1、23.1 抛物线及其标准方程学习目标 1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念.2.掌握抛物线的标准方程及其推导过程.3.明确抛物线标准方程中 p 的几何意义，能解决简单的求抛物线标准方程问题知识点一 抛物线的定义思考 如图，在黑板上画一条直线 EF，然后取一个三角板，将一条拉链 AB 固定在三角板的一条直角边上，并将拉链下边一半的一端固定在 C 点，将三角板的另一条直角边贴在直线 EF 上，在拉链 D 处放置一支粉笔，上下拖动三角板，粉笔会画出一条曲线这是一条什么曲线？点 D 在移动过程中，满足什么条件？答案 抛物线，|DA| DC|.梳理 抛物线的定义平面内到一个定点 F 和一条定直线 l(
2、Fl)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线点 F 叫做抛物线的焦点，直线 l 叫做抛物线的 准线知识点二 抛物线的标准方程思考 1 抛物线方程中 p 有何意义？抛物线的开口方向由什么决定？答案 p 是抛物线的焦点到准线的距离，抛物线的方程中一次项决定开口方向思考 2 已知抛物线的标准方程，怎样确定抛物线的焦点位置和开口方向？答案 一次项变量为 x(或 y)，则焦点在 x 轴(或 y 轴) 上；若系数为正，则焦点在正半轴上；系数为负，则焦点在负半轴上焦点确定，开口方向也随之确定梳理 抛物线的标准方程有四种类型图形标准方程 y22px( p0) y22px( p0) x22py(p0) x22py(p0
3、)焦点坐标 (p2，0) ( p2，0) (0，p2) (0， p2)准线方程 xp2xp2yp2yp2(1)在平面内，点 P 到点 F 和到直线 l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线( )(2)抛物线其实就是双曲线的一支( )(3)抛物线的标准方程只需焦点到准线的距离 p 就可以确定 ( )类型一 抛物线标准方程及求解命题角度 1 由抛物线方程求焦点坐标或准线方程例 1 已知抛物线的方程如下，求其焦点坐标和准线方程(1)y26x；(2)3x 25y 0；(3)y4x 2；(4)y 2a 2x(a0)考点 抛物线的标准方程题点 抛物线方程的应用解 (1)由方程 y26x，知抛物线开口向左，2p
4、6，p3， ，p2 32所以焦点坐标为 ，准线方程为 x .( 32，0) 32(2)将 3x25y0 变形为 x2 y，53知抛物线开口向下，2p ，p ， ，53 56 p2 512所以焦点坐标为 ，准线方程为 y .(0， 512) 512(3)将 y4x 2 化为 x2 y，14知抛物线开口向上，2p ，p ， ，14 18 p2 116所以焦点坐标为 ，准线方程为 y .(0，116) 116(4)由方程 y2a 2x(a0)知抛物线开口向右，2pa 2，p ， ，a22 p2 a24所以焦点坐标为 ，准线方程为 x .(a24，0) a24反思与感悟 如果已知抛物线的标准方程，求它
5、的焦点坐标、准线方程时，首先要判断抛物线的对称轴和开口方向一次项的变量若为 x(或 y)，则 x 轴(或 y 轴) 是抛物线的对称轴，一次项系数的符号决定开口方向跟踪训练 1 (1)抛物线 y24x 的焦点到双曲线 x2 1 的渐近线的距离是( )y23A. B.12 32C1 D. 3(2)若抛物线 y22px 的焦点坐标为(1,0)，则 p_，准线方程为_考点 抛物线的标准方程题点 抛物线方程的应用答案 (1)B (2)2 x 1解析 (1)抛物线 y24x 的焦点 F(1,0)，双曲线 x2 1 的渐近线方程是 y x，即y23 3xy0，3所求距离为 .故选 B.| 30| 32 12
6、 32(2)由 1，知 p2，则准线方程为 x 1.p2 p2命题角度 2 求解抛物线标准方程例 2 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程：(1)焦点为(2,0)；(2)准线为 y1；(3)过点 A(2,3)；(4)焦点到准线的距离为 .52考点 抛物线的标准方程题点 求抛物线方程解 (1)由于焦点在 x 轴的负半轴上，且 2，p4，p2抛物线标准方程为 y28x.(2)焦点在 y 轴正半轴上，且 1，p2，p2抛物线标准方程为 x24y .(3)由题意，抛物线方程可设为 y2mx( m0) 或 x2ny(n 0)，将点 A(2,3)的坐标代入，得 32m 2,22n3，m ，n .92 43
7、所求抛物线方程为 y2 x 或 x2 y.92 43(4)由焦点到准线的距离为 ，可知 p .52 52所求抛物线方程为y25x 或 y2 5x 或 x25y 或 x25y.反思与感悟 求抛物线方程，通常用待定系数法，若能确定抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出 p 值即可若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论焦点在 x轴上的抛物线方程可设为 y2ax(a0)，焦点在 y 轴上的抛物线方程可设为 x2ay( a0)跟踪训练 2 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程(1) 过点(3 ， 4)；(2) 焦点在直线 x3y150 上考点 抛物线的标准方程题点 求抛物线方程解 (1)方法
8、一 点(3，4)在第四象限，设抛物线的标准方程为 y22px (p0)或 x22p 1y (p10)把点(3，4) 的坐标分别代入 y22px 和 x22p 1y，得(4) 22p3,3 22p 1(4) ，即 2p ，2p 1 .163 94所求抛物线的标准方程为 y2 x 或 x2 y.163 94方法二 设抛物线的方程为 y2ax (a0)或 x2by (b0)把点(3，4) 分别代入，可得 a ，b .163 94所求抛物线的标准方程为 y2 x 或 x2 y.163 94(2)令 x0 得 y5；令 y 0 得 x15.抛物线的焦点为(0，5)或(15,0) 所求抛物线的标准方程为
9、x220y 或 y260x.类型二 抛物线定义的应用例 3 已知点 A(3,2)，点 M 到 F 的距离比它到 y 轴的距离大 .(12，0) 12(1)求点 M 的轨迹方程；(2)是否存在 M，使| MA| MF|取得最小值？若存在，求此时点 M 的坐标；若不存在，请说明理由考点 抛物线的定义题点 由抛物线定义求最值解 (1)设 M(x，y )，则|MF | ，当 x0 时，点 M 到 y 轴的距离为 x，可得(x 12)2 y2x y22x；当 x0 时，由题意可得点 M 的轨迹方程为 y0(x0)综上(x 12)2 y2 12所述，点 M 的轨迹方程为 y22x 或 y0(x0)(2)如
10、图，由于点 M 在抛物线上，所以|MF| 等于点 M 到其准线 l 的距离|MN| ，于是|MA| |MF| MA|MN| ，所以当 A，M，N三点共线时，|MA | MN|取最小值，亦即|MA| MF|取最小值，这时 M 的纵坐标为 2，可设M(x0,2)，代入抛物线方程得 x02，即 M(2,2)反思与感悟 (1)抛物线定义具有判定和性质的双重作用本题利用抛物线的定义求出点的轨迹方程，又利用抛物线的定义， “化曲折为平直” ，将两点间的距离的和转化为点到直线的距离求得最小值，这是平面几何性质的典型运用(2)通过利用抛物线的定义，将抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离进行转化，从而简化问题
11、的求解过程在解决抛物线问题时，一定要善于利用其定义解题跟踪训练 3 已知点 P 是抛物线 y22x 上的一个动点，则点 P 到点(0,2) 的距离与点 P 到该抛物线准线的距离之和的最小值是( )A. B3 C. D.172 5 92考点 抛物线的定义题点 由抛物线定义求最值答案 A解析 如图，由抛物线的定义知，点 P 到准线 x 的距离等于点 P 到焦点 F 的距离因此点 P 到点12(0,2)的距离与点 P 到准线的距离之和可转化为点 P 到点(0,2)的距离与点 P 到点 F 的距离之和，其最小值为点 M(0,2)到点 F 的距离，则距离之和的最小值为 .(12，0) 4 14 1721
12、抛物线 y x2 的准线方程是( )14Ay1 By2Cx 1 Dx2考点 抛物线的标准方程题点 抛物线方程的应用答案 A解析 由 y x2，得 x24y，则抛物线的焦点在 y 轴正半轴上，且 2p4，即 p2，因此准14线方程为 y 1.p22已知抛物线的顶点在原点，对称轴为 x 轴，焦点在双曲线 1 上，则抛物线方程x24 y22为( )Ay 28x By 24xCy 2 2x Dy 28x考点 抛物线的标准方程题点 求抛物线方程答案 D解析 由题意知抛物线的焦点为双曲线 1 的顶点，即为( 2,0)或(2,0)，所以抛物线x24 y22的方程为 y28x 或 y28x.3已知抛物线 C：
13、y 2x 的焦点为 F，A(x 0，y 0)是 C 上一点， |AF| x0，则 x0 等于( )54A4 B2 C1 D8考点 抛物线的定义题点 由抛物线定义求点的坐标答案 C解析 如图，F ，(14，0)过 A 作 AA 准线 l，|AF| |AA|， x0x 0 x 0 ，54 p2 14x 01.4已知直线 l1：4x 3y60 和直线 l2：x 1，抛物线 y24x 上一动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值是( )A2 B3 C. D.115 3716考点 抛物线的定义题点 由抛物线定义求最值答案 A解析 如图所示，动点 P 到 l2：x1 的距离可转化为到点 F
14、 的距离，由图可知，距离和的最小值，即 F 到直线 l1 的距离 d 2.|4 6|42 325若抛物线 y22px (p0)上有一点 M，其横坐标为9，它到焦点的距离为 10，求抛物线方程和 M 点的坐标考点 抛物线的标准方程题点 求抛物线方程解 由抛物线定义，设焦点为 F .( p2，0)则该抛物线准线方程为 x ，由题意设点 M 到准线的距离为 |MN|，p2则|MN | |MF|10，即 (9) 10，p2.p2故抛物线方程为 y24x .将 M(9，y 0)代入抛物线方程，得 y06.M 点的坐标为(9,6) 或(9，6)1焦点在 x 轴上的抛物线，其标准方程可以统设为 y2mx (
15、m0)，此时焦点为 F ，准(m4，0)线方程为 x ；焦点在 y 轴上的抛物线，其标准方程可以统设为 x2my(m 0)，此时焦m4点为 F ，准线方程为 y .(0，m4) m42设 M 是抛物线上一点，焦点为 F，则线段 MF 叫做抛物线的焦半径若 M(x0，y 0)在抛物线 y22px(p0)上，则根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离可以相互转化，所以焦半径|MF |x 0 .p23对于抛物线上的点，利用定义可以把其到焦点的距离转化为到准线的距离，也可以把其到准线的距离转化为到焦点的距离，因此可以解决有关距离的最值问题一、选择题1抛物线 y28x 的焦点坐标是( )
16、A(2,0) B(2,0)C(4,0) D(4,0)考点 抛物线的定义题点 由抛物线定义求点的坐标答案 B解析 y 28x ，p4，焦点坐标为(2,0)2已知抛物线 y22px (p0)的准线经过点( 1,1)，则该抛物线焦点坐标为 ( )A(1,0) B(1,0) C(0，1) D(0,1)考点 抛物线的标准方程题点 抛物线方程的应用答案 B解析 抛物线 y22px (p0)的准线方程为 x .由题设知 1，即 p2，故焦点坐标p2 p2为 .故选 B.(1，0)3已知抛物线 y22px (p0)的准线与圆(x3) 2y 216 相切，则 p 的值为( )A. B1 C2 D412考点 抛物
17、线的标准方程题点 抛物线方程的应用答案 C解析 抛物线 y22px 的准线方程为 x ，它与圆相切，所以必有 3 4，p2.p2 ( p2)4设抛物线 y28x 上一点 P 到 y 轴的距离是 4，则点 P 到该抛物线焦点的距离是( )A4 B6 C8 D12考点 抛物线定义题点 由抛物线定义求距离答案 B解析 由抛物线的定义可知，点 P 到抛物线焦点的距离是 426.5过点 F(0,3)，且和直线 y30 相切的动圆圆心的轨迹方程为 ( )Ay 212x By 212xCx 2 12y Dx 212y考点 抛物线的定义题点 由抛物线定义确定轨迹及轨迹方程答案 C解析 由题意，知动圆圆心到点
18、F(0,3)的距离等于到定直线 y3 的距离，故动圆圆心的轨迹是以 F 为焦点，直线 y3 为准线的抛物线，轨迹方程为 x212y.6已知点 A( 2,3)在抛物线 C：y 22px 的准线上，记 C 的焦点为 F，则直线 AF 的斜率为( )A B143C D34 12考点 抛物线的标准方程题点 抛物线方程的应用答案 C解析 因为抛物线 C：y 22px 的准线方程为 x ，且点 A(2,3) 在准线上，故p22，解得 p4.所以抛物线方程为 y28x，焦点 F 的坐标为(2,0) ，这时直线 AF 的斜 p2率 kAF .3 0 2 2 347O 为坐标原点，F 为抛物线 C：y 24 x
19、 的焦点，P 为 C 上一点，若|PF|4 ，则2 2POF 的面积为( )A2 B2 2C2 D43考点 抛物线的定义题点 由抛物线定义求三角形面积答案 C解析 抛物线 C 的准线方程为 x ，焦点 F( ，0)，由|PF| 4 及抛物线的定义知，2 2 2P 点的横坐标 xP3 ，从而纵坐标 yP2 .2 6S POF |OF|yP| 2 2 .12 12 2 6 3二、填空题8若抛物线 yax 2 的准线方程是 y2，则 a_.考点 抛物线的标准方程题点 抛物线方程的应用答案 18解析 yax 2 可化为 x2 y.1a准线方程为 y2，a0)的左焦点在抛物线 y22px 的准线上，则
20、p 为_x23 4y2p2考点 圆锥曲线的综合应用题点 圆锥曲线的综合应用答案 6解析 由题意知，左焦点为 ，则 c .( p2，0) p2a 23，b 2 ，p243 ，得 p .p24 p24 610抛物线 y4x 2 上的一点 M 到焦点的距离为 1，则点 M 的纵坐标是_考点 抛物线的定义题点 由抛物线定义求点的坐标答案 1516解析 抛物线方程化为 x2 y，准线为 y .由于点 M 到焦点的距离为 1，所以点 M 到14 116准线的距离也为 1，所以点 M 的纵坐标等于 1 .116 151611若双曲线 1(p0)的左焦点在抛物线 y22px 的准线上，则 p_.x23 16y
21、2p2考点 圆锥曲线的综合应用题点 圆锥曲线的综合应用答案 4解析 由双曲线 1 得标准形式为 1，x23 16y2p2 x23 y2p216由此 c23 ，p216左焦点为 ，( 3 p216，0)由 y22px 得准线为 x ，p2 ，3 p216 p2p4.三、解答题12如图所示，抛物线 C 的顶点为坐标原点 O，焦点 F 在 y 轴上，准线 l 与圆 x2y 21 相切(1)求抛物线 C 的方程；(2)若点 A，B 都在抛线 C 上，且 2 ，求点 A 的坐标FB OA 考点 抛物线的定义题点 抛物线定义求点的坐标解 (1)依题意，可设抛物线 C 的方程为 x22py (p0)，其准线
22、 l 的方程为 y .p2准线 l 与圆 x2y 21 相切，圆心(0,0)到准线 l 的距离 d0 1，( p2)解得 p2.故抛物线 C 的方程为 x24y.(2)设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则Error!由题意得 F(0,1)， (x 2，y 21)， (x 1，y 1)，FB OA 2 ，FB OA (x 2， y21) 2(x1，y 1)(2x 1,2y1)，即Error!代入得 4x 8y 14，21即 x 2y 11，21又 x 4y 1，所以 4y12y 11，21解得 y1 ，x 1 ，12 2即点 A 的坐标为 或 .(2，12) ( 2，12)13设 P
23、 是抛物线 y24x 上的一个动点， F 为抛物线的焦点(1)求点 P 到点 A(1,1)的距离与点 P 到直线 x1 的距离之和的最小值；(2)若点 B 的坐标为(3,2) ，求|PB| PF|的最小值考点 抛物线的定义题点 由抛物线定义求最值解 (1)如图，易知抛物线的焦点为 F(1,0)，准线方程是 x1.由抛物线的定义知，点 P 到直线 x1 的距离等于点 P 到焦点 F 的距离于是问题转化为在曲线上求一点 P，使点 P 到点 A(1,1) 的距离与点 P 到 F(1,0)的距离之和最小显然，连接 AF，AF 与抛物线的交点即为点 P，故最小值为 ，即点22 12 5P 到点 A(1,
24、1)的距离与点 P 到直线 x1 的距离之和的最小值为 .5(2)如图，把点 B 的横坐标代入 y24x 中，得 y2 .3因为 2 2，所以点 B 在抛物线内部过点 B 作 BQ 垂直于准线，垂足为点 Q，交抛物线于3点 P1，连接 P1F.此时，由抛物线定义知，| P1Q|P 1F|.所以|PB| PF|P 1B|P 1Q| BQ|314，即|PB |PF| 的最小值为 4.四、探究与拓展14已知点 M 是抛物线 y22px(p0) 上的一点，F 为抛物线的焦点，若以|MF|为直径作圆，则这个圆与 y 轴的关系是( )A相交 B相切C相离 D以上都对考点 抛物线的定义题点 抛物线定义的应用
25、答案 B解析 如图，取线段 MF 的中点 C，作 CE 垂直于抛物线的准线 l 于点 E，则|CE | (|MF|p)12 |MF| ，12 p2所以|CD| CE| |MF|，p2 12所以 MF 的中点 C 到 y 轴的距离等于|MF| 的一半15已知曲线 C 上的任意一点到定点 F(1,0)的距离与到定直线 x1 的距离相等(1)求曲线 C 的方程；(2)若曲线 C 上有两个定点 A，B 分别在其对称轴的上、下两侧，且|FA|2，| FB|5，求原点 O 到直线 AB 的距离考点 抛物线的标准方程题点 求抛物线方程解 (1)因为曲线 C 上任意一点到点 F(1,0)的距离与到直线 x1 的距离相等，所以曲线 C 的轨迹是以 F(1,0)为焦点的抛物线，且 1，所以曲线 C 的方程为 y24x.p2(2)由抛物线的定义结合| FA|2 可得，A 到准线x1 的距离为 2，即 A 的横坐标为 1，代入抛物线方程可得 y2，即 A(1,2)，同理可得 B(4， 4)，故直线 AB 的斜率 k 2，2 41 4故 AB 的方程为 y22(x1)，即 2xy40，由点到直线的距离公式，得原点 O 到直线 AB 的距离为 .| 4|22 12 455
