1、第 2 课时 对数的运算及换底公式学习目标 1.掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立条件(重、难点)； 2.掌握换底公式及其推论(难点)；3.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值(重点 )预习教材 P7578，完成下面问题：知识点一 对数运算性质一般地，如果 a0，且 a1，M0，N0，那么：(1)loga(MN) logaMlog aN；(2)loga log aMlog aN.MN【预习评价】 1有了乘法口诀，我们就不必把乘法还原成为加法来计算那么，有没有类似乘法口诀的结论，使我们不必把对数式还原成指数式就能计算？提示 有例如，设 logaMm，log aNn，则amM ，a
2、 n N，MNa mana mn ，log a(MN)m nlog aMlog aN，得到的结论 loga(MN)log aMlog aN 可以当公式直接进行对数运算2log 24，log 28，log 232 之间存在什么关系？提示 log 24log 28log 232log 2(48)，log2 log 24log 232log 28，328log2 log 28log 232log 24.324知识点二 换底公式一般地，对数换底公式logab (a0，且 a 1，b0，c 0，且 c1)；logcblogca特别地：log ablogba1(a0，且 a1，b0，且 b1)【预习评价】
3、思考 假设 x，则 log25xlog 23，即 log25log 23x，从而有 3x5，再化log25log23为对数式可得到什么结论？提示 把 3x 5 化为对数式为：log 35x，又因为 x ，所以得出 log35 的结论log25log23 log25log23知识点三 常用结论由换底公式可以得到以下常用结论：(1)logab ；1logba(2)logablogbclogca1；(3) logab；(4) logab；mn(5) logab.【预习评价】判断 log 9(x5) log3(x5)( )12提示 题型一 积商幂的对数运算【例 1】 化简 loga .x2y3z解 0
4、 且 x20， 0，x2y3z yy 0，z 0.loga log a(x2 )log ax2y3z y 3zlog ax2log a log ay 3z2log a|x| logay logaz.12 13规律方法 使用公式要注意成立条件，log 2(3)( 5)log 2(3)log 2(5)是不成立的log 10(10) 22log 10(10) 是不成立的要特别注意 loga(MN)log aMlogaN，log a(MN)log aMlogaN.【训练 1】 已知 y0，化简 loga .xyz解 0，y0，x0，z0.xyzloga log a log a(yz) logaxlog
5、 aylog az.xyz x 12题型二 利用换底公式化简、求值【例 2】 计算：(1)lg 20log 10025；(2)(log2125log 425log 85)(log1258log 254log 52)解 (1)lg 20 log100251lg 2 1lg 2lg 52.lg 25lg 100(2)(log2125log 425log 85)(log1258log 254log 52)(log 253log 2252log 235)(3 1 )log25(111)log 5213 313.133规律方法 (1)在化简带有对数的表达式时，若对数的底不同，需利用换底公式(2)常用的公
6、式有：log ablogba1， logab，log ab 等mn 1logba【训练 2】 (1)(log 29)(log34)_.(2)log2 log3 log5 _.125 18 19解析 (1)(log 29)(log34)(log 232)(log322)2log 23(2log32)4log 23log324.(2)原式 lg 125lg 2lg 18lg 3lg 19lg 5 12. 2lg 5 3lg 2 2lg 3lg 2lg 3lg 5答案 (1)4 (2)12互动探究题型三 换底公式、对数运算性质综合运用【探究 1】 已知 log189a,18 b5，求 log3645
7、.解 log 189a,18 b5，log 185b.于是 log3645 log1845log1836 log1859log18182 log189 log1851 log182 .a b1 log18189 a b2 a【探究 2】 设 3a4 b36，求 的值2a 1b解 由 3a4 b36，得 alog 336，blog 436，由换底公式得 log 363， log 364，1a 1b 2log363log 364log 36361.2a 1b【探究 3】 已知 2x3 y 5z，且 1，求 x，y ，z .1x 1y 1z解 令 2x3 y5 zk(k 0)，x log2k，ylo
8、g 3k，zlog 5k， log k2， log k3， log k5，1x 1y 1z由 1，得 logk2 logk3log k5log k301 ，1x 1y 1zk 30， xlog 2301log 215，ylog 3301log 310，z log 5301log 56.【探究 4】 已知 lg xlg y2lg( x2y)，求 log 的值2xy解 由 lg xlg y 2lg(x2y)，得 xy(x2y) 2，即 x25xy4y 20，化为( )25 40，xy xy解得 1 或 4.xy xy又 x0，y 0，x 2y0 ， 2， 4，xy xylog log 4log 2
9、16 4.2xy2规律方法 (1)在对数式、指数式的互化运算中，要注意灵活运用定义、性质和运算法则，尤其要注意条件和结论之间的关系，进行正确的相互转化(2)对于这类连等式可令其等于 k(k0)，然后将指数式用对数式表示，再由换底公式就可将指数的倒数化为同底的对数，从而使问题得解.课堂达标1lg 83lg 5 的值为_解析 lg 83lg 5lg 8lg 5 3lg 8lg 125lg (8125) lg 1 0003.答案 32已知 lg a，lg b 是方程 2x24x10 的两根，则(lg )2 的值是_ab解析 lg a lg b2，lg alg b ，(lg )2(lg alg b)2
10、(lg alg b)24lg alg 12 abb2 24 2.12答案 23若 logablog3a4，则 b 的值为_解析 log ablog3a 4，lg blg alg alg 3 lg blg 3所以 lg b4lg 3lg 3 4，所以 b3 481.答案 814已知 2m5 n10，则 _.1m 1n解析 因为 mlog 210，nlog 510，所以 log 102log 105lg 101.1m 1n答案 15计算：(1)lg 142lg lg 7lg 18；73(2) .lg 27 lg 8 31g 10lg 1.2解 (1)方法一 lg 142lg lg 7lg 1873
11、lg(27) 2(lg 7lg 3)lg 7lg(3 22)lg 2lg 72lg 72lg 3lg 72lg 3lg 20.方法二 lg 142lg lg 7lg 1873lg 14lg( )2lg 7lg 1873lg lg 10.14773218(2)lg 27 lg 8 3lg 10lg 1.232lg 3 2lg 2 1lg 3 2lg 2 1 .32课堂小结1换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，可正用、逆用；使用的关键是恰当选择底数，换底的目的是利用对数的运算性质进行对数式的化简2运用对数的运算性质应注意：(1)在各对数有意义的前提下才能应用运算性质(2)根据不同的问题选择公式的正用或逆用(3)在运算过程中避免出现以下错误：log aNn(log aN)n，log a(MN)log aMlogaN，log aMlogaNlog a(MN).
