1、32.1 常数与幂函数的导数32.2 导数公式表学习目标 1.能根据定义求函数 yC ，yx，yx 2，y 的导数.2.能利用给出的基本初等1x函数的导数公式求简单函数的导数知识点一 常数与幂函数的导数思考 1 利用导数的定义可以求得 f(x)x 2 在 xx 0 处的导数为 f(x 0)2x 0.若把 x0 看成任意实数 x，其导数是什么呢？答案 f(x) 2x.思考 2 用类似的方法，能否求出 f(x)C，g(x)x 的导数？答案 f(x) 0，g(x)1.梳理原函数 导函数f(x)C f(x)0f(x)x f(x)1f(x)x 2 f(x )2xf(x)1xf(x )1x2知识点二 基本
2、初等函数的导数公式表原函数 导函数f(x)C f(x )0f(x)x n f(x)nx n1 (n 为自然数)f(x)sin x f( x)cos xf(x)cos x f(x) sin xf(x)a x(a0，a1) f(x) a xln af(x)e x f( x)e xf(x)log ax(a0，a1，x0) f(x)1xln af(x)ln x f(x )1x类型一 利用导数公式求函数的导数例 1 求下列函数的导数(1)yx 12；(2)y ；(3)y ；1x4 5x3(4)y2sin cos ；(5) y ；(6)y3 x.x2 x2 12log考点 基本初等函数的导数公式题点 基本
3、初等函数导数公式的应用解 (1)y(x 12)12x 121 12x 11.(2)y(x 4 )4x 41 4x5 .4x5(3)y( ) .5x335(31525355x2(4)y2sin cos sin x ， ycos x.x2 x2(5)y( ) .12logx1xln 12 1xln 2(6)y(3 x)3 xln 3.反思与感悟 若题目中所给出的函数解析式不符合导数公式，需通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式化成指数幂的形式求导跟踪训练 1 给出下列结论：(cos x)sin x； cos ；(sin3) 3若 f(x) ，则 f(3) ；1x2 227(2e x)2e
4、 x；(log 4x) ；1xln 4(2 x) 2 x.其中正确的有 个考点 基本初等函数的导数公式题点 基本初等函数导数公式的应用答案 3解析 因为(cos x)sin x，所以错误；因为 sin ，而 0，所以错误；3 32 ( 32)因为 f(x) (x 2 ) 2x 3 ，(1x2)则 f(3) ，所以正确；227因为(2e x)2e x，所以正确；因为(log 4x) ，所以正确；1xln 4因为(2 x)2 xln 2，所以错误类型二 导数公式的综合应用命题角度 1 利用导数公式解决切线问题例 2 已知点 P(1,1) ，点 Q(2,4)是曲线 yx 2 上两点，是否存在与直线
5、PQ 垂直的切线，若有，求出切线方程，若没有，说明理由考点 基本初等函数的导数公式题点 解 因为 y( x2)2x，假设存在与直线 PQ 垂直的切线设切点坐标为(x 0，y 0)，由直线 PQ 的斜率为 k 1，4 12 1又切线与 PQ 垂直，所以 2x01，即 x0 ，12所以切点坐标为 .( 12，14)所以所求切线方程为 y (1) ，14 (x 12)即 4x4y10.引申探究若本例条件不变，求与直线 PQ 平行的曲线 yx 2 的切线方程解 因为 y( x2)2x，设切点为 M(x0，y 0)，则 2x 0.|又因为 PQ 的斜率为 k 1，4 12 1而切线平行于 PQ，所以 k
6、2x 01，即 x0 .12所以切点为 M ，(12，14)所以所求切线方程为 y x ，即 4x4y10.14 12反思与感悟 解决切线问题，关键是确定切点，要充分利用：(1)切点处的导数是切线的斜率(2)切点在切线上(3)切点又在曲线上这三个条件联立方程解决跟踪训练 2 已知两条曲线 ysin x，y cos x，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处两条曲线的切线互相垂直？并说明理由考点 基本初等函数的导数公式题点 利用导数公式求解切线问题解 设存在一个公共点(x 0，y 0)，使两曲线的切线垂直，则在点(x 0，y 0)处的切线斜率分别为 k1 cos x 0， k2 sin x
7、0.0|y0|xy要使两切线垂直，必须有 k1k2cos x 0(sin x 0)1，即 sin 2x02，这是不可能的所以两条曲线不存在公共点，使在这一点处两条曲线的切线互相垂直命题角度 2 利用导数公式解决切点问题例 3 求抛物线 yx 2 上的点到直线 xy20 的最短距离考点 基本初等函数的导数公式题点 由导数公式求最值问题解 依题意知，抛物线 yx 2 与直线 xy20 平行的切线的切点到直线 xy20 的距离最短，设切点坐标为(x 0，x )20y(x 2) 2x，2x 01，x 0 ，12切点坐标为 ，(12，14)所求的最短距离为 d .|12 14 2|2 728反思与感悟
8、利用基本初等函数的求导公式，可求其图象在某一点 P(x0，y 0)处的切线方程，可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题，一般都与函数图象的切线有关解题时可先利用图象分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算跟踪训练 3 已知直线 l: 2x y40 与抛物线 yx 2 相交于 A，B 两点，O 是坐标原点，试求与直线 l 平行的抛物线的切线方程，并在弧 上求一点 P，使ABP 的面积最大A考点 基本初等函数的导数公式题点 由导数公式求最值问题解 设 M(x0，y 0)为切点，过点 M 与直线 l 平行的直线斜率为 ky2x 0，k2x 02，x 01，y 0 1，故可得 M(1
9、,1)，切线方程为 2xy 10.由于直线 l: 2x y40 与抛物线 yx 2 相交于 A，B 两点，|AB|为定值，要使ABP 的面积最大，只要 P 到 AB 的距离最大，故点 M(1,1)即为所求弧 上的点，使ABP 的面积最大 .AOB1下列结论：(sin x)cos x ； ；53()x2(log 3x) ； (ln x ) .13ln x 1x其中正确的有( )A0 个 B1 个C2 个 D3 个考点 基本初等函数的导数公式题点 基本初等函数导数公式的应用答案 C解析 ；(log 3x) ，53()x231xln 3错误，故选 C.2函数 f(x) ，则 f(3) 等于( )xA
10、. B036C. D.12x 32考点 基本初等函数的导数公式题点 幂函数的导数答案 A解析 根据导数的定义，可得 f(x) ，12xf(3) .123 363设函数 f(x)log ax，f(1)1，则 a .考点 基本初等函数的导数公式题点 对数函数的导数答案 1e解析 f(x) ，1xln a则 f(1) 1，a .1ln a 1e4求过曲线 ysin x 上的点 P 且与在这一点处的切线垂直的直线方程(6，12)考点 基本初等函数的导数公式题点 正弦函数的导数解 曲线 ysin x 在点 P 处的切线斜率(6，12)为 k cos ，6|x6 32则与切线垂直的直线的斜率为 ，233所
11、求直线方程为 y ，12 233(x 6)即 12 x18y2 90.3 31利用常见函数的导数公式可以比较简便地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归2有些函数可先化简再应用公式求导如求 y12sin 2 的导数因为 y12sin 2 cos x，所以 y(cos x)sin x.x2 x3对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数名称的变化，二是注意函数符号的变化.一、选择题1下列各式中正确的个数是( )(x 7)7x 6； ( x1 )x 2 ； ；( ) ；(1x) 325x2 35(cos x)sin x；(cos 2)sin 2
12、.A3 B4 C5 D6考点 基本初等函数的导数公式题点 基本初等函数的导数公式的应用答案 B解析 (x 1 )x 2 ；(cos 2)0，不正确故选 B.2函数 yf(x)x 3 的斜率等于 1 的切线有( )A1 条 B2 条C3 条 D不确定考点 基本初等函数的导数公式题点 幂函数的导数答案 B解析 y3x 2，设切点坐标为(x 0，y 0)，则 3x 1，得 x0 ，即在点 和点2033 ( 33，39)处有斜率为 1 的切线( 33， 39)3设正弦曲线 ysin x 上一点 P，以点 P 为切点的切线为直线 l，则直线 l 的倾斜角的取值范围是( )A. B0 ，)0，4 34，)
13、C. D. 4，34 0，4 2，34考点 基本初等函数的导数公式题点 正弦函数的导数答案 A解析 (sin x) cos x ，又k lcos x，1k l1， l .0，4 34，)4已知曲线 yx 3 在点(2,8)处的切线方程为 ykxb，则 kb 等于( )A4 B4 C28 D28考点 基本初等函数的导数公式题点 利用导数公式求解切线问题答案 C解析 点(2,8)在切线上，2kb8，又 y| x2 32 212k ，由可得 k12，b16，kb28.5已知曲线 yln x 的切线过原点，则此切线的斜率为( )Ae Be C. D1e 1e考点 基本初等函数的导数公式题点 指数函数、
14、对数函数的导数答案 C解析 设切点坐标为(x 0，ln x 0)，则切线的斜率为 .0|xy1x0又切线斜率可表示为 ，ln x0 0x0 0 ，则 x0e，1x0 ln x0x0切线的斜率为 . 1e6设 f0(x)sin x，f 1(x)f 0(x) ，f 2(x)f 1( x)，f n1 (x)f n( x)，nN，则 f2 018(x)等于( )Asin x Bsin xCcos x Dcos x考点 基本初等函数的导数公式题点 正弦、余弦函数的导数答案 B解析 f 1(x)f 0(x )(sin x) cos x，f2(x)f 1(x) (cos x)sin x，f3(x)f 2(x
15、) (sin x) cos x，f4(x)(cos x)sin x ，f5(x)(sin x)f 1(x)，f6(x)f 2(x)，fn4 (x)f n(x)，可知周期为 4，f 2 018(x)f 50442 (x)f 2(x)sin x.7下列曲线的所有切线中，存在无数对互相垂直的切线的曲线是( )Af(x)e x Bf(x)x 3Cf(x)ln x Df(x)sin x考点 基本初等函数的导数公式题点 利用导数公式求解切线问题答案 D解析 若两条直线垂直且斜率都存在，则其斜率之积为1.因为 A 项中，(e x)e x0， B 项中，( x3)3x 20，C 项中，x0，即(ln x) 0
16、，所以1x不会使两条切线斜率之积为1，故选 D.二、填空题8已知 f(x) ，g(x)mx 且 g(2) ，则 m .1x 1f 2考点 几个常用函数的导数题点 几个常用函数导数的应用答案 4解析 f(x) ，f (2) .1x2 14又 g(x) m，且 g(2) ，m 4.1f 29某质点沿直线运动的路程与时间的关系式为 s ，则该质点在 t8 时的速度为 3t考点 基本初等函数的导数公式题点 幂函数的导数答案 112解析 s ，s ，s| t8 .3t231t11210设曲线 ye x 在点(0,1)处的切线与曲线 y (x0)上点 P 处的切线垂直，则点 P 的坐标1x为 考点 基本初
17、等函数的导数公式题点 利用导数公式求解切线问题答案 (1,1)解析 因为 ye x，所以曲线 ye x 在点(0,1)处的切线的斜率为 k1e 01.设 P(m，n)，y (x0)的导数为 y (x0)，1x 1x2曲线 y (x0)在点 P 处的切线斜率为 k2 (m0)1x 1m2因为两切线垂直，所以 k1k21，所以 m1，n1，则点 P 的坐标为 (1,1)11曲线 ylog 2x 在点(1,0) 处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为 考点 题点 答案 log2e12解析 y log2e，所以切线的斜率 kyError!log 2e，切线方程为 y(x1)1xln 2 1xlog2
18、e，令 x0，得 ylog 2e，令 y0，得 x1，因此所求三角形的面积S 1log2e log2e.12 12三、解答题12若曲线 y 在点( a， )处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为 9，求实数12x12a 的值考点 基本初等函数的导数公式题点 幂函数的导数解 y ，y ， 12x32x曲线在点(a， )处的切线的斜率为 k ，12a321a切线方程为 y (xa)1232令 x0，得 y ；令 y 0，得 x3a.32 1a由题意知，a0，该切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为S 3a 9，a16.12 32 194 213点 P 是曲线 ye x 上任意一点，求点 P 到直线
19、 yx 的最小距离考点 基本初等函数的导数公式题点 由导数公式求最值问题解 如图，当曲线 ye x 在点 P(x0，y 0)处的切线与直线 yx 平行时，点 P 到直线 yx 的距离最近则曲线 ye x 在点 P(x0，y 0)处的切线斜率为 1，又 y(e x) e x，所以 1，得 x00，0代入 ye x，得 y01，即 P(0,1)由点到直线的距离公式，得最小距离为 d .| 1|2 22四、探究与拓展14已知直线 ykx 是 y1ln x 的切线，则 k 的值是( )A. B12 12C. D1e 1e考点 题点 答案 C解析 设切点为(x 0，kx 0)k ，01|xy1x0y x.1x0又 ln x0 x01，1x0x 0e.k .1e15设曲线 y 上有点 P(x1，y 1)，与曲线切于点 P 的切线为 m，若直线 n 过点 P 且与 mx垂直，则称 n 为曲线在点 P 处的法线设 n 交 x 轴于点 Q，又作 PRx 轴于点 R，求| RQ|的值考点 题点 解 由题意知， ，1|xy12x1因为 n 与 m 垂直，所以 n 的斜率为2 ，x1所以直线 n 的方程为yy 12 (xx 1)x1令 y0，则y 12 (xQx 1)，x1所以 xQ x 1，易知 xRx 1，12于是|RQ|x Q xR| .12
