1、2019年贵州省黔东南州初中发展联盟中考数学一模试卷一、选择题（每题 4 分，共 10 道小题 40 分）1 （4 分）| |的相反数是（ ）A2 B C D22 （4 分）下面的计算结果一定为负数的是（ ）A|a| |b| Ba 2b 2 Ca 21 Da3 （4 分）如果方程 2x2mx40 的两根为 x1、x 2，且 ，则实数 m 的值等于（ ）A4 B4 C8 D84 （4 分）方程 x+5 的实数根的个数是（ ）A3 个 B2 个 C1 个 D0 个5 （4 分）如图，O 的直径为 10cm，弦 AB 为 8cm，P 是弦 AB 上一
2、点且不与点 A、B 重合若 OP 的长为整数，则符合条件的点 P 有（ ）A2 个 B3 个 C4 个 D5 个6 （4 分）如图，BC 为O 的直径，AB OB 则C 的度数为（ ）A30 B45 C60 D907 （4 分）如图所示，是抛物线 yax 2+bx+c（a0）与双曲线 y （bc 0）在同一坐标系内的图象，其中正确的是（ ）第 2 页（共 24 页）A BC D8 （4 分）化肥厂 1 月份某种化肥的产量为 20 万吨，通过技术革新，产量逐月上升，第一季度共生产这种化肥 95 万吨，求 2、3 月份平均每月增产的百分率是多少？若设 2、3月
3、份平均每月增产的百分率为 x，根据题意列方程为（ ）A20（1+x）95B20（1+x） 295C20（1+x）+20（1+x ） 2 95D20+20（1+x ）+20（1+x） 2959 （4 分）如图，在ABC 中，AB7cm，AC4cm，点 D 从 B 点以每秒 2cm 的速度向点A 移动，点 E 从 A 点以每秒 1cm 的速度向点 C 移动，若 D、E 同时出发，同时停止则经过多少时间ADE 与ABC 相似 （ ）A （s） B （s）C （s ）或 （s ） D （s）或 （s）10 （4 分）如图，是一个由若干个小正方体组成的几何体的三视图则该几何体最多
4、可由多少个小正方体组合而成？（ ）第 3 页（共 24 页）A6 个 B9 个 C11 个 D13 个二、填空题（每小题 4 分，共 6 道小题，24 分）11 （4 分） 12 （4 分）分解因式 x22xy+y 21 13 （4 分）十三届全国人大二次会议于 2019 年 3 月 5 日，在北京人民大会堂召开，国务院总理李克强在政府工作报告中指出：精准脱贫有力推进，农村贫困人口减少 1386万人，易地扶贫搬迁 280 万人将 1386 万用科学记数法表示为： 14 （4 分）在 RtABC 中，
5、C90，若 cosB ，则 tanB 15 （4 分）如图，点 A 为双曲线上的一点，过点 A 作 ABx 轴于点 B，则OAB 的面积是 16 （4 分）如图，正六边形 ABCDEF 边长为 1，连结各边中点得到正六边形A1B1C1D1E1F1，再连结正六边形 A1B1C1D1E1F1 的各边中点，得到正六边形A2B2C2D2E2F2，按上述连结方法作正六边形 A3B3C3D3E3F3、A 4B4C4D4E4F4、正六边形 A4B4C4D4E4F4 的周长是 第 4 页（共 24 页）三、解答题（共 8 道小
6、题，86 分）17 （8 分）计算：（ ） 1 +| 2|（3.14 ） 0+2sin60（1） 201918 （8 分）解分式方程： 19 （10 分）解不等式组，把其解集在数轴上表示出来，并写出它的整数解20 （10 分）已知在 RtABC，C90，AB 13，AC5，O 是 AC 上的点，以 O 为圆心，OC 为半径作 O（1）当 OC2.5 时， O 交 AB 于点 D，求 BD 的长；（2）当 OC2.4 时，AB 与O 有怎样的位置关系？并证明你的结论21 （12 分）某校为了解今年九年级学生中考体育的选项成绩（选考项目是 A：篮球运球；B：足球运球； C 排球垫球；D：跳绳；E：
7、跳远学生根据自己情况任选两项考试，每项 10 分，共 20 分） ，在我州体育考试前进行了一次模拟考试九（1）班班主任对本班的成绩进行统计后，制成两幅不完整的统计图（如图） 第 5 页（共 24 页）（1）根据统计图填空：该班学生成绩的优秀率是： %；成绩的中位数落在 组（选填：不合格、合格、良好或优秀） （2）将直方图补充完整；（3）若九年级共有 850 人，试求良好和优秀等次的学生人数共约多少人？（4）该班有甲乙两位同学在报选考项目时，甲说：我固定选 A（篮球运球）外，其他任选一项；乙说：我固定选 C（排球垫球）外，其他
8、任选一项请你求出他两报考的选项中至少有一项相同的概率22 （12 分）张明同学很想测一测我校国旗杆的高度于是他利用课外活动时间来到运动场，站在 B 处测得旗杆顶端 C 的仰角为 30，然后向旗杆方向前行 12m 到达点 F 位置，此时测得旗杆顶端 C 的仰角为 63若张明身高为 1.7m请你利用这些已知条件帮他求一求旗杆 CD 的高 （结果保留一位小数，参考数据： 1.4， 1.7，sin630.89，cos630.45，tan63 2.0）23 （12 分）春节期间某超市购进 A、B 两种精品苹果若买 1 千克 A 种苹果和 2 千克 B种苹果共需 70 元；若买 2 千克 A 种苹果和 1
9、 千克 B 种苹果共需 80 元（1）设 A、B 两种苹果的单价分别为 m 元/kg、n 元/ kg试求 m、n 的值（2）A 种苹果进货成本价为 10 元/ kg现用 A 种苹果进行降价促销活动根据市场调查：若按（1）中求出的单价销售，该超市每天销售 A 种苹果 100 千克；若售价每降 1 元，A 种苹果每天销量就增加 10 千克第 6 页（共 24 页）求每天 A 种苹果的销售利润 y（元）与销售单价 x（元）之间的函数关系式；求销售单价为多少元时，A 种苹果每天销售的利润最大，最大利润是多少？24 （14 分）如图 A（0，3） ，B（3，0） ，C （1，0）分别是抛物线：yax 2
10、+bx+c（a0）上的三点，点 P 为抛物线上一动点（1）求此抛物线的解析式（2）当PAB 是以 AB 为一直角边的直角三角形时，求此时点 P 的坐标（3）若点 P 在抛物线上 A、B 两点之间移动时，是否存在一个位置，使PAB 的面积最大？若存在，请求此时点 P 的坐标若不存在，请说明理由第 7 页（共 24 页）2019 年贵州省黔东南州初中发展联盟中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题 4 分，共 10 道小题 40 分）1 （4 分）| |的相反数是（ ）A2 B C D2【分析】根据绝对值的性质和相反数的定义，进行求解【解答】解：| | ， +（ ）0，|
11、|的相反数是 ，故选：C【点评】此题主要考查绝对值的性质，当 a0 时，|a| a；当 a0 时，|a|a，是一道好题2 （4 分）下面的计算结果一定为负数的是（ ）A|a| |b| Ba 2b 2 Ca 21 Da【分析】分别根据绝对值的非负性、平方的非负性判断即可【解答】解：a 20，a 20，a 211，结果一定为负数的是a 21故选：C【点评】本题主要考查了绝对值和平方的非负性，属于基础题，比较简单3 （4 分）如果方程 2x2mx40 的两根为 x1、x 2，且 ，则实数 m 的值等于（ ）A4 B4 C8 D8【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，x 1+
12、x2 ，x 1x2 ，再将 ，用两根之和与两根之差得出 m 的值第 8 页（共 24 页）【解答】解：x 1+x2 ，x 1x2 ， 2，4，m8故选：D【点评】此题主要考查了根与系数的关系，以及将 的变形应用，这种题型经常在中考中出现4 （4 分）方程 x+5 的实数根的个数是（ ）A3 个 B2 个 C1 个 D0 个【分析】观察发现，原方程左边的分子可以因式分解，从而把分母约掉，变成整式方程可解【解答】解：方程 x+5 可化为 x+52xx+5x5经检验 x5 是原方程的根原方程实数根的个数是 1 个故选：C【点评】本题可以先把方程左边因式分解化简，从而使得计算简单，而不必两
13、边同乘以（x3） ，本题体现了分式方程计算的灵活性5 （4 分）如图，O 的直径为 10cm，弦 AB 为 8cm，P 是弦 AB 上一点且不与点 A、B 重合若 OP 的长为整数，则符合条件的点 P 有（ ）A2 个 B3 个 C4 个 D5 个【分析】连接 OA，作 OC AB 于 C，根据垂径定理求出 AC，根据勾股定理求出 OC，判断即可第 9 页（共 24 页）【解答】解：连接 OA，作 OCAB 于 C，则 AC AB 4，由勾股定理得，OC 3，则 3OP5，则符合条件的点 P 有 3 个，故选：B【点评】本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，
14、并且平分弦所对的两条弧是解题的关键6 （4 分）如图，BC 为O 的直径，AB OB 则C 的度数为（ ）A30 B45 C60 D90【分析】利用圆周角定理得到BAC90，然后根据正弦的定义求C 的度数【解答】解：BC 为O 的直径，BAC90，ABOB ，BC2AB，sinC ，C30故选：A【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径第 10 页（共 24 页）7 （4 分）如图所示，是抛物线 yax 2+bx+c（a0）与双曲线 y （bc 0）在
15、同一坐标系内的图象，其中正确的是（ ）A BC D【分析】利用二次函数和反比例函数的性质利用排除法确定正确的选项即可【解答】解：A、y ax 2+bx+c（a0）中 a0，b0，c 0，bc 0，反比例函数 y（bc0）位于二四象限，故错误，不符合题意；B、y ax2+bx+c（a0）中 a0，b0，c0，bc0，反比例函数 y （bc0）位于一、三象限，故错误，不符合题意；C、y ax2+bx+c（a0）中 a0，b0，c0，bc0，反比例函数 y （bc0）位于一、三象限，故正确，符合题意；D、yax 2+bx+c（a0）中 a0，b0，c0，bc 0，反比例函数 y （bc0
16、）位于二四象限，故错误，不符合题意；故选：C【点评】考查了反比例函数及二次函数的图象及性质，解题的关键是根据二次函数的图象确定其系数的符号，难度不大8 （4 分）化肥厂 1 月份某种化肥的产量为 20 万吨，通过技术革新，产量逐月上升，第一季度共生产这种化肥 95 万吨，求 2、3 月份平均每月增产的百分率是多少？若设 2、3月份平均每月增产的百分率为 x，根据题意列方程为（ ）A20（1+x）95B20（1+x） 295C20（1+x）+20（1+x ） 2 95D20+20（1+x ）+20（1+x） 295第 11 页（共 24 页）【分析】设 2、3 月份平均每月增产的百分
17、率为 x，1 月份生产化肥的产量为 20 万吨，二月份是：20（1+x） ，三月份是：20（1+x） （1+x） ，由此列方程【解答】解：设 2、3 月份平均每月增产的百分率为 x，依题意得20+20（1+x）+20（1+x ） 295，故选：D【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程解此类题目时常常要先解出前一个月份的产值，再列出所求月份的产值的方程，令其等于已知的条件即可9 （4 分）如图，在ABC 中，AB7cm，AC4cm，点 D 从 B 点以每秒 2cm 的速度向点A 移动，点 E 从 A 点以每秒 1cm 的速度向点 C 移动，若 D、E 同时出发，同时停止则经过多少时间AD
18、E 与ABC 相似 （ ）A （s） B （s）C （s ）或 （s ） D （s）或 （s）【分析】分两种情况：当ADEABC 时；当 AEDABC 时；由三角形相似得出对应边成比例，即可求出 t 的值【解答】解：设经过 t 秒ADE 与ABC 相似点 D 从 B 点以每秒 2cm 的速度向点 A 移动，点 E 从 A 点以每秒 1cm 的速度向点 C 移动，D、E 同时出发，同时停止，BD2t，AE t，AB7，ADABBD72t分两种情况：当 ADEABC 时， ，即 ，解得：t ；当 AEDABC 时， ，第 12 页（共 24 页）即 ，解得：t 综上所述，经过 秒或 秒
19、时，ADE 与ABC 相似故选：C【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，进行分类讨论是解题的关键10 （4 分）如图，是一个由若干个小正方体组成的几何体的三视图则该几何体最多可由多少个小正方体组合而成？（ ）A6 个 B9 个 C11 个 D13 个【分析】根据画三视图的方法，得到各行构成几何体的小正方体的个数，相加即可【解答】解：综合三视图，第一行：第 1 列没有，第 2 列没有，第 3 列有 1 个；第二行：第 1 列有 2 个，第 2 列有 2 个，第 3 列有 1 个；第三行：第 1 列 3 个，第 2 列有 2 个，第 3 列没有；一共有：1+2+2+1+3+211
20、个，故选：C【点评】题考查了几何体三视图的应用问题，解题的关键是根据三视图得出几何体结构特征，是基础题二、填空题（每小题 4 分，共 6 道小题，24 分）11 （4 分） 4 【分析】直接进行开平方的运算即可【解答】解： 4故答案为：4【点评】本题考查了算术平方根的知识，属于基础题，关键是掌握算术平方根的定义及开平方的运算第 13 页（共 24 页）12 （4 分）分解因式 x22xy+y 21 （xy +1） （xy1） 【分析】前三项一组，利用完全平方公式分解因式，然后再与第四项利用平方差公式进行因式分解【解答】解：x 22xy+y 21，（x 22xy+y 2）1，（xy） 21，（x
21、y+1） （ xy1） 【点评】本题考查了分组分解法，公式法分解因式，难点是采用两两分组还是三一分组，要考虑分组后还能进行下一步分解13 （4 分）十三届全国人大二次会议于 2019 年 3 月 5 日，在北京人民大会堂召开，国务院总理李克强在政府工作报告中指出：精准脱贫有力推进，农村贫困人口减少 1386万人，易地扶贫搬迁 280 万人将 1386 万用科学记数法表示为： 1.38610 7 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10，n 为整数确定 n的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时，n 是
22、正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数【解答】解：将 1386 万用科学记数法表示为：1.38610 7，故答案为：1.38610 7【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10 ，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值14 （4 分）在 RtABC 中，C90，若 cosB ，则 tanB 【分析】在 RtABC 中，C90，若 cosB ，设 BC4x，AB5x ，根据勾股定理得到 AC 3 x，根据正切函数的定义即可得到结论【解答】解：在 RtABC 中，C90，若 cosB ，设 BC4x
23、， AB5x，勾股定理得AC 3x ，由正切等于对边比邻边，得tanB ，第 14 页（共 24 页）故答案为： 【点评】本题考查了同角三角函数的关系，勾股定理，正切函数的定义15 （4 分）如图，点 A 为双曲线上的一点，过点 A 作 ABx 轴于点 B，则OAB 的面积是 3 【分析】因为反比例函数图象上点的横纵坐标的乘积等于 k 值，所以AOB 的面积为 k值的一半【解答】解：点 A 在双曲线上OBAB6S OAB 故答案为 3【点评】本题考查了反比例函数的基本性质以及反比例函数与面积的关系，是一道比较基础的问题16 （4 分）如图，正六边形 ABCDEF 边长为 1，连结各边中点得到正
24、六边形A1B1C1D1E1F1，再连结正六边形 A1B1C1D1E1F1 的各边中点，得到正六边形A2B2C2D2E2F2，按上述连结方法作正六边形 A3B3C3D3E3F3、A 4B4C4D4E4F4、正六边形 A4B4C4D4E4F4 的周长是 第 15 页（共 24 页）【分析】设正六边形的中心为 O，连接 OA，OF，OF 1，如图，根据正六边形的性质得到AOF60，求得AOF 为等边三角形，得到 OF1 AF ，求得正六边形A1B1C1D1E1F1 的边长 ，即可得到结论【解答】解：设正六边形的中心为 O，连接 OA，OF，OF 1，如图，六边形 ABCDE
25、F 为正六边形，AOF60，AOF 为等边三角形，连结各边中点得到正六边形 A1B1C1D1E1F1，OF 1AF，OF 1 AF ，正六边形 A1B1C1D1E1F1 的边长 ，同理可得正六边形 A2B2C2D2E2F2 的边长（ ） 2，则正六边形 A4B4C4D4E4F4 的边长（ ） 4 正六边形 A4B4C4D4E4F4 的周长6 故答案为： 【点评】本题考查了正多边形与圆的关系：把一个圆分成 n（n 是大于 2 的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆记住正六边形的边长等于它的半径三、解答题（共 8 道小题，86 分）17 （
26、8 分）计算：（ ） 1 +| 2|（3.14 ） 0+2sin60（1） 2019【分析】直接利用负指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、零指数幂的性质、绝对值第 16 页（共 24 页）的性质分别化简得出答案【解答】解：原式2+2 1+2 +10【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键18 （8 分）解分式方程： 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的解【解答】解：去分母得：2（x1）+3（x+1）5，解得：x ，经检验 x 是原分式方程的解【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验19 （10
27、分）解不等式组，把其解集在数轴上表示出来，并写出它的整数解【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可【解答】解： ，解不等式 得： x3，解不等式 得： x2，所以不等式组的解集为：2x3在数轴上表示为：不等式组的整数解有：1，0，1，2，3【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键20 （10 分）已知在 RtABC，C90，AB 13，AC5，O 是 AC 上的点，以 O 为圆第 17 页（共 24 页）心，OC 为半径作 O（1）当 OC2.5 时， O 交 AB 于点 D，求 B
28、D 的长；（2）当 OC2.4 时，AB 与O 有怎样的位置关系？并证明你的结论【分析】 （1）连接 CD，根据勾股定理得到 BC 12，由 AC52OC，得到 AC 为O 的直径，ACD90，根据相似三角形的性质即可得到结论；（2）过点 O 作 OEAB 于点 E则有 RtAOERtABC，根据相似三角形的性质得到 OE 2.4 ，求得 OEOC，于是得到结论【解答】解：（1）连接 CD，在 RtABC，C90，AB 13，AC5，BC 12，AC52OC，AC 为O 的直径， ACD90，BCDBAC， ，BD ；（2）相切，证明：过点 O 作 OEAB 于点 E则有 RtAOERtABC
29、， ，OE 2.4 ，OEOC，AB 与O 相切第 18 页（共 24 页）【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键21 （12 分）某校为了解今年九年级学生中考体育的选项成绩（选考项目是 A：篮球运球；B：足球运球； C 排球垫球；D：跳绳；E：跳远学生根据自己情况任选两项考试，每项 10 分，共 20 分） ，在我州体育考试前进行了一次模拟考试九（1）班班主任对本班的成绩进行统计后，制成两幅不完整的统计图（如图） （1）根据统计图填空：该班学生成绩的优秀率是： 20 %；成绩的中位数落在 良好 组（选填：不合格、合格、良好或优秀
30、） （2）将直方图补充完整；（3）若九年级共有 850 人，试求良好和优秀等次的学生人数共约多少人？（4）该班有甲乙两位同学在报选考项目时，甲说：我固定选 A（篮球运球）外，其他任选一项；乙说：我固定选 C（排球垫球）外，其他任选一项请你求出他两报考的选项中至少有一项相同的概率【分析】 （1）先求出该班的总人数，从而得出优秀率；再根据中位数的定义求解可得；（2）根据以上计算结果可补全图形；（3）利用样本估计总体思想求解可得；（4）利用画树状图法求概率【解答】解：（1）该班学生总人数为 1632%50（人） ，第 19 页（共 24 页）该班学生成绩的优秀率是 100%20% ，14x16 的人
31、数为 5040%812（人） ，成绩的中位数是第 25、26 个数据的平均数，而第 25、26 个数据均落在 14x16，成绩的中位数落在良好组，故答案为：20、良好；（2）补全直方图如下：（3）良好和优秀等次的学生人数共约 850 442（人） ；（4）甲固定报 A 项则有四种情况：AB，AC，AD ，AE；乙固定报 C 项则有四种情况：CA，CB，CD，CE，依题意画树形图为：由树形图知共有 16 种结果，且每种结果出现的机会相等，其中二人至少有一选项相同包含 10 种结果，二人至少有一选项相同的概率为 【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出
32、所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件注意概率所求情况数与总情况数之比第 20 页（共 24 页）22 （12 分）张明同学很想测一测我校国旗杆的高度于是他利用课外活动时间来到运动场，站在 B 处测得旗杆顶端 C 的仰角为 30，然后向旗杆方向前行 12m 到达点 F 位置，此时测得旗杆顶端 C 的仰角为 63若张明身高为 1.7m请你利用这些已知条件帮他求一求旗杆 CD 的高 （结果保留一位小数，参考数据： 1.4， 1.7，sin630.89，cos630.45，tan63 2.0）【分析】设 EHx，根据正切的定义用 x 表示出 CH，根据正切的
33、定义列式计算即可【解答】解：设 EHx在 Rt CAH 中， CHA90 ，CAH30，AH12+x，tanCAH ，则 CHAHtanCAH （x+12） ，在 Rt CEH 中， CEH63 ，tanCEH ，则 CHEHtanCEH2x，由题意得， （x+12）2x，解得，x4.80，CDCH +DH9.60+1.7 11.3，答：学校国旗杆 CD 高度约为 11.3 米【点评】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键23 （12 分）春节期间某超市购进 A、B 两种精品苹果若买 1 千克 A 种苹果和 2 千克 B种苹果共需 7
34、0 元；若买 2 千克 A 种苹果和 1 千克 B 种苹果共需 80 元（1）设 A、B 两种苹果的单价分别为 m 元/kg、n 元/ kg试求 m、n 的值（2）A 种苹果进货成本价为 10 元/ kg现用 A 种苹果进行降价促销活动根据市场调查：若按（1）中求出的单价销售，该超市每天销售 A 种苹果 100 千克；若售价每降 1 元，第 21 页（共 24 页）A 种苹果每天销量就增加 10 千克求每天 A 种苹果的销售利润 y（元）与销售单价 x（元）之间的函数关系式；求销售单价为多少元时，A 种苹果每天销售的利润最大，最大利润是多少？【分析】本题是通过构建函数模型解答销售利润的问题（1
35、）依据题意列方程组，即可求得 m，n 的值（2） 根据销售利润销售量（售价进价） ，列出平均每天的销售利润 y（元）与销售价 x（元/kg）之间的函数关系式，利用配方法，依据函数的增减性求得最大利润【解答】解：（1）依题意列方程组得： ，解得（2） 依题意得：y100+10（30x ）（x 10 ）化简得：y10x 2+500x400由得 y10x 2+500x400配方得 y10（x 25） 2+2250100，抛物线开口向下当 x25 时，每天的利润最大即销售单价为 25 元时，A 种苹果每天销售的利润最大，最大利润是 2250 元【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用最大销售
36、利润的问题常利函数的增减性来解答，根据每天的利润一件的利润销售件数，建立函数关系式，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题24 （14 分）如图 A（0，3） ，B（3，0） ，C （1，0）分别是抛物线：yax 2+bx+c（a0）上的三点，点 P 为抛物线上一动点（1）求此抛物线的解析式（2）当PAB 是以 AB 为一直角边的直角三角形时，求此时点 P 的坐标（3）若点 P 在抛物线上 A、B 两点之间移动时，是否存在一个位置，使PAB 的面积最大？若存在，请求此时点 P 的坐标若不存在，请说明理由第 22 页（共 24 页）【分析】 （1）根据点 A，B，C 的坐标，利用待定系数法可
37、求出抛物线的解析式；（2）设点 P 的坐标为（m， m24m+3 ） ，由点 A，B 的坐标，利用两点间的距离公式可求出 AP2，BP 2，AB 2 的值，分 BAP 90和ABP90两种情况考虑：当BAP 90时，由勾股定理可得出关于 m 的一元二次方程，解之即可得出 m 的值（舍去和点 A 重合的点） ，进而可得出点 P 的坐标；当ABP90时，由勾股定理可得出关于 m 的一元二次方程，解之即可得出 m 的值（舍去和点 B 重合的点） ，进而可得出点 P 的坐标；（3）过点 P 作 PDy 轴交直线 AB 于点 D，由点 A，B 的坐标，利用待定系数法可求出直线 AB 的解析式，设点 P
38、的坐标为（n，n 24n+3） （0n3） ，则点 D 的坐标为（n，n+3） ，进而可得出 PD 的长，再利用三角形的面积公式可得出 SPAB 关于 n 的函数关系式，利用二次函数的性质即可解决最值问题【解答】解：（1）将 A（0，3） ，B（3，0） ，C （1，0）代入 yax 2+bx+c，得：，解得： ，抛物线的解析式为 yx 24x +3（2）设点 P 的坐标为（m， m24m+3 ） 点 A 的坐标为（0，3） ，点 B 的坐标为（3，0） ，AP 2（m 0） 2+（m 24m+3 3） 2m 48m 3+17m2，BP 2（m 3）2+（m 24m+3） 2m 48m 3+2
39、3m230m+18，AB 2（30） 2+（03） 218分两种情况考虑：当 BAP90时，AB 2+AP2BP 2，即18+m4 8m3+17m2m 48m 3+23m230m +18，整理，得：m 25m0，第 23 页（共 24 页）解得：m 10（舍去） ，m 25，点 P 的坐标为（5，8） ；当 ABP90时，AB 2+BP2AP 2，即18+m4 8m3+23m230m+18m 48m 3+17m2，整理，得：m 25m+60，解得：m 32，m 33（舍去） ，点 P 的坐标为（2，1） 综上所述：当PAB 是以 AB 为一直角边的直角三角形时，点 P 的坐标为（5，8）或（2
40、，1） （3）存在，如图过点 P 作 PDy 轴交直线 AB 于点 D设直线 AB 的解析式为 ykx+d（k0） ，将 A（0，3） ，B（3，0）代入 ykx+d，得：，解得： ，直线 AB 的解析式为 yx +3设点 P 的坐标为（n，n 24n+3） （0n3） ，则点 D 的坐标为（n，n+3） ，PD（n+3）（n 24n+3）n 2+3n，S PAB OBPD n2+ n （n ） 2+ 0，当 n 时，S PAB 取得最大值，此时最大值为 ，当PAB 的面积取最大值时，点 P 的坐标为（ ， ） 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、待定系数法求一次函数解析式、勾股定理、两点间的距离、解一元二次方程、三角形的面积以及二次函数的性质，解题的第 24 页（共 24 页）关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）分BAP 90和ABP 90两种情况，利用勾股定理求出点 P 的坐标；（3）利用三角形的面积，找出 SPAB 关于 n 的函数关系式
