1、1解直角三角形一、选择题1 （2018山东淄博4 分）一辆小车沿着如图所示的斜坡向上行驶了 100 米，其铅直高度上升了 15 米在用科学计算器求坡角 的度数时，具体按键顺序是（ ）AB CD【考点】T9：解直角三角形的应用坡度坡角问题；T6：计算器三角函数【分析】先利用正弦的定义得到 sinA=0.15，然后利用计算器求锐角 【解答】解：sinA= = =0.15，所以用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时，按键顺序为故选：A【点评】本题考查了计算器三角函数：正确使用计算器，一般情况下，三角函数值直接可以求出，已知三角函数值求角需要用第二功能键2 （2018
2、 年湖北省宜昌市 3 分）如图，要测量小河两岸相对的两点 P，A 的距离，可以在小河边取 PA 的垂线 PB 上的一点 C，测得 PC=100 米，PCA=35，则小河宽 PA 等于（ ）A100sin35米 B100sin55米 C100tan35米 D100tan55米【分析】根据正切函数可求小河宽 PA 的长度【解答】解：PAPB，PC=100 米，PCA=35，小河宽 PA=PCtanPCA=100tan35米2故选：C【点评】考查了解直角三角形的应用，解直角三角形的一般过程是：将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题） 根据题目已知特
3、点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案3. (2018 四川省绵阳市)一艘在南北航线上的测量船，于 A 点处测得海岛 B 在点 A 的南偏东 30方向，继续向南航行30 海里到达 C 点时，测得海岛 B 在 C 点的北偏东 15方向，那么海岛 B 离此航线的最近距离是（结果保留小数点后两位） （参考数据： ） （ ） A. 4.64 海里 B. 5.49 海里 &n
4、bsp; C. 6.12 海里 D. 6.21 海里【答案】B 【考点】三角形内角和定理，等腰三角形的性质，解直角三角形的应用方向角问题 【解析】 【解答】解：根据题意画出图如图所示：作 BDAC，取 BE=CE，AC=30，CAB=30ACB=15，ABC=135，又BE=CE，ACB=EBC=15，ABE=120，又CAB=30BA=BE，AD=DE，设 BD=x，在 RtABD 中，AD=DE= x，AB=BE=CE=2x，AC=AD+DE+EC=2 x+2x=30，x= = 5.49，故答案为：B.3【分析】根据题意画出
5、图如图所示：作 BDAC，取 BE=CE，根据三角形内角和和等腰三角形的性质得出BA=BE，AD=DE，设 BD=x，RtABD 中，根据勾股定理得 AD=DE= x，AB=BE=CE=2x，由 AC=AD+DE+EC=2 x+2x=30，解之即可得出答案.二.填空题1. （2018 重庆(A)4 分）如图，把三角形纸片折叠，使点 B、点 C都与点 A重合，折痕分别为 DE， FG，得到30AGE，若 23AEG厘米，则 AC的边 的长为 厘米。【考点】解直角三角形、勾股定理【解析】 过 E作 HAG于 。23,0.3cos26.AG由翻折得 ,.BECA643C【点评】 本题考查
6、了解直角三角形中的翻折问题，其中包括勾股定理的应用，难度中等2. （2018湖北黄石3 分）如图，无人机在空中 C 处测得地面 A、B 两点的俯角分别为 60、45，如果无人机距地面高度 CD 为 米，点 A、D、E 在同一水平直线上，则 A、B 两点间的距离是 100（1+ ） 米 （结果保留根号）【分析】如图，利用平行线的性质得A=60，B=45，在 RtACD 中利用正切定义可计算出 AD=100，在 RtBCD中利用等腰直角三角形的性质得 BD=CD=100 ，然后计算 AD+BD 即可【解答】解：如图，无人机在空中 C 处测得地面 A、B 两点的俯角分别为 6
7、0、45，A=60，B=45，4在 RtACD 中，tanA= ，AD= =100，在 RtBCD 中，BD=CD=100 ，AB=AD+BD=100+100 =100（1+ ） 答：A、B 两点间的距离为 100（1+ ）米故答案为 100（1+ ） 【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题：解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形3. （2018山东泰安3 分）如图，在ABC 中，AC=6，BC=10，tanC= ，点 D 是 AC 边上的动点（不与点 C 重合） ，过D 作 DEBC，垂足为 E，
8、点 F 是 BD 的中点，连接 EF，设 CD=x，DEF 的面积为 S，则 S 与 x 之间的函数关系式为 S=x2 【分析】可在直角三角形 CED 中，根据 DE、CE 的长，求出BED 的面积即可解决问题【解答】解：（1）在 RtCDE 中，tanC= ，CD=xDE= x，CE= x，BE=10 x，S BED = （10 x） x= x2+3xDF=BF，S= SBED = x2 ，故答案为 S= x2 【点评】本题考查解直角三角形，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型54（2018山东潍坊3 分）如图，一艘渔船正以 60 海里/小时的速度
9、向正东方向航行，在 A 处测得岛礁 P 在东北方向上，继续航行 1.5 小时后到达 B 处，此时测得岛礁 P 在北偏东 30方向，同时测得岛礁 P 正东方向上的避风港 M 在北偏东 60方向为了在台风到来之前用最短时间到达 M 处，渔船立刻加速以 75 海里/小时的速度继续航行 小时即可到达 （结果保留根号）【分析】如图，过点 P 作 PQAB 交 AB 延长线于点 Q，过点 M 作 MNAB 交 AB 延长线于点 N，通过解直角AQP、直角BPQ 求得 PQ 的长度，即 MN 的长度，然后通过解直角BMN 求得 BM 的长度，则易得所需时间【解答】解：如图，过点 P 作 PQA
10、B 交 AB 延长线于点 Q，过点 M 作 MNAB 交 AB 延长线于点 N，在直角AQP 中，PAQ=45，则 AQ=PQ=601.5+BQ=90+BQ（海里） ，所以 BQ=PQ90在直角BPQ 中，BPQ=30，则 BQ=PQtan30= PQ（海里） ，所以 PQ90= PQ，所以 PQ=45（3+ ） （海里）所以 MN=PQ=45（3+ ） （海里）在直角BMN 中，MBN=30，所以 BM=2MN=90（3+ ） （海里）所以 = （小时）故答案是： 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，此题是一道方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学
11、应用于实际生活的思想65（2018 年江苏省泰州市3 分）如图，ABC 中，ACB=90，sinA= ，AC=12，将ABC 绕点 C 顺时针旋转 90得到A'B'C，P 为线段 AB'上的动点，以点 P 为圆心，PA长为半径作P，当P 与ABC 的边相切时，P 的半径为 或 【分析】分两种情形分别求解：如图 1 中，当P 与直线 AC 相切于点 Q 时，如图 2 中，当P 与 AB 相切于点 T 时，【解答】解：如图 1 中，当P 与直线 AC 相切于点 Q 时，连接 PQ设 PQ=PA=r，PQCA， = ， = ，r= 如图 2 中，当P
12、与 AB 相切于点 T 时，易证 A、B、T 共线，ABTABC，7 = ， = ，AT= ，r= AT= 综上所述，P 的半径为 或 【点评】本题考查切线的性质、勾股定理、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题6（2018湖北省武汉 3 分）如图在ABC 中，ACB=60，AC=1，D 是边 AB 的中点，E 是边 BC 上一点若 DE 平分ABC 的周长，则 DE 的长是 【分析】延长 BC 至 M，使 CM=CA，连接 AM，作 CNAM 于 N，根据题意得到 ME=EB，根据三
13、角形中位线定理得到DE= AM，根据等腰三角形的性质求出ACN，根据正弦的概念求出 AN，计算即可【解答】解：延长 BC 至 M，使 CM=CA，连接 AM，作 CNAM 于 N，DE 平分ABC 的周长，ME=EB，又 AD=DB，DE= AM，DEAM，ACB=60，ACM=120，CM=CA，ACN=60，AN=MN，AN=ACsinACN= ，AM= ，8DE= ，故答案为： 【点评】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质、解直角三角形，掌握三角形中位线定理、正确作出辅助性是解题的关键题号依次顺延三.解答题1. （2018四川凉州8 分）如图，要在木里县某林场东西方向的两地之间
14、修一条公路 MN，已知 C 点周围 200 米范围内为原始森林保护区，在 MN 上的点 A 处测得 C 在 A 的北偏东 45方向上，从 A 向东走 600 米到达 B 处，测得 C 在点 B 的北偏西 60方向上（1）MN 是否穿过原始森林保护区，为什么？（参考数据： 1.732）（2）若修路工程顺利进行，要使修路工程比原计划提前 5 天完成，需将原定的工作效率提高 25%，则原计划完成这项工程需要多少天？【分析】 （1）要求 MN 是否穿过原始森林保护区，也就是求 C 到 MN 的距离要构造直角三角形，再解直角三角形；（2）根据题意列方程求解【解答】解：（1）理由如下：如图，过 C 作 C
15、HAB 于 H设 CH=x，由已知有EAC=45，FBC=60，则CAH=45，CBA=30在 RtACH 中，AH=CH=x，9在 RtHBC 中，tanHBC= ，AH+HB=AB，x+ x=600，解得 x= 220（米）200（米） MN 不会穿过森林保护区（2）设原计划完成这项工程需要 y 天，则实际完成工程需要（y5）天根据题意得： =（1+25%） 解得：y=25经检验知：y=25 是原方程的根答：原计划完成这项工程需要 25 天【点评】考查了构造直角三角形解斜三角形的方法和分式方程的应用2. （2018山西8 分） 祥云桥位于省城太原南部，该桥塔主体由三根曲线塔柱组 合 而 成
16、 ， 全 桥 共 设 13 对 直 线 型 斜 拉 索 ， 造型 新 颖 ， 是 “三 晋大地 ”的一种象 征. 某数学“综合与实践”小组的同学把“测量斜拉索顶端到 桥面的距离” 作为一项课题活动， 他们制订了测量方案， 并利用课余时 间 借 助 该 桥斜 拉 索完成 了 实 地 测 量.测 量 结 果 如 下表.项 目 内 容课 题 测量斜拉索顶端到桥面的距离10测量示意图说明：两侧最长斜拉索 AC，B C 相交于点 C， 分别与桥面交于 A，B 两点，且点 A，B ，C 在 同一竖直平面内. A 的度数 B 的度数 AB 的 长 度测 量 数 据 38 28 234 米11. .(1)请帮
17、助 该小 组根 据上 表中 的测量 数据 求 斜拉 索顶 端 点C到AB的距 （参 考数 据 sin 38 0.6 ， cos 38 0.8 ，tan 38 0.8 ，s in 28 0.5 ，c os 28 0.9 ，t an 28 0.5 ） ；(2)该小组 要写 出一 份完 整的 课题活 动报 告， 除上 表的 项目外 ，你 认为 还需 要补 充哪些 项目 （写 出一 个即 可）.【 考 点 】三角函数的应用【 解 析 】 （1 ）解 ：过 点 C 作 CD AB 于 点 D.设 CD= x 米 ， 在 Rt ADC 中 ， ADC=90， A=38. AD BD AB 234 . 5
18、x 2x 234.解 得 x 72 .答 ： 斜 拉 索 顶 端 点 C 到 AB 的 距 离 为 72 米.（2 ）解：答案不唯一，还需要补充的项目可为：测量工具，计算过程，人员分工，指导教 师 ， 活 动 感 受 等.3. （2018山东枣庄4 分）如图，某商店营业大厅自动扶梯 AB 的倾斜角为 31，AB 的长为 12 米，则大厅两层之间的高度为 6.18 米 （2018山东枣庄结果保留两个有效数字）【参考数据；sin31=0.515，cos31=0.857，tan31=0.601】12【分析】根据题意和锐角三角函数可以求得 BC 的长，从而可以解答本题【解答】解：在 RtABC 中，A
19、CB=90，BC=ABsinBAC=120.515=6.18（米） ，答：大厅两层之间的距离 BC 的长约为 6.18 米故答案为：6.18【点评】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答4（2018四川成都8 分）由我国完全自主设计、自主建造的首舰国产航母于 2018 年 5 月成功完成第一次海上试验任务.如图，航母由西向东航行，到达 处时，测得小岛 位于它的北偏东 方向，且于航母相距 80 海里，再航行一段时间后到达处，测得小岛 位于它的北偏东 方向.如果航母继续航行至小岛 的正南方向的 处，求还需航行的距离 的长.
20、（参考数据： ， ， ， ， ， ）【答案】解：由题知： ， ， .在 中， ， （海里）.在 中， ， ， （海里）.答：还需要航行的距离 的长为 20.4 海里. 【考点】解直角三角形，解直角三角形的应用方向角问题 【解析】 【分析】根据题意可得出 ， ， ，再利用解直角三角形在 RtACD 和 RtBCD 中，先求出 CD 的长，再求出 BD 的长，即可解答。135 （2018山东菏泽6 分）2018 年 4 月 12 日，菏泽国际牡丹花会拉开帷幕，菏泽电视台用直升机航拍技术全程直播如图，在直升机的镜头下，观测曹州牡丹园 A 处的俯角为 30，B 处的俯角为 4
21、5，如果此时直升机镜头 C 处的高度 CD 为 200 米，点 A、B、D 在同一条直线上，则 A、B 两点间的距离为多少米？（结果保留根号）【考点】TA：解直角三角形的应用仰角俯角问题【分析】在两个直角三角形中，都是知道已知角和对边，根据正切函数求出邻边后，相加求差即可【解答】解：ECAD，A=30，CBD=45，CD=200，CDAB 于点 D在 RtACD 中，CDA=90，tanA= ，AD= ，在 RtBCD 中，CDB=90，CBD=45DB=CD=200，AB=ADDB=200 200，答：A、B 两点间的距离为 200 200 米14【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解决本
22、题的关键是利用 CD 为直角ABC 斜边上的高，将三角形分成两个三角形，然后求解分别在两三角形中求出 AD 与 BD 的长6 （2018江西8 分）图 1 是一种折叠门，由上下轨道和两扇长宽相等的活页门组成，整个活页门的右轴固定在门框 上，通过推动左侧活页门开关；图 2 是其俯视图简化示意图，已知轨道 ,两扇活页门的宽 ,点 固定，当点 在 上左右运=120 =60 动时， 与 的长度不变(所有结果保留小数点后一位).(1)若 ,求 的长； =50 (2)当点 从点 向右运动 60 时，求点 在此过程中运动的路径长. 参考数据：sin500.77, cos5
23、00.64, tan501.19, 取 3.14CBAO图 1 图 2【解析】 （1）如图，作 OHAB 于 HOC=OB=60 CH=BH在 RtOBH 中 cosOBC= BH= OBcos50600.64=38.4 &nbs
24、p; AC=AB2BH120238.4=43.2AC 的长约为 43.2cm. （2）AC=60 BC=60 OC=OB=60HCBAOCBAO15OC=OB=BC=60 OBC 是等边三角形OC 弧长=603602=162603.14=62.8 &
25、nbsp; 点 O 在此过程中运动的路径长约为 62.8cm. 7 （2018湖南省常德7 分）图 1 是一商场的推拉门，已知门的宽度 AD=2 米，且两扇门的大小相同（即 AB=CD） ，将左边的门 ABB1A1绕门轴 AA1向里面旋转 37，将右边的门CDD1C1绕门轴 DD1向外面旋转 45，其示意图如图 2，求此时 B 与 C 之间的距离（结果保留一位小数） （参考数据：sin370.6，cos
26、370.8， 1.4）【分析】作 BEAD 于点 E，作 CFAD 于点 F，延长 FC 到点 M，使得 BE=CM，则 EM=BC，在RtABE、RtCDF 中可求出 AE、BE、DF、FC 的长度，进而可得出 EF 的长度，再在 RtMEF 中利用勾股定理即可求出 EM 的长，此题得解【解答】解：作 BEAD 于点 E，作 CFAD 于点 F，延长 FC 到点 M，使得 BE=CM，如图所示AB=CD，AB+CD=AD=2，AB=CD=1在 RtABE 中，AB=1，A=37，BE=ABsinA0.6，AE=ABcosA0.8在 RtCDF 中，CD=1，D=45，CF=CDsinD0.7
27、，DF=CDcosD0.7BEAD，CFAD，BECM，又BE=CM，四边形 BEMC 为平行四边形，BC=EM，CM=BE在 RtMEF 中，EF=ADAEDF=0.5，FM=CF+CM=1.3，16EM= 1.4，B 与 C 之间的距离约为 1.4 米【点评】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理以及平行四边形的判定与性质，构造直角三角形，利用勾股定理求出 BC 的长度是解题的关键8（2018湖南省衡阳8 分）一名徒步爱好者来衡阳旅行，他从宾馆 C 出发，沿北偏东30的方向行走 2000 米到达石鼓书院 A 处，参观后又从 A 处沿正南方向行走一段距离，到达位于宾馆南偏东 45方向的雁峰公
28、园 B 处，如图所示（1）求这名徒步爱好者从石鼓书院走到雁峰公园的途中与宾馆之间的最短距离；（2）若这名徒步爱好者以 100 米/分的速度从雁峰公园返回宾馆，那么他在 15 分钟内能否到达宾馆？【解答】解：（1）作 CPAB 于 P，由题意可得出：A=30，AP=2000 米，则 CP= AC=1000 米；（2）在 RtPBC 中，PC=1000，PBC=BPC=45，BC= PC=1000 米这名徒步爱好者以 100 米/分的速度从雁峰公园返回宾馆，他到达宾馆需要的时间为 =10 15，他在 15 分钟内能到达宾馆179.（2018山东临沂7 分）如图，有一个三角形的钢架 ABC，A=30
29、，C=45，AC=2（ +1）m请计算说明，工人师傅搬运此钢架能否通过一个直径为 2.1m 的圆形门？【分析】过 B 作 BDAC 于 D，解直角三角形求出 AD= xm，CD=BD=xm，得出方程，求出方程的解即可【解答】解：工人师傅搬运此钢架能通过一个直径为 2.1m 的圆形门，理由是：过 B 作 BDAC 于 D，ABBD，BCBD，ACAB，求出 DB 长和 2.1m 比较即可，设 BD=xm，A=30，C=45，DC=BD=xm，AD= BD= xm，AC=2（ +1）m，x+ x=2（ +1），x=2，即 BD=2m2.1m，工人师傅搬运此钢架能通过一个直径为 2.1m 的圆形门【
30、点评】本题考查了解直角三角形，解一元一次方程等知识点，能正确求出 BD 的长是解此题的关键1810（2018山东青岛6 分）某区域平面示意图如图，点 O 在河的一侧，AC 和 BC 表示两条互相垂直的公路甲勘测员在 A 处测得点 O 位于北偏东 45，乙勘测员在 B 处测得点 O 位于南偏西 73.7，测得 AC=840m，BC=500m请求出点 O 到 BC 的距离参考数据：sin73.7 ，cos73.7 ，tan73.7【分析】作 OMBC 于 M，ONAC 于 N，设 OM=x，根据矩形的性质用 x 表示出 OM、MC，根据正切的定义用 x 表示出 BM，根据题意列式计算即可【解答】解
31、：作 OMBC 于 M，ONAC 于 N，则四边形 ONCM 为矩形，ON=MC，OM=NC，设 OM=x，则 NC=x，AN=840x，在 RtANO 中，OAN=45，ON=AN=840x，则 MC=ON=840x，在 RtBOM 中，BM= = x，由题意得，840x+ x=500，解得，x=480，答：点 O 到 BC 的距离为 480m【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义、正确标注方向角是解题的关键11. （2018甘肃白银，定西，武威）随着中国经济的快速发展以及科技水平的飞速提高，中国高铁正迅速崛起.高铁大大缩短了时空距离，改变了人们的出行方式.如图， ，
32、 两地19被大山阻隔，由 地到 地需要绕行 地，若打通穿山隧道，建成 ， 两地的直达高铁，可以缩短从 地到 地的路程.已知： ， ， 公里，求隧道打通后与打通前相比，从 地到 地的路程将约缩短多少公里？（参考数据：， ）【答案】隧道打通后与打通前相比，从 A 地到 B 地的路程将约缩短 224 公里 【解析】【分析】过点 C 作 CD AB, 垂足为 D, 在 Rt ADC 和 Rt BCD 中，分别解直角三角形即可.【解答】如图，过点 C 作 CD AB, 垂足为 D,在 Rt ADC 和 Rt BCD 中， CAB=30， CBA=45， AC=640 CD=320， AD=
33、， BD=CD=320， BC= , AC+BC= ， AB=AD+BD= ， 1088-864=224（公里）答：隧道打通后与打通前相比，从 A 地到 B 地的路程将约缩短 224 公里 【点评】考查解直角三角形，构造直角三角形是解题的关键.12（2018安徽4 分） 为了测量竖直旗杆 AB 的高度，某综合实践小组在地面 D 处竖直放置标杆 CD，并在地面上水平放置个平面镜 E，使得 B，E，D 在同一水平线上，如图所示.该小组在标杆的 F 处通过平面镜 E 恰好观测到旗杆顶 A(此时AEB=FED).在 F 处测得旗杆顶 A 的仰角为 39.3，平面镜 E 的俯角为
34、 45，FD=1.8 米，问旗杆 AB 的高度约为多少米? (结果保留整数)(参考数据：tan39.30.82，tan84.310.02)20【答案】旗杆 AB 高约 18 米.【解析】 【分析】如图先证明FDEABE，从而得 ，在 RtFEA 中，由tanAFE= ，通过运算求得 AB 的值即可.【详解】如图，FM/BD，FED=MFE=45，DEF=BEA，AEB=45，FEA=90，FDE=ABE=90，FDEABE， ，在 RtFEA 中，AFE=MFE+MFA=45+39.3=84.3，tan84.3= ， ，AB=1.810.0218，答：旗杆 AB 高约 18 米.【点睛】本题考
35、查了解直角三角形的应用，相似三角形的判定与性质，得到是解题的关键.13.（2018株洲市）下图为某区域部分交通线路图，其中直线 ，直线 与直线都垂直， ，垂足分别为点 A、点 B 和点 C， （高速路右侧边缘） ， 上的点 M 位于点 A21的北偏东 30方向上，且 BM 千米， 上的点 N 位于点 M 的北偏东 方向上，且，MN= 千米，点 A 和点 N 是城际线 L 上的两个相邻的站点.（1）求 之间的距离（2）若城际火车平均时速为 150 千米/小时，求市民小强乘坐城际火车从站点 A 到站点 N需要多少小时？（结果用分数表示）【答案】 （1）2；（2） 小时. 【解析】分析：（1）直接利
36、用锐角三角函数关系得出 DM 的长即可得出答案；（2）利用 tan30= ，得出 AB 的长，进而利用勾股定理得出 DN 的长，进而得出 AN 的长，即可得出答案详解：（1）过点 M 作 MDNC 于点 D，cos= ，MN=2 千米，cos= ，解得：DM=2（km） ，答：l 2和 l3之间的距离为 2km；（2）点 M 位于点 A 的北偏东 30方向上，且 BM= 千米，tan30= ，解得：AB=3（km） ，22可得：AC=3+2=5（km） ，MN=2 km，DM=2km，DN= =4 （km） ，则 NC=DN+BM=5 （km） ，AN= =10（km） ，城际火车平均时速为
37、150 千米/小时，市民小强乘坐城际火车从站点 A 到站点 N 需要 小时点睛：此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出 AN 的长是解题关键14（2018株洲市）如图，在 RtABM 和 RtADN 的斜边分别为正方形的边 AB 和 AD，其中AM=AN.(1)求证：RtABMRtAND(2)线段 MN 与线段 AD 相交于 T，若 AT= ,求 的值【答案】 （1）证明见解析；（2） .【解析】分析：（1）利用 HL 证明即可；（2）证明DNTAMT，可得 ，由 AT= AD，推出 ，在 RtABM 中，tanABM= 详解：（1）AD=AB，AM=AN，AMB=AND=90RtABMR
38、tAND（HL） （2）由 RtABMRtAND 易得：DAN=BAM，DN=BMBAM+DAM=90；DAN+ADN=90DAM=ANDNDAMDNTAMT23AT= AD，RtABMtanABM= 点睛：本题考查相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、正方形的性质、解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题15 （2018 年江苏省南京市）如图，为了测量建筑物 AB 的高度，在 D 处树立标杆 CD，标杆的高是 2m，在 DB 上选取观测点 E、F，从 E 测得标杆和建筑物的顶部 C、A 的仰角分别为58、45从 F 测得 C、A 的仰角分别为 22、70求建筑物 A
39、B 的高度（精确到0.1m）（参考数据：tan220.40，tan581.60，tan702.75）【分析】在CED 中，得出 DE，在CFD 中，得出 DF，进而得出 EF，列出方程即可得出建筑物 AB 的高度；【解答】解：在 RtCED 中，CED=58，tan58= ，DE= ，在 RtCFD 中，CFD=22，tan22= ，DF= ，EF=DFDE= ，24同理：EF=BEBF= ， ，解得：AB5.9（米），答：建筑物 AB 的高度约为 5.9 米【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答问题16（2018 年江苏省南京市）结果如此巧合!下面是
40、小颖对一道题目的解答题目：如图，RtABC 的内切圆与斜边 AB 相切于点 D，AD=3，BD=4，求ABC 的面积解：设ABC 的内切圆分别与 AC、BC 相切于点 E、F，CE 的长为 x根据切线长定理，得 AE=AD=3，BF=BD=4，CF=CE=x根据勾股定理，得（x+3） 2+（x+4） 2=（3+4） 2整理，得 x2+7x=12所以 SABC = ACBC= （x+3）（x+4）= （x 2+7x+12）= （12+12）=12小颖发现 12 恰好就是 34，即ABC 的面积等于 AD 与 BD 的积这仅仅是巧合吗？请你帮她完成下面的探索已知：ABC 的内切圆与 AB 相切于点
41、 D，AD=m，BD=n可以一般化吗？（1）若C=90，求证：ABC 的面积等于 mn倒过来思考呢？（2）若 ACBC=2mn，求证C=90改变一下条件（3）若C=60，用 m、n 表示ABC 的面积25【分析】（1）由切线长知 AE=AD=m、BF=BD=n、CF=CE=x，根据勾股定理得（x+m）2+（x+n） 2=（m+n） 2，即 x2+（m+n）x=mn，再利用三角形的面积公式计算可得；（2）由由 ACBC=2mn 得（x+m）（x+n）=2mn，即 x2+（m+n）x=mn，再利用勾股定理逆定理求证即可；（3）作 AGBC，由三角函数得 AG=ACsin60= （x+m），CG=A
42、Ccos60= （x+m）、BG=BCCG=（x+n） （x+m），在 RtABG 中，根据勾股定理可得 x2+（m+n）x=3mn，最后利用三角形的面积公式计算可得【解答】解：设ABC 的内切圆分别与 AC、BC 相切于点 E、F，CE 的长为 x，根据切线长定理，得：AE=AD=m、BF=BD=n、CF=CE=x，（1）如图 1，在 RtABC 中，根据勾股定理，得：（x+m） 2+（x+n） 2=（m+n） 2，整理，得：x 2+（m+n）x=mn，所以 SABC = ACBC= （x+m）（x+n）= x2+（m+n）x+mn= （mn+mn）26=mn，（2）由 ACBC
43、=2mn，得：（x+m）（x+n）=2mn，整理，得：x 2+（m+n）x=mn，AC 2+BC2=（x+m） 2+（x+n） 2=2x2+（m+n）x+m 2+n2=2mn+m2+n2=（m+n） 2=AB2，根据勾股定理逆定理可得C=90；（3）如图 2，过点 A 作 AGBC 于点 G，在 RtACG 中，AG=ACsin60= （x+m），CG=ACcos60= （x+m），BG=BCCG=（x+n） （x+m），在 RtABG 中，根据勾股定理可得： （x+m） 2+（x+n） （x+m） 2=（m+n） 2，整理，得：x 2+（m+n）x=3mn，S ABC = BCAG= （x+
44、n） （x+m）= x2+（m+n）x+mn= （3mn+mn）= mn【点评】本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是掌握切线长定理的运用、三角函数的27应用及勾股定理及其逆定理等知识点17（2018株洲市）如图，在 RtABM 和 RtADN 的斜边分别为正方形的边 AB 和 AD，其中AM=AN.(1)求证：RtABMRtAND(2)线段 MN 与线段 AD 相交于 T，若 AT= ,求 的值【答案】 （1）证明见解析；（2） .【解析】分析：（1）利用 HL 证明即可；（2）证明DNTAMT，可得 ，由 AT= AD，推出 ，在 RtABM 中，tanABM= 详解：（1）A
45、D=AB，AM=AN，AMB=AND=90RtABMRtAND（HL） （2）由 RtABMRtAND 易得：DAN=BAM，DN=BMBAM+DAM=90；DAN+ADN=90DAM=ANDNDAMDNTAMTAT= AD，RtABMtanABM= 点睛：本题考查相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、正方形的性质、解28直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题18（2018 年江苏省泰州市10 分）日照间距系数反映了房屋日照情况如图，当前后房屋都朝向正南时，日照间距系数=L：（HH 1），其中 L 为楼间水平距离，H 为南侧楼房高度，H 1为北侧楼房底层窗台至地面高度
46、如图，山坡 EF 朝北，EF 长为 15m，坡度为 i=1：0.75，山坡顶部平地 EM 上有一高为22.5m 的楼房 AB，底部 A 到 E 点的距离为 4m（1）求山坡 EF 的水平宽度 FH；（2）欲在 AB 楼正北侧山脚的平地 FN 上建一楼房 CD，已知该楼底层窗台 P 处至地面 C 处的高度为 0.9m，要使该楼的日照间距系数不低于 1.25，底部 C 距 F 处至少多远？【分析】（1）在 RtEFH 中，根据坡度的定义得出 tanEFH=i=1：0.75= = ，设EH=4x，则 FH=3x，由勾股定理求出 EF= =5x，那么 5x=15，求出 x=3，即可得到山坡 EF 的水
47、平宽度 FH 为 9m；（2）根据该楼的日照间距系数不低于 1.25，列出不等式 1.25，解不等式即可【解答】解：（1）在 RtEFH 中，H=90，tanEFH=i=1：0.75= = ，设 EH=4x，则 FH=3x，EF= =5x，EF=15，5x=15，x=3，FH=3x=9即山坡 EF 的水平宽度 FH 为 9m；（2）L=CF+FH+EA=CF+9+4=CF+13，H=AB+EH=22.5+12=34.5，H 1=0.9，29日照间距系数=L：（HH 1）= = ，该楼的日照间距系数不低于 1.25， 1.25，CF29答：要使该楼的日照间距系数不低于 1.25，底部 C 距 F
48、 处 29m 远【点评】本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，勾股定理，将实际问题转化为数学问题是解题的关键19（2018 年江苏省宿迁）如图，为了测量山坡上一棵树 PQ 的高度，小明在点 A 处利用测角仪测得树顶 P 的仰角为 450 ， 然后他沿着正对树 PQ 的方向前进 100m 到达 B 点处，此时测得树顶 P 和树底 Q 的仰角分别是 600和 300 ， 设 PQ 垂直于 AB，且垂足为 C.（1）求BPQ 的度数； （2）求树 PQ 的高度（结果精确到 0.1m， ） 【答案】 （1）解：依题可得：A=45,PBC=60,QBC=30,AB=100m，在 RtPBC 中，PBC=60,PCB=90,BPQ=30,（2）解：设 CQ=x，在 RtQBC 中，QBC=30,QCB=90,BQ=2x，BC= x，30又PBC=60,QBC=30，PBQ=30,由（1）知BPQ=30,PQ=BQ=2x，PC=PQ
