1、12.2 “非”(否定)学习目标 1.理解逻辑联结词“非”的含义.2.掌握存在性命题和全称命题否定的格式，会对命题、存在性命题、全称命题进行否定知识点一 “非”命题的表示思考 1 观察下列两个命题：p：5 是 25 的算术平方根；q：5 不是 25 的算术平方根；p：ycos x 是偶函数；q：ycos x 不是偶函数，它们之间有什么关系？逻辑联结词中“非”的含义是什么？答案 命题 q 是对命题 p 的否定， “非”表示“否定” “不是” “问题的反面”等思考 2 你能判断思考 1 中的问题所描述的两个命题的真假吗？p 的真假与綈 p 的真假有关系吗？答案 p 为真命题，q 为假命题；p 为真
2、命题，q 为假命题若 p 为真命题，则綈 p 为假命题梳理 (1)对一个命题 p 加以否定，就得到一个新命题，记作 綈 p，读作“非 p”或“p 的否定” “綈 p”形式命题：若 p 是真命题，则綈 p 必是假命题；若 p 是假命题，则綈 p 必是真命题(2)由“非”的含义，可以用“非”来定义集合 A 在全集 U 中的补集 UAxU |綈( xA)xU| xA知识点二 全称命题与存在性命题的否定思考 1 写出下列命题的否定：所有的矩形都是平行四边形；有些平行四边形是菱形答案 并非所有的矩形都是平行四边形每一个平行四边形都不是菱形思考 2 对的否定能否写成：所有的矩形都不是平行四边形吗？答案 不
3、能思考 3 对的否定能否写成：有些平行四边形不是菱形吗？答案 不能梳理 命题 命题的表述全称命题 p xA，p(x )全称命题的否定綈 p xA，綈 p(x)存在性命题 q xA，q(x )存在性命题的否定綈 q xA ，綈 q(x)(1)命题的否定就是对命题的结论作出相反的判断( )(2)命题的否定就是否命题( )(3)命题 p 与命题綈 p 不可能同真假( )类型一 “綈 p”命题的构成与真假判断例 1 写出下列命题的否定，并判断其真假(1)x(0,2)，函数 yx 2x 1 的最小值是 且最大值是 1；54(2)100 是 10 或 20 的倍数考点 “非”命题的概念题点 命题的否定的概
4、念解 (1)命题是“p 且 q”的形式，其中 p：x(0,2)，函数 yx 2x1 的最小值是 ；q：x(0,2)，函数 yx 2x 1 的最大值是 1.p 真，q 假，该命题的否定是“x(0,2)，54函数 yx 2x 1 的最小值不是 或最大值不是 1”，这是 “綈 p 或綈 q”形式的复合命题，54因为綈 p 假，綈 q 真，所以“綈 p 或綈 q”为真命题(2)命题是“p 或 q”的形式，其中 p：“100 是 10 的倍数 ”；q：“100 是 20 的倍数” 它的否定形式为“綈 p 且綈 q”，即“100 不是 10 的倍数且不是 20 的倍数”是假命题反思与感悟 (1)对命题“p
5、q”的否定，除将简单命题 p，q 否定外，还需将“且”变为“或” 对命题“pq”的否定，除将简单命题 p，q 否定外，还需将“或”变为“且” (2)命题 p 与命题 p 的否定綈 p 的真假性相反跟踪训练 1 写出下列命题 p 的否定，并判断其真假(1)p：偶数都能被 2 整除；(2)p：若 x2y 20，则 xy 0；(3)p：2 0182 017.考点 “非”命题的概念题点 命题的否定的概念解 (1)綈 p：偶数不都能被 2 整除，命题 p 是真命题，綈 p 是假命题；(2)綈 p：若 x2y 20，则 x 0 或 y0，命题 p 是真命题，綈 p 是假命题；(3)綈 p：2 0182 0
6、17，命题 p 是真命题，綈 p 是假命题类型二 全称命题的否定例 2 写出下列命题的否定，并判断其真假(1)所有的正方形都是菱形；(2)每一个素数都是奇数；(3)直线 l平面 ，则l，l l；(4)x1，log 2x0.考点 全称命题的否定题点 书写全称命题的否定解 (1)存在一个正方形不是菱形，是假命题；(2)存在一个素数不是奇数，是真命题；(3)直线 l平面 ，则l，l 与 l不垂直，是假命题；(4)x1，log 2x0，是假命题反思与感悟 (1)写出全称命题的否定的关键是找出全称命题的全称量词和结论，把全称量词改为存在量词，结论变为否定的形式就得到命题的否定(2)有些全称命题省略了量词
7、，在这种情况下，千万不要将否定简单的写成“是”或“不是”跟踪训练 2 写出下列命题的否定，并判断其真假(1)数列1,2,3,4,5中的每一项都是偶数；(2)a，bR，方程 axb 都有唯一解考点 全称命题的否定题点 书写全称命题的否定解 (1)数列1,2,3,4,5中至少有一项不是偶数，是真命题；(2)a，bR，使方程 axb 的解不唯一，是真命题类型三 存在性命题的否定例 3 写出下列存在性命题的否定，并判断其真假(1)x1，使 x22x30；(2)有些素数是奇数；(3)有些平行四边形不是矩形考点 存在性命题的否定题点 书写存在性命题的否定解 (1)x1， x22x30，是假命题；(2)所有
8、的素数都不是奇数，是假命题；(3)所有的平行四边形都是矩形，是假命题反思与感悟 存在性命题的否定是全称命题，写命题的否定时要分别改变其中的量词和判断词即 p： xA，p(x)成立綈 p： xA，綈 p(x)成立跟踪训练 3 写出下列存在性命题的否定，并判断其否定的真假(1)有些实数的绝对值是正数；(2)某些平行四边形是菱形；(3)x，yZ，使得 xy3.2考点 存在性命题的否定题点 书写存在性命题的否定解 (1)命题的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数 ”，即“所有实数的绝对值都不是正数” 它为假命题(2)命题的否定是“没有一个平行四边形是菱形” ，即“每一个平行四边形都不是菱形 ”由于
9、菱形是平行四边形，因此命题的否定是假命题(3)命题的否定是“ x，y Z， xy3” 当 x0，y3 时， xy3，因此命题的否2 2定是假命题类型四 全称命题、存在性命题的应用例 4 已知函数 f(x)4x 22(p2) x2p 2p1 在区间 1,1上至少存在一个实数 c，使得f(c)0，求实数 p 的取值范围考点 全称命题、存在性命题的应用题点 求参数范围解 在区间1,1上至少存在一个实数 c，使得 f(c)0 的否定是在1,1 上的所有实数 c，都有 f(c)0 恒成立又由二次函数的图象特征可知，Error! 即Error!即Error!p 或 p3.32故 p 的取值范围是 .( 3
10、，32)反思与感悟 通常对于“至多” “至少”的命题，应采用逆向思维的方法处理，先考虑命题的否定，求出相应的集合，再求集合的补集，可避免繁杂的运算跟踪训练 4 已知命题 p：x 0R，x 2ax 0a0.若命题 p 是假命题，则实数 a 的取值范20围是_考点 含量词命题的否定的应用题点 由含量词命题的真假求参数的范围答案 (0,1)解析 方法一 若命题 p：x 0R，x 2ax 0a0 是真命题，得 (2 a)24a0，20即 a(a1) 0, 若命题 p 是假命题，则 a(a1)0 是真命题，得 (2a) 24a2n，则綈 p 为( )AnN，n 22n B nN，n 22 nCn N，n
11、 22 n DnN ，n 22 n考点 存在性命题的否定题点 识别存在性命题的否定答案 C解析 将命题 p 的量词“”改为“” ， “n22n”改为“ n22 n”3对下列命题的否定说法错误的是( )Ap：能被 2 整除的数是偶数； 綈 p：存在一个能被 2 整除的数不是偶数Bp：有些矩形是正方形；綈 p：所有的矩形都不是正方形Cp：有的三角形为正三角形；綈 p：所有的三角形不都是正三角形Dp： xR，x 2x 20 ；綈 p： xR，x 2x20考点 存在性命题的否定题点 书写存在性命题的否定答案 C解析 “有的三角形为正三角形”为存在性命题，其否定为全称命题：“所有的三角形都不是正三角形”
12、 ，故选项 C 错误4命题“零向量与任意向量共线”的否定为_考点 存在性命题的否定题点 书写存在性命题的否定答案 有的向量与零向量不共线解析 命题“零向量与任意向量共线”即“任意向量与零向量共线” ，是全称命题，其否定为存在性命题：“有的向量与零向量不共线” 5已知命题“x R，x 25x a0”的否定为假命题，则实数 a 的取值范围是152_考点 含有量词命题的否定的应用题点 由含量词命题的真假求参数的范围答案 (56， )解析 由题意知，x R，x 25x a0 是真命题，152则 25 4 .15a2 56对含有一个量词的命题的否定要注意以下问题：(1)确定命题类型，是全称命题还是存在性
13、命题(2)改变量词：把全称量词改为恰当的存在量词；把存在量词改为恰当的全称量词(3)否定结论：原命题中的“是” “有” “存在” “成立”等改为 “不是” “没有” “不存在”“不成立”等(4)无量词的全称命题要先补回量词再否定一、选择题1有以下四个命题：(1)没有男生爱踢足球；(2)所有男生都不爱踢足球；(3)至少有一个男生不爱踢足球；(4)所有女生都爱踢足球其中是命题“所有男生都爱踢足球 ”的否定是( )A(1) B(2) C(3) D(4)考点 题点 答案 C2命题“ xR，x 32x10”的否定是( )AxR，x 32x 10B不存在 x R，x 32x 1 0CxR，x 32x10D
14、xR，x 32x10考点 题点 答案 D3命题“所有能被 2 整除的整数都是偶数”的否定是( )A所有不能被 2 整除的整数都是偶数B所有能被 2 整除的整数都不是偶数C存在一个不能被 2 整除的整数是偶数D存在一个能被 2 整除的整数不是偶数考点 全称命题的否定题点 识别全称命题的否定答案 D解析 原命题为全称命题，其否定应为存在性命题，且结论否定4已知命题 p：xR，使 tan x1，命题 q：x 23x20 是真命题由 4 4m1，a1.二、填空题8命题“某些平行四边形是矩形”的否定是_考点 存在性命题的否定题点 书写存在性命题的否定答案 每一个平行四边形都不是矩形9已知命题 p：x R
15、，x 2x 0，若 p 或 q 为假，则实数 m 的取值范围为_ 考点 含有量词命题的否定的应用题点 由含有量词复合命题的真假求参数的范围答案 2，)解析 依题意，知 p，q 均为假命题当 p 是假命题时，mx 210 恒成立，则有 m0；当q 是假命题时，方程 x2mx10 的判别式 m 240，即 m2 或 m2.由 p，q 均为假命题，得Error!即 m2.三、解答题12命题 p 是“对某些实数 x，有 xa0 或 xb0” ，其中 a，b 是常数(1)写出命题 p 的否定；(2)当 a，b 满足什么条件时，命题 p 的否定为真？考点 含有量词命题的否定题点 书写含有量词命题的否定解
16、(1)命题 p 的否定：对任意实数 x，有 xa0 且 x b0.(2)要使命题 p 的否定为真，需要使不等式组Error!的解集不为空集，通过画数轴可看出，a，b 应满足的条件是 b0 成立”为真，试求参数 a 的取值范围考点 含有量词命题的否定的应用题点 由含量词命题的真假求参数的范围解 由已知得綈 p：x 1,2，x 22ax2a0 成立，设 f(x)x 22ax 2a，则 Error!，Error!，解得 a3，綈 p 为假，a3，即 a 的取值范围是( 3，)四、探究与拓展14命题“nN ，f(n)N 且 f(n)n”的否定形式是( )AnN ，f(n)N 且 f(n)n BnN ，f(n) N 或 f(n)nCnN ，f(n) N 且 f(n)n DnN ，f (n)N 或 f(n)n考点 全称命题的否定题点 识别全称命题的否定答案 D解析 全称量词“nN ”改为存在量词“nN ” “f(n)N 且 f(n)n”的否定为“f(x)N 或 f(n)n” 15已知命题 p：m1,1，不等式 a25a3 ；命题 q：x，使不等式m2 8x2ax20，a2 或 a2 ，2 2从而命题 q 为假命题时，2 a2 ，2 2命题 p 为真命题，q 为假命题时，a 的取值范围为 . 22， 1
