1、2018 年贵州省贵阳市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）设 Ax|2 x ，B 3，2，1，则 AB（ ）A B3，2，1 C 2，1 D x|x32 （5 分）设 是复数 z 的共轭复数，满足 ，则|z |（ ）A2 B2 C D3 （5 分）贵阳地铁 1 号线 12 月 28 日开通运营，某机车某时刻从下麦西站驶往贵阳北站的过程中，10 个车站上车的人数统计如下：70、60、60、50、60、40、40、30、30、10，则这组数据的众数、中位数、平均
2、数的和为（ ）A170 B165 C160 D1504 （5 分）若实数 x，y 满足约束条件 ，则 z2xy 的最大值为（ ）A3 B6 C10 D125 （5 分）某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是 ，则整数 a 的值为（ ）A6 B7 C8 D96 （5 分） 九章算术是我国古代的数学名著，书中均输章有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，文各得几何 ”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分 5 钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊每人所得依次成等差数列问五人各得多少钱？” （“钱”是古代的一种重量单
3、位） 在这第 2 页（共 25 页）个问题中，丙所得为（ ）A 钱 B 钱 C 钱 D1 钱7 （5 分）把函数 y sin（x+ ）+1 图象上各点的横坐标缩短为原来的 倍（纵坐标不变） ，那么所得图象的一条对称轴方程为（ ）Ax B C D8 （5 分）已知等比数列a n的前 n 项和为 Sn，且 a1 ，a 2a68（a 42） ，则 S2018（ ）A2 2017 B1（ ） 2017 C2 2018 D1（ ） 20189 （5 分）已知奇函数 f（x ）在 R 上是减函数，且 af（log 3 ） ，bf （log 39.1） ，cf（2 0.8
4、） ，则 a，b，c 的大小关系为（ ）Aabc Bcba Cbac Dc ab10 （5 分）如图，格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的四个面的面积中最大与最小之和是（ ）A8+4 B12 C8+4 D1011 （5 分）已知双曲线 1（a0，b0）的两条渐近线与抛物线y22px （p0）的准线分别交于 A，B 两点，O 为坐标原点若双曲线的离心率为 ，AOB 的面积为 2，则 p（ ）A2 B1 C2 D312 （5 分）已知函数 f（x ） 的图象上有两对关于 y 轴对称的点，则实第 3 页（共 25 页）数 k 的
5、取值范围是（ ）A （0，e） B （0， e2 ） C （0，2e 2） D （0，e 2 ）二、填空题，本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13 （5 分）若向量 （x，1）与向量 （1，2）垂直，则| + | 14 （5 分）某校选定 4 名教师去 3 个边远地区支教（每地至少 1 人） ，则甲、乙两人不在同一边远地区的概率是 15 （5 分）若直线 l：ax 3y+120（a R）与圆 M：x 2+y24y0 相交于 A、B 两点，若ABM 的平分线过线段 MA 的中点，则实数 a
6、; 16 （5 分）已知底面是正六边形的六棱锥 PABCDEF 的七个顶点均在球 O 的表面上，底面正六边形的边长为 1，若该六棱锥体积的最大值为 ，则球 O 的表面积为 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答17 （12 分）已知在ABC 中，角 A，B，C 所对的边长分别是 a，b，c，AB 边上的高 hc（）若ABC 为锐角三角形，且 cosA ，求角 C 的正弦值；（）若C ，M ，求 M 的值18 （12 分）某高校通过自主招生方式在贵阳招
7、收一名优秀的高三毕业生，经过层层筛选，甲、乙两名学生进入最后测试，该校设计了一个测试方案：甲、乙两名学生各自从 6 个问题中随机抽 3 个问题已知这 6 道问题中，学生甲能正确回答其中的 4 个问题，而学生乙能正确回答每个问题的概率均为 ，甲、乙两名学生对每个问题的回答都是相互独立、互不影响的（）求甲、乙两名学生共答对 2 个问题的概率（）请从期望和方差的角度分析，甲、乙两名学生哪位被录取的可能性更大？19 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中底面 ABCD 为直角梯形，ADBC ，ADC90，平面 PAD底面 ABCDQ 为 AD 的中点，M 是棱 PC 上的点，PA PD2BC AD
8、1，CD （I）求证：平面 PBC平面 PQB；第 4 页（共 25 页）（）若平面 QMB 与平面 PDC 所成的锐二面角的大小为 60，求 PM 的长20 （12 分）已知椭圆 C： + 1（a0，b0）的左、右焦点分别为 F1，F 2，点 M为短轴的上端点， 0，过 F2 垂直于 x 轴的直线交椭圆 C 于 A，B 两点，且|AB| （）求椭圆 C 的方程；（）设经过点（2，1）且不经过点 M 的直线 l 与 C 相交于 G，H 两点若 k1，k 2分别为直线 MH，MG 的斜率，求 k1+k2 的值21 （12 分）已知函数 f（x ）lnx+ x2ax+a（aR） （）若函数 f（x
9、 ）在（0，+）上为单调增函数，求实数 a 的取值范围；（）若函数 f（x ）在 xx 1 和 xx 2 处取得极值，且 x2 x1（e 为自然对数的底数） ，求 f（x 2）f（x 1）的最大值请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分.作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号的方框涂黑.选修坐标系与参数方程选讲22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C： （ 为参数） ，在以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为 cos（+）1（）求曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程；（）过点 M（1，0）
10、且与直线 l 平行的直线 l1 交曲线 C 于 A，B 两点，求点 M 到A，B 两点的距离之和选修不等式选讲第 5 页（共 25 页）23已知函数 f（x ）|x 2|x+1|（）解不等式 f（x ）x；（）若关于 x 的不等式 f（x）a 22a 的解集为 R，求实数 a 的取值范围第 6 页（共 25 页）2018 年贵州省贵阳市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）设 Ax|2 x ，B 3，2，1，则 AB（ ）A B3，2，1 C 2，1 D
11、x|x3【分析】求出 A，得到关于 A，B 的交集即可【解答】解：Ax|2 x x| x3B 3，2， 1，则 AB2，1，故选：C【点评】本题考查了集合的运算，考查解不等式，是一道基础题2 （5 分）设 是复数 z 的共轭复数，满足 ，则|z |（ ）A2 B2 C D【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简求得 ，再由|z| | |求解【解答】解： ，|z| | | 故选：B【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题3 （5 分）贵阳地铁 1 号线 12 月 28 日开通运营，某机车某时刻从下麦西站驶往贵阳北站的过程中，10 个车站上车的人数统计如下：70
12、、60、60、50、60、40、40、30、30、10，则这组数据的众数、中位数、平均数的和为（ ）A170 B165 C160 D150【分析】求出众数、中位数、平均数，求和即可【解答】解：数据 70、60、60、50、60、40、40、30、30、10的众数是 60、中位数是 45、平均数是 45，第 7 页（共 25 页）故众数、中位数、平均数的和为 150，故选：D【点评】本题考查了众数、中位数、平均数的定义，是一道基础题4 （5 分）若实数 x，y 满足约束条件 ，则 z2xy 的最大值为（ ）A3 B6 C10 D12【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数
13、为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案【解答】解：实数 x，y 满足约束条件 的可行域如图所示：联立 ，解得 A（3，4） 化目标函数 z2xy 为 y2 xz，由图可知，当直线 y2xz 过 A 时，直线在 y 轴上的截距最小，z 有最大值为 23+410故选：C【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题5 （5 分）某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是 ，则整数 a 的值为（ 第 8 页（共 25 页）A6 B7 C8 D9【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量
14、 S 的值，模拟程序的运行过程，可得答案【解答】解：当 S1，k1 时，应不满足退出循环的条件，故 S ，k2；当 S ，k2 时，应不满足退出循环的条件，故 S ，k3；当 S ，k3 时，应不满足退出循环的条件，故 S ，k4；当 S ，k4 时，应不满足退出循环的条件，故 S ，k5；当 S ，k5 时，应不满足退出循环的条件，故 S ，k6；当 S ，k6 时，应不满足退出循环的条件，故 S ，k7；当 S ，k7 时，应满足退出循环的条件，故整数 a 的值为 6，故选：A【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答6 （5 分） 九章算术
15、是我国古代的数学名著，书中均输章有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，文各得几何 ”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分 5 钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊每人所得依次成等差数列问五人各得多少钱？” （“钱”是古代的一种重量单位） 在这个问题中，丙所得为（ ）第 9 页（共 25 页）A 钱 B 钱 C 钱 D1 钱【分析】依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为 a2d，ad，a，a+d，a+2d，由题意求得 a6d，结合 a2d+ad+a+ a+d+a+2d5a 5 求得 a1，则答案可求【解答】解：依题意设甲、乙、丙、丁、戊所
16、得钱分别为a2d，ad，a，a+d，a+2 d，则由题意可知，a2d+ada+a+ d+a+2d，即 a6d，又 a2d+ad+ a+a+d+a+2d5a5，a1，在这个问题中，丙所得为 1 钱故选：D【点评】本题考查等差数列的通项公式，是基础的计算题7 （5 分）把函数 y sin（x+ ）+1 图象上各点的横坐标缩短为原来的 倍（纵坐标不变） ，那么所得图象的一条对称轴方程为（ ）Ax B C D【分析】根据三角函数图象变换规律，求解出解析式，结合三角函数的性质可得对称轴方程【解答】解：函数 y sin（x+ ）+1 图象上各点的横坐标缩短为原来的 倍（纵坐标不变） ，可得：y
17、 sin（2x+ ）+1令 2x+ ，k Z可得：x ，令 k0，可得图象的一条对称轴方程为 x 故选：D【点评】本体考查了函数 yAsin （ x+）的图象变换规律，对称轴的求法，属于基础题8 （5 分）已知等比数列a n的前 n 项和为 Sn，且 a1 ，a 2a68（a 42） ，则 S2018（ ）第 10 页（共 25 页）A2 2017 B1（ ） 2017 C2 2018 D1（ ） 2018【分析】根据题意，设等比数列a n的公比为 q，由等比数列的性质可得若a2a68（a 42） ，则有 a428a 4+160，解可得 a44，进而计算可得 q 的值，由等比数列的
18、前 n 项和公式计算可得答案【解答】解：根据题意，设等比数列a n的公比为 q，若 a2a68（a 42） ，则有（a 4） 28（a 42） ，即 a428a 4+160，解可得 a44，则 q3 8，则 q2，则 S2018 2 2017 ，故选：A【点评】本题考查等比数列的性质以及前 n 项和公式，关键是求出等比数列的公比9 （5 分）已知奇函数 f（x ）在 R 上是减函数，且 af（log 3 ） ，bf （log 39.1） ，cf（2 0.8） ，则 a，b，c 的大小关系为（ ）Aabc Bcba Cbac Dc ab【分析】利用函数的奇偶性、单调性即可得出【解答】
19、解：奇函数 f（x ）在 R 上是减函数，且 af（log 3 ） ，bf （log 39.1） ，cf（2 0.8） ，af（log 3 ）f（log 310）bf（log 39.1）cf （2 0.8） ，则 a，b，c 的大小关系为 abc故选：B【点评】本题考查了函数的奇偶性、单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题10 （5 分）如图，格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的四个面的面积中最大与最小之和是（ ）第 11 页（共 25 页）A8+4 B12 C8+4 D10【分析】根据三视图作出三棱锥的直观图，根据三视图中的数据计算棱锥的
20、四个面的面积中最大值和最小值【解答】解：三视图可知三棱锥是从长方体中截出来的 PABC，数据如图：SPAB 448，S PAC 2 44 SABC 424，S PBC 2 2 4 则该三棱锥的四个面的面积中最大的是：8面积的最小值为 4所以则该三棱锥的四个面的面积中最大与最小之和是：12，故选：B【点评】本题考查了长方体中的内接体的结构特征，三视图与直观图的关系，几何体中的距离以及面积的计算，属于中档题11 （5 分）已知双曲线 1（a0，b0）的两条渐近线与抛物线y22px （p0）的准线分别交于 A，B 两点，O 为坐标原点若双曲线的离心率为 ，第 12 页（共 25 页）AOB 的面积为
21、 2，则 p（ ）A2 B1 C2 D3【分析】先根据双曲线的离心率为 ，求出渐近线方程，再求出抛物线y22px（p0）的准线方程，进而求出 A，B 两点的坐标，由AOB 的面积为 2，列出方程，由此方程求出 p 的值【解答】解：双曲线 1（a0，b0）的离心率 e ，e 2 1+ 5， 4， 2，双曲线 1（a0，b0）的两条渐近线方程为 y2x，抛物线 y22px （p0）的准线方程为 x ， 或 ，解得 ，或 ，|AB| p（p）2p，点 O 到 AB 的距离为 d ，S AOB |AB|d 2，解得 p2，故选：A第 13 页（共 25 页）【点评】本题考查圆锥曲线的共同特
22、征，解题的关键是求出双曲线的渐近线方程，解出A，B 两点的坐标，列出三角形的面积与离心率的关系12 （5 分）已知函数 f（x ） 的图象上有两对关于 y 轴对称的点，则实数 k 的取值范围是（ ）A （0，e） B （0， e2 ） C （0，2e 2） D （0，e 2 ）【分析】根据条件转化为当 x0 时，函数 f（x）kx3 与函数 g（x ）ln 2x，x 0 有两个交点即可，求出函数的导数，利用导数的几何意义进行求解即可【解答】解：当 x0 时，f（x）ln （2x ） ，则此时函数 f（x）关于 y 轴对称的函数为 yln2x，x0，若函数 f（x） 的图象上有两对
23、关于 y 轴对称的点，等价为当 x0 时，函数 f（x）kx3 与函数 g（x）ln2x，x 0 有两个交点即可，由题意可得 g（x）的图象和 ykx3（x 0）的图象有两个交点设直线 ykx3 与 yg（x ）相切的切点为（m，ln2m）由 g（x）的导数为 g（x ） ，即有切线的斜率为 k，又 ln2mkm3，第 14 页（共 25 页）即 ln2m m313 2，解得 m e2 ，k2e 2，由图象可得 0k2e 2 时，有两个交点，故选：C【点评】本题考查图象对称问题的解法，注意运用数形结合的思想方法，考查导数的运用：求切线的斜率，考查运算能力，属于中档题二、填空题，本题共 4 小题
24、，每小题 5 分，共 20 分.13 （5 分）若向量 （x，1）与向量 （1，2）垂直，则| + | 【分析】根据题意，由向量垂直与向量数量积的关系，分析可得 x20，即可得 x2，进而可得向量 + 的坐标，由向量模的计算公式计算可得答案【解答】解：根据题意，向量 （x，1）与向量 （1，2）垂直，则有 x20，则 x2；则向量 （2，1） ，则 + （3，1） ，则| + | ；故答案为：【点评】本题考查向量数量积的坐标计算公式，涉及向量垂直与向量数量积的关系，注意求出 x 的值14 （5 分）某校选定 4 名教师去 3 个边远地区支教（每地至少 1 人） ，则甲
25、、乙两人不在同一边远地区的概率是 第 15 页（共 25 页）【分析】基本事件总数 n 36，甲、乙两人在同一边远地区包含的基本事件个数 m 6，由此能求出甲、乙两人不在同一边远地区的概率【解答】解：某校选定 4 名教师去 3 个边远地区支教（每地至少 1 人） ，基本事件总数 n 36，甲、乙两人在同一边远地区包含的基本事件个数 m 6，甲、乙两人不在同一边远地区的概率是 p1 1 故答案为： 【点评】本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题15 （5 分）若直线 l：ax 3y+120（a R）与圆 M
26、：x 2+y24y0 相交于 A、B 两点，若ABM 的平分线过线段 MA 的中点，则实数 a 【分析】由圆的方程求出圆心坐标和半径，由直线 l 方程可得直线过定点 A（0，4） ，要使ABM 的平分线过线段 MA 的中点，则 AMBM，由此能求出 B 点坐标，进一步求出直线 AB 的斜率，则实数 a 的值可求【解答】解：如图，由圆 M：x 2+y24y0，得 x2+（y2） 24，圆心 M（0，2） ，半径为 2，直线 l：ax3y+120（aR）过定点 A（0，4） ，要使ABM 的平分线过线段 MA 的中点，则 AMBM，B 为（ ，3）或（ ，3） ， ，即
27、a 故答案为： 第 16 页（共 25 页）【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查数形结合的解题思想方法，是中档题16 （5 分）已知底面是正六边形的六棱锥 PABCDEF 的七个顶点均在球 O 的表面上，底面正六边形的边长为 1，若该六棱锥体积的最大值为 ，则球 O 的表面积为 【分析】当六棱锥 PABCDEF 为正六棱锥时，体积最大，求出棱锥的高，进而求出外接球的半径，可得答案【解答】解：当六棱锥 PABCDEF 为正六棱锥时，体积最大，由于底面正六边形的边长为 1，故底面外接圆半径 r1，底面面积 S ，设高为 h，则 V ，解得：h2，设此时外接球半径为 R，则球心到底
28、面的距离 d|h R|2R| ，由 R2d 2+r2 得：R 2（2R） 2+1，解得：R ，故球 O 的表面积为 4R2 ，故答案为：【点评】本题考查的知识点是球的体积和表面积，求出球的半径是解答的关键三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答17 （12 分）已知在ABC 中，角 A，B，C 所对的边长分别是 a，b，c，AB 边上的高 h第 17 页（共 25 页）c（）若ABC 为锐角三角形，且 cosA ，求角 C 的正弦值；（）若C ，M ，求 M 的值【分析】 （）作
29、 CDAB 与 D，可得 sinA AD cotACD. ， 由正弦定理得解（）由 SABC 可得 由余弦定理得 即可得 M 【解答】解：（）作 CDAB 与 D，ABC 为锐角三角形，且 cosA ，sin A AD cotACD ， 由正弦定理得 （）S ABC 由余弦定理得 M 第 18 页（共 25 页）【点评】本题考查了正余弦定理的应用，三角形面积计算，属于中档题18 （12 分）某高校通过自主招生方式在贵阳招收一名优秀的高三毕业生，经过层层筛选，甲、乙两名学生进入最后测试，该校设计了一个测试方案：甲、乙两名学生各自从 6 个问题中随机抽 3 个问题已知这 6 道问题中，学生甲能正确
30、回答其中的 4 个问题，而学生乙能正确回答每个问题的概率均为 ，甲、乙两名学生对每个问题的回答都是相互独立、互不影响的（）求甲、乙两名学生共答对 2 个问题的概率（）请从期望和方差的角度分析，甲、乙两名学生哪位被录取的可能性更大？【分析】 （）利用互斥事件概率加法公式、n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次概率计算公式能求出甲、乙两名学生共答对 2 个问题的概率（）设学生甲答对的题数为 X，则 X 的所有可能取值为 1，2，3，分别求出相应的概率，从而求出 E（X） ，D（X）X） ，设学生乙答对题数为 Y，则 Y 所有可能的取值为0，1，2，3，由题意知 YB（3， ） ，从而求出
31、E（Y） ，D（X） ，由 E（X）E（Y） ，D（X）D（Y） ，得到甲被录取的可能性更大【解答】解：（）由题意得甲、乙两名学生共答对 2 个问题的概率：P + （）设学生甲答对的题数为 X，则 X 的所有可能取值为 1，2，3，P（X1） ，P（X2） ，P（X3） ，第 19 页（共 25 页）E（X） 2，D（X）（12） 2 +（22） 2 +（32） 2 ，设学生乙答对题数为 Y，则 Y 所有可能的取值为 0，1，2，3，由题意知 YB（3， ） ，E（Y）3 2，D（Y） ，E（X）E（Y） ，D（X） D（Y） ，甲被录取的可能性更大【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变
32、量的分布列、数学期望的求法及应用，考查互斥事件概率加法公式、n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次概率计算公式、二项分布等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题19 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中底面 ABCD 为直角梯形，ADBC ，ADC90，平面 PAD底面 ABCDQ 为 AD 的中点，M 是棱 PC 上的点，PA PD2BC AD1，CD （I）求证：平面 PBC平面 PQB；（）若平面 QMB 与平面 PDC 所成的锐二面角的大小为 60，求 PM 的长【分析】 （I）根据面面垂直的性质可得 PQ平面 ABCD，故而 PQBC，根据四边形BCD
33、Q 是矩形可得 BCBQ，于是 BC平面 PBQ，故而平面 PBC平面 PQB；（II）过 M 作 MNCD 交 PD 与 N，则DNQ 为平面 QMB 与平面 PDC 所成的锐二面角，从而可得 N 为 PD 中点，求出 PC 得出 PM 的长【解答】 （I）证明：PA PD ，Q 是 AD 的中点，PQAD ，又平面 PAD底面 ABCD，平面 PAD底面 ABCDAD，PQ平面 PAD，PQ平面 ABCD，第 20 页（共 25 页）BCPQ，BC ADDQ，BCAD，ADC90，四边形 BCDQ 是矩形，BCBQ，又 PQBQ Q ，BC平面 PBQ，又 BC平面 PBC，平面 PBC平
34、面 PQB（II）过 M 作 MNCD 交 PD 与 N，则平面 BMQ平面 PCDMN，平面 PAD底面 ABCD，平面 PAD底面 ABCDAD，BQAD，BQ 平面 PAD，BQ平面 PAD，又 BQCDMN，MN平面 PAD，MNNQ，MNPD，DNQ 为平面 BMQ 与平面 PCD 所成角，即DNQ 60，PDPA2，AD2BC2，PDO 60 ，DNQ 是等比三角形，DNDQ1，即 N 是 PD 的中点，M 是 PC 的中点，PD2，CD ，PC ，PM 【点评】本题考查了面面垂直的判定，二面角的做法与计算，属于中档题第 21 页（共 25 页）20 （12 分）已知椭圆 C： +
35、 1（a0，b0）的左、右焦点分别为 F1，F 2，点 M为短轴的上端点， 0，过 F2 垂直于 x 轴的直线交椭圆 C 于 A，B 两点，且|AB| （）求椭圆 C 的方程；（）设经过点（2，1）且不经过点 M 的直线 l 与 C 相交于 G，H 两点若 k1，k 2分别为直线 MH，MG 的斜率，求 k1+k2 的值【分析】 （）由 0，可得 bc，列出方程组，能求出椭圆 C 的方程（）经过点（2，1）且不经过点 M 的直线 l 的方程为 y+1k（x2） ，根据韦达定理和斜率公式出 k1+k21【解答】解：（）由 0，可得 bc，过 F2 垂直于 x 轴的直线交椭圆 C 于 A，B 两点
36、，且|AB| ， ，由 ，解得 a22，b 21，椭圆 C 的方程为 +y21（）经过点（2，1）且不经过点 M 的直线 l 的方程为 y+1k（x2） ，即ykx 2k1，代入椭圆程 +y21 可得（2k 2+1）x 24k （1+2 k）x+（8k 2+8k）0，16k（k+2）0，设 G（x 1，y 1） ，H（x 2，y 2） 则 x1+x2 ，x 1x2 ，k 1+k2 + + 2k 2k（2k+1）1，第 22 页（共 25 页）即 k1+k21【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查两直线斜率之和是否为定值的判断与证明，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用，属于中档题21 （12
37、 分）已知函数 f（x ）lnx+ x2ax+a（aR） （）若函数 f（x ）在（0，+）上为单调增函数，求实数 a 的取值范围；（）若函数 f（x ）在 xx 1 和 xx 2 处取得极值，且 x2 x1（e 为自然对数的底数） ，求 f（x 2）f（x 1）的最大值【分析】 （）求出函数的导数，问题转化为 a（x+ ） min，根据函数的单调性求出a 的范围即可；（）得到 x1，x 2 是方程 x2 ax+10 的 2 个根，由韦达定理得：x 1+x2a，x 1x21，得到 f（x 2） f（x 1）ln （ ） ，设 t （t ） ，令 h（t）lnt（t ） ， （t ） ，根据函数
38、的单调性求出其最大值即可【解答】解：（）f（ x） +xa， （x0） ，又 f（x）在（0 ，+）递增，故恒有 f（x） 0，即 +xa0（x0）恒成立，a（x+ ） min，而 x+ 2 2，当且仅当 x1 时取“” ，故 a2，即函数 f（x）在（ 0，+）递增时 a 的范围是（，2；（）f（x 2） f（x 1）ln + （ ）a（ x2x 1） ，又 f（x） （x0） ，故 x1，x 2 是方程 x2ax+10 的 2 个根，由韦达定理得：x 1+x2a，x 1x21，第 23 页（共 25 页）故 f（x 2）f（x 1）ln + （ ）a（x 2x 1） ，ln （ ） ，设
39、t （t ） ，令 h（t）lnt （t ） ， （t ） ，h（t） 0，h（t）在 ，+）递减，h（t）h（ ） （1 + ） ，故 f（x 2）f（x 1）的最大值是 （1 + ） 【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，函数恒成立问题，是一道综合题请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分.作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号的方框涂黑.选修坐标系与参数方程选讲22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C： （ 为参数） ，在以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为
40、cos（+）1（）求曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程；（）过点 M（1，0）且与直线 l 平行的直线 l1 交曲线 C 于 A，B 两点，求点 M 到A，B 两点的距离之和【分析】 （）曲线 C 的参数方程消去参数，能求出曲线 C 的普通方程；直线 l 的极坐标方程转化为 cossin 2，由此能求出直线 l 的直角坐标方程（）直线 l1 的参数方程代入 1，得： ，由此能求出点 M 到A，B 两点的距离之和【解答】解：（）曲线 C： （ 为参数） ，曲线 C 化为普通方程得： +y21，第 24 页（共 25 页）直线 l 的极坐标方程为 cos（+ ）1cossin 2，直线
41、 l 的直角坐标方程为 xy+20（）直线 l1 的参数方程为 （t 为参数） ，代入 1，化简，得： ，设 A，B 两点对应的参数分别为 t1，t 2，则 t1+t2 ，t 1t21，点 M 到 A， B 两点的距离之和：|MA|+|MB| t1|+|t2|t 1t 2| 【点评】本题考查曲线的普通方程、直线的直角坐标方程的求法，考查两线段距离和的求法，考查直角坐标方程、参数方程、检坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题选修不等式选讲23已知函数 f（x ）|x 2|x+1|（）解不等式 f（x ）x；（）若关于 x 的不等式 f（x）a 22a 的解集为
42、R，求实数 a 的取值范围【分析】 （）讨论当 x2 时，当 x1 时，当1x 2 时，去掉绝对值，解不等式求并集，即可得到所求解集；（）由题意可得 a22af（x ）的最大值，运用绝对值不等式的性质可得最大值，由二次不等式的解法可得 a 的范围【解答】解：（）不等式 f（x ）x，即为|x 2|x+1|x，当 x2 时，x2x 1 x，可得 x3，即 x3；当 x1 时，2x +x+1x ，解得 x3，即3x 1；当1x2 时，2x x 1 x，解得 x1，即1x1，综上可得原不等式的解集为x|x3 或3x 1 ；（）关于 x 的不等式 f（x）a 22a 的解集为 R，第 25 页（共 25 页）即有 a22af（x ）的最大值，由|x 2|x+1|x2x 1|3，当且仅当 x1 时，等号成立，可得 a22a3，解得 a3 或 a1【点评】本题考查绝对值不等式的解法，以及绝对值不等式的性质，不等式恒成立问题解法，考查分类讨论思想和化简运算能力，属于中档题
