1、2 抛物线21 抛物线及其标准方程学习目标 1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念.2.掌握抛物线的标准方程及其推导过程.3.明确抛物线标准方程中 p 的几何意义，能解决简单的求抛物线标准方程问题知识点一 抛物线的定义思考 1 平面内，到两定点距离相等的点的轨迹是什么？答案 连接两定点所得线段的垂直平分线思考 2 平面内，到一定点和一条定直线(点不在定直线上) 距离相等的点的轨迹是直线还是曲线呢？答案 曲线梳理 (1)定义：平面内与一定点 F 和一条定直线 l(l 不过 F)的距离相等的点的集合叫作抛物线(2)焦点：定点 F 叫作抛物线的焦点(3)准线：定直线 l 叫作抛物线的准线知识点二 抛
2、物线的标准方程思考 抛物线方程中 p 有何意义？抛物线的开口方向由什么决定？答案 p 是抛物线的焦点到准线的距离，抛物线的方程中一次项决定开口方向梳理 抛物线的标准方程有四种类型图形 标准方程 焦点坐标 准线方程y22px( p0) (p2，0)xp2y22px( p0) ( p2，0)xp2x22py( p0) (0，p2)yp2x22py( p0) (0，p2)yp2特别提醒：(1)方程特点：焦点在 x 轴上，x 是一次项，y 是平方项；焦点在 y 轴上，y 是一次项，x 是平方项(2)一次项表明焦点所在轴，它的符号表明开口方向，有如下口诀：焦点轴一次项，符号确定开口向；若 y 是一次项，
3、负时向下正向上；若 x 是一次项，负时向左正向右1到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线( )2抛物线的方程都是 y 关于 x 的二次函数( )3方程 x22ay(a0)表示开口向上的抛物线( )类型一 求抛物线的标准方程例 1 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程(1) 过点(3 ， 4)；(2) 焦点在直线 x3y150 上考点 抛物线的标准方程题点 求抛物线方程解 (1)方法一 点(3，4)在第四象限，设抛物线的标准方程为 y22p 1x(p10)或 x22p 2y (p20)把点(3，4) 分别代入 y22 p1x 和 x22p 2y，得(4) 22p 13,322p 2(
4、 4)，即 2p1 ，2p 2 .163 94所求抛物线的标准方程为 y2 x 或 x2 y.163 94方法二 点(3，4)在第四象限，抛物线的方程可设为 y2ax (a0)或 x2by (b0)把点(3，4) 分别代入，可得 a ，b .163 94所求抛物线的标准方程为 y2 x 或 x2 y.163 94(2)令 x0 得 y5；令 y 0 得 x15.抛物线的焦点为(0，5)或(15,0) 所求抛物线的标准方程为 x220y 或 y260x.反思与感悟 求抛物线的标准方程的关键与方法(1)关键：确定焦点在哪条坐标轴上，进而求方程的有关参数(2)方法：直接法，建立恰当坐标系，利用抛物线
5、的定义列出动点满足的条件，列出对应方程，化简方程；直接根据定义求 p，最后写标准方程；利用待定系数法设标准方程，找有关的方程组求系数跟踪训练 1 求满足下列条件的抛物线的标准方程(1)过点(3,2)；(2)焦点在直线 x2y40 上；(3)已知抛物线焦点在 y 轴上，焦点到准线的距离为 3.解 (1)设所求的抛物线方程为 y22p 1x(p10)或 x22p 2y(p20)，过点( 3,2)，42p 1(3)或 92p 22，p 1 或 p2 .23 94故所求抛物线的标准方程为 y2 x 或 x2 y.43 92(2)令 x0 得 y2，令 y 0 得 x4，抛物线的焦点坐标为(4,0)或(
6、0 ，2)当焦点坐标为(4,0)时， 4，p2p8，此时抛物线方程为 y216x；当焦点坐标为(0，2)时， | 2|，p2p4，此时抛物线方程为 x28y.故所求抛物线的标准方程为 y216x 或 x28y.(3)由题意知，抛物线标准方程为 x22py(p0)或 x22py(p0)且 p3.抛物线的标准方程为 x26y 或 x26y.类型二 求抛物线的焦点坐标和准线方程例 2 指出下列抛物线的焦点坐标和准线方程并说明抛物线开口方向(1)y x2；14(2)xay 2(a0)解 (1)抛物线 y x2 的标准形式为 x24y ，14p2，焦点坐标是(0,1)，准线方程是 y1，抛物线开口向上(
7、2)抛物线方程的标准形式为 y2 x，1a2p .1|a|当 a0 时， ，抛物线开口向右，p2 14a焦点坐标是 ，准线方程是 x ；(14a，0) 14a当 a0(14a，0) 14a时，开口向右；当 a0)由题意可知，点 B(4，5) 在抛物线上，故 p ，得 x2 y.85 165当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，设此时船面宽为 AA，则 A(2，y A)，由 22 yA，得 yA .165 54又知船面露出水面上的部分高为 m，34所以 h|y A| 2(m)34所以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距 2 m 时，小船开始不能通航反思与感悟 涉及拱桥、隧道的问题，通常需建立适当的平
8、面直角坐标系，利用抛物线的标准方程进行求解跟踪训练 3 某抛物线形拱桥跨度是 20 米，拱桥高度是 4 米，在建桥时，每 4 米需用一根支柱支撑，求其中最长支柱的长考点 抛物线的标准方程题点 抛物线方程的应用解 如图，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为 x22py( p0)由题意知，点 P(10，4) 在抛物线上，所以 1002p(4)，2p25.即抛物线方程为 x225y .因为每 4 米需用一根支柱支撑，所以支柱横坐标分别为6，2,2,6.由图知，AB 是最长的支柱之一设点 B 的坐标为(2，y B)，代入 x225y，得 yB .425所以|AB|4 3.84，425即最长支柱的长为 3
9、.84 米1抛物线 y x2 的准线方程是( )14Ay1 By2Cx 1 Dx2答案 A解析 由 y x2，得 x24y，则抛物线的焦点在 y 轴正半轴上，且 2p4，即 p2，因此准14线方程为 y 1.p22抛物线 y28x 的焦点坐标和准线方程分别为( )A(1,0)，x1 B(2,0)，x2C(3,0) ，x3 D(4,0)，x4答案 B解析 抛物线 y28x 的焦点坐标为(2,0)，准线方程为 x2.3已知抛物线的焦点到准线的距离为 3，则抛物线方程可以为( )Ay 2x By 22xCx 2 3y Dx 26y考点 抛物线的标准方程题点 求抛物线方程答案 D解析 由题意知 p3，
10、故选 D.4抛物线 x28y 上的点 M 到 x 轴的距离为 6，则点 M 与抛物线的焦点间的距离为_答案 8解析 由抛物线的定义可得|MF |6 8.p25已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点 P(2，4) ，则该抛物线的标准方程为_答案 y 28x 或 x2y解析 设抛物线方程为 y22px (p0)，或 x22py (p0)将 P(2，4)代入，分别得方程为 y28x 或 x2y.1焦点在 x 轴上的抛物线，其标准方程可以统设为 y2mx (m0)，此时焦点坐标为F ，准线方程为 x ；焦点在 y 轴上的抛物线，其标准方程可以统设为(m4，0) m4x2my(m0) ，此时
11、焦点为 F ，准线方程为 y .(0，m4) m42设 M 是抛物线上一点，焦点为 F，则线段 MF 叫作抛物线的焦半径若 M(x0，y 0)在抛物线 y22px(p0)上，则根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离可以相互转化，所以焦半径|MF |x 0 .p2一、选择题1已知抛物线 C：y 2x 的焦点为 F，A(x 0，y 0)是 C 上一点， |AF| x0，则 A 点的坐标为( )54A(1,1) B(1，1)C(1，1) D(1,0)考点 抛物线的定义题点 由抛物线定义求点的坐标答案 B解析 由抛物线的定义，可得|AF |x 0 ，14|AF| x0，x 0 x0，
12、x 01.54 14 54把 x01 代入 y2x ，得 y 1，y 01，20点 A 的坐标为(1，1) 2已知抛物线 y22px (p0)的准线经过点( 1,1)，则该抛物线焦点坐标为 ( )A(1,0) B(1,0)C(0，1) D(0,1)考点 抛物线的标准方程题点 抛物线方程的应用答案 B解析 抛物线 y22px (p0)的准线方程为 x .由题设知 1，即 p2，故焦点坐标p2 p2为 .故选 B.(1，0)3顶点在原点，对称轴是 y 轴，并且顶点与焦点的距离等于 3 的抛物线的标准方程是( )Ax 23y By 26xCx 2 12y Dx 26y答案 C解析 顶点与焦点距离等于
13、 3，2p12，又对称轴是 y 轴，抛物线的标准方程为 x212y .4已知抛物线的顶点在原点，焦点在 y 轴上，抛物线上的点 P(m，2)到焦点的距离为 4，则 m 的值为( )A4 B2C4 或4 D12 或2考点 抛物线的定义题点 由抛物线定义求点的坐标答案 C解析 由题可设抛物线的标准方程为 x22py(p0)由定义知点 P 到准线的距离为 4，故24，p4，x 28y.将点 P 的坐标代入 x2 8y，得 m4.p25抛物线方程为 7x4y 20，则焦点坐标为( )A. B.(716，0) ( 74，0)C. D.( 716，0) (0， 74)答案 C解析 方程化为 y2 x，74
14、抛物线开口向左，2p ， ，74 p2 716故焦点坐标为 .( 716，0)6过点 A(3,0)且与 y 轴相切的圆的圆心的轨迹为( )A圆 B椭圆C直线 D抛物线考点 抛物线的定义题点 由抛物线定义确定轨迹及轨迹方程答案 D解析 设 P 为满足条件的点，则点 P 到点 A 的距离等于点 P 到 y 轴的距离，即点 P 在以点A 为焦点，y 轴为准线的抛物线上，所以点 P 的轨迹为抛物线故选 D.7已知点 A( 2,3)在抛物线 C：y 22px(p0)的准线上，记 C 的焦点为 F，则直线 AF 的斜率为( )A B143C D34 12考点 抛物线的标准方程题点 抛物线方程的应用答案 C
15、解析 因为抛物线 C：y 22px 的准线方程为 x ，且点 A(2,3) 在准线上，故p22，解得 p4. p2所以抛物线方程为 y28x ，焦点 F 的坐标为(2,0) ，这时直线 AF 的斜率 kAF .3 0 2 2 348从抛物线 y24x 的图像上一点 P 引抛物线准线的垂线，垂足为 M，且| PM|5，设抛物线的焦点为 F，则MPF 的面积为( )A10 B8 C6 D4考点 抛物线的定义题点 由抛物线定义求点的坐标答案 A解析 设 P(x0，y 0)，| PM| 5，x 04，y 04，S MPF |PM|y0|10.12二、填空题9已知椭圆 x2ky 23k (k0)的一个焦
16、点与抛物线 y212x 的焦点重合，则该椭圆的离心率是_考点 抛物线的简单性质题点 抛物线与其他曲线结合的有关问题答案 32解析 抛物线的焦点为 F(3,0)，椭圆的方程为 1，x23k y233k39，k4，离心率 e .323 3210抛物线 y4x 2 上的一点 M 到焦点的距离为 1，则点 M 的纵坐标是_考点 抛物线定义题点 由抛物线定义求点的坐标答案 1516解析 抛物线方程化为 x2 y，准线为 y .由于点 M 到焦点的距离为 1，所以 M 到准14 116线的距离也为 1，所以 M 点的纵坐标等于 1 .116 151611设抛物线 y28x 的焦点为 F，准线为 l，P 为
17、抛物线上一点，PAl，A 为垂足，如果直线 AF 的斜率为 ，那么|PF|_.3考点 抛物线的定义题点 由抛物线定义求距离答案 8解析 如图所示，直线 AF 的方程为 y (x2) 3与准线方程 x2 联立，得A(2,4 )3设 P(x0,4 )，3代入抛物线方程 y28x ，得 8x048，x 06.|PF| x028.三、解答题12.如图所示，抛物线 C 的顶点为坐标原点 O，焦点 F 在 y 轴上，准线 l 与圆 x2y 21 相切(1)求抛物线 C 的方程；(2)若点 A，B 都在抛线 C 上，且 2 ，求点 A 的坐标FB OA 考点 抛物线的标准方程题点 求抛物线的方程解 (1)依
18、题意，可设抛物线 C 的方程为 x22py (p0)，其准线 l 的方程为 y .p2准线 l 与圆 x2y 21 相切，圆心(0,0)到准线 l 的距离 d0 1，( p2)解得 p2.故抛物线 C 的方程为 x24y.(2)设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则Error!由题意得 F(0,1)， (x 2，y 21)， (x 1，y 1)，FB OA 2 ，FB OA (x 2， y21) 2(x1，y 1)(2x 1,2y1)，即Error!代入得 4x 8y 14，21即 x 2y 11，21又 x 4y 1，所以 4y12y 11，21解得 y1 ，x 1 ，12 2即点
19、 A 的坐标为 或 .(2，12) ( 2，12)13已知抛物线形拱桥的顶点距离水面 2 m 时，测量水面宽为 8 m，则当水面上升 m 后，12水面的宽度是多少？考点 抛物线的标准方程题点 抛物线方程的应用解 以抛物线形拱桥的顶点为原点建立如图所示的直角坐标系，设抛物线的标准方程为x22py(p0)把 B(4，2) 代入得 164p，所以 p4.所以 x28y .把 y 代入得 x2 .32 3所以此时水面的宽度为 4 m.3四、探究与拓展14如果 P1，P 2，P n是抛物线 C：y 24x 上的点，它们的横坐标依次为x1，x 2，x n，F 是抛物线 C 的焦点，若 x1x 2x n10
20、，则|P 1F|P 2F|P nF|等于( )An10 Bn20C2n10 D2n20考点 抛物线的定义题点 抛物线定义的直接应用答案 A解析 由抛物线的方程 y24x 可知其焦点为(1,0)，准线为 x1，由抛物线的定义可知|P1F|x 11，|P 2F|x 21，| PnF|x n1，所以|P1F|P 2F| |P nF|x 11x 21x n1(x 1x 2x n)nn10，故选 A.15已知曲线 C 上的任意一点到定点 F(1,0)的距离与到定直线 x1 的距离相等(1)求曲线 C 的方程；(2)若曲线 C 上有两个定点 A，B 分别在其对称轴的上、下两侧，且|FA|2，| FB|5，
21、求原点 O 到直线 AB 的距离考点 抛物线的标准方程题点 求抛物线方程解 (1)因为曲线 C 上任意一点到点 F(1,0)的距离与到直线 x1 的距离相等，所以曲线 C 的轨迹是以 F(1,0)为焦点的抛物线，且 1，所以曲线 C 的方程为 y24x.p2(2)由抛物线的定义结合| FA|2 可得，A 到准线 x1 的距离为 2，即 A 的横坐标为 1，代入抛物线方程可得 y2，即 A(1,2)，同理可得 B(4， 4)，故直线 AB 的斜率 k 2，2 41 4故 AB 的方程为 y22(x1)，即 2xy40，由点到直线的距离公式，得原点 O 到直线 AB 的距离为 .| 4|22 12 455
