1、2017 年贵州省贵阳市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分）1 （5 分）已知 i 为虚数单位，则 zi +i2+i3+i2017（ ）A0 B1 Ci Di2 （5 分）满足1，2P 1，2，3，4的集合 P 的个数是（ ）A2 B3 C4 D53 （5 分）数列a n满足 a10， 1（n 2，n N*） ，则 a2017（ ）A B C D4 （5 分）如图的程序框图，如果输入三个数 a，b，c， （a 2+b20）要求判断直线ax+by+c0 与单位圆的位置关系，那么在空白的判断框中，应该填写下面四个选
2、项中的（ ）Ac0？ Bb0？ Ca0？ Dab0？5 （5 分）某一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱长为（ ）第 2 页（共 23 页）A2 B C2 D36 （5 分）曲线 y 与 yx 2 所围成的封闭区域的面积为（ ）A B C D7 （5 分）圆 C 与 x 轴相切于 T（1，0） ，与 y 轴正半轴交于两点 A、B，且|AB| 2，则圆C 的标准方程为（ ）A （x1） 2+（y ） 22 B （x1） 2+（y2） 22C （x+1） 2+（y + ） 24 D （x1） 2+（y ） 248 （5 分）设 M 为边
3、长为 4 的正方形 ABCD 的边 BC 的中点，N 为正方形区域内任意一点（含边界） ，则 的最大值为（ ）A32 B24 C20 D169 （5 分）若 m（ ，1） ，algm，blgm 2，clg 3m，则（ ）Aabc Bcab Cbac Dbc a10 （5 分）已知球 O 的半径为 2，四点 S、A、B、C 均在球 O 的表面上，且 SC4，AB，SCASCB ，则点 B 到平面 SAC 的距离为（ ）A B C D111 （5 分）斜率为 k（k 0）的直线经过抛物线 y22px （p0）的焦点，与抛物线交于A、B 两点，与抛物线的准线交于
4、C 点，当 B 为 AC 中点时， k 的值为（ ）A B C2 D312 （5 分）已知 M 是函数 f（x）e 2|x1| +2sin（x ）在 x3，5上的所有零点之和，则 M 的值为（ ）A4 B6 C8 D10二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分）第 3 页（共 23 页）13 （5 分）已知 tan（+）2，则 cos2+sin2 14 （5 分） （x ） n 的展开式中，所有二项式系数之和为 512，则展开式中 x3 的系数为 （用数字作答） 15 （5 分）我国古代
5、数学家刘徽是公元三世纪世界上最杰出的数学家，他在九章算术圆田术注重，用割圆术证明了圆面积的精确公式，并给出了计算圆周率的科学方法，所谓“割圆术” ，即通过圆内接正多边形细割圆，并使正多边形的周长无限接近圆的周长，进而求得较为精确的圆周率（圆周率指周长与该圆直径的比率） 刘徽计算圆周率是从正六边形开始的，易知圆的内接正六边形可分为六个全等的正三角形，每个三角形的边长均为圆的半径 R，此时圆内接正六边形的周长为 6R，此时若将圆内接正六边形的周长等同于圆的周长，可得圆周率为 3，当正二十四边形内接于圆时，按照上述算法，可得圆周率为 （参考数据：cos150.966， 0
6、.26）16 （5 分）已知数列a n满足：2a 1+22a2+23a3+2nann（nN *） ，数列的前 n 项和为 Sn，则 S1S2S3S10 三、解答题（共 5 小题，满分 60 分）17 （12 分）已知锐角ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，bsin （A+C） ，cos（A C ）+cosB c（1）求角 A 的大小；（2）求 b+c 的取值范围18 （12 分）2017 年 1 月 1 日，作为贵阳市打造“千园之城”27 个示范性公元之一的泉湖公园正式开园，元旦期间，为了活跃气氛，主办方设置了水上挑战项目向全体市民开放，现从到公
7、园游览的市民中随机抽取了 60 名男生和 40 名女生共 100 人进行调查，统计出100 名市民中愿意接受挑战和不愿意接受挑战的男女生比例情况，具体数据如图表：（1）根据条件完成下列 22 列联表，并判断是否在犯错误的概率不超过 1%的情况下愿意接受挑战与性别有关？愿意 不愿意 总计男生女生第 4 页（共 23 页）总计（2）水上挑战项目共有两关，主办方规定：挑战过程依次进行，每一关都有两次机会挑战，通过第一关后才有资格参与第二关的挑战，若甲参加每一关的每一次挑战通过的概率均为 ，记甲通过的关数为 X，求 X 的分布列和数学期望参考公式与数据：P（K 2k 0） 0.1 0.05 0.025
8、 0.01k0 2.706 3.841 5.024 6.635K2 19 （12 分）底面为菱形的直棱柱 ABCDA 1B1C1D1 中，E、F 分别为棱 A1B1、A 1D1 的中点（）在图中作一个平面 ，使得 BD，且平面 AEF ， （不必给出证明过程，只要求作出 与直棱柱 ABCDA 1B1C1D1 的截面 ）（II）若 ABAA 12，BAD60，求平面 AEF 与平面 的距离 d20 （12 分）经过原点的直线与椭圆 C： + 1（ab0）交于 A、B 两点，点 P 为椭圆上不同于 A、B 的一点，直线 PA、PB 的斜率均存在，且直线 PA、PB 的斜率之积为 第 5 页（共 2
9、3 页）（1）求椭圆 C 的离心率；（2）设 F1、F 2 分别为椭圆的左、右焦点，斜率为 k 的直线 l 经过椭圆的右焦点，且与椭圆交于 M、N 两点，若点 F1 在以|MN| 为直径的圆内部，求 k 的取值范围21 （12 分）设 f（x ）lnx ，g（x） x|x|（1）求 g（x）在 x1 处的切线方程；（2）令 F（x） xf（x ）g（x ） ，求 F（x）的单调区间；（3）若任意 x1，x 21，+）且 x1x 2，都有 mg（x 1）g（x 2） x 1f（x 1）x 2f（x 2）恒成立，求实数 m 的取值范围四、请考生在第 22.23 题中任选一题作答，如多做，则按所做的
10、第一题记分选修 4-4：坐标系与参数方程选讲22 （10 分）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2cos6sin + 0，直线 l 的参数方程为 （t 为参数） （1）求曲线 C 的普通方程；（2）若直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，点 P 的坐标为（3，3） ，求| PA|+|PB|的值选修 4-5：不等式选讲23设 f（x） |x+1|x4|（1）若 f（x） m 2+6m 恒成立，求实数 m 的取值范围；（2）设 m 的最大值为 m0，a，b，c 均为正实数，当 3a+4b+5cm 0 时，求 a2+b2+c2 的最小值
11、第 6 页（共 23 页）2017 年贵州省贵阳市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分）1 （5 分）已知 i 为虚数单位，则 zi +i2+i3+i2017（ ）A0 B1 Ci Di【分析】利用等比数列的求和公式、复数的周期性即可得出【解答】解：z i，故选：D【点评】本题考查了等比数列的求和公式、复数的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题2 （5 分）满足1，2P 1，2，3，4的集合 P 的个数是（ ）A2 B3 C4 D5【分析】集合 A 一定要含有 1、2 两个元素，可能含有 3、4，但
12、不能包含全部，即可得出结论【解答】解：P 可以为1，2，1，2，3 ，1，2，4 ，个数为 3故选：B【点评】子集包括真子集和它本身，集合的子集个数问题，对于集合 M 的子集问题一般来说，若 M 中有 n 个元素，则集合 M 的子集共有 2n 个，真子集 2n1 个3 （5 分）数列a n满足 a10， 1（n 2，n N*） ，则 a2017（ ）A B C D【分析】推导出 是首项为 1，公差为 1 的等差数列，由此能求出 a2017 的值【解答】解：数列a n满足 a10， 1（n2，n N*） ， 1， 是首项为 1，公差为 1 的等差数列， 1+（n1）n， ，第 7 页
13、（共 23 页）解得 a2017 故选：C【点评】本题考查数列的第 2016 项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用4 （5 分）如图的程序框图，如果输入三个数 a，b，c， （a 2+b20）要求判断直线ax+by+c0 与单位圆的位置关系，那么在空白的判断框中，应该填写下面四个选项中的（ ）Ac0？ Bb0？ Ca0？ Dab0？【分析】根据直线 ax+by+c0 与单位圆 x2+y21 的位置关系，当 c2a 2+b2，且 c0时，直线与单位圆相交过圆心，即可得解【解答】解：根据直线 ax+by+c0 与单位圆 x2+y21 的位置关系，当 c2a
14、 2+b2，且 c0 时，直线与单位圆相交过圆心，可得：空白的判断框中，应该填写 c0？故选：A【点评】本题考查的知识点是程序框图的作用，点到直线的距离，属于基础题5 （5 分）某一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱长为（ ）第 8 页（共 23 页）A2 B C2 D3【分析】由三视图知该几何体是底面为直角梯形的直四棱锥，结合图中数据，即可求出四棱锥中最长的棱长【解答】解：由三视图知，几何体是一个四棱锥，且四棱锥的底面是一个直角梯形 OABC，直角梯形的上底是 BC1，下底是 AO2，垂直于底边的腰是 OP2，如图所示：则四棱锥的最长棱长为 PB 3故选：D【点评】本
15、题考查了几何体三视图的应用问题，解题的关键是还原出几何体结构特征，是基础题6 （5 分）曲线 y 与 yx 2 所围成的封闭区域的面积为（ ）A B C D第 9 页（共 23 页）【分析】利用定积分的几何意义，首先表示面积，然后计算定积分【解答】解：曲线 y 与 yx 2 所围成的封闭区域的面积为 ；故选：A【点评】本题考查了定积分的几何意义的应用解决封闭图形的面积问题，关键是正确利用定积分表示封闭图形的面积；属于常规题型7 （5 分）圆 C 与 x 轴相切于 T（1，0） ，与 y 轴正半轴交于两点 A、B，且|AB| 2，则圆C 的标准方程为（ ）A （x1）
16、2+（y ） 22 B （x1） 2+（y2） 22C （x+1） 2+（y + ） 24 D （x1） 2+（y ） 24【分析】确定圆心与半径，即可求出圆 C 的标准方程【解答】解：由题意，圆的半径为 ，圆心坐标为（1， ） ，圆 C 的标准方程为（x 1） 2+（y ） 22，故选：A【点评】本题考查圆的标准方程，考查学生的计算能力，属于基础题8 （5 分）设 M 为边长为 4 的正方形 ABCD 的边 BC 的中点，N 为正方形区域内任意一点（含边界） ，则 的最大值为（ ）A32 B24 C20 D16【分析】以 A 为坐标原点，以 AB 方向为 x 轴正方向，以 AD
17、方向为 y 轴方向建立坐标系，将向量的数量积用坐标表示，再利用线性规划方法解决问题【解答】解：以 A 为坐标原点，以 AB 方向为 x 轴正方向，以 AD 方向为 y 轴方向建立坐标系，则 A（0，0） ，M（4，2） ，则 （4，2） ，设 N 点坐标为（x ，y） ，则 （x，y） ， ， 4x+2y ，设 z4x+2y，平移目标函数，则过点 C（4，4）时有最大值，此时最大值为第 10 页（共 23 页）z16+8 24，故选：B【点评】本题主要考查两个向量的数量积公式的应用，向量的主要功能就是数形结合，将几何问题转化为代数问题，但关键是建立合适的坐标系，将向量用坐标表示，再将数量积运算
18、转化为方程或函数问题9 （5 分）若 m（ ，1） ，algm，blgm 2，clg 3m，则（ ）Aabc Bcab Cbac Dbc a【分析】m（ ，1） ，可得 algm0，1m m 20 ，因此ab，clg 3mlgma，即可得出【解答】解：m（ ，1） ，algm0，1m m 20，ab，clg 3mlgma，cab故选：C【点评】本题考查了函数的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题10 （5 分）已知球 O 的半径为 2，四点 S、A、B、C 均在球 O 的表面上，且 SC4，AB，SCASCB ，则点 B 到平面 SAC 的距离为（
19、;）A B C D1【分析】过 AB 的小圆的圆心为 D可得 ACBC2 ，ADBD ，即可求解 B到平面 SAC 的距离第 11 页（共 23 页）【解答】解：球的直径 SC 4，A，B 是该球球面上的两点，AB ，SCA SCB ，半径为 2，过 AB 的小圆的圆心为 D可得 ACBC2 ，AD BD ，ABD 是等边三角形，AD 边上的高为 B 到平面 SAC 的距离，即 故选：B【点评】本题考查了学生的空间想象力，考查转化思想以及计算能力属于中档题11 （5 分）斜率为 k（k 0）的直线经过抛物线 y22px （p0）的焦点，与抛物线交于A、B 两点，与抛物线的准线交于 C 点，当
20、B 为 AC 中点时， k 的值为（ ）A B C2 D3【分析】如图，设 A，B 两点的抛物线的准线上的射影分别为 E，M，过 B 作 AE 的垂线BN，在三角形 ABN 中，BAN 等于直线 AB 的倾斜角，其正切值即为 k 值，利用在直角三角形 ABN 中，tan BAN ，从而得出直线 AB 的斜率【解答】解：如图，设 A，B 两点的抛物线的准线上的射影分别为 E，M，过 B 作 AE 的垂线 BN，在三角形 ABN 中，BAN 等于直线 AB 的倾斜角，其正切值即为 k 值，设|BF| n，B 为 AC 中点，可得 2|BF| AE|，即|AF |2|BF|，|AF| 2
21、n，根据抛物线的定义得：|AE|2n，|BF| n，|AN | n，在直角三角形 ABC 中，tan BAN 2 ；故选：C第 12 页（共 23 页）【点评】本题主要考察了直线与抛物线的位置关系，抛物线的简单性质，特别是焦点弦问题，解题时要善于运用抛物线的定义解决问题12 （5 分）已知 M 是函数 f（x）e 2|x1| +2sin（x ）在 x3，5上的所有零点之和，则 M 的值为（ ）A4 B6 C8 D10【分析】函数的零点，转化为两个函数的图形的交点的横坐标，利用函数的对称性，求解即可【解答】解：函数 f（x ）e 2|x1| +2sin（x ） 在 x3，5 上的所有
22、零点，就是e2| x1| 2sin（x ）在 x3，5上的所有的根，即 e2|x 1| 2cosx 在x 3， 5上的所有根，就是函数 ye 2| x1| 与 y2cosx，交点的横坐标，画出两个函数的图象如图，因为两个函数都关于 x1 对称，两个函数共有 8 个交点，所以函数f（x）e 2|x1| +2sin（x ） 在 x3，5 上的所有零点之和，M8故选：C第 13 页（共 23 页）【点评】本题考查函数的零点与方程根的关系，考查数形结合以及转化思想的应用，考查计算能力二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分）13 （5 分）已知 tan（+）2，则 cos2+sin2
23、 【分析】利用倍角公式、弦化切即可得出【解答】解：tan（+）tan 2，sin2+cos2 故答案为： 【点评】本题考查了二倍角公式的应用，熟练掌握公式是解本题的关键，是基础题14 （5 分） （x ） n 的展开式中，所有二项式系数之和为 512，则展开式中 x3 的系数为 126 （用数字作答） 【分析】先由条件求得 n9，在二项展开式的通项公式中，令 x 的幂指数等于 3，求出r 的值，即可求得展开式中 x3 的系数【解答】解：由题意 2n512，则 n9，通项公式为 Tr+1 （1） r ，令 9 r3，求得 r4，可得该展开式中 x3 的系数 126，故答案
24、为：126第 14 页（共 23 页）【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题15 （5 分）我国古代数学家刘徽是公元三世纪世界上最杰出的数学家，他在九章算术圆田术注重，用割圆术证明了圆面积的精确公式，并给出了计算圆周率的科学方法，所谓“割圆术” ，即通过圆内接正多边形细割圆，并使正多边形的周长无限接近圆的周长，进而求得较为精确的圆周率（圆周率指周长与该圆直径的比率） 刘徽计算圆周率是从正六边形开始的，易知圆的内接正六边形可分为六个全等的正三角形，每个三角形的边长均为圆的半径 R，此时圆内接正六边形的周长为 6R，此时若将圆内接正六边形的周长等同
25、于圆的周长，可得圆周率为 3，当正二十四边形内接于圆时，按照上述算法，可得圆周率为 3.12 （参考数据：cos150.966， 0.26）【分析】求出边长为 0.26R，周长为 0.2624R2R，即可得出结论【解答】解：正二十四边形的圆心角为 15，圆的半径 R，边长为0.26R，周长为 0.2624R2R，3.12，故答案为 3.12【点评】本题考查模拟方法估计概率，考查学生的计算能力，比较基础16 （5 分）已知数列a n满足：2a 1+22a2+23a3+2nann（nN *） ，数列的前 n 项和为 Sn，则 S1S2S3S10 【分析】根据 2a1+22
26、a2+23a3+2nann，求出 an ，再利用对数的运算性质和裂项法即可得到 ，裂项求和得到 Sn，代值计算即可【解答】解：2a 1+22a2+23a3+2nann，2a 1+22a2+23a3+2n1 an1 n1，2 nan1，a n ，第 15 页（共 23 页） ，S n1 + + 1 ，S 1S2S3S10 ，故答案为：【点评】本题考查了数列的通项公式的求法和裂项求和，属于中档题三、解答题（共 5 小题，满分 60 分）17 （12 分）已知锐角ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，bsin （A+C） ，cos（A C ）+cosB c（1）求角 A 的大小；（
27、2）求 b+c 的取值范围【分析】 （1）由已知利用正弦定理可得：asinA，c sinC ，利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得 2sinAsinC ，从而可求 a sinA，结合 A 为锐角，可求 A 的值（2）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简可得 b+c sin（B+ ） ，由 B（， ） ，可求范围 B+ （ ， ） ，利用正弦函数的性质即可得解【解答】解：（1）bsin（ A+C） ，可得：bsinB，由正弦定理 ，可得：asinA，c sinC ，cos（A C ）+cosB c，可得：cos（AC）cos（ A+C） c，可得：cosA cosC+sinAsinC（c
28、os AcosCsin AsinC） ，2sinAsinC ，2ac ，可得：a sin A，A 为锐角，A （2）a ，A ，b+csinB+sin （ B ） sin（B+ ） ，第 16 页（共 23 页）B+ C ， B，C 为锐角，可得 B（ ， ） ，B+ （ ， ） ，b+c sin（B+ ）（ ， 【点评】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，余弦定理的综合应用，考查了转化思想，属于中档题18 （12 分）2017 年 1 月 1 日，作为贵阳市打造“千园之城”27 个示范性公元之一的泉湖公园正式开园，元旦期间，为了活跃气氛，主办方设置了水上挑战项目向全体市民开放，现
29、从到公园游览的市民中随机抽取了 60 名男生和 40 名女生共 100 人进行调查，统计出100 名市民中愿意接受挑战和不愿意接受挑战的男女生比例情况，具体数据如图表：（1）根据条件完成下列 22 列联表，并判断是否在犯错误的概率不超过 1%的情况下愿意接受挑战与性别有关？愿意 不愿意 总计男生女生总计（2）水上挑战项目共有两关，主办方规定：挑战过程依次进行，每一关都有两次机会挑战，通过第一关后才有资格参与第二关的挑战，若甲参加每一关的每一次挑战通过的概率均为 ，记甲通过的关数为 X，求 X 的分布列和数学期望参考公式与数据：P（K 2k 0） 0.1 0.05 0.025 0.01k0 2.
30、706 3.841 5.024 6.635K2 第 17 页（共 23 页）【分析】 （1）利用 k2 计算公式即可得出（2）由题意可得：X0，1，2通过分类讨论，利用相互独立与互斥事件概率计算公式即可得出【解答】解：（1）由统计表格可得：愿意 不愿意 总计男生 15 45 60女生 20 20 40总计 35 65 100K 2 6.5946.635，在犯错误的概率不超过 1%的情况下能接受挑战与性别有关（2）由题意可得：X0，1，2则 P（X0） ，P（X1）
31、 ，P（X2） X 0 1 2PE（X）0+ +2 【点评】本题考查了随机变量的分布列的性质及其数学期望、 “独立性检验”计算公式及其原理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题19 （12 分）底面为菱形的直棱柱 ABCDA 1B1C1D1 中，E、F 分别为棱 A1B1、A 1D1 的中点（）在图中作一个平面 ，使得 BD，且平面 AEF ， （不必给出证明过程，只要求作出 与直棱柱 ABCDA 1B1C1D1 的截面 ）（II）若 ABAA 12，BAD60，求平面 AEF 与平面 的距离 d第 18 页（共 23 页）【分析】 （）取 B1C1 的中点
32、 H，C 1D1 的中点 G，平面 BHGD 就是所求平面 （）取 BC 中点 M，以 D 为原点， DA 为 x 轴，DM 为 y 轴，DD 1 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面 AEF 与平面 的距离【解答】解：（）取 B1C1 的中点 H，C 1D1 的中点 G，连结 BH、GH 、DH，则平面 BHGD 就是所求平面 ， 与直棱柱 ABCDA 1B1C1D1 的截面为平面 BHGD（）菱形的直棱柱 ABCDA 1B1C1D1 中，ABAA 12，BAD60，取 BC 中点 M，以 D 为原点， DA 为 x 轴，DM 为 y 轴，DD 1 为 z 轴，建立空间直角坐
33、标系，A（2，0，0） ，D（0，0，0） ，B（1， ，0） ，H （0， ，2） ，（2，0，0） ， （1， ，0） ， （0， ，2） ，设平面 （即平面 BHGD）的法向量 （x，y，z） ，则 ，取 y2，得 （2 ，2， ） ，平面 AEF 与平面 的距离 d 第 19 页（共 23 页）【点评】本题考查满足面面平行的平面的作法，考查两平面间的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养20 （12 分）经过原点的直线与椭圆 C： + 1（ab0）交于 A、B 两点，点 P 为椭圆上不同于 A、B 的一点，直线 PA、PB 的斜率均存在，且直线 PA、PB 的斜
34、率之积为 （1）求椭圆 C 的离心率；（2）设 F1、F 2 分别为椭圆的左、右焦点，斜率为 k 的直线 l 经过椭圆的右焦点，且与椭圆交于 M、N 两点，若点 F1 在以|MN| 为直径的圆内部，求 k 的取值范围【分析】 （1）设 P（x 0，y 0） ， A（x 1，y 1） ，B（x 1，y 1） ，代入椭圆方程得，由直线 PA、PB 的斜率之积为 ，得到 ，由此能求出椭圆C 的离心率（2）由 e ，得 ，从而 1，c ，焦点 F1（ ，0） ，设 MN：yk（x ） ，联立 ，得，由此利用韦达定理、向量的数量积，结合已知条件能求出 k 的取值范围第 20 页（共 23 页）【解答】解
35、：（1）设 P（x 0，y 0） ，A（x 1，y 1） ，B（x 1，y 1） ，则 ， ， ， ，椭圆 C 的离心率 e （2）e ， ， 1，c ，焦点 F1（ ，0） ，设 MN：yk（x ） ，联立 ，得 ，设 M（x 1，y 1） ，N（x 2，y 2） ，则 ， ， ， 0，（x 1+ ，y 1）（ ，y 2）（ ）+y 1y2 +（1+k 2）x 1x2 （x 1+x2） （1k 2）+3b 2（1+k 2） + + 0，（1+k 2） （12k 24）+24k 2（1k 2）+3 （1+k 2） （4k 2+1）0，第 21 页（共 23 页）整理，得 ，解得 k 的取值范围
36、是（ ） 【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，考查实数的取值范围求法，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理、椭圆性质的合理运用21 （12 分）设 f（x ）lnx ，g（x） x|x|（1）求 g（x）在 x1 处的切线方程；（2）令 F（x） xf（x ）g（x ） ，求 F（x）的单调区间；（3）若任意 x1，x 21，+）且 x1x 2，都有 mg（x 1）g（x 2） x 1f（x 1）x 2f（x 2）恒成立，求实数 m 的取值范围【分析】 （1）求出函数 g（x）的导数，计算 g（1） ，g（1） ，求出切线方程即可；（2）求出函数 F（x ）的导函数，得到导函数的单调性，从
37、而求出函数 F（x）的单调性即可；（3）已知可转化为 x1x 21 时，mg （x 1）x 1f（x 1）mg（x 2）x 2f（x 2）恒成立，令 h（x）mg（x）xf（x ） x2xlnx，则 h（x）为单调递增的函数结合导数工具即可求得实数 m 的取值范围【解答】解：（1）x0 时，g（x） x2，g（x）x ，故 g（1） ，g（1）1，故切线方程是：y+ （x +1） ，即 xy+ 0 ；（2）F（x） xlnx x|x|xlnx x2， （x0） ，F（x ）lnxx+1 ，F（ x） 1，令 F（x） 0，解得：0x 1，令 F（x）0，解得： x1，故 F（x）在（ 0，1）
38、递增，在（1，+）递减，故 F（x） F（1）0，故 F（x ）在（ 0，+ ）递减；（3）已知可转化为 x1x 21 时，mg （x 1）x 1f（x 1）mg（x 2）x 2f（x 2）恒成立，第 22 页（共 23 页）令 h（x）mg（x）xf（x ） x2xlnx，则 h（x）为单调递增的函数，故 h（x）mxlnx10 恒成立，即 m 恒成立，令 m（x） ，则 m （x ） ，当 x1，+ ）时，m（ x）0，m （x ）单调递减，m（x）m（1 ）1，故 m1【点评】本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题四、请考生在第 22.23 题中
39、任选一题作答，如多做，则按所做的第一题记分选修 4-4：坐标系与参数方程选讲22 （10 分）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2cos6sin + 0，直线 l 的参数方程为 （t 为参数） （1）求曲线 C 的普通方程；（2）若直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，点 P 的坐标为（3，3） ，求| PA|+|PB|的值【分析】 （1）利用极坐标与直角坐标化简公式化简求解即可（2）把直线方程代入圆的方程化简可得 t 的二次方程，利用根与系数的关系，以及|PA| t1|，|PB| t2|求出|PA|PB| 【解答】解：（1）曲线
40、 C 的极坐标方程为 2cos6sin+ 0，可得： 22 cos6sin +10，可得 x2+y22x6y+1 0，曲线 C 的普通方程：x 2+y22x6y+10（2）由于直线 l 的参数方程为 （t 为参数） 把它代入圆的方程整理得 t2+2t50，t 1+t22，t 1t25，|PA| t1|，|PB| t2|，|PA|+|PB| t1|+|t2| 2 第 23 页（共 23 页）|PA|+|PB|的值 2 【点评】本题考查参数方程化普通方程，考查极坐标方程化直角坐标方程，考查了直线的参数方程中参数 t 的几何意义，是基础题选修 4-5：不等式选讲23设 f（x） |x+1|x4|（1
41、）若 f（x） m 2+6m 恒成立，求实数 m 的取值范围；（2）设 m 的最大值为 m0，a，b，c 均为正实数，当 3a+4b+5cm 0 时，求 a2+b2+c2 的最小值【分析】 （1）求出 f（x ）|x+1| x4|的最大值，f （x） maxm 2+6m 即可（2）由柯西不等式（a 2+b2+c2） （3 2+42+52）（3a+4b+5 c） 225【解答】解（1）5|x +1| |x4| 5 ，由于 f（x） m2+6m 的解集为 R，m 2+6m5，即 1m5 （2）由（1）得 m 的最大值为 5，3a+4 b+5c5由柯西不等式（a 2+b2+c2） （3 2+42+52）（3a+4b+5c） 225（5分）故 a2+b2+c2 （当且仅当 a ，b c 时取等号）a 2+b2+c2 的最小值为 【点评】本题考查绝对值不等式的最值，柯西不等式的应用，属于中档题
