2019年贵州省黔东南州高考数学一模试卷(理科)含答案解析

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资源描述

1、2019 年贵州省黔东南州高考数学一模试卷(理科)一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1 (5 分)Z(M)表示集合 M 中整数元素的个数,设集合 Ax|1x8,Bx|5 2x17,则 Z( AB)(  )A3 B4 C5 D62 (5 分)若 z 为纯虚数,且|z|2,则 (  )A B C D3 (5 分)椭圆 x2+ 1 的离心率为(  )A B C D4 (5 分)某市教体局将从甲、乙、丙、丁四人中选一人参加全省 100 米仰泳比赛,现将他们最近集训的 10 次成绩(单位:秒)的

2、平均数与方差制成如下表格:甲 乙 丙 丁平均数 59 57 59 57方差 12 12 10 10根据表中的数据,应选哪位选手参加全省的比赛(  )A甲 B乙 C丙 D丁5 (5 分)将函数 f(x )cos(4x )的图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,得到函数 yg(x)的图象,则 g(x )的最小正周期是(  )A B C2 D46 (5 分)函数 f(x )x 22 x2 x 的图象大致为(  )A B第 2 页(共 22 页)C D7 (5 分)若 x,y 满足约束条件 ,则 zx +3y 的最大值为(  )A2 B8 C16

3、D208 (5 分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(  )A2 B C3 D9 (5 分)双曲线 M 与双曲线 N: 1 有共同的渐近线,且 M 经过抛物线yx 24x 的顶点,则 M 的方程为(  )A BC D10 (5 分)已知 sin+3cos ,则 tan( + )(  )A2 B2 C D11 (5 分)在空间直角坐标系 Oxyz 中,A(0,0,1) ,B(m 2,0,0) ,C(0,1,0) ,D(1,2,1) ,若四面体OABC 的外接球的表面积为 6,则异面直线 OD 与 AB 所成角的余弦值为(   )A B C D第

4、 3 页(共 22 页)12 (5 分)已知函数 f(x )2x 3(6a+3)x 2+12ax+16a2(a0)只有一个零点 x0,且x00,则 a 的取值范围为(  )A (, ) B ( ,0) C (, ) D ( ,0)二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卡中的横线上.13 (5 分)函数 f(x )lg(x1)的值域为     14 (5 分)在ABC 中, , x +y ,则 xy     15 (5 分)若(1ax) (x 1) 3 的展开式中 x 的偶数次幂项的系数之和为 24,则 a

5、    16 (5 分)瑞士著名数学家欧拉在研究几何时曾定义欧拉三角形,ABC 的三个欧拉点(顶点与垂心连线的中点)构成的三角形称为ABC 的欧拉三角形如图,A 1B1C1是ABC 的欧拉三角形(H 为ABC 的垂心) 已知AC3,BC2,tanACB 2 ,若在ABC 内部随机选取一点,则此点取自阴影部分的概率为     三、解答题:共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721B 题为必考题,每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答(一)必考题:共 60 分17 (12 分)已知等比数列 的公比为 2,

6、且 a4+a3221(1)求a n的通项公式;(2)若 a10,求数列 的前 n 项和 Sn18 (12 分)如图,在三棱柱 ABCA 1B1C1 中,AA 1底面A1B1C1, ACAB ,ACAB4,AA 16,点 E,F 分别为 CA1 与 AB 的中点(1)证明:EF平面 BCC1B1(2)求 B1F 与平面 AEF 所成角的正弦值第 4 页(共 22 页)19 (12 分)某大型工厂有 6 台大型机器在 1 个月中,1 台机器至多出现 1 次故障,且每台机器是否出现故障是相互独立的,出现故障时需 1 名工人进行维修每台机器出现故障的概率为 已知 1 名工人每月只有维修 2 台机器的能

7、力(若有 2 台机器同时出现故障,工厂只有 1 名维修工人,则该工人只能逐台维修,对工厂的正常运行没有任何影响) ,每台机器不出现故障或出现故障时能及时得到维修,就能使该厂获得 10 万元的利润,否则将亏损 2 万元该工厂每月需支付给每名维修工人 1 万元的工资(1)若每台机器在当月不出现故障或出现故障时,有工人进行维修(例如:3 台大型机器出现故障,则至少需要 2 名维修工人) ,则称工厂能正常运行若该厂只有 1 名维修工人,求工厂每月能正常运行的概率;(2)已知该厂现有 2 名维修工人(i)记该厂每月获利为 X 万元,求 X 的分布列与数学期望;(ii)以工厂每月获利的数学期望为决策依据试

8、问该厂是否应再招聘 1 名维修工人?20 (12 分)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C:x 26y 与直线 l:y kx+3 交于 M,N 两点(1)设 M,N 到 y 轴的距离分别为 d1,d 2,证明:d 1d2 为定值(2)y 轴上是否存在点 P,使得当 k 变动时,总有OPMOPN?若存在,求以线段OP 为直径的圆的方程;若不存在,请说明理由21 (12 分)已知函数 f(x )xlnx+ ax3ax 2,aR(1)当 a0 时,求 f(x )的单调区间;(2)若函数 g(x) 存在两个极值点 x1,x 2,求 g(x 1)+g(x 2)的取值范围(二)选考题:共 10 分.请考生在

9、第 22、23 题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.选修 4-4:坐标系与参数方程第 5 页(共 22 页)22 (10 分)在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 , (t 为参数) ,以坐标原点为极点 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线 C 的极坐标方程为cos2sin (1)求直线 l 的普通方程及曲线 C 的直角坐标方程;(2)若直线 l 与曲线 C 交于 A,B 两点,P(1,2) ,求| PA|PB|选修 4-5:不等式选讲23已知函数 f(x )|x 1|+|x+2|(1)求不等式 f(x )13 的解集;(2)若 f(x)的最小值为 k,且 1(

10、m0) ,证明:m+n16第 6 页(共 22 页)2019 年贵州省黔东南州高考数学一模试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1 (5 分)Z(M)表示集合 M 中整数元素的个数,设集合 Ax|1x8,Bx|5 2x17,则 Z( AB)(  )A3 B4 C5 D6【分析】可求出集合 B,然后进行交集的运算即可求出 AB,从而得出 Z(AB) 【解答】解: ; ;Z(AB )5故选:C【点评】考查描述法的定义,交集的运算,理解 Z(M )的定义2 (5 分)若 z 为纯虚数,

11、且|z|2,则 (  )A B C D【分析】由题意可知 z2i,然后代入 ,再利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解:由题意可知 z2i,则 故选:A【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算,是基础题3 (5 分)椭圆 x2+ 1 的离心率为(  )A B C D【分析】直接利用椭圆方程,转化求解;离心率即可【解答】解:椭圆 x2+ 1 的 a2 ,b1 则:c ,所以椭圆的离心率为第 7 页(共 22 页) 故选:A【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用,是基本知识的考查4 (5 分)某市教体局将从甲、乙、丙、丁四人中选一人参加全省 100 米仰泳比赛,现将他们最

12、近集训的 10 次成绩(单位:秒)的平均数与方差制成如下表格:甲 乙 丙 丁平均数 59 57 59 57方差 12 12 10 10根据表中的数据,应选哪位选手参加全省的比赛(  )A甲 B乙 C丙 D丁【分析】100 米仰泳比赛的成绩是时间越短成绩越好,方差越小发挥水平越稳定【解答】解:100 米仰泳比赛的成绩是时间越短成绩越好,方差越小发挥水平越稳定,故应选丁选手参加全省的比赛故选:D【点评】本题考查比赛选手的选择,考查平均数、方差的性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题5 (5 分)将函数 f(x )cos(4x )的图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,得

13、到函数 yg(x)的图象,则 g(x )的最小正周期是(  )A B C2 D4【分析】根据三角函数的图象变换关系求出 g(x)的解析式,根据周期公式进行求解即可【解答】解:将函数 f(x )cos (4x )的图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,得到函数 yg(x)的图象,则 g(x)cos( 4x )cos(2x ) ,则 g(x)的周期 T ,故选:B第 8 页(共 22 页)【点评】本题主要考查三角的图象和性质,求出函数 g(x)的解析式结合周期公式是解决本题的关键比较基础6 (5 分)函数 f(x )x 22 x2 x 的图象大致为(  )A BC

14、 D【分析】判断函数的奇偶性和对称性,利用特殊值的符号的一致性进行排除即可【解答】解:f(x )x 22 x 2 xf (x) ,则 f(x)是偶函数,排除 C,f(3)98 0,排除 A,f(5)2532 7 0,排除 D,故选:B【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断,根据函数的奇偶性和对称性,利用排除法是解决本题的关键7 (5 分)若 x,y 满足约束条件 ,则 zx +3y 的最大值为(  )A2 B8 C16 D20【分析】画出可行域,利用目标函数的几何意义求解最大值即可【解答】解:解:作出 x,y 满足约束条件 ,所对应的可行域(如图阴影) ,变形目标函数可得 y x+

15、 z,平移直线 y x 可知,第 9 页(共 22 页)当直线经过点 A(2,6)时,直线的截距最小值,此时目标函数取最大值 z2+3620,故选:D【点评】本题考查简单线性规划,准确作图是解决问题的关键,属中档题8 (5 分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(  )A2 B C3 D【分析】画出三视图对应的几何体的直观图,利用三视图的数据求解即可【解答】解:由题意可知几何体的直观图如图:所以几何体的体积为: 3故选:C第 10 页(共 22 页)【点评】本题考查三视图求解几何体的体积,考查计算能力9 (5 分)双曲线 M 与双曲线 N: 1 有共同的渐近线,且 M 经过

16、抛物线yx 24x 的顶点,则 M 的方程为(  )A BC D【分析】由题意可设 M: m (m0,m1) ,求得抛物线的顶点,代入双曲线 M 方程,可得 m,即可得到所求双曲线方程【解答】解:双曲线 M 与双曲线 N: 1 有共同的渐近线,可设 M: m(m0,m1) ,由抛物线 yx 24x 的顶点为( 2,4) ,可得 m 2,即有 1故选:B【点评】本题考查双曲线的方程,注意运用共渐近线方程的双曲线方程的设法,考查方程思想和运算能力,属于基础题第 11 页(共 22 页)10 (5 分)已知 sin+3cos ,则 tan( + )(  )A2 B2 C D【分析

17、】把已知等式两边平方,再由弦化切求出 tan,然后利用两角和的正切公式求解即可【解答】解:(sin+3cos) 2sin 2+6sincos+9cos210(sin 2+cos2) ,9sin 26sincos +cos20,则(3tan1) 20,即 则 tan(+ ) 故选:B【点评】本题考查同角三角函数基本关系式的应用,考查两角和的正切公式,是基础题11 (5 分)在空间直角坐标系 Oxyz 中,A(0,0,1) ,B(m 2,0,0) ,C(0,1,0) ,D(1,2,1) ,若四面体OABC 的外接球的表面积为 6,则异面直线 OD 与 AB 所成角的余弦值为(   )A

18、B C D【分析】推导出 OA,OB,OC 两两垂直, (2,0, 1) ,由此能求出异面直线OD 与 AB 所成角的余弦值【解答】解:在空间直角坐标系 Oxyz 中,A(0,0,1) ,B(m 2,0,0) ,C(0,1,0) ,D(1,2,1) ,四面体 OABC 的外接球的表面积为 6,OA,OB ,OC 两两垂直, 6,解得 m22, (2,0, 1) ,cos , 异面直线 OD 与 AB 所成角的余弦值为 故选:A第 12 页(共 22 页)【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题12 (5 分)已知

19、函数 f(x )2x 3(6a+3)x 2+12ax+16a2(a0)只有一个零点 x0,且x00,则 a 的取值范围为(  )A (, ) B ( ,0) C (, ) D ( ,0)【分析】求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的极小值,得到关于 a 的不等式,解出即可【解答】解:f(x )6(x1) (x2a) ,a0,当 x2a 或 x1 时,f(x)0,当 2ax1 时,f(x)0,故 f(x)的极小值是 f(1)16a 2+6a1,x 00,16a 2+6a10,a0,a ,故选:A【点评】本题考查了函数的单调性,极值问题,考查导数的应用以及转化思想,是一道常规题

20、二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卡中的横线上.13 (5 分)函数 f(x )lg(x1)的值域为 R  【分析】由 f(x )定义域知,真数大于 0,借助对数的图象得值域为 R【解答】解:函数 f(x )lg(x1)的定义域为x| x1,所以函数 f(x) lg(x 1)的真数恒大于 0,由对数函数的图象知,值域为 R故答案为 R【点评】本题考察了对数函数图象性质,属于简单题14 (5 分)在ABC 中, , x +y ,则 xy 4 【分析】由平面向量的基本定理得: ,即 2( ) ,即x2,y2,即 xy4,得解,【解答】解:因为 ,

21、第 13 页(共 22 页)所以 2( ) ,所以 x2,y 2,所以 xy4,故答案为:4【点评】本题考查了平面向量的基本定理,属简单题15 (5 分)若(1ax) (x 1) 3 的展开式中 x 的偶数次幂项的系数之和为 24,则 a 5 【分析】把(x1) 3 按照二项式定理展开,根据(1ax) (x1) 3 的展开式中 x 的偶数次幂项的系数之和为24,求得 a 的值【解答】解:(1ax) (x 1) 3(1ax ) (x 33x 2+3x1)的展开式中 x 的偶数次幂项的系数之和为31a(1+3)24,则 a5,故答案为:5【点评】本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,

22、二项式系数的性质,属于基础题16 (5 分)瑞士著名数学家欧拉在研究几何时曾定义欧拉三角形,ABC 的三个欧拉点(顶点与垂心连线的中点)构成的三角形称为ABC 的欧拉三角形如图,A 1B1C1是ABC 的欧拉三角形(H 为ABC 的垂心) 已知AC3,BC2,tanACB 2 ,若在ABC 内部随机选取一点,则此点取自阴影部分的概率为    【分析】由三角函数的余弦定理得:AB3,由两直线垂直得: 1,所以y ,从而 S ,第 14 页(共 22 页)由几何概型中的面积型得: ,得解【解答】解:因为 tanACB2 ,所以 cosACB ,又因为 AC3,BC2,由余弦定理

23、可得:AB3,取 BC 的中点 O,则 OABC,以 O 为原点,建立如图所示的直角坐标系,则 B(1,0) ,C(1,0) , A(0,2 ) ,设 H(0,y) ,因为 BHAC,所以 1,所以 y ,从而 S ,故所求概率为: ,故答案为: 【点评】本题考查了三角函数的余弦定理及几何概型中的面积型,属中档题三、解答题:共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721B 题为必考题,每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答(一)必考题:共 60 分17 (12 分)已知等比数列 的公比为 2,且 a4+a3221第 15 页(共 22 页)(1

24、)求a n的通项公式;(2)若 a10,求数列 的前 n 项和 Sn【分析】 (1)直接利用已知条件建立等量关系,求出数列的通项公式(2)利用(1)的结论,进一步利用裂项相消法求出数列的和【解答】解:(1)等比数列 的公比为 2,则: (常数) ,故: ,所以:a na n1 1(常数) ,且 a4+a3221则: ,解得:a 12 或7,当 a12 时, an2+(n 1)n+1当 a17 时, an7+( n1)n8(2)由于 a10,故:a nn+1,则 ,所以: 【点评】本题考查的知识要点:数列的通项公式的求法及应用,裂项相消法在数列求和中的应用,主要考查学生的运算能力和转化能力,属于

25、中档题18 (12 分)如图,在三棱柱 ABCA 1B1C1 中,AA 1底面A1B1C1, ACAB ,ACAB4,AA 16,点 E,F 分别为 CA1 与 AB 的中点(1)证明:EF平面 BCC1B1(2)求 B1F 与平面 AEF 所成角的正弦值第 16 页(共 22 页)【分析】 (1)建立空间坐标系,利用 与平面 BCC1B1 的法向量垂直可证;(2)找到 和平面 AEF 的法向量,代入公式计算即可【解答】解:(1)证明:直三棱柱 ABCA 1B1C1 中,AC AB,可以以 A1 为顶点建立空间坐标系如图,ACAB4, AA16,点 E,F 分别为 CA1 与 AB 的中点,取

26、 B1C1 中点 D,A 1(0,0,0) ,D(2,2, 0) ,E(2,0,3) ,F(0,2,6) ,在 Rt A1B1C1 中,A 1DB 1C1,A 1D平面 BCC1B1, 为平面 BCC1D1 的一个法向量,而 , , 4+40, ,又 EF平面 BCC1B1,EF平面 BCC1B1;(2)易知 A(0,0,6) ,B 1(0,4,0) , ,设 是平面 AEF 的一个法向量,则 ,第 17 页(共 22 页),取 x1,则 y0,z ,即 ,设 B1F 与平面 AEF 所成角为 ,则 sin |cos | | ,故 B1F 与平面 AEF 所成角的正弦值为 【点评】此题考查了线

27、面平行,斜线与平面所成角等,难度适中19 (12 分)某大型工厂有 6 台大型机器在 1 个月中,1 台机器至多出现 1 次故障,且每台机器是否出现故障是相互独立的,出现故障时需 1 名工人进行维修每台机器出现故障的概率为 已知 1 名工人每月只有维修 2 台机器的能力(若有 2 台机器同时出现故障,工厂只有 1 名维修工人,则该工人只能逐台维修,对工厂的正常运行没有任何影响) ,每台机器不出现故障或出现故障时能及时得到维修,就能使该厂获得 10 万元的利润,否则将亏损 2 万元该工厂每月需支付给每名维修工人 1 万元的工资(1)若每台机器在当月不出现故障或出现故障时,有工人进行维修(例如:3

28、 台大型机器出现故障,则至少需要 2 名维修工人) ,则称工厂能正常运行若该厂只有 1 名维修工人,求工厂每月能正常运行的概率;(2)已知该厂现有 2 名维修工人第 18 页(共 22 页)(i)记该厂每月获利为 X 万元,求 X 的分布列与数学期望;(ii)以工厂每月获利的数学期望为决策依据试问该厂是否应再招聘 1 名维修工人?【分析】 (1)由该工厂只有 1 名维修工人,所以要使工厂能正常运行,最多只能出现 2台大型机器出现故障利用二项分布列的计算公式即可得出(2)X 的可能取值为 34,46,58利用二项分布列的计算公式即可得出概率分布列【解答】解:(1)由该工厂只有 1 名维修工人,所

29、以要使工厂能正常运行,最多只能出现 2 台大型机器出现故障工厂每月能正常运行的概率 + + (2) (i)X 的可能取值为 34,46,58P(X34) ,P(X46) ,P(X58)1 ,即 X 的分布列为:X 34 46 58P则 E(Y )34 +46 +58 (ii)若该厂有 3 名维修工人,则该厂获利的数学期望为 610357 万元 57,该厂应再招聘 1 名维修工人【点评】本题考查了二项分布列的概率计算公式及其数学期望,考查了推理能力与计算能力,属于中档题20 (12 分)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C:x 26y 与直线 l:y kx+3 交于 M,N 两点(1)设 M,N

30、到 y 轴的距离分别为 d1,d 2,证明:d 1d2 为定值(2)y 轴上是否存在点 P,使得当 k 变动时,总有OPMOPN?若存在,求以线段OP 为直径的圆的方程;若不存在,请说明理由【分析】 (1)设点 M(x 1,y 1) 、N(x 2,y 2) ,将直线 l 的方程与曲线 C 的方程联立,列出韦达定理,结合距离公式可证明题中结论;第 19 页(共 22 页)(2)设 P(0,b)为符合题意的点,利用两点的斜率公式结合韦达定理计算直线 PM与直线 PN 的斜率之和为 0,得出 b 的值,从而证明点 P 的存在性【解答】解:(1)将直线 l 的方程与曲线 C 的方程联立 ,消去 y 并

31、整理得x26kx180设点 M(x 1,y 1) 、N(x 2,y 2) ,则 x1x218从而 d1d2|x 1|x2| x1x2|18(定值) ;(2)存在符合题意的点,证明如下:设 P(0,b)为符合题意的点,直线 PM、PN 的斜率分别为 k1、k 2,从而 当 b3 时,有 k1+k20,则直线 PM 的倾斜角与直线 PN 的倾斜角互补故OPMOPN,所以点 P(0,3)符合题意故以线段 OP 为直径的圆的方程为 【点评】本题考查直线与抛物线的综合问题,考查韦达定理法在抛物线综合问题中的应用,解决本题的关键在于将题中角的关系转化为斜率关系,考查计算能力与转化能力,属于中等题21 (1

32、2 分)已知函数 f(x )xlnx+ ax3ax 2,aR(1)当 a0 时,求 f(x )的单调区间;(2)若函数 g(x) 存在两个极值点 x1,x 2,求 g(x 1)+g(x 2)的取值范围【分析】 (1)代入 a 的值,求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间即可;(2)求出 a 的范围,得到 t( a)g(x 1)+g(x 2)的解析式,结合函数的单调性求出其范围即可【解答】解:(1)当 a0 时,f(x )xlnx,f(x)lnx+1 ,令 f(x ) 0,解得:0x ,令 f(x)0 ,解得:x ,第 20 页(共 22 页)故函数 f(x)在( 0, )递减

33、,在( ,+)递增;(2)g(x) lnx + ax2ax (x0) ,g(x) ,由题意知:x 1,x 2 是方程 g(x )0 的两个不相等的正实根,即 x1,x 2 是方程 ax2ax+10 的两个不相等的正实根,故 ,解得:a4,t(a)g(x 1)+g(x 2) a ax 1+lnx1+ a ax 2+lnx2 a 2x 1x2a(x 1+x2)+ln (x 1x2) alna1 是关于 a 的减函数,故 t(a)t(4)3ln4,故 g(x 1)+g(x 2)的范围是(,3ln4) 【点评】本题考查了函数的单调性,最值问题,考查导数的应用以及转化思想,是一道综合题(二)选考题:共

34、10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.选修 4-4:坐标系与参数方程22 (10 分)在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 , (t 为参数) ,以坐标原点为极点 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线 C 的极坐标方程为cos2sin (1)求直线 l 的普通方程及曲线 C 的直角坐标方程;(2)若直线 l 与曲线 C 交于 A,B 两点,P(1,2) ,求| PA|PB|【分析】 (1)直接利用转换关系式,把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换(2)利用一元二次方程根和系数关系的应用求出结果第 21 页(共 22 页)【

35、解答】解:(1)直线 l 的参数方程为 , (t 为参数) ,转换为直角坐标方程为:x+y10曲线 C 的极坐标方程为 cos2sin 转化内直角坐标方程为:yx 2,(2)把直线 l 的参数方程为 , (t 为参数) ,代入 yx 2,得到: (t 1 和 t2 为 A、B 对应的参数) ,所以:t 1t22,则:|PA| PB| |t1t2|2【点评】本题考查的知识要点:参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换,一元二次方程根和系数关系的应用,主要考查学生的运算能力和转化能力,属于基础题型选修 4-5:不等式选讲23已知函数 f(x )|x 1|+|x+2|(1)求不等式 f(x )13

36、 的解集;(2)若 f(x)的最小值为 k,且 1(m0) ,证明:m+n16【分析】 (1)通过讨论 x 的范围,求出不等式的解集即可;(2)求出 k 的值,根据基本不等式的性质求出 m+n 的最小值即可【解答】解:(1)由 f(x )13,得|x1|+| x+2|13,则 或 或 ,解得:7x6,故不等式的解集是(7,6) ;(2)证明:f(x )|x 1|+|x+2|x 1(x+2)|3,故 k3, + + 1(mn0) ,故 m0,n0,第 22 页(共 22 页)m+n( m+n) ( + )10+ + 10+2 16,当且仅当 ,即 m4, n12 时取“” ,故 m+n 16【点评】本题考查了解绝对值不等式问题,考查基本不等式的性质以及分类讨论思想,转化思想,是一道中档题

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