1、第2课时 函数最值的应用,第四章 2.2 最大值、最小值问题,学习目标 1.了解导数在解决实际问题中的作用. 2.会利用导数解决不等式问题及恒成立问题,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一 生活中的优化问题,1.生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为 . 2.利用导数解决优化问题的实质是求函数最值. 3.解决优化问题的基本思路：,上述解决优化问题的过程是一个典型的 过程.,优化问题,数学建模,知识点二 导数在不等式问题中的应用,利用导数证明不等式及解决不等式恒成立问题的基本思路是转化为函数的最值问题加以解决.,思考辨析 判断正误 1.用导数解
2、决实际问题的关键是建立函数模型.( ) 2.恒成立问题可以转化成函数的最值问题.( ) 3.用导数证明不等式可以通过构造函数，转化为函数大于等于0或小于等于0.( ),题型探究,类型一 几何中的最值问题,解答,例1 如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18 000 cm2，四周空白的宽度为10 cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm.怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告面积最小？,解 设广告的高和宽分别为x cm，y cm，,其中x20，y25.,令S0，得x140，令S0，得20xln 21且x0时，exx2
3、2ax1.,证明,证明 设g(x)exx22ax1，xR， 于是g(x)ex2x2a， 由(1)知g(x)的最小值为2(1ln 2a)， 当aln 21时，g(x)0， 故g(x)在R上是增加的，所以x0时g(x)g(0)0， 即exx22ax1.,反思与感悟 利用函数的最值证明不等式常用的方法与步骤 (1)构造函数. (2)利用导数确定函数的单调性、最值(或值域). (3)将其归结为函数的最值或值域问题. (4)证明函数yf(x)的最大(小)值大于0或小于0，或逆用单调性定义得出结论.,证明,又F(0)0，F(1)0，所以当x0,1时，,记H(x)sin xx，则当x(0,1)时，H(x)c
4、os x10， 所以H(x)在0,1上是减少的，则H(x)H(0)0，即sin xx.,类型三 与最值有关的恒成立问题,例3 已知函数f(x)x3ax2bxc在x 与x1处都取得极值. (1)求a，b的值及函数f(x)的单调区间.,解答,解 由f(x)x3ax2bxc，得f(x)3x22axb，,所以f(x)3x2x2(3x2)(x1)， 当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：,(2)若对任意x1,2，不等式f(x)f(x)恒成立，只需mf(x)的最大值即可，同理，要使mf(x)恒成立，只需m1时，g(x)0，故g(x)在(1，)上是增加的， 所以g(x)的最小值是g(1)1. 因此
5、ag(x)ming(1)1， 故a的取值范围为(，1.,解答,达标检测,1.已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y x381x234，则使该生产厂家获取最大的年利润的年产量为 A.13万件 B.11万件 C.9万件 D.7万件,答案,解析,1,2,3,4,5,解析 x0，yx281(9x)(9x)， 令y0，解得x9，当x(0,9)时，y0， 当x(9，)时，y0，当t(8,9)时，y0，,答案,解析,当x2时，ymin160(元).,4.要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器，已知底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容
6、器的最低总造价是_元.,160,1,2,3,4,5,答案,解析,5.已知函数f(x)ex2xa有零点，则a的取值范围是_.,1,2,3,4,5,答案,解析,(，2ln 22,解析 函数f(x)ex2xa有零点，即方程ex2xa0有实根， 即函数g(x)2xex与ya有交点，而g(x)2ex， 可知函数g(x)2xex在(，ln 2)上是增加的， 在(ln 2，)上是减少的， 所以g(x)2xex的值域为(，2ln 22， 所以要使函数g(x)2xex与ya有交点， 只需a2ln 22即可.,1.正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解应用题的主要思路.另外需要特别注意 (1)合理选择变量，正确给出函数表达式. (2)与实际问题相联系. (3)必要时注意分类讨论思想的应用. 2.“恒成立”问题可转化为函数最值问题.,规律与方法,
