 D. 的最小值为-3【答案】D 2【考点】二次函数的性质，二次函数的最值 【解析】 【解答】解：A、当 x=
4、0时，y=-1，图像与 轴的交点坐标为（0，-1） ，因此 A不符合题意；B、 对称轴为直线 x=-1，对称轴再 y轴的左侧，因此 B不符合题意；C、 当 x-1 时 y的值随 值的增大而减小，当-1x0 时，y 随 x的增大而增大，因此 C不符合题意；D、 a=20，当 x=-1时,y 的最小值=2-4-1=-3，因此 D符合题意；故答案为：D【分析】求出抛物线与 y轴的交点坐标，可对 A作出判断；求出抛物线的对称轴，可对 B作出判断；根据二次函数的增减性，可对 C作出判断；求出抛物线的顶点坐标，可对 D作出判断；即可得出答案。1. （2018山东菏泽3 分）已知二次函数 y=ax2+bx+
5、c的图象如图所示，则一次函数 y=bx+a与反比例函数 y=在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ）A B C D【考点】G2：反比例函数的图象；F3：一次函数的图象；H2：二次函数的图象【分析】直接利用二次函数图象经过的象限得出 a，b，c 的值取值范围，进而利用一次函数与反比例函数的性质得出答案【解答】解：二次函数 y=ax2+bx+c的图象开口向上，a0，该抛物线对称轴位于 y轴的右侧，a、b 异号，即 b0当 x=1时，y0，a+b+c0一次函数 y=bx+a的图象经过第一、二、四象限，反比例函数 y= 的图象分布在第二、四象限，故选：B3【点评】此题主要考查了反比例函数、
6、一次函数、二次函数的图象，正确把握相关性质是解题关键2. （2018山东滨州3 分）如图，若二次函数 y=ax2+bx+c（a0）图象的对称轴为 x=1，与 y轴交于点 C，与 x轴交于点 A、点 B（1，0） ，则二次函数的最大值为 a+b+c；ab+c0；b 24ac0；当 y0 时，1x3，其中正确的个数是（ ）A1 B2 C3 D4【分析】直接利用二次函数的开口方向以及图象与 x轴的交点，进而分别分析得出答案【解答】解：二次函数 y=ax2+bx+c（a0）图象的对称轴为 x=1，且开口向下，x=1 时，y=a+b+c，即二次函数的最大值为 a+b+c，故正确；当 x=1
7、时，ab+c=0，故错误；图象与 x轴有 2个交点，故 b24ac0，故错误；图象的对称轴为 x=1，与 x轴交于点 A、点 B（1，0） ，A（3，0） ，故当 y0 时，1x3，故正确故选：B【点评】此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数最值等知识，正确得出 A点坐标是解题关键1. （2018湖南省衡阳3 分）如图，抛物线 y=ax2+bx+c与 x轴交于点 A（1，0） ，顶点坐标（1，n）与 y轴的交点在（0，2） ， （0，3）之间（包含端点） ，则下列结论：3a+b0；1a ；对于任意实数m，a+bam 2+bm总成立；关于 x的方程 ax2+bx+c=n1 有两个不相等的实数根
8、其中结论正确的个数为（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个4【解答】解：抛物线 y=ax2+bx+c与 x轴交于点 A（1，0） ，x=1 时，y=0，即 ab+c=0，而抛物线的对称轴为直线 x= =1，即 b=2a，3a+c=0，所以错误；2c3，而 c=3a，23a3，1a ，所以正确；抛物线的顶点坐标（1，n） ，x=1 时，二次函数值有最大值 n，a+b+cam 2+bm+c，即 a+bam 2+bm，所以正确；抛物线的顶点坐标（1，n） ，抛物线 y=ax2+bx+c与直线 y=n1 有两个交点，关于 x的方程 ax2+bx+c=n1 有两个不相等的实数根，所以正
9、确故选：C1.（2018山东青岛3 分）已知一次函数 y= x+c的图象如图，则二次函数 y=ax2+bx+c在平面直角坐标系中的图象可能是（ ）A B C D【分析】根据反比例函数图象一次函数图象经过的象限，即可得出 0、c0，由此即可得出：二次函数y=ax2+bx+c的图象对称轴 x= 0，与 y轴的交点在 y轴负正半轴，再对照四个选项中的图象即可得出结论【解答】解：观察函数图象可知： 0、c0，二次函数 y=ax2+bx+c的图象对称轴 x= 0，与 y轴的交点在 y轴负正半轴5故选：A【点评】本题考查了一次函数的图象以及二次函数的图象，根据一次函数图象经过的象限，找出 0、
10、c0 是解题的关键2.（2018山东泰安3 分）二次函数 y=ax2+bx+c的图象如图所示，则反比例函数 y= 与一次函数 y=ax+b在同一坐标系内的大致图象是（ ）A B C D【分析】首先利用二次函数图象得出 a，b 的值，进而结合反比例函数以及一次函数的性质得出答案【解答】解：由二次函数开口向上可得：a0，对称轴在 y轴左侧，故 a，b 同号，则 b0，故反比例函数 y= 图象分布在第一、三象限，一次函数 y=ax+b经过第一、二、三象限故选：C【点评】此题主要考查了二次函数、一次函数、反比例函数的图象，正确得出 a，b 的值是解题关键3.（2018山东威海3 分）如图，
11、将一个小球从斜坡的点 O处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数 y=4x x2刻画，斜坡可以用一次函数 y= x刻画，下列结论错误的是（ ）A当小球抛出高度达到 7.5m时，小球水平距 O点水平距离为 3m6B小球距 O点水平距离超过 4米呈下降趋势C小球落地点距 O点水平距离为 7米D斜坡的坡度为 1：2【分析】求出当 y=7.5时，x 的值，判定 A；根据二次函数的性质求出对称轴，根据二次函数性质判断 B；求出抛物线与直线的交点，判断 C，根据直线解析式和坡度的定义判断 D【解答】解：当 y=7.5时，7.5=4x x2，整理得 x28x+15=0，解得，x 1=3，x 2=5，
12、当小球抛出高度达到 7.5m时，小球水平距 O点水平距离为 3m或 5侧面 cm，A 错误，符合题意；y=4x x2= （ x4） 2+8，则抛物线的对称轴为 x=4，当 x4 时，y 随 x的增大而减小，即小球距 O点水平距离超过 4米呈下降趋势，B 正确，不符合题意；，解得， ， ，则小球落地点距 O点水平距离为 7米，C 正确，不符合题意；斜坡可以用一次函数 y= x刻画，斜坡的坡度为 1：2，D 正确，不符合题意；故选：A【点评】本题考查的是解直角三角形的坡度问题、二次函数的性质，掌握坡度的概念、二次函数的性质是解题的关键4.（2018山东威海3 分）抛物线 y=ax2+bx+c（a0
13、）图象如图所示，下列结论错误的是（ ）7Aabc0 Ba+cb Cb 2+8a4ac D2a+b0【分析】根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案【解答】解：（A）由图象开口可知：a0由对称轴可知： 0，b0，由抛物线与 y轴的交点可知：c0，abc0，故 A正确；（B）由图象可知：x=1，y0，y=ab+c0，a+cb，故 B正确；（C）由图象可知：顶点的纵坐标大于 2， 2，a0，4acb 28a，b 2+8a4ac，故 C正确；（D）对称轴 x= 1，a0，2a+b0，故 D错误；故选：D【点评】本题考查二次函数的综合问题，解题的关键是正确理解二次函数的图象与系数之间的关系
14、，本题属于中等题型5.（2018山东潍坊3 分）已知二次函数 y=（xh） 2（h 为常数） ，当自变量 x的值满足 2x5 时，与其对应的函数值 y的最大值为1，则 h的值为（ ）A3 或 6 B1 或 6 C1 或 3 D4 或 6【分析】分 h2、2h5 和 h5 三种情况考虑：当 h2 时，根据二次函数的性质可得出关于 h的一元二次方程，解之即可得出结论；当 2h5 时，由此时函数的最大值为 0与题意不符，可得出该情况不存在；当 h5 时，根据二次函数的性质可得出关于 h的一元二次方程，解之即可得出结论综上即可得出结论【解答】解：当 h2 时，有（2h） 2=1，解得：h
15、1=1，h 2=3（舍去） ；当 2h5 时，y=（xh） 2的最大值为 0，不符合题意；当 h5 时，有（5h） 2=1，解得：h 3=4（舍去） ，h 4=6综上所述：h 的值为 1或 6故选：B8【点评】本题考查了二次函数的最值以及二次函数的性质，分 h2、2h5 和 h5 三种情况求出 h值是解题的关键1 （2018北京2 分） 跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度 y（单位： m）与水平距离 x（单位： m）近似满足函数关系2yaxbc（ 0a） 下图记录了某运动员起跳后的 与 y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可
16、推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为4020 O46.254.07.9x/my/mA 10mB 15mC D 2.5【答案】B【解析】设对称轴为 xh，由（ 0， 54.）和（ 0， 46.2）可知， 042h，由（ ， .）和（ ， 57.9）可知， 1， 102h，故选 B【考点】抛物线的对称轴2. （2018甘肃白银，定西，武威3 分） 如图是二次函数 （ ， ， 是常数， ）图象的一部分，与 轴的交点 在点 和 之间，对称轴是 .对于下列说法： ； ； ；（ 为实数）；当 时， ，其中正确的是（ ）9A. B.
17、 C. D. 【答案】A【解析】【分析】由开口方向和对称轴的位置可判断；由对称轴为直线 x=1可判断；由 x=3时 可判断 ；根据函数在 时取得最大值，可以判断，由-10a0 经过点 ，a-b+c=0 经过点 ，c=3a-b=-3b=a+3，a=b-3-30，16对称轴- 在 y轴右侧，b>0，abc0；对称轴在 y轴右侧得 b>0，从而可知 A错误；B.由图像可知对称轴为 2，即 b=-2a，从而得出 B错误；C.由图像可知当 x=-1时，a-b+c<0，将 b=-2a代入即可知 C正确；D.由图像可知当 y=3时，x=1，
18、故此方程只有一个根，从而得出 D错误.2. （2018河北2 分）对于题目 “一段抛物线 :(3)(03)Lyxcx与直线 :2lyx有唯一公共点.若c为整数，确定所有 c的值.”甲的结果是 1c，乙的结果是 或 4，则（ ）A.甲的结果正确B.乙的结果正确C.甲、乙的结果合在一起才正确D.甲、乙的结果合在一起也不正确171 （2018 四川省泸州市 3分）已知二次函数 y=ax2+2ax+3a2+3（其中 x是自变量） ，当 x2 时，y 随 x的增大而增大，且2x1 时，y 的最大值为 9，则 a的值为（ ）A1 或2 B 或 C D1【分析】先求出二次函数的对称轴
19、，再根据二次函数的增减性得出抛物线开口向上 a0，然后由2x1 时，y的最大值为 9，可得 x=1时，y=9，即可求出 a【解答】解：二次函数 y=ax2+2ax+3a2+3（其中 x是自变量） ，对称轴是直线 x= =1 ，当 x2 时，y 随 x的增大而增大，a0，2x1 时，y 的最大值为 9，x=1 时，y=a+2a+3a 2+3=9，3a 2+3a6=0，a=1，或 a=2（不合题意舍去） 故选：D【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的顶点坐标是（ ， ） ，对称轴直线 x= ，二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象具有如下性质：当 a0 时
20、，抛物线 y=ax2+bx+c（a0）的开口向上，x 时，y 随 x的增大而减小； x 时， y随 x的增大而增大；x= 时，y 取得最小值 ，即顶点是抛物线的最低点当 a0 时，抛物线 y=ax2+bx+c（a0）的开口向下，x 时，y 随 x的增大而增大；x 时， y随 x的增大而减小； x= 时，y 取得最大值 ，即顶点是抛物线的最高点18二.填空题2. (2018四川省绵阳市)右图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面 2m时，水面宽 4m，水面下降 2m，水面宽度增加_m。【答案】4 -4 【考点】二次函数的实际应用-拱桥问题 【解析】 【解答】解：根据题意以 AB为
21、 x轴，AB 的垂直平分线为 y轴建立平面直角坐标系（如图） ，依题可得：A（-2,0） ，B（2,0） ，C（0,2） ，设经过 A、B、C 三点的抛物线解析式为：y=a（x-2） （x+ 2）,C（0,2）在此抛物线上，a=- ，此抛物线解析式为：y=- （x-2） （x+2）,水面下降 2m，- （x-2） （x+2）=-2,x 1=2 ，x 2=-2 ，下降之后的水面宽为：4 .水面宽度增加了：4 -4.故答案为：4 -4.【分析】根据题意以 AB为 x轴，AB 的垂直平分线为 y轴建立平面直角坐标系（如图） ，依题可得：A（-2,0） ，19B（2,0） ，C（0,2） ，再根据待定
22、系数法求出经过 A、B、C 三点的抛物线解析式 y=- （x-2） （x+2） ；由水面下降2m，求出下降之后的水面宽度，从而得出水面宽度增加值.3（2018 年四川省南充市）如图，抛物线 y=ax2+bx+c（a，b，c 是常数，a0）与 x轴交于 A，B 两点，顶点P（m，n）给出下列结论：2a+c0；若（ ，y 1），（ ，y 2），（ ，y 3）在抛物线上，则 y1y 2y 3；关于 x的方程 ax2+bx+k=0有实数解，则 kcn；当 n= 时，ABP 为等腰直角三角形其中正确结论是 （填写序号）【考点】H4：二次函数图象与系数的关系；H5：二次函数图象上点的坐标特征；HA：抛物线
23、与 x轴的交点【分析】利用二次函数的性质一一判断即可；【解答】解： ，a0，ab，x=1 时，y0，ab+c0，2a+cab+c0，故错误，若（ ，y 1），（ ，y 2），（ ，y 3）在抛物线上，由图象法可知，y 1y 2y 3；故正确，抛物线与直线 y=t有交点时，方程 ax2+bx+c=t有解，tn，ax 2+bx+k=0有实数解，则 kcn；故正确，设抛物线的对称轴交 x轴于 H = ，20b 24ac=4，x= =，|x 1x 2|= ，AB=2PH，BH=AH，PH=BH=AH，PAB 是直角三角形，PA=PB，PAB 是等腰直角三角形故答案为【点评】本题考查二次函数的应用、二次
24、函数与坐标轴的交点等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题1. （2018广东广州3 分）已知二次函数 ，当 x0 时，y 随 x的增大而_（填“增大”或“减小” ）【答案】增大 【考点】二次函数 y=ax2的性质 【解析】 【解答】解：a=10，当 x0 时，y 随 x的增大而增大.故答案为：增大.【分析】根据二次函数性质：当 a0 时，在对称轴右边，y 随 x的增大而增大.由此即可得出答案.1. （2018新疆生产建设兵团5 分）如图，已知抛物线 y1=x 2+4x和直线 y2=2x我们规定：当 x取任意一个值时，x 对应的函数值分别
25、为 y1和 y2，若 y1y 2，取 y1和 y2中较小值为 M；若 y1=y2，记 M=y1=y2当 x2 时，M=y2；当 x0 时，M 随 x的增大而增大；使得 M大于4的 x的值不存在；若 M=2，则 x=1上述结论正确的是 （填写所有正确结论的序号） 21【分析】观察函数图象，可知：当 x2 时，抛物线 y1=x 2+4x在直线 y2=2x的下方，进而可得出当 x2 时，M=y1，结论错误；观察函数图象，可知：当 x0 时，抛物线 y1=x 2+4x在直线 y2=2x的下方，进而可得出当 x0 时，M=y 1，再利用二次函数的性质可得出 M随 x的增大而增大，结论正确；利用配方法可找
26、出抛物线 y1=x 2+4x的最大值，由此可得出：使得 M大于 4的 x的值不存在，结论正确；利用一次函数图象上点的坐标特征及二次函数图象上点的坐标特征求出当 M=2时的 x值，由此可得出：若 M=2，则 x=1或 2+ ，结论错误此题得解【解答】解：当 x2 时，抛物线 y1=x 2+4x在直线 y2=2x的下方，当 x2 时，M=y 1，结论错误；当 x0 时，抛物线 y1=x 2+4x在直线 y2=2x的下方，当 x0 时，M=y 1，M 随 x的增大而增大，结论正确；y 1=x 2+4x=（x2） 2+4，M 的最大值为 4，使得 M大于 4的 x的值不存在，结论正确；当 M=y1=2
27、时，有x 2+4x=2，解得：x 1=2 （舍去） ，x 2=2+ ；当 M=y2=2时，有 2x=2，解得：x=1若 M=2，则 x=1或 2+ ，结论错误综上所述：正确的结论有故答案为：【点评】本题考查了一次函数的性质、二次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征以及二次函数图象上点的坐标特征，逐一分析四条结论的正误是解题的关键2. （2018四川自贡4 分）若函数 y=x2+2xm 的图象与 x轴有且只有一个交点，则 m的值为 1 【分析】由抛物线与 x轴只有一个交点，即可得出关于 m的一元一次方程，解之即可得出 m的值【解答】解：函数 y=x2+2xm 的图象与 x轴有且只有一个交点，2
28、2=2 241（m）=0，解得：m=1故答案为：1【点评】本题考查了抛物线与 x轴的交点，牢记“当=b 24ac=0 时，抛物线与 x轴有 1个交点”是解题的关键1.（2018 年江苏省泰州市3 分）已知 3xy=3a 26a+9，x+y=a 2+6a9，若 xy，则实数 a的值为 3 【分析】根据题意列出关于 x、y 的方程组，然后求得 x、y 的值，结合已知条件 xy 来求 a的取值【解答】解：依题意得： ，解得xy，a 26a9，整理，得（a3） 20，故 a3=0，解得 a=3故答案是：3【点评】考查了配方法的应用，非负数的性质以及解二元一次方程组配方法的理论依据是公式a22ab+b2
29、=（ab） 211 （2018湖北省武汉3 分）飞机着陆后滑行的距离 y（单位：m）关于滑行时间 t（单位：s）的函数解析式是y=60t 在飞机着陆滑行中，最后 4s滑行的距离是 216 m【分析】求出 t=4时的函数值即可；【解答】解：根据对称性可知，开始 4秒和最后 4秒的滑行的距离相等，t=4时，y=604 42=24024=216m，故答案为 216【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，属于中考基础题2 （2018湖北省孝感3 分）如图，抛物线 y=ax2与直线 y=bx+c的两个交点坐标分别为 A（2，4） ，B（1，1） ，则方程 ax2=bx+c的解是 x 1=2
30、，x 2=1 23【分析】根据二次函数图象与一次函数图象的交点问题得到方程组 的解为 ， ，于是易得关于 x的方程 ax2bxc=0 的解【解答】解：抛物线 y=ax2与直线 y=bx+c的两个交点坐标分别为 A（2，4） ，B（1，1） ，方程组 的解为 ， ，即关于 x的方程 ax2bxc=0 的解为 x1=2，x 2=1所以方程 ax2=bx+c的解是 x1=2，x 2=1故答案为 x1=2，x 2=1【点评】本题考查抛物线与 x轴交点、一次函数的应用、一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会利用图象法解决实际问题，属于中考常考题型1. （2018山东淄博4 分）已知抛物线
31、 y=x2+2x3 与 x轴交于 A，B 两点（点 A在点 B的左侧） ，将这条抛物线向右平移 m（m0）个单位，平移后的抛物线于 x轴交于 C，D 两点（点 C在点 D的左侧） ，若 B，C 是线段 AD的三等分点，则 m的值为 2 【考点】HA：抛物线与 x轴的交点；H6：二次函数图象与几何变换【分析】先根据三等分点的定义得：AC=BC=BD，由平移 m个单位可知：AC=BD=m，计算点 A和 B的坐标可得 AB的长，从而得结论【解答】解：如图，B，C 是线段 AD的三等分点，AC=BC=BD，由题意得：AC=BD=m，当 y=0时，x 2+2x3=0，（x1） （x+3）=0，x1=1，
32、x 2=3，A（3，0） ，B（1，0） ，AB=3+1=4，AC=BC=2，m=2，24故答案为：2【点评】本题考查了抛物线与 x轴的交点问题、抛物线的平移及解一元二次方程的问题，利用数形结合的思想和三等分点的定义解决问题是关键2.3.4.题号依次顺延三.解答题(要求同上一)1. （2018四川凉州10 分）如图，已知抛物线 y=x2+bx+c经过 A（1，0） ，B（0，2）两点，顶点为 D（1）求抛物线的解析式；（2）将OAB 绕点 A顺时针旋转 90后，点 B落到点 C的位置，将抛物线沿 y轴平移后经过点 C，求平移后所得图象的函数关系式；（3）设（2）中平移后，所得抛物线与 y轴的交
33、点为 B1，顶点为 D1，若点 N在平移后的抛物线上，且满足NBB 1的面积是NDD 1面积的 2倍，求点 N的坐标【分析】 （1）利用待定系数法，将点 A，B 的坐标代入解析式即可求得；（2）根据旋转的知识可得：A（1，0） ，B（0，2） ，OA=1，OB=2，可得旋转后 C点的坐标为（3，1） ，当 x=3时，由 y=x23x+2 得 y=2，可知抛物线 y=x23x+2 过点（3，2）将原抛物线沿 y轴向下平移 1个单位后过点 C平移后的抛物线解析式为：y=x 23x+1；25（3）首先求得 B1，D 1的坐标，根据图形分别求得即可，要注意利用方程思想【解答】解：（1）已知抛物线 y=
34、x2+bx+c经过 A（1，0） ，B（0，2） ， ，解得 ，所求抛物线的解析式为 y=x23x+2；（2）A（1，0） ，B（0，2） ，OA=1，OB=2，可得旋转后 C点的坐标为（3，1） ，当 x=3时，由 y=x23x+2 得 y=2，可知抛物线 y=x23x+2 过点（3，2） ，将原抛物线沿 y轴向下平移 1个单位后过点 C平移后的抛物线解析式为：y=x 23x+1；（3）点 N在 y=x23x+1 上，可设 N点坐标为（x 0，x 023x 0+1） ，将 y=x23x+1 配方得 y=（x ） 2 ，其对称轴为直线 x= 0x 0 时，如图， ，x 0=1，此时 x023x
35、 0+1=1，N 点的坐标为（1，1） 当 时，如图，同理可得 ，x 0=3，此时 x023x 0+1=1，点 N的坐标为（3，1） 当 x0 时，由图可知，N 点不存在，26舍去综上，点 N的坐标为（1，1）或（3，1） 【点评】此题属于中考中的压轴题，难度较大，知识点考查的较多而且联系密切，需要学生认真审题此题考查了二次函数与一次函数的综合知识，解题的关键是要注意数形结合思想的应用2. （2018山西13 分）2 3. (本 题 13 分) 综合与探究如 图 ， 抛 物 线14yx与 x 轴 交 于 A , B 两 点 （ 点 A 在 点 B 的左侧） ，与 y 轴 交 于 点 C ， 连
36、接AC , BC .点 P 是 第 四 象 限 内 抛 物 线 上 的 一 个 动 点 ， 点 P 的 横 坐 标 为 m ， 过 点 P 作 PM x 轴 ， 垂 足 为 点 M ， PM 交 BC 于 点 Q ， 过 点 P 作 PE AC 交 x 轴 于 点 E ， 交 BC 于 点 F .（1 ）求 A ， B ， C 三 点 的 坐 标 ；（2 ）试 探 究 在 点 P 的运动的过程中， 是否存在这样的点 Q ， 使得以 A ， C ， Q 为顶点的三角形是等 腰 三 角 形. 若存在，请 写 出 此 时 点 Q 的坐标；若不存在，请说 明 理 由 ；（3 ）
37、请 用 含 m 的代数式表示线段 QF 的 长 ， 并 求 出 m 为何值时 QF 有 最 大 值.【 考 点 】几何与二次函数综合【 解 析 】 2712（1 ）解 ：由 y 0 ， 得 214=03x解 得 x1 3 ， x2 4 . 点 A ， B 的 坐 标 分 别 为 A(-3,0)，B （4 ，0 ）由 x 0 ， 得 y 4 . 点 C 的坐标为 C（0 ，- 4）.（2 ）答 ： Q ( 5 2 , 522 4) ， Q (1,3) .228（3 ）过 点 F 作 FG PQ 于 点 G .则 FG x 轴. 由 B（4
38、，0 ），C （0 ，- 4）， 得 O B C为等腰直角三角形. OBC QFG 45 . GQ FG 2 FQ .PE AC , 1 2 .FG x 轴 ， 2 3 . 1 3 .FGP AOC 90 , FGP AOC .题号依次顺延.4. （2018山东枣庄10 分）如图 1，已知二次函数 y=ax2+ x+c（a0）的图象与 y轴交于点 A（0，4） ，与 x轴交于点 B、C，点 C坐标为（8，0） ，连接 AB、AC29（1）请直接写出二次函数 y=ax2+ x+c的表达式；（2）判断ABC 的形状，并说明理由；（3）若点 N在 x轴上运动，当以点 A、N、C 为顶点的
39、三角形是等腰三角形时，请写出此时点 N的坐标；（4）如图 2，若点 N在线段 BC上运动（不与点 B、C 重合） ，过点 N作 NMAC，交 AB于点M，当AMN 面积最大时，求此时点 N的坐标【分析】 （1）根据待定系数法即可求得；（2）根据抛物线的解析式求得 B的坐标，然后根据勾股定理分别求得AB2=20，AC 2=80，BC10，然后根据勾股定理的逆定理即可证得ABC 是直角三角形（3）分别以 A、C 两点为圆心，AC 长为半径画弧，与 x轴交于三个点，由 AC的垂直平分线与 x轴交于一个点，即可求得点 N的坐标；（4）设点 N的坐标为（n，0） ，则 BN=n+2，过 M点作 MDx
40、轴于点 D，根据三角形相似对应边成比例求得 MD= （n+2） ，然后根据 SAMN =SABN S BMN得出关于 n的二次函数，根据函数解析式求得即可【解答】解：（1）二次函数 y=ax2+ x+c的图象与 y轴交于点 A（0，4） ，与 x轴交于点B、C，点 C坐标为（8，0） ， ，解得 抛物线表达式：y= x2+ x+4；（2）ABC 是直角三角形令 y=0，则 x2+ x+4=0，解得 x1=8，x 2=2，点 B的坐标为（2，0） ，30由已知可得，在 RtABO 中 AB2=BO2+AO2=22+42=20，在 RtAOC 中 AC2=AO2+CO2=42+82=80，又BC=
41、OB+OC=2+8=10，在ABC 中 AB2+AC2=20+80=102=BC2ABC 是直角三角形（3）A（0，4） ，C（8，0） ，AC= =4 ，以 A为圆心，以 AC长为半径作圆，交 x轴于 N，此时 N的坐标为（8，0） ，以 C为圆心，以 AC长为半径作圆，交 x轴于 N，此时 N的坐标为（84 ，0）或（8+4 ，0）作 AC的垂直平分线，交 x轴于 N，此时 N的坐标为（3，0） ，综上，若点 N在 x轴上运动，当以点 A、N、C 为顶点的三角形是等腰三角形时，点 N的坐标分别为（8，0） 、 （84 ，0） 、 （3，0） 、 （8+4 ，0） （4）如图 ，设点 N的坐标为（n，0） ，则 BN=n+2，过 M点作 MDx 轴于点 D，MDOA，BMDBAO， = ，MNAC = ， = ，OA=4，BC=10，BN=n+2MD= （n+2） ，S AMN =SABN S BMN
