2017年贵州省贵阳市高考数学一模试卷(理科)含答案解析

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资源描述

1、2017 年贵州省贵阳市高考数学一模试卷(理科)一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分)1 (5 分)已知 i 为虚数单位,则 zi +i2+i3+i2017(  )A0 B1 Ci Di2 (5 分)满足1,2P 1,2,3,4的集合 P 的个数是(  )A2 B3 C4 D53 (5 分)数列a n满足 a10, 1(n 2,n N*) ,则 a2017(  )A B C D4 (5 分)如图的程序框图,如果输入三个数 a,b,c, (a 2+b20)要求判断直线ax+by+c0 与单位圆的位置关系,那么在空白的判断框中,应该填写下面四个选

2、项中的(  )Ac0? Bb0? Ca0? Dab0?5 (5 分)某一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的最长棱长为(  )第 2 页(共 23 页)A2 B C2 D36 (5 分)曲线 y 与 yx 2 所围成的封闭区域的面积为(   )A B C D7 (5 分)圆 C 与 x 轴相切于 T(1,0) ,与 y 轴正半轴交于两点 A、B,且|AB| 2,则圆C 的标准方程为(  )A (x1) 2+(y ) 22 B (x1) 2+(y2) 22C (x+1) 2+(y + ) 24 D (x1) 2+(y ) 248 (5 分)设 M 为边

3、长为 4 的正方形 ABCD 的边 BC 的中点,N 为正方形区域内任意一点(含边界) ,则 的最大值为(  )A32 B24 C20 D169 (5 分)若 m( ,1) ,algm,blgm 2,clg 3m,则(  )Aabc Bcab Cbac Dbc a10 (5 分)已知球 O 的半径为 2,四点 S、A、B、C 均在球 O 的表面上,且 SC4,AB,SCASCB ,则点 B 到平面 SAC 的距离为(  )A B C D111 (5 分)斜率为 k(k 0)的直线经过抛物线 y22px (p0)的焦点,与抛物线交于A、B 两点,与抛物线的准线交于

4、C 点,当 B 为 AC 中点时, k 的值为(  )A B C2 D312 (5 分)已知 M 是函数 f(x)e 2|x1| +2sin(x )在 x3,5上的所有零点之和,则 M 的值为(  )A4 B6 C8 D10二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分)第 3 页(共 23 页)13 (5 分)已知 tan(+)2,则 cos2+sin2     14 (5 分) (x ) n 的展开式中,所有二项式系数之和为 512,则展开式中 x3 的系数为      (用数字作答) 15 (5 分)我国古代

5、数学家刘徽是公元三世纪世界上最杰出的数学家,他在九章算术圆田术注重,用割圆术证明了圆面积的精确公式,并给出了计算圆周率的科学方法,所谓“割圆术” ,即通过圆内接正多边形细割圆,并使正多边形的周长无限接近圆的周长,进而求得较为精确的圆周率(圆周率指周长与该圆直径的比率) 刘徽计算圆周率是从正六边形开始的,易知圆的内接正六边形可分为六个全等的正三角形,每个三角形的边长均为圆的半径 R,此时圆内接正六边形的周长为 6R,此时若将圆内接正六边形的周长等同于圆的周长,可得圆周率为 3,当正二十四边形内接于圆时,按照上述算法,可得圆周率为     (参考数据:cos150.966, 0

6、.26)16 (5 分)已知数列a n满足:2a 1+22a2+23a3+2nann(nN *) ,数列的前 n 项和为 Sn,则 S1S2S3S10     三、解答题(共 5 小题,满分 60 分)17 (12 分)已知锐角ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,bsin (A+C) ,cos(A C )+cosB c(1)求角 A 的大小;(2)求 b+c 的取值范围18 (12 分)2017 年 1 月 1 日,作为贵阳市打造“千园之城”27 个示范性公元之一的泉湖公园正式开园,元旦期间,为了活跃气氛,主办方设置了水上挑战项目向全体市民开放,现从到公

7、园游览的市民中随机抽取了 60 名男生和 40 名女生共 100 人进行调查,统计出100 名市民中愿意接受挑战和不愿意接受挑战的男女生比例情况,具体数据如图表:(1)根据条件完成下列 22 列联表,并判断是否在犯错误的概率不超过 1%的情况下愿意接受挑战与性别有关?愿意 不愿意 总计男生女生第 4 页(共 23 页)总计(2)水上挑战项目共有两关,主办方规定:挑战过程依次进行,每一关都有两次机会挑战,通过第一关后才有资格参与第二关的挑战,若甲参加每一关的每一次挑战通过的概率均为 ,记甲通过的关数为 X,求 X 的分布列和数学期望参考公式与数据:P(K 2k 0) 0.1 0.05 0.025

8、 0.01k0 2.706 3.841 5.024 6.635K2 19 (12 分)底面为菱形的直棱柱 ABCDA 1B1C1D1 中,E、F 分别为棱 A1B1、A 1D1 的中点()在图中作一个平面 ,使得 BD,且平面 AEF , (不必给出证明过程,只要求作出 与直棱柱 ABCDA 1B1C1D1 的截面 )(II)若 ABAA 12,BAD60,求平面 AEF 与平面 的距离 d20 (12 分)经过原点的直线与椭圆 C: + 1(ab0)交于 A、B 两点,点 P 为椭圆上不同于 A、B 的一点,直线 PA、PB 的斜率均存在,且直线 PA、PB 的斜率之积为 第 5 页(共 2

9、3 页)(1)求椭圆 C 的离心率;(2)设 F1、F 2 分别为椭圆的左、右焦点,斜率为 k 的直线 l 经过椭圆的右焦点,且与椭圆交于 M、N 两点,若点 F1 在以|MN| 为直径的圆内部,求 k 的取值范围21 (12 分)设 f(x )lnx ,g(x) x|x|(1)求 g(x)在 x1 处的切线方程;(2)令 F(x) xf(x )g(x ) ,求 F(x)的单调区间;(3)若任意 x1,x 21,+)且 x1x 2,都有 mg(x 1)g(x 2) x 1f(x 1)x 2f(x 2)恒成立,求实数 m 的取值范围四、请考生在第 22.23 题中任选一题作答,如多做,则按所做的

10、第一题记分选修 4-4:坐标系与参数方程选讲22 (10 分)在直角坐标系中,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 2cos6sin + 0,直线 l 的参数方程为 (t 为参数) (1)求曲线 C 的普通方程;(2)若直线 l 与曲线 C 交于 A,B 两点,点 P 的坐标为(3,3) ,求| PA|+|PB|的值选修 4-5:不等式选讲23设 f(x) |x+1|x4|(1)若 f(x) m 2+6m 恒成立,求实数 m 的取值范围;(2)设 m 的最大值为 m0,a,b,c 均为正实数,当 3a+4b+5cm 0 时,求 a2+b2+c2 的最小值

11、第 6 页(共 23 页)2017 年贵州省贵阳市高考数学一模试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分)1 (5 分)已知 i 为虚数单位,则 zi +i2+i3+i2017(  )A0 B1 Ci Di【分析】利用等比数列的求和公式、复数的周期性即可得出【解答】解:z i,故选:D【点评】本题考查了等比数列的求和公式、复数的周期性,考查了推理能力与计算能力,属于基础题2 (5 分)满足1,2P 1,2,3,4的集合 P 的个数是(  )A2 B3 C4 D5【分析】集合 A 一定要含有 1、2 两个元素,可能含有 3、4,但

12、不能包含全部,即可得出结论【解答】解:P 可以为1,2,1,2,3 ,1,2,4 ,个数为 3故选:B【点评】子集包括真子集和它本身,集合的子集个数问题,对于集合 M 的子集问题一般来说,若 M 中有 n 个元素,则集合 M 的子集共有 2n 个,真子集 2n1 个3 (5 分)数列a n满足 a10, 1(n 2,n N*) ,则 a2017(  )A B C D【分析】推导出 是首项为 1,公差为 1 的等差数列,由此能求出 a2017 的值【解答】解:数列a n满足 a10, 1(n2,n N*) , 1, 是首项为 1,公差为 1 的等差数列, 1+(n1)n, ,第 7 页

13、(共 23 页)解得 a2017 故选:C【点评】本题考查数列的第 2016 项的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意等差数列的性质的合理运用4 (5 分)如图的程序框图,如果输入三个数 a,b,c, (a 2+b20)要求判断直线ax+by+c0 与单位圆的位置关系,那么在空白的判断框中,应该填写下面四个选项中的(  )Ac0? Bb0? Ca0? Dab0?【分析】根据直线 ax+by+c0 与单位圆 x2+y21 的位置关系,当 c2a 2+b2,且 c0时,直线与单位圆相交过圆心,即可得解【解答】解:根据直线 ax+by+c0 与单位圆 x2+y21 的位置关系,当 c2a

14、 2+b2,且 c0 时,直线与单位圆相交过圆心,可得:空白的判断框中,应该填写 c0?故选:A【点评】本题考查的知识点是程序框图的作用,点到直线的距离,属于基础题5 (5 分)某一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的最长棱长为(  )第 8 页(共 23 页)A2 B C2 D3【分析】由三视图知该几何体是底面为直角梯形的直四棱锥,结合图中数据,即可求出四棱锥中最长的棱长【解答】解:由三视图知,几何体是一个四棱锥,且四棱锥的底面是一个直角梯形 OABC,直角梯形的上底是 BC1,下底是 AO2,垂直于底边的腰是 OP2,如图所示:则四棱锥的最长棱长为 PB 3故选:D【点评】本

15、题考查了几何体三视图的应用问题,解题的关键是还原出几何体结构特征,是基础题6 (5 分)曲线 y 与 yx 2 所围成的封闭区域的面积为(   )A B C D第 9 页(共 23 页)【分析】利用定积分的几何意义,首先表示面积,然后计算定积分【解答】解:曲线 y 与 yx 2 所围成的封闭区域的面积为 ;故选:A【点评】本题考查了定积分的几何意义的应用解决封闭图形的面积问题,关键是正确利用定积分表示封闭图形的面积;属于常规题型7 (5 分)圆 C 与 x 轴相切于 T(1,0) ,与 y 轴正半轴交于两点 A、B,且|AB| 2,则圆C 的标准方程为(  )A (x1)

16、2+(y ) 22 B (x1) 2+(y2) 22C (x+1) 2+(y + ) 24 D (x1) 2+(y ) 24【分析】确定圆心与半径,即可求出圆 C 的标准方程【解答】解:由题意,圆的半径为 ,圆心坐标为(1, ) ,圆 C 的标准方程为(x 1) 2+(y ) 22,故选:A【点评】本题考查圆的标准方程,考查学生的计算能力,属于基础题8 (5 分)设 M 为边长为 4 的正方形 ABCD 的边 BC 的中点,N 为正方形区域内任意一点(含边界) ,则 的最大值为(  )A32 B24 C20 D16【分析】以 A 为坐标原点,以 AB 方向为 x 轴正方向,以 AD

17、方向为 y 轴方向建立坐标系,将向量的数量积用坐标表示,再利用线性规划方法解决问题【解答】解:以 A 为坐标原点,以 AB 方向为 x 轴正方向,以 AD 方向为 y 轴方向建立坐标系,则 A(0,0) ,M(4,2) ,则 (4,2) ,设 N 点坐标为(x ,y) ,则 (x,y) , , 4x+2y ,设 z4x+2y,平移目标函数,则过点 C(4,4)时有最大值,此时最大值为第 10 页(共 23 页)z16+8 24,故选:B【点评】本题主要考查两个向量的数量积公式的应用,向量的主要功能就是数形结合,将几何问题转化为代数问题,但关键是建立合适的坐标系,将向量用坐标表示,再将数量积运算

18、转化为方程或函数问题9 (5 分)若 m( ,1) ,algm,blgm 2,clg 3m,则(  )Aabc Bcab Cbac Dbc a【分析】m( ,1) ,可得 algm0,1m m 20 ,因此ab,clg 3mlgma,即可得出【解答】解:m( ,1) ,algm0,1m m 20,ab,clg 3mlgma,cab故选:C【点评】本题考查了函数的单调性、不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于基础题10 (5 分)已知球 O 的半径为 2,四点 S、A、B、C 均在球 O 的表面上,且 SC4,AB,SCASCB ,则点 B 到平面 SAC 的距离为(  

19、;)A B C D1【分析】过 AB 的小圆的圆心为 D可得 ACBC2 ,ADBD ,即可求解 B到平面 SAC 的距离第 11 页(共 23 页)【解答】解:球的直径 SC 4,A,B 是该球球面上的两点,AB ,SCA SCB ,半径为 2,过 AB 的小圆的圆心为 D可得 ACBC2 ,AD BD ,ABD 是等边三角形,AD 边上的高为 B 到平面 SAC 的距离,即 故选:B【点评】本题考查了学生的空间想象力,考查转化思想以及计算能力属于中档题11 (5 分)斜率为 k(k 0)的直线经过抛物线 y22px (p0)的焦点,与抛物线交于A、B 两点,与抛物线的准线交于 C 点,当

20、B 为 AC 中点时, k 的值为(  )A B C2 D3【分析】如图,设 A,B 两点的抛物线的准线上的射影分别为 E,M,过 B 作 AE 的垂线BN,在三角形 ABN 中,BAN 等于直线 AB 的倾斜角,其正切值即为 k 值,利用在直角三角形 ABN 中,tan BAN ,从而得出直线 AB 的斜率【解答】解:如图,设 A,B 两点的抛物线的准线上的射影分别为 E,M,过 B 作 AE 的垂线 BN,在三角形 ABN 中,BAN 等于直线 AB 的倾斜角,其正切值即为 k 值,设|BF| n,B 为 AC 中点,可得 2|BF| AE|,即|AF |2|BF|,|AF| 2

21、n,根据抛物线的定义得:|AE|2n,|BF| n,|AN | n,在直角三角形 ABC 中,tan BAN 2 ;故选:C第 12 页(共 23 页)【点评】本题主要考察了直线与抛物线的位置关系,抛物线的简单性质,特别是焦点弦问题,解题时要善于运用抛物线的定义解决问题12 (5 分)已知 M 是函数 f(x)e 2|x1| +2sin(x )在 x3,5上的所有零点之和,则 M 的值为(  )A4 B6 C8 D10【分析】函数的零点,转化为两个函数的图形的交点的横坐标,利用函数的对称性,求解即可【解答】解:函数 f(x )e 2|x1| +2sin(x ) 在 x3,5 上的所有

22、零点,就是e2| x1| 2sin(x )在 x3,5上的所有的根,即 e2|x 1| 2cosx 在x 3, 5上的所有根,就是函数 ye 2| x1| 与 y2cosx,交点的横坐标,画出两个函数的图象如图,因为两个函数都关于 x1 对称,两个函数共有 8 个交点,所以函数f(x)e 2|x1| +2sin(x ) 在 x3,5 上的所有零点之和,M8故选:C第 13 页(共 23 页)【点评】本题考查函数的零点与方程根的关系,考查数形结合以及转化思想的应用,考查计算能力二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分)13 (5 分)已知 tan(+)2,则 cos2+sin2

23、   【分析】利用倍角公式、弦化切即可得出【解答】解:tan(+)tan 2,sin2+cos2 故答案为: 【点评】本题考查了二倍角公式的应用,熟练掌握公式是解本题的关键,是基础题14 (5 分) (x ) n 的展开式中,所有二项式系数之和为 512,则展开式中 x3 的系数为 126 (用数字作答) 【分析】先由条件求得 n9,在二项展开式的通项公式中,令 x 的幂指数等于 3,求出r 的值,即可求得展开式中 x3 的系数【解答】解:由题意 2n512,则 n9,通项公式为 Tr+1 (1) r ,令 9 r3,求得 r4,可得该展开式中 x3 的系数 126,故答案

24、为:126第 14 页(共 23 页)【点评】本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,二项式系数的性质,属于基础题15 (5 分)我国古代数学家刘徽是公元三世纪世界上最杰出的数学家,他在九章算术圆田术注重,用割圆术证明了圆面积的精确公式,并给出了计算圆周率的科学方法,所谓“割圆术” ,即通过圆内接正多边形细割圆,并使正多边形的周长无限接近圆的周长,进而求得较为精确的圆周率(圆周率指周长与该圆直径的比率) 刘徽计算圆周率是从正六边形开始的,易知圆的内接正六边形可分为六个全等的正三角形,每个三角形的边长均为圆的半径 R,此时圆内接正六边形的周长为 6R,此时若将圆内接正六边形的周长等同

25、于圆的周长,可得圆周率为 3,当正二十四边形内接于圆时,按照上述算法,可得圆周率为 3.12 (参考数据:cos150.966, 0.26)【分析】求出边长为 0.26R,周长为 0.2624R2R,即可得出结论【解答】解:正二十四边形的圆心角为 15,圆的半径 R,边长为0.26R,周长为 0.2624R2R,3.12,故答案为 3.12【点评】本题考查模拟方法估计概率,考查学生的计算能力,比较基础16 (5 分)已知数列a n满足:2a 1+22a2+23a3+2nann(nN *) ,数列的前 n 项和为 Sn,则 S1S2S3S10    【分析】根据 2a1+22

26、a2+23a3+2nann,求出 an ,再利用对数的运算性质和裂项法即可得到 ,裂项求和得到 Sn,代值计算即可【解答】解:2a 1+22a2+23a3+2nann,2a 1+22a2+23a3+2n1 an1 n1,2 nan1,a n ,第 15 页(共 23 页) ,S n1 + + 1 ,S 1S2S3S10 ,故答案为:【点评】本题考查了数列的通项公式的求法和裂项求和,属于中档题三、解答题(共 5 小题,满分 60 分)17 (12 分)已知锐角ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,bsin (A+C) ,cos(A C )+cosB c(1)求角 A 的大小;(

27、2)求 b+c 的取值范围【分析】 (1)由已知利用正弦定理可得:asinA,c sinC ,利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得 2sinAsinC ,从而可求 a sinA,结合 A 为锐角,可求 A 的值(2)由正弦定理,三角函数恒等变换的应用化简可得 b+c sin(B+ ) ,由 B(, ) ,可求范围 B+ ( , ) ,利用正弦函数的性质即可得解【解答】解:(1)bsin( A+C) ,可得:bsinB,由正弦定理 ,可得:asinA,c sinC ,cos(A C )+cosB c,可得:cos(AC)cos( A+C) c,可得:cosA cosC+sinAsinC(c

28、os AcosCsin AsinC) ,2sinAsinC ,2ac ,可得:a sin A,A 为锐角,A (2)a ,A ,b+csinB+sin ( B ) sin(B+ ) ,第 16 页(共 23 页)B+ C , B,C 为锐角,可得 B( , ) ,B+ ( , ) ,b+c sin(B+ )( , 【点评】本题主要考查了正弦定理,三角函数恒等变换的应用,余弦定理的综合应用,考查了转化思想,属于中档题18 (12 分)2017 年 1 月 1 日,作为贵阳市打造“千园之城”27 个示范性公元之一的泉湖公园正式开园,元旦期间,为了活跃气氛,主办方设置了水上挑战项目向全体市民开放,现

29、从到公园游览的市民中随机抽取了 60 名男生和 40 名女生共 100 人进行调查,统计出100 名市民中愿意接受挑战和不愿意接受挑战的男女生比例情况,具体数据如图表:(1)根据条件完成下列 22 列联表,并判断是否在犯错误的概率不超过 1%的情况下愿意接受挑战与性别有关?愿意 不愿意 总计男生女生总计(2)水上挑战项目共有两关,主办方规定:挑战过程依次进行,每一关都有两次机会挑战,通过第一关后才有资格参与第二关的挑战,若甲参加每一关的每一次挑战通过的概率均为 ,记甲通过的关数为 X,求 X 的分布列和数学期望参考公式与数据:P(K 2k 0) 0.1 0.05 0.025 0.01k0 2.

30、706 3.841 5.024 6.635K2 第 17 页(共 23 页)【分析】 (1)利用 k2 计算公式即可得出(2)由题意可得:X0,1,2通过分类讨论,利用相互独立与互斥事件概率计算公式即可得出【解答】解:(1)由统计表格可得:愿意  不愿意  总计男生  15  45  60女生  20  20  40总计  35  65  100K 2 6.5946.635,在犯错误的概率不超过 1%的情况下能接受挑战与性别有关(2)由题意可得:X0,1,2则 P(X0) ,P(X1)

31、 ,P(X2) X  0  1  2PE(X)0+ +2 【点评】本题考查了随机变量的分布列的性质及其数学期望、 “独立性检验”计算公式及其原理,考查了推理能力与计算能力,属于中档题19 (12 分)底面为菱形的直棱柱 ABCDA 1B1C1D1 中,E、F 分别为棱 A1B1、A 1D1 的中点()在图中作一个平面 ,使得 BD,且平面 AEF , (不必给出证明过程,只要求作出 与直棱柱 ABCDA 1B1C1D1 的截面 )(II)若 ABAA 12,BAD60,求平面 AEF 与平面 的距离 d第 18 页(共 23 页)【分析】 ()取 B1C1 的中点

32、 H,C 1D1 的中点 G,平面 BHGD 就是所求平面 ()取 BC 中点 M,以 D 为原点, DA 为 x 轴,DM 为 y 轴,DD 1 为 z 轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出平面 AEF 与平面 的距离【解答】解:()取 B1C1 的中点 H,C 1D1 的中点 G,连结 BH、GH 、DH,则平面 BHGD 就是所求平面 , 与直棱柱 ABCDA 1B1C1D1 的截面为平面 BHGD()菱形的直棱柱 ABCDA 1B1C1D1 中,ABAA 12,BAD60,取 BC 中点 M,以 D 为原点, DA 为 x 轴,DM 为 y 轴,DD 1 为 z 轴,建立空间直角坐

33、标系,A(2,0,0) ,D(0,0,0) ,B(1, ,0) ,H (0, ,2) ,(2,0,0) , (1, ,0) , (0, ,2) ,设平面 (即平面 BHGD)的法向量 (x,y,z) ,则 ,取 y2,得 (2 ,2, ) ,平面 AEF 与平面 的距离 d 第 19 页(共 23 页)【点评】本题考查满足面面平行的平面的作法,考查两平面间的距离的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养20 (12 分)经过原点的直线与椭圆 C: + 1(ab0)交于 A、B 两点,点 P 为椭圆上不同于 A、B 的一点,直线 PA、PB 的斜率均存在,且直线 PA、PB 的斜

34、率之积为 (1)求椭圆 C 的离心率;(2)设 F1、F 2 分别为椭圆的左、右焦点,斜率为 k 的直线 l 经过椭圆的右焦点,且与椭圆交于 M、N 两点,若点 F1 在以|MN| 为直径的圆内部,求 k 的取值范围【分析】 (1)设 P(x 0,y 0) , A(x 1,y 1) ,B(x 1,y 1) ,代入椭圆方程得,由直线 PA、PB 的斜率之积为 ,得到 ,由此能求出椭圆C 的离心率(2)由 e ,得 ,从而 1,c ,焦点 F1( ,0) ,设 MN:yk(x ) ,联立 ,得,由此利用韦达定理、向量的数量积,结合已知条件能求出 k 的取值范围第 20 页(共 23 页)【解答】解

35、:(1)设 P(x 0,y 0) ,A(x 1,y 1) ,B(x 1,y 1) ,则 , , , ,椭圆 C 的离心率 e (2)e , , 1,c ,焦点 F1( ,0) ,设 MN:yk(x ) ,联立 ,得 ,设 M(x 1,y 1) ,N(x 2,y 2) ,则 , , , 0,(x 1+ ,y 1)( ,y 2)( )+y 1y2 +(1+k 2)x 1x2 (x 1+x2) (1k 2)+3b 2(1+k 2) + + 0,(1+k 2) (12k 24)+24k 2(1k 2)+3 (1+k 2) (4k 2+1)0,第 21 页(共 23 页)整理,得 ,解得 k 的取值范围

36、是( ) 【点评】本题考查椭圆的离心率的求法,考查实数的取值范围求法,是中档题,解题时要认真审题,注意韦达定理、椭圆性质的合理运用21 (12 分)设 f(x )lnx ,g(x) x|x|(1)求 g(x)在 x1 处的切线方程;(2)令 F(x) xf(x )g(x ) ,求 F(x)的单调区间;(3)若任意 x1,x 21,+)且 x1x 2,都有 mg(x 1)g(x 2) x 1f(x 1)x 2f(x 2)恒成立,求实数 m 的取值范围【分析】 (1)求出函数 g(x)的导数,计算 g(1) ,g(1) ,求出切线方程即可;(2)求出函数 F(x )的导函数,得到导函数的单调性,从

37、而求出函数 F(x)的单调性即可;(3)已知可转化为 x1x 21 时,mg (x 1)x 1f(x 1)mg(x 2)x 2f(x 2)恒成立,令 h(x)mg(x)xf(x ) x2xlnx,则 h(x)为单调递增的函数结合导数工具即可求得实数 m 的取值范围【解答】解:(1)x0 时,g(x) x2,g(x)x ,故 g(1) ,g(1)1,故切线方程是:y+ (x +1) ,即 xy+ 0 ;(2)F(x) xlnx x|x|xlnx x2, (x0) ,F(x )lnxx+1 ,F( x) 1,令 F(x) 0,解得:0x 1,令 F(x)0,解得: x1,故 F(x)在( 0,1)

38、递增,在(1,+)递减,故 F(x) F(1)0,故 F(x )在( 0,+ )递减;(3)已知可转化为 x1x 21 时,mg (x 1)x 1f(x 1)mg(x 2)x 2f(x 2)恒成立,第 22 页(共 23 页)令 h(x)mg(x)xf(x ) x2xlnx,则 h(x)为单调递增的函数,故 h(x)mxlnx10 恒成立,即 m 恒成立,令 m(x) ,则 m (x ) ,当 x1,+ )时,m( x)0,m (x )单调递减,m(x)m(1 )1,故 m1【点评】本题考查了切线方程问题,考查函数的单调性、最值问题,考查导数的应用,是一道中档题四、请考生在第 22.23 题中

39、任选一题作答,如多做,则按所做的第一题记分选修 4-4:坐标系与参数方程选讲22 (10 分)在直角坐标系中,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 2cos6sin + 0,直线 l 的参数方程为 (t 为参数) (1)求曲线 C 的普通方程;(2)若直线 l 与曲线 C 交于 A,B 两点,点 P 的坐标为(3,3) ,求| PA|+|PB|的值【分析】 (1)利用极坐标与直角坐标化简公式化简求解即可(2)把直线方程代入圆的方程化简可得 t 的二次方程,利用根与系数的关系,以及|PA| t1|,|PB| t2|求出|PA|PB| 【解答】解:(1)曲线

40、 C 的极坐标方程为 2cos6sin+ 0,可得: 22 cos6sin +10,可得 x2+y22x6y+1 0,曲线 C 的普通方程:x 2+y22x6y+10(2)由于直线 l 的参数方程为 (t 为参数) 把它代入圆的方程整理得 t2+2t50,t 1+t22,t 1t25,|PA| t1|,|PB| t2|,|PA|+|PB| t1|+|t2| 2 第 23 页(共 23 页)|PA|+|PB|的值 2 【点评】本题考查参数方程化普通方程,考查极坐标方程化直角坐标方程,考查了直线的参数方程中参数 t 的几何意义,是基础题选修 4-5:不等式选讲23设 f(x) |x+1|x4|(1

41、)若 f(x) m 2+6m 恒成立,求实数 m 的取值范围;(2)设 m 的最大值为 m0,a,b,c 均为正实数,当 3a+4b+5cm 0 时,求 a2+b2+c2 的最小值【分析】 (1)求出 f(x )|x+1| x4|的最大值,f (x) maxm 2+6m 即可(2)由柯西不等式(a 2+b2+c2) (3 2+42+52)(3a+4b+5 c) 225【解答】解(1)5|x +1| |x4| 5 ,由于 f(x) m2+6m 的解集为 R,m 2+6m5,即 1m5 (2)由(1)得 m 的最大值为 5,3a+4 b+5c5由柯西不等式(a 2+b2+c2) (3 2+42+52)(3a+4b+5c) 225(5分)故 a2+b2+c2 (当且仅当 a ,b c 时取等号)a 2+b2+c2 的最小值为 【点评】本题考查绝对值不等式的最值,柯西不等式的应用,属于中档题

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