1、2019 年山东省日照市中考数学试卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 3 分，满分 36 分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的12 的倒数是（ ）A2 B C D22近几年我国国产汽车行业蓬勃发展，下列汽车标识中，是中心对称图形的是（ ）A BC D3在实数 ， ， ， 中有理数有（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个4下列事件中，是必然事件的是（ ）A掷一次骰子，向上一面的点数是 6B13 个同学参加一个聚会，他们中至少有两个同学的生日在同一个月C射击运动员射击一次，命中靶心D经过有交通信号灯的路口，遇到红灯5如图，该几何体是由 4 个大小相同的正方体组成，
2、它的俯视图是（ ）A BC D6如图，将一块三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，当135时，2 的度数为（ ）A35 B45 C55 D657把不等式组 的解集在数轴上表示出来，正确的是（ ）A BC D8如图，甲乙两楼相距 30 米，乙楼高度为 36 米，自甲楼顶 A 处看乙楼楼顶 B 处仰角为30，则甲楼高度为（ ）A11 米 B （3615 ）米 C15 米 D （3610 ）米9在同一平面直角坐标系中，函数 y kx+1（ k0）和 y （ k0）的图象大致是（ ）A BC D10某省加快新旧动能转换，促进企业创新发展某企业一月份的营业额是 1000 万元，月平均增长率相同，第一季度的总
3、营业额是 3990 万元若设月平均增长率是 x，那么可列出的方程是（ ）A1000（1+ x） 23990B1000+1000（1+ x）+1000（1+ x） 23990C1000（1+2 x）3990D1000+1000（1+ x）+1000（1+2 x）399011如图，是二次函数 y ax2+bx+c 图象的一部分，下列结论中： abc0； a b+c0； ax2+bx+c+10 有两个相等的实数根；4 a b2 a其中正确结论的序号为（ ）A B C D12如图，在单位为 1 的方格纸上， A1A2A3， A3A4A5， A5A6A7，都是斜边在 x 轴上，斜边长分别为 2，4，6，
4、的等直角三角形，若 A1A2A3的顶点坐标分别为A1（2，0） ， A2（1，1） ， A3（0，0） ，则依图中所示规律， A2019的坐标为（ ）A （1008，0） B （1006，0） C （2，504） D （1，505）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，满分 16 分，不需写出解答过程请将答案直接写在答题卡相应位置上13已知一组数据 8，3， m，2 的众数为 3，则这组数据的平均数是 14如图，已知 AB8 cm， BD3 cm， C 为 AB 的中点，则线段 CD 的长为 cm15规定：在平面直角坐标系 xOy 中，如果点 P 的坐标为（ a， b） ，那么向量
5、可以表示为： （ a， b） ，如果 与 互相垂直， （ x1， y1） ， （ x2， y2） ，那么x1x2+y1y20若 与 互相垂直， （sin，1） ， （2， ） ，则锐角 16如图，已知动点 A 在函数 的图象上， AB x 轴于点 B， AC y 轴于点 C，延长 CA 交以 A 为圆心 AB 长为半径的圆弧于点 E，延长 BA 交以 A 为圆心 AC 长为半径的圆弧于点 F，直线 EF 分别交 x 轴、 y 轴于点 M、 N，当 NF4 EM 时，图中阴影部分的面积等于 三、解答题：本大题共 6 小题，满分 68 分。请在答题卡指定区域内作 16 题图答解答时应写出必要的文字
6、说明、证明过程或演算步骤17 （1）计算：| 2|+ 0+（1） 2019（ ） 1 ；（2）先化简，再求值：1 ，其中 a2；（3）解方程组：182019 年 4 月 23 日是第二十四个“世界读书日“某校组织读书征文比赛活动，评选出一、二、三等奖若干名，并绘成如图所示的条形统计图和扇形统计图（不完整） ，请你根据图中信息解答下列问题：（1）求本次比赛获奖的总人数，并补全条形统计图；（2）求扇形统计图中“二等奖”所对应扇形的圆心角度数；（3）学校从甲、乙、丙、丁 4 位一等奖获得者中随机抽取 2 人参加“世界读书日”宣传活动，请用列表法或画树状图的方法，求出恰好抽到甲和乙的概率19 “一带一
7、路”战略给沿线国家和地区带来很大的经济效益，某企业的产品对沿线地区实行优惠，决定在原定价基础上每件降价 40 元，这样按原定价需花费 5000 元购买的产品，现在只花费了 4000 元，求每件产品的实际定价是多少元？20如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 的中点为 O，点 G， H 在对角线 AC 上， AG CH，直线 GH 绕点 O 逆时针旋转 角，与边 AB、 CD 分别相交于点 E、 F（点 E 不与点 A、 B 重合）（1）求证：四边形 EHFG 是平行四边形；（2）若90， AB9， AD3，求 AE 的长21探究活动一：如图 1，某数学兴趣小组在研究直线上点的坐标规律时，在
8、直线 AB 上的三点 A（1，3） 、B（2，5） 、 C（4，9） ，有 kAB 2， kAC 2，发现 kAB kAC，兴趣小组提出猜想：若直线 y kx+b（ k0）上任意两点坐标 P（ x1， y1） ， Q（ x2， y2） （ x1 x2） ，则 kPQ 是定值通过多次验证和查阅资料得知，猜想成立， kPQ是定值，并且是直线 y kx+b（ k0）中的 k，叫做这条直线的斜率请你应用以上规律直接写出过 S（2，2） 、 T（4，2）两点的直线 ST 的斜率 kST 探究活动二数学兴趣小组继续深入研究直线的“斜率”问题，得到正确结论：任意两条不和坐标轴平行的直线互相要直时，这两条直线
9、的斜率之积是定值如图 2，直线 DE 与直线 DF 垂直于点 D， D（2，2） ， E（1，4） ， F（4，3） 请求出直线DE 与直线 DF 的斜率之积综合应用如图 3， M 为以点 M 为圆心， MN 的长为半径的圆， M（1，2） ， N（4，5） ，请结合探究活动二的结论，求出过点 N 的 M 的切线的解析式22如图 1，在平面直角坐标系中，直线 y5 x+5 与 x 轴， y 轴分别交于 A， C 两点，抛物线 y x2+bx+c 经过 A， C 两点，与 x 轴的另一交点为 B（1）求抛物线解析式及 B 点坐标；（2）若点 M 为 x 轴下方抛物线上一动点，连接 MA、 MB、
10、 BC，当点 M 运动到某一位置时，四边形 AMBC 面积最大，求此时点 M 的坐标及四边形 AMBC 的面积；（3）如图 2，若 P 点是半径为 2 的 B 上一动点，连接 PC、 PA，当点 P 运动到某一位置时， PC+ PA 的值最小，请求出这个最小值，并说明理由答案解析 一选择题（共 12 小题）12 的倒数是（ ）A2 B C D2【分析】依据倒数的定义回答即可【解答】解：2 的倒数为 故选： B2近几年我国国产汽车行业蓬勃发展，下列汽车标识中，是中心对称图形的是（ ）A BC D【分析】把一个图形绕某一点旋转 180，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对
11、称图形，这个点叫做对称中心根据中心对称图形的概念求解【解答】解： A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；C、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意故选： D3在实数 ， ， ， 中有理数有（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【分析】整数和分数统称为有理数，依此定义求解即可【解答】解：在实数 ， ， ， 中 2，有理数有 ， 共 2 个故选： B4下列事件中，是必然事件的是（ ）A掷一次骰子，向上一面的点数是 6B13 个同学参加一个聚会，他们中至少有两个同学的生日
12、在同一个月C射击运动员射击一次，命中靶心D经过有交通信号灯的路口，遇到红灯【分析】事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，即发生的概率是 1 的事件【解答】解： A掷一次骰子，向上一面的点数是 6，属于随机事件；B.13 个同学参加一个聚会，他们中至少有两个同学的生日在同一个月，属于必然事件；C射击运动员射击一次，命中靶心，属于随机事件；D经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，属于随机事件；故选： B5如图，该几何体是由 4 个大小相同的正方体组成，它的俯视图是（ ）A BC D【分析】找到从上面看所得到的图形即可【解答】解：从上面可看到从上往下 2 行小正方形的个数为：2，1，并且下面一行的正
13、方形靠左，故选： B6如图，将一块三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，当135时，2 的度数为（ ）A35 B45 C55 D65【分析】先根据平行线的性质求出3 的度数，再由余角的定义即可得出结论【解答】解：直尺的两边互相平行，135，3352+390，255故选： C7把不等式组 的解集在数轴上表示出来，正确的是（ ）A BC D【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，再把不等式组 的解集在数轴上表示出来即可【解答】解：解不等式得： x3，解不等式得： x1，故不等式组的解集为：3 x1，在数轴上表示为：故选： C8
14、如图，甲乙两楼相距 30 米，乙楼高度为 36 米，自甲楼顶 A 处看乙楼楼顶 B 处仰角为30，则甲楼高度为（ ）A11 米 B （3615 ）米 C15 米 D （3610 ）米【分析】分析题意可得：过点 A 作 AE BD，交 BD 于点 E；可构造 Rt ABE，利用已知条件可求 BE；而乙楼高 AC ED BD BE【解答】解：过点 A 作 AE BD，交 BD 于点 E，在 Rt ABE 中， AE30 米， BAE30， BE30tan3010 （米） ， AC ED BD BE（3610 ） （米） 甲楼高为（3610 ）米故选： D9在同一平面直角坐标系中，函数 y kx+1
15、（ k0）和 y （ k0）的图象大致是（ ）A BC D【分析】分两种情况讨论，当 k0 时，分析出一次函数和反比例函数所过象限；再分析出 k0 时，一次函数和反比例函数所过象限，符合题意者即为正确答案【解答】解：当 k0 时， y kx+1 过一、二、三象限； y 过一、三象限；当 k0 时， y kx+1 过一、二、四象象限； y 过二、四象限观察图形可知，只有 C 选项符合题意故选： C10某省加快新旧动能转换，促进企业创新发展某企业一月份的营业额是 1000 万元，月平均增长率相同，第一季度的总营业额是 3990 万元若设月平均增长率是 x，那么可列出的方程是（ ）A1000（1+
16、x） 23990B1000+1000（1+ x）+1000（1+ x） 23990C1000（1+2 x）3990D1000+1000（1+ x）+1000（1+2 x）3990【分析】设月平均增长的百分率是 x，则该超市二月份的营业额为 100（1+ x）万元，三月份的营业额为 100（1+ x） 2万元，根据该超市第一季度的总营业额是 3990 万元，即可得出关于 x 的一元二次方程，此题得解【解答】解：设月平均增长的百分率是 x，则该超市二月份的营业额为 100（1+ x）万元，三月份的营业额为 100（1+ x） 2万元，依题意，得 1000+1000（1+ x）+1000（1+ x）
17、 23990故选： B11如图，是二次函数 y ax2+bx+c 图象的一部分，下列结论中： abc0； a b+c0； ax2+bx+c+10 有两个相等的实数根；4 a b2 a其中正确结论的序号为（ ）A B C D【分析】由抛物线的开口方向判断 a 的符号，由抛物线与 y 轴的交点判断 c 的符号，然后根据对称轴及抛物线与 x 轴交点情况进行推理，进而对各个结论进行判断【解答】解：由抛物线的开口方向向上可推出 a0，与 y 轴的交点为在 y 轴的负半轴上可推出 c10，对称轴为 x 10， a0，得 b0，故 abc0，故正确；由对称轴为直线 x 1，抛物线与 x 轴的一个交点交于（2
18、，0） ， （3，0）之间，则另一个交点在（0，0） ， （1，0）之间，所以当 x1 时， y0，所以 a b+c0，故错误；抛物线与 y 轴的交点为（0，1） ，由图象知二次函数 y ax2+bx+c 图象与直线 y1有两个交点，故 ax2+bx+c+10 有两个不相等的实数根，故错误；由对称轴为直线 x ，由图象可知 1 2，所以4 a b2 a，故正确故选： D12如图，在单位为 1 的方格纸上， A1A2A3， A3A4A5， A5A6A7，都是斜边在 x 轴上，斜边长分别为 2，4，6，的等直角三角形，若 A1A2A3的顶点坐标分别为A1（2，0） ， A2（1，1） ， A3（0
19、，0） ，则依图中所示规律， A2019的坐标为（ ）A （1008，0） B （1006，0） C （2，504） D （1，505）【分析】观察图形可以看出 A1 A4； A5 A8；每 4 个为一组，由于201945043， A2019在 x 轴负半轴上，纵坐标为 0，再根据横坐标变化找到规律即可解答【解答】解：观察图形可以看出 A1 A4； A5 A8；每 4 个为一组，201945043 A2019在 x 轴负半轴上，纵坐标为 0， A3、 A7、 A11的横坐标分别为 0，2，4， A2019的横坐标为（20193） 1008 A2019的坐标为（1008，0） 故选： A二填空题
20、（共 4 小题）13已知一组数据 8，3， m，2 的众数为 3，则这组数据的平均数是 4 【分析】直接利用众数的定义得出 m 的值，进而求出平均数；【解答】解：一组数据 8，3， m，2 的众数为 3， m3，这组数据的平均数： 4，故答案为：414如图，已知 AB8 cm， BD3 cm， C 为 AB 的中点，则线段 CD 的长为 1 cm【分析】先根据中点定义求 BC 的长，再利用线段的差求 CD 的长【解答】解： C 为 AB 的中点， AB8 cm， BC AB 84（ cm） ， BD3 cm， CD BC BD431（ cm） ，则 CD 的长为 1cm；故答案为：115规定：
21、在平面直角坐标系 xOy 中，如果点 P 的坐标为（ a， b） ，那么向量 可以表示为： （ a， b） ，如果 与 互相垂直， （ x1， y1） ， （ x2， y2） ，那么x1x2+y1y20若 与 互相垂直， （sin，1） ， （2， ） ，则锐角 60 【分析】根据平面向量垂直的判定方法得到：2sin+1（ ）0，结合特殊角的三角函数值解答【解答】解：依题意，得 2sin+1（ ）0，解得 sin 是锐角，60故答案是：6016如图，已知动点 A 在函数 的图象上， AB x 轴于点 B， AC y 轴于点 C，延长 CA 交以 A 为圆心 AB 长为半径的圆弧于点 E，延长
22、BA 交以 A 为圆心 AC 长为半径的圆弧于点 F，直线 EF 分别交 x 轴、 y 轴于点 M、 N，当 NF4 EM 时，图中阴影部分的面积等于 2.5 【分析】作 DF y 轴于点 D， EG x 轴于 G，得到 GEM DNF，于是得到 4，设 GM t，则 DF4 t，然后根据 AEF GME，据此即可得到关于 t 的方程，求得 t 的值，进而求解【解答】解：作 DF y 轴于点 D， EG x 轴于 G， GEM DNF， NF4 EM， 4，设 GM t，则 DF4 t， A（4 t， ） ，由 AC AF， AE AB， AF4 t， AE ， EG ， AEF GME， A
23、F： EG AE： GM，即 4t： ： t，即 4t2 ， t2 ，图中阴影部分的面积 + 2+ 2.5，故答案为：2.5三解答题（共 6 小题）17 （1）计算：| 2|+ 0+（1） 2019（ ） 1 ；（2）先化简，再求值：1 ，其中 a2；（3）解方程组：【分析】 （1）根据绝对值、零指数幂和负整数指数幂可以解答本题；（2）根据分式的除法和减法可以化简题目中的式子，然后将 a 的值代入化简后的式子即可解答本题；（3）根据解方程组的方法可以解答此方程组【解答】解：（1）| 2|+ 0+（1） 2019（ ） 12 +1+（1）2 ；（2）1 11当 a2 时，原式 ；（3） ，4+，
24、得11x22，解得， x2，将 x2 代入中，得y1，故原方程组的解是 182019 年 4 月 23 日是第二十四个“世界读书日“某校组织读书征文比赛活动，评选出一、二、三等奖若干名，并绘成如图所示的条形统计图和扇形统计图（不完整） ，请你根据图中信息解答下列问题：（1）求本次比赛获奖的总人数，并补全条形统计图；（2）求扇形统计图中“二等奖”所对应扇形的圆心角度数；（3）学校从甲、乙、丙、丁 4 位一等奖获得者中随机抽取 2 人参加“世界读书日”宣传活动，请用列表法或画树状图的方法，求出恰好抽到甲和乙的概率【分析】 （1）由一等奖人数及其所占百分比可得总人数，总人数减去一等奖、三等奖人数求出
25、二等奖人数即可补全图形；（2）用 360乘以二等奖人数所占百分比可得答案；（3）画出树状图，由概率公式即可解决问题【解答】解：（1）本次比赛获奖的总人数为 410%40（人） ，二等奖人数为 40（4+24）12（人） ，补全条形图如下：（2）扇形统计图中“二等奖”所对应扇形的圆心角度数为 360 108；（3）树状图如图所示，从四人中随机抽取两人有 12 种可能，恰好是甲和乙的有 2 种可能，抽取两人恰好是甲和乙的概率是 19 “一带一路”战略给沿线国家和地区带来很大的经济效益，某企业的产品对沿线地区实行优惠，决定在原定价基础上每件降价 40 元，这样按原定价需花费 5000 元购买的产品，
26、现在只花费了 4000 元，求每件产品的实际定价是多少元？【分析】设每件产品的实际定价是 x 元，则原定价为（ x+40）元，根据“按原定价需花费 5000 元购买的产品，现在只花费了 4000 元”建立方程，解方程即可【解答】解：设每件产品的实际定价是 x 元，则原定价为（ x+40）元，由题意，得 解得 x160经检验 x160 是原方程的解，且符合题意答：每件产品的实际定价是 160 元20如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 的中点为 O，点 G， H 在对角线 AC 上， AG CH，直线 GH 绕点 O 逆时针旋转 角，与边 AB、 CD 分别相交于点 E、 F（点 E 不与点
27、 A、 B 重合）（1）求证：四边形 EHFG 是平行四边形；（2）若90， AB9， AD3，求 AE 的长【分析】 （1）由“ ASA”可证 COF AOE，可得 EO FO，且 GO HO，可证四边形 EHFG是平行四边形；（2）由题意可得 EF 垂直平分 AC，可得 AE CE，由勾股定理可求 AE 的长【解答】证明：（1）对角线 AC 的中点为 O AO CO，且 AG CH GO HO四边形 ABCD 是矩形 AD BC， CD AB， CD AB DCA CAB，且 CO AO， FOC EOA COF AOE（ ASA） FO EO，且 GO HO四边形 EHFG 是平行四边形
28、；（2）如图，连接 CE90， EF AC，且 AO CO EF 是 AC 的垂直平分线， AE CE，在 Rt BCE 中， CE2 BC2+BE2， AE2（9 AE） 2+9， AE521探究活动一：如图 1，某数学兴趣小组在研究直线上点的坐标规律时，在直线 AB 上的三点 A（1，3） 、B（2，5） 、 C（4，9） ，有 kAB 2， kAC 2，发现 kAB kAC，兴趣小组提出猜想：若直线 y kx+b（ k0）上任意两点坐标 P（ x1， y1） ， Q（ x2， y2） （ x1 x2） ，则 kPQ 是定值通过多次验证和查阅资料得知，猜想成立， kPQ是定值，并且是直线
29、y kx+b（ k0）中的 k，叫做这条直线的斜率请你应用以上规律直接写出过 S（2，2） 、 T（4，2）两点的直线 ST 的斜率 kST 探究活动二数学兴趣小组继续深入研究直线的“斜率”问题，得到正确结论：任意两条不和坐标轴平行的直线互相要直时，这两条直线的斜率之积是定值如图 2，直线 DE 与直线 DF 垂直于点 D， D（2，2） ， E（1，4） ， F（4，3） 请求出直线DE 与直线 DF 的斜率之积综合应用如图 3， M 为以点 M 为圆心， MN 的长为半径的圆， M（1，2） ， N（4，5） ，请结合探究活动二的结论，求出过点 N 的 M 的切线的解析式【分析】 （1）直
30、接利用公式计算即可；（2）运用公式分别求出 kDE和 kDF的值，再计算 kDEkDF1；（3）先求直线 MN 的斜率 kMN，根据切线性质可知 PQ MN，可得直线 PQ 的斜率 kPQ，待定系数法即可求得直线 PQ 解析式【解答】解：（1） S（2，2） 、 T（4，2） kST 故答案为：（2） D（2，2） ， E（1，4） ， F（4，3） kDE 2， kDF ， kDEkDF2 1，任意两条不和坐标轴平行的直线互相垂直时，这两条直线的斜率之积等于1（3）设经过点 N 与 M 的直线为 PQ，解析式为 y kPQx+b M（1，2） ， N（4，5） ， kMN 1， PQ 为 M
31、 的切线 PQ MN kPQkMN1， kPQ1，直线 PQ 经过点 N（4，5） ，514+ b，解得 b9直线 PQ 的解析式为 y x+922如图 1，在平面直角坐标系中，直线 y5 x+5 与 x 轴， y 轴分别交于 A， C 两点，抛物线 y x2+bx+c 经过 A， C 两点，与 x 轴的另一交点为 B（1）求抛物线解析式及 B 点坐标；（2）若点 M 为 x 轴下方抛物线上一动点，连接 MA、 MB、 BC，当点 M 运动到某一位置时，四边形 AMBC 面积最大，求此时点 M 的坐标及四边形 AMBC 的面积；（3）如图 2，若 P 点是半径为 2 的 B 上一动点，连接 P
32、C、 PA，当点 P 运动到某一位置时， PC+ PA 的值最小，请求出这个最小值，并说明理由【分析】 （1）由直线 y5 x+5 求点 A、 C 坐标，用待定系数法求抛物线解析式，进而求得点 B 坐标（2）从 x 轴把四边形 AMBC 分成 ABC 与 ABM；由点 A、 B、 C 坐标求 ABC 面积；设点M 横坐标为 m，过点 M 作 x 轴的垂线段 MH，则能用 m 表示 MH 的长，进而求 ABM 的面积，得到 ABM 面积与 m 的二次函数关系式，且对应的 a 值小于 0，配方即求得 m 为何值时取得最大值，进而求点 M 坐标和四边形 AMBC 的面积最大值（3）作点 D 坐标为（
33、4，0） ，可得 BD1，进而有 ，再加上公共角 PBD ABP，根据两边对应成比例且夹角相等可证 PBD ABP，得 等于相似比，进而得 PD AP，所以当 C、 P、 D 在同一直线上时， PC+ PA PC+PD CD 最小用两点间距离公式即求得 CD 的长【解答】解：（1）直线 y5 x+5， x0 时， y5 C（0，5）y5 x+50 时，解得： x1 A（1，0）抛物线 y x2+bx+c 经过 A， C 两点 解得：抛物线解析式为 y x26 x+5当 y x26 x+50 时，解得： x11， x25 B（5，0）（2）如图 1，过点 M 作 MH x 轴于点 H A（1，0
34、） ， B（5，0） ， C（0，5） AB514， OC5 S ABC ABOC 4510点 M 为 x 轴下方抛物线上的点设 M（ m， m26 m+5） （1 m5） MH| m26 m+5| m2+6m5 S ABM ABMH 4（ m2+6m5）2 m2+12m102（ m3） 2+8 S 四边形 AMBC S ABC+S ABM10+2（ m3） 2+82（ m3） 2+18当 m3，即 M（3，4）时，四边形 AMBC 面积最大，最大面积等于 18（3）如图 2，在 x 轴上取点 D（4，0） ，连接 PD、 CD BD541 AB4， BP2 PBD ABP PBD ABP PD AP PC+ PA PC+PD当点 C、 P、 D 在同一直线上时， PC+ PA PC+PD CD 最小 CD PC+ PA 的最小值为
