2019人教A版数学选修2-2学案:1.5.1曲边梯形的面积1.5.2汽车行驶的路程

上传人:可** 文档编号:76534 上传时间:2019-07-31 格式:DOCX 页数:14 大小:396.30KB
下载 相关 举报
2019人教A版数学选修2-2学案:1.5.1曲边梯形的面积1.5.2汽车行驶的路程_第1页
第1页 / 共14页
2019人教A版数学选修2-2学案:1.5.1曲边梯形的面积1.5.2汽车行驶的路程_第2页
第2页 / 共14页
2019人教A版数学选修2-2学案:1.5.1曲边梯形的面积1.5.2汽车行驶的路程_第3页
第3页 / 共14页
2019人教A版数学选修2-2学案:1.5.1曲边梯形的面积1.5.2汽车行驶的路程_第4页
第4页 / 共14页
2019人教A版数学选修2-2学案:1.5.1曲边梯形的面积1.5.2汽车行驶的路程_第5页
第5页 / 共14页
点击查看更多>>
资源描述

1、15 定积分的概念15.1 曲边梯形的面积15.2 汽车行驶的路程1.了解“以直代曲” “以不变代变”的思想方法 2.会求曲边梯形的面积和变速运动的物体行驶的路程1连续函数与曲边梯形(1)连续函数如果函数 yf(x )在某个区间 I 上的图象是一条连续不断的曲线,那么就把它称为区间I 上的连续函数(2)曲边梯形把由直线 xa,x b(ab),y0 和曲线 yf (x)所围成的图形称为曲边梯形2曲边梯形的面积与变速直线运动的路程(1)求曲边梯形面积的步骤分割:如图,将a,b分割,等分成 n 个小区间每个小区间的长度为 x .b an近似代替:将所分的每一个小曲边梯形的面积用小矩形的面积 Si 近

2、似代替,其中 ix i1 ,x i求和:由知(2)如果物体做变速直线运动,速度函数为 vv(t),那么也可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法,求出它在 atb 内所作的位移 s.求曲边梯形面积的“以直代曲”思想教材在求抛物线 yx 2 与直线 x1,y0 所围成的平面图形的面积时,用每个小区间左端点的函数值近似替代在该小区间上的函数值,由图可知 S 矩形 ABCD0)围成曲边梯形,将区间1x1,2进行 100 等分后第一个小区间上曲边梯形的面积是 _解析:将曲边梯形近似地看成矩形,其边长分别为 f(1)1, ,故面积11001 0.01.1100答案:0.012利用定积分的定义求由 y3

3、x,x 0,x1,y0 围成的图形的面积解:(1)分割:把区间0,1等分成 n 个小区间 (i1,2,n),其长度为i 1n,inx .分别过上述 n1 个分点作 x 轴的垂线,把曲边梯形分成 n 个小曲边梯形,其面积记1n为 Si(i1,2 ,n) (2)近似代替:用小矩形面积近似代替小曲边梯形面积,得 Sif x3 (i 1n ) i 1n 1n(i1)( i1, 2,n)3n2(3)求和: Si= (i1)= 12(n1) .ni 1ni 13n2 3n2 32n 1n(4)求极限:S (i 1) .limn ni 13n2 lim n 32n 1n 32探究点 2 变速直线运动路程的求

4、法一辆汽车在笔直的公路上变速行驶,设汽车在时刻 t 的速度为 v(t)t 25(t的单位:h,v 的单位:km/h) ,试计算这辆汽车在 0t 2 这段时间内汽车行驶的路程 s(单位:km) 【解】 (1)分割:在时间区间0 ,2上等间隔地插入(n1) 个分点,将区间分成 n 个小区间,记第 i 个小区间为 (i1,2,n),2(i 1)n ,2int ,把汽车在时间段 , , 上行驶的路程分2in 2(i 1)n 2n 0,2n 2n,4n 2(n 1)n ,2别记为 s1, s2, sn,则有 sn si.ni 1(2)近似代替:取 i (i1,2,n),2insiv t (i1,2,n)

5、(2in) (2in)2 52n 4i2n22n 10n(3)求和:s n sini 1ni 1 10412n2 2n 422n2 2n 4n2n2 2n 122 2n 2108n3 108n3n(n 1)(2n 1)68 10.13(1 1n)(1 12n)(4)取极限:s sn .因此,行驶的路程为 km.limn 223 223求变速直线运动的路程的方法求变速直线运动路程的问题,方法和步骤类似于求曲边梯形的面积,用“以直代曲”“逼近”的思想求解求解过程为分割、近似代替、求和、取极限应特别注意变速直线运动的时间区间 汽车运动速度与时间的关系为 v(t)t 2,运动时间为 2 小时,将运动时

6、间区间分割为 200 等份,则汽车在第 i 个时间区间上的运动路程是_解析:在第 i 个区间上的运动速度为 ,运动时间为 ,所以路程(i100)21100si .(i100)21100 i21003答案:i210031将区间a,b等分成 n 份,则每个小区间的长度为( )A. B. C. D.1n an bn b an解析:选 D.因为原区间长度为 ba,将其等分成 n 份后,每一个小区间的长度均为.b an2. _ni 1in解析: (12n) .ni 1in 1n 1nn(n 1)2 n 12答案:n 123求由抛物线 f(x)x 2,直线 x1 以及 x 轴所围成的平面图形的面积时,若将

7、区间0,15 等分,如图所示,以小区间中点的函数值为高,所有小矩形的面积之和为_解析:由题意得S(0.1 20.3 20.5 20.7 20.9 2)0.20.33.答案:0.33知识结构 深化拓展求曲边梯形面积的注意点(1)在“近似代替”中,在每一个小区间 上i 1n , in通常取一个端点的值代入计算,既可用每个区间的右端点的函数值,也可用左端点的函数值,这样做是为了计算简便(2)当 f(i)为负值时,取|f( i)|为一边构造小矩形(3)求和时可用到一些常见的求和公式,如:123n ,1 22 23 2n 2n(n 1)2,1 32 33 3n 3 .n(n 1)(2n 1)6 n(n

8、1)2 2注意 用“以直代曲”的方法求曲边梯形的面积,就是利用求直角梯形的面积公式求解.A 基础达标1在“近似代替”中,函数 f(x)在区间x i,x i1 上的近似值( )A只能是区间左端点的函数值 f(xi)B只能是区间右端点的函数值 f(xi1 )C可以是该区间内任一点的函数值D以上答案均正确解析:选 C.作近似计算时,xx i1 x i 很小,所以在区间x i,x i1 上,可以认为函数 f(x)的值变化很小,近似地等于一个常数,所以 f(x)在区间x i,x i1 上的近似值可以是区间x i,x i1 上任一点的函数值2设函数 f(x)在区间a,b上连续,用分点 ax 0x1xi1

9、xixnb,把区间a,b等分成 n 个小区间,在每个小区间x i1 ,x i上任取一点 i(i1,2,n) ,作和式Snf(i)x( 其中 x 为小区间的长度),那么 Sn 的大小( )n i 1A与 f(x)、区间a,b有关,与分点的个数 n 和 i 的取法无关B与 f(x)、区间 a,b和分点的个数 n 有关,与 i 的取法无关C与 f(x)、区间 a,b、分点的个数 n 和 i 的取法都有关D与 f(x)、区间a,b和 i 的取法有关,与分点的个数 n 无关解析:选 C.因为 Sn f(i)x f(i) ,所以 Sn 的大小与 f(x)、区间、分点的n i 1 n i 1 b an个数和

10、变量的取法都有关故选 C.3求由直线 x0,x 2,y 0 与曲线 yx 21 所围成的曲边梯形的面积时,将区间0,25 等分,按照区间左端点和右端点估计梯形面积分别为( )A3.92,5.52 B4,5C2.51,3.92 D5.25 ,3.59解析:选 A.将区间0,25 等分为 , , , , ,以小区间左端点0,25 25,45 45,65 65,85 85,2对应的函数值为高,得S1 1 (25)2 1 (45)2 1 (65)2 1 (85)2 1 3.92,25以小区间右端点对应的函数值为高,得S2 (25)2 1 (45)2 1 (65)2 1 (85)2 1 )Error!

11、5.52.故选 A.254在求由曲线 y 与直线 x1,x 3,y0 所围成图形的面积时,若将区间 n 等分,1x并且用每个区间的右端点的函数值近似代替,则第 i 个小曲边梯形的面积 S i 约等于( )A. B.2n 2i 2n 2i 2C. D.2n(n 2i) 1n 2i解析:选 A.每个小区间长度为 ,第 i 个小区间为 ,因此第 i 个小2n n 2(i 1)n ,n 2in 曲边梯形的面积 Si .1n 2in 2n 2n 2i5若做变速直线运动的物体 v(t)t 2,在 0t a 内经过的路程为 9,则 a 的值为( )A1 B2C3 D4解析:选 C.将区间0,an 等分,记第

12、 i 个区间为 (i1,2,n),此区a(i 1)n ,ain间长为 ,用小矩形面积 近似代替相应的小曲边梯形的面积,an (ain)2an则 (122 2n 2)ni 1(ain)2 an a3n3近似地等于速度曲线 v(t)t 2 与直线 t0,ta,t 轴围成的曲边梯形a33(1 1n)(1 12n)的面积依题意得 9,limn a33(1 1n)(1 12n)所以 9,解得 a3.a336在区间0,8上插入 9 个等分点后,则所分的小区间长度为 _,第 5 个小区间是_解析:在区间0,8上插入 9 个等分点后,把区间0,810 等分,每个小区间的长度为 ,第 5 个小区间为 .810

13、45 165,4答案: 45 165, 47对于由直线 x1,y 0 和曲线 yx 3 所围成的曲边三角形,把区间 3 等分,则曲边三角形面积的近似值(取每个区间的左端点 )是_解析:将区间0,1三等分为 , , ,各小矩形的面积和为 S10 3 0,13 13,23 23,1 13 (13)3 .13 (23)313 19答案:198求由曲线 y x2 与直线 x1,x2,y0 所围成的平面图形的面积时,把区间121,25 等分,则该平面图形面积的近似值(取每个小区间的左端点)是_解析:将区间1,25 等分,所得的小区间分别为1, , , , , , , ,65 65 75 75 85 85

14、 95 ,2,于是所求平面图形面积的近似值为 (1 ) 1.02.95 110 3625 4925 6425 8125 110 25525答案:1.029利用分割,近似代替,求和,取极限的办法求函数 y1x,x1,x2 的图象与x 轴围成梯形的面积,并用梯形的面积公式加以验证解:f(x )1x 在区间1 ,2 上连续,将区间1,2分成 n 等份,则每个区间的长度为xi ,在x i1 ,x i 上取 ix i1 1 (i1,2,3,n),于是1n 1 i 1n,1 in i 1nf(i)f(x i1 )11 2 ,从而i 1n i 1n n 012(n 1)2 2n 1n2 1n2n(n 1)2

15、2 .(n 1)2n 52 12n则 S Sn .limn lim n lim n lim n (52 12n) 52如下进行验证:如图所示,由梯形的面积公式得:S (23) 1 .12 5210一辆汽车做变速直线运动,设汽车在时刻 t 的速度 v(t) (t 的单位:h,v 的单6t2位:km/h) ,求汽车在 t1 到 t2 这段时间内运动的路程 s(单位:km)解:(1)分割把区间1,2 等分成 n 个小区间 (i1,2,n),每个区间的长度n i 1n ,n in t ,每个时间段行驶的路程记为 si(i1,2,n) 1n故路程和 sn si.ni 1(2)近似代替siv t6 (n

16、i 1n ) ( nn i 1)21n 6(1 i 1n )2 1n 6n(n i 1)2 (i1,2,3,n)6n(n i 1)(n i)(3)求和snni 1 6n(n i 1)(n i)6n (1n 1n 1 1n 1 1n 2 12n 1 12n)6n .(1n 12n)(4)取极限s sn 6n 3.limn lim n lim n lim n (1n 12n)B 能力提升11在等分区间的情况下,f(x) (x0,2) 及 x 轴所围成的曲边梯形的面积和式11 x2的极限形式正确的是( )A. limn lim n ni 111 (in)2 2nB. limn lim n ni 11

17、1 (2in)2 2nC. limn lim n ni 1 11 i21nD. limn lim n ni 111 (in)2 n解析:选 B.将区间 n 等分后,每个小区间的长度为 x ,第 i 个小区间为2n(i 1,2,3,n) ,则由求曲边梯形的面积的步骤可得曲边梯形的面积和式2(i 1)n ,2in的极限形式为.limn lim n ni 111 (2in)2 2n12设函数 f(x)的图象与直线 xa,xb 及 x 轴所围成图形的面积称为函数 f(x)在a,b上的面积已知函数 ysin nx 在 (nN *)上的面积为 ,则 ysin 3x 在 上0,n 2n 0,23的面积为_解

18、析:由于 ysin nx 在 (nN *)上的面积为 ,则 ysin 3x 在 上的面积为 .0,n 2n 0,3 23而 ysin 3x 的周期为 ,所以 ysin 3x 在 上的面积为 2 .23 0,23 23 43答案:4313某物体在笔直的道路上做变速直线运动,设该物体在时刻 t 的速度为 v(t)7t 2(单位:km/h),试计算这个物体在 0t1(单位:h)这段时间内运动的路程 s(单位:km)解:将区间0,1进行 n 等分,得到 n 个小区间: , , ,0,1n 1n,2n i 1n,in.n 1n ,1即 i (i1, 2,n) ,则物体的每个时间段内运动的路程insiv(

19、i)t ,i1,2,n.1n(7 i2n2)sn sini 1 1n(7 1n2 7 22n2 7 n2n2)1n7n n(n 1)(2n 1)6n2 7 .16(1 1n)(2 1n)于是 s sn .limn lim n lim n lim n 7 16(1 1n)(2 1n) 203所以这个物体在 0t1 这段时间内运动的路程为 km.20314(选做题) 如图所示,求直线 x0,x 3,y0 与二次函数 f(x)x 22x3 所围成的曲边梯形的面积解:(1)如图,分割,将区间0 ,3n 等分,则每个小区间 (i1,2,n)3(i 1)n ,3in的长度为 x .分别过各分点作 x 轴的

20、垂线,把原曲边梯形分成 n 个小曲边梯形3n(2)近似代替以每个小区间的左端点函数值为高作 n 个小矩形则当 n 很大时,用 n 个小矩形面积之和 Sn 近似代替曲边梯形的面积 S.(3)求和Sn xni 1f(3(i 1)n ) ni 1 9(i 1)2n2 23(i 1)n 3 3n 122 2(n1) 2 123(n1) 927n3 18n2 (n1)n(2 n1) 927n3 16 18n2 n(n 1)29 9 9.(1 1n)(1 12n) (1 1n)(4)取极限S Sn limn lim n 9(1 1n)(1 12n) 9(1 1n) 99(10)(1 0)9(10)99.即所求曲边梯形面积为 9.

展开阅读全文
相关资源
相关搜索
资源标签

当前位置:首页 > 高中 > 高中数学 > 人教新课标A版 > 选修2-2