1、章末复习,第三章 变化率与导数,学习目标 1.会求函数在某点处的导数. 2.理解导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程. 3.能够运用导数公式和求导法则进行求导运算,知识梳理,达标检测,题型探究,内容索引,知识梳理,1.函数yf(x)在xx0处的导数 (1)函数yf(x)在xx0处的 称为函数yf(x)在xx0处的导数， 记作 ，即f(x0) . (2)函数yf(x)在点x0处的导数f(x0)是曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处_，在点P处的切线方程为 .,瞬时变化率,f(x0),切,线的斜率,yf(x0)f(x0)(xx0),2.导函数 如果一个函数f(x)在区间(a，b)上的每一
2、点x处都有导数，导数值记为，f(x) ，则f(x)是关于x的函数，称f(x)为f(x)的导函数，通常也简称为 .,f(x),导数,3.导数公式表,x1,cos x,sin x,axln a,ex,4.导数的四则运算法则 设两个函数f(x)，g(x)可导，则,f(x)g(x),f(x)g(x),f(x)g(x)f(x)g(x),思考辨析 判断正误 1.f(x0)与(f(x0)表示的意义相同.( ),题型探究,类型一 导数几何意义的应用,解 ysin x，ycos x，,解答,反思与感悟 利用导数求切线方程时关键是找到切点，若切点未知需设出.常见的类型有两种，一类是求“在某点处的切线方程”，则此点
3、一定为切点，易求斜率进而写出直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q(x1，y1)，由 f(x1)和y1f(x1)求出x1，y1的值，转化为第一种类型.,跟踪训练1 设函数f(x) x3ax29x1(a0)，直线l是曲线yf(x)的一条切线，当l的斜率最小时，直线l与直线10xy6平行. (1)求a的值；,解答,解 f(x)x22ax9(xa)2a29， f(x)mina29， 由题意知a2910，a1或1(舍去). 故a1.,(2)求f(x)在x3处的切线方程.,解答,解 由(1)得a1. f(x)x22x9， 则kf(3)6，f(3)10.
4、 f(x)在x3处的切线方程为y106(x3)， 即6xy280.,类型二 导数的计算,例2 求下列函数的导数： (1)yx2ln xax；,解答,解 y(x2ln xax) (x2)(ln x)(ax),解答,解答,反思与感悟 有关导数的计算应注意以下两点 (1)熟练掌握公式：熟练掌握简单函数的导数公式及函数的和、差、积、商的导数运算法则. (2)注意灵活化简：当函数式比较复杂时，要将函数形式进行化简，化简的原则是将函数拆分成简单函数的四则运算形式，由于在导数的四则运算公式中，和与差的求导法则较为简洁，因此化简时尽可能转化为和、差的形式，尽量少用积、商求导.,跟踪训练2 求下列函数的导数：,
5、解答,解 ,解答,y(cos xsin x) (cos x)(sin x) sin xcos x.,类型三 导数的综合应用,例3 设函数f(x)a2x2(a0)，若函数yf(x)图像上的点到直线xy30距离的最小值为 ，求a的值.,解 因为f(x)a2x2，所以f(x)2a2x， 令f(x)2a2x1，,解答,反思与感悟 利用基本初等函数的求导公式，结合导数的几何意义可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题.解题时可先利用图像分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算.,跟踪训练3 已知直线x2y40与抛物线y2x相交于A，B两点，O是坐标原点，试在抛物线的弧 上求一点P，使AB
6、P的面积最大.,解答,解 设P(x0，y0)，过点P与AB平行的直线为l，如图. 由于直线x2y40与抛物线y2x相交于A，B两点， 所以|AB|为定值，要使ABP的面积最大， 只要P到AB的距离最大，,而P点是抛物线的弧 上的一点，,因此点P是抛物线上平行于直线AB的切线的切点，,达标检测,1.下列说法正确的是 A.若f(x0)不存在，则曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处就没有切线 B.若曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处有切线，则f(x0)必存在 C.若f(x0)不存在，则曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线斜率不存在 D.若曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处没有切线，
7、则f(x0)有可能存在,答案,解析,1,2,3,4,5,解析 kf(x0)，所以f(x0)不存在只说明曲线在该点处的切线斜率不存在，而当斜率不存在时，切线方程也可能存在， 其切线方程为xx0.,2.已知函数f(x)x22x，则f(2)等于 A.16ln 2 B.168ln 2 C.816ln 2 D.1616ln 2,答案,解析,1,2,3,4,5,解析 f(x)2x2xx22xln 2， f(2)1616ln 2.,3.设函数f(x)ax33x22，若f(1)4，则a的值为,1,2,3,4,5,解析,答案,解析 f(x)3ax26x，f(1)4，3a64，,答案,解析,1,2,3,4,5,4
8、.若直线y xb是曲线yln x(x0)的一条切线，则实数b .,ln 21,解析 设切点为(x0，y0)，,1,2,3,4,5,5.已知P，Q为抛物线x22y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为 .,答案,解析,4,且横坐标分别为4，2， 则P(4,8)，Q(2,2)，从而在点P处的切线斜率kf(4)4. 由点斜式，得曲线在点P处的切线方程为y84(x4)； 同理，曲线在点Q处的切线方程为y22(x2)； 上述两方程联立，解得交点A的纵坐标为4.,规律与方法,1.利用定义求函数的导数是逼近思想的应用. 2.导数的几何意义是曲线在一点的切线的斜率. 3.对于复杂函数的求导，可利用导数公式和导数的四则运算法则，减少运算量.,
