1、3.3.2 函数的极值与导数学习目标 1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用.2.掌握函数极值的判定及求法.3.掌握函数在某一点取得极值的条件.知识点 1 极值点与极值的概念(1)极小值点与极小值如图，函数 yf (x)在点 xa 的函数值 f(a)比它在点 xa 附近其他点的函数值都小，f(a)0；而且在点 xa 附近的左侧 f(x)0，右侧 f(x)0，则把点 a 叫做函数 yf (x)的极小值点，f (a)叫做函数yf(x)的极小值.(2)极大值点与极大值如(1)中图，函数 yf(x)在点 xb 的函数值 f(b)比它在点 xb 附近其他点的函数
2、值都大，f(b) 0；而且在点 xb 的左侧 f(x) 0，右侧 f(x)0，则把点 b 叫做函数 yf(x )的极大值点，f(b)叫做函数 yf(x )的极大值 .极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值.【预习评价】 (正确的打“”，错误的打“”)(1)函数 f(x)若有极大值和极小值，则极大值一定大于极小值.( )(2)若 f(x0)0，则 x0是函数 f(x)的极值点.( )(3)若 f(x)在区间(a，b)上是单调函数，则 f(x)在区间(a，b)上没有极值点.( )提示 (1)函数 f(x)的极大值和极小值的大小关系不确定，如图所示，极大值f(x1)小于极小值 f(
3、x2)，所以(1)错.(2)反例：f(x)x 3，f(x ) 3x2，则 f(0)0，但 0 不是 f(x)x 3的极值点，(2) 错.(3)由极值的定义可知(3) 正确 .答案 (1) (2) (3)知识点 2 求函数 yf (x)的极值的方法解方程 f(x)0，当 f(x0)0 时：(1)如果在 x0 附近的左侧 f(x)0，右侧 f(x)0，那么 f(x0)是极大值.(2)如果在 x0 附近的左侧 f(x)0，右侧 f(x)0，那么 f(x0)是极小值.【预习评价】函数 f(x) x3x 23x 6 的极大值为_，极小值为_.13解析 f( x)x 22x3，令 f(x)0，得 x1 或
4、 x3，令 f(x)0 得1x3，故 f(x)在(，1)，(3，)上单增，在(1，3)上单减，故f(x)的极大值为 f(1) ，极小值为 f(3)3.233答案 3233题型一 求函数的极值【例 1】 求函数 f(x) 2 的极值2xx2 1解 函数的定义域为 R.f(x) .2（x2 1） 4x2（x2 1）2 2（x 1）（x 1）（x2 1）2令 f(x)0，得 x1，或 x1.当 x 变化时， f(x)，f(x) 的变化情况如下表：x (，1) 1 (1，1) 1 (1，)f(x) 0 0 f(x) 3 1 由上表可以看出：当 x1 时，函数有极小值，且极小值为 f(1) 3；当 x1
5、 时，函数有极大值，且极大值为 f(1)1.规律方法 求可导函数 f(x)的极值的步骤：(1)确定函数的定义域，求导数 f(x)；(2)求方程 f(x)0 的根；(3)用函数的导数为 0 的点，顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格.检测 f(x)在方程根左右两侧的值的符号，如果左正右负，那么 f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么 f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么 f(x)在这个根处无极值 .【训练 1】 求函数 f(x) 3ln x 的极值.3x解 函数 f(x) 3ln x 的定义域为(0，)，3xf(x) .3x2 3x 3（x 1）x2令 f
6、(x)0，得 x1.当 x 变化时， f(x)与 f(x)的变化情况如下表：x (0，1) 1 (1，)f(x) 0 f(x) 3 因此当 x1 时，f (x)有极小值 f(1)3.题型二 利用函数极值确定参数的值【例 2】 已知函数 f(x) ax3bx 2cx(a0)在 x1 处取得极值，且 f(1)1.(1)求常数 a， b，c 的值；(2)判断 x1 是函数的极大值点还是极小值点，试说明理由，并求出极值.解 (1)f(x) 3ax 22bx c.x1 是函数 f(x)的极值点，x1 是方程 f(x)3ax 22bxc0 的两根，由根与系数的关系，得 2b3a 0， c3a 1， )又
7、f(1)1， abc 1. 由解得 a ，b0，c .12 32(2)由(1)知 f(x) x3 x，12 32f(x) x2 (x1)(x 1)，32 32 32当 x1 时，f( x)0，当1 或 x 时， f(x)0；2 2当 x 时，f(x )0，2 2所以 f(x)的单调递增区间为 (， )和( ，)；2 2单调递减区间为( ， )2 2当 x 时，f( x)有极大值 54 ；2 2当 x 时，f( x)有极小值 54 .2 2(2)由(1)的分析知 yf(x) 的图象的大致形状及走向如图所示所以，当 54 a54 时，2 2直线 ya 与 yf(x)的图象有三个不同的交点，即当a(
8、5 4 ，54 )时，方程 f(x)a 有三个不同的实根 .2 2规律方法 用求导的方法确定方程根的个数，是一种很有效的方法.它通过函数的变化情况，运用数形结合思想来确定函数图象与 x 轴的交点个数，从而判断方程根的个数.【训练 3】 设 a 为实数，函数 f(x)x 33xa .(1)求 f(x)的极值；(2)是否存在实数 a，使得方程 f(x)0 恰好有两个实数根？若存在，求出实数 a的值；若不存在，请说明理由.解 (1)f(x) 3x 23，令 f(x)0，得 x1 或 x1.因为当 x(，1)时，f( x)0，当 x(1，1)时，f(x) 0，当 x(1，)时，f (x)0，所以f(x
9、)的极小值为 f(1) a2，极大值为 f(1)a2.(2)因为 f(x)在(，1)内单调递减，且当 x时，f (x)，f (x)在(1， ) 内单调递减，且当 x时，f(x)，而 a2a2，即函数的极大值大于极小值，所以当极大值等于 0 时，极小值小于 0，此时曲线 f(x)与 x轴恰有两个交点，即方程 f(x)0 恰好有两个实数根，所以 a20，a2，如图 1 所示.当极小值等于 0 时，极大值大于 0，此时曲线 f(x)与 x 轴恰有两个交点，即方程 f(x)0 恰好有两个实数根，所以 a2 0，a2，如图 2 所示.综上所述，当 a2 或 a2 时，方程 f(x)0 恰有两个实数根 .
10、课堂达标1.函数 f(x)的定义域为 R，导函数 f(x)的图象如图所示，则函数 f(x)( )A.无极大值点，有四个极小值点B.有三个极大值点，两个极小值点C.有两个极大值点，两个极小值点D.有四个极大值点，无极小值点解析 f( x)的符号由正变负，则 f(x0)是极大值，f(x)的符号由负变正，则 f(x0)是极小值，由图象易知有两个极大值点，两个极小值点.答案 C2.已知函数 f(x)x 3px 2qx 的图象与 x 轴切于点(1，0)，则 f(x)的极值情况为( )A.极大值为 ，极小值为 0427B.极大值为 0，极小值为427C.极大值为 0，极小值为427D.极大值为 ，极小值为
11、 0427解析 f( x)3x 22pxq，根据题意，知 x1 是函数的一个极值点，则解得f（1） 3 2p q 0，f（1） 1 p q 0，) p 2，q 1，)所以 f(x)3x 24x1.令 f(x)0，得 x 或 x1，易判断当 x 时，f(x )有极大值为 ，当 x1 时，13 13 427f(x)有极小值为 0，故选 A.答案 A3.已知 f(x)x 3ax 2(a6)x 1 有极大值和极小值，则 a 的取值范围为( )A.( 1，2) B.(3，6)C.(，1)(2 ，) D.(，3)(6，)解析 f( x)3x 22ax(a6)，因为 f(x)既有极大值又有极小值，那么 (2
12、a) 243( a6)0 ，解得 a6 或 a3.答案 D4.设函数 f(x)6x 33(a2)x 22ax .若 f(x)的两个极值点为 x1，x 2，且 x1x21，则实数 a 的值为_.解析 f( x)18x 26(a2)x2a.由已知 f(x1)f(x 2)0，从而 x1x2 1，2a18所以 a9，经验证此时 0，符合题意.答案 95.已知关于 x 的函数 f(x) x3bx 2cx bc，若函数 f(x)在 x1 处取得极值13 ，则 b_，c_.43解析 f( x)x 22bxc，由 f(x)在 x1 处取得极值 ，得43f（1） 1 2b c 0，f（1） 13 b c bc
13、43.)解得 或b 1，c 1) b 1，c 3. )若 b1，c 1，则 f(x)x 22x1(x 1) 20，此时 f(x)没有极值；若 b1，c 3，则 f(x)x 22x3(x3)(x1)，当3x1 时，f (x)0，当 x1 时， f(x)0.所以当 x1 时，f (x)有极大值 .43故 b1，c 3.答案 1 3课堂小结1.在极值的定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值.2.函数的极值是函数的局部性质.可导函数 f(x)在点 xx 0 处取得极值的充要条件是 f(x0)0 且在 xx 0 两侧 f(x)符号相反.3.利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图象的交点问题.
