1、2018 年四川省内江市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1 （5 分）已知集合 Ax| x0，Bx|1x1，则 AB（ ）A （1，1） B （1，+） C （0，1） D （0，+）2 （5 分）设 i 为虚数单位， aR，若（1+i ） （1+ai）是纯虚数，则 a（ ）A2 B2 C1 D13 （5 分）sin20cos40+cos20sin140（ ）A B C D4 （5 分）下列说法中正确的是（ ）A先把高三年级的 2000 名学生
2、编号： 1 到 2000，再从编号为 1 到 50 的 50 名学生中随机抽取 1 名学生，其编号为 m，然后抽取编号为 m+50， m+100，m+150的学生，这样的抽样方法是分层抽样法B线性回归直线 不一定过样本中心（ ， ）C若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数 r 的值越接近于 1D若一组数据 1、a、3 的平均数是 2，则该组数据的方差是5 （5 分）执行如图所示的程序框图，若输入的 a 为 2，则输出的 a 值是（ ）第 2 页（共 22 页）A2 B1 C D16 （5 分）已知数列a n满足 an+12a n（nN *） ，a 1+a32，则 a5+a7（
3、 ）A8 B16 C32 D647 （5 分）已知实数 x，y 满足 ，则 zy 2 x 的最小值是（ ）A5 B2 C3 D58 （5 分）从集合2，3，4中随机抽取两数 x，y ，则满足 的概率是（ ）A B C D9 （5 分）函数 f（x ）x 22 |x|的图象大致是（ ）A BC D10 （5 分）已知函数 f（x ）sin 2x+ sinxcosx，则（ ）Af（x）的最小正周期为 2Bf（x）的最大值为 2Cf（x）在（ ， ）上单调递减Df（x）的图象关于直线 对称11 （5 分）设 a0，当 x0 时，不等式 恒成立
4、，则 a 的取值范围是（ ）A （0，1）（1，+） B （0，+）C （1，+） D （0，1）12 （5 分）设 nN*，函数 f1（x ）xe x，f 2（x）f 1（x） ，f 3（x）f 2（x） ，第 3 页（共 22 页），f n+1（x） fn（x） ，曲线 yf n（x）的最低点为 Pn，则（ ）A存在 nN*，使P nPn+1Pn+2 为等腰三角形B存在 nN*，使P nPn+1Pn+2 为锐角三角形C存在 nN*，使P nPn+1Pn+2 为直角三角形D对任意 nN*，P nPn+1Pn+2 为钝角三角形二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5
5、分，共 20 分13 （5 分）已知正方形 ABCD 的边长为 2，则 14 （5 分）甲、乙、丙三位同学中有一人申请了北京大学的自主招生考试，当他们被问到谁申请了北京大学的自主招生考试时，甲说：丙没有申请；乙说：甲申请了；丙说：甲说对了如果这三位同学中只有一人说的是假话，那么申请了北京大学的自主招生考试的同学是 15 （5 分）设函数 f（x ） ，则满足 f（x）2 的 x 的取值范围是 16 （5 分）已知 Sn 是等差数列a n的前 n 项和，a 11， a83a 3，则 + + &nbs
6、p; 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17 （12 分）设 Sn 是数列a n的前 n 项和已知 a11， Sn22a n+1（）求数列a n的通项公式；（）设 bn（1） nan，求数列b n的前 n 项和18 （12 分）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 bcosC+csinB0（）求 C；（）若 ，BC 的中垂线交 AB 于点 D，求 BD 的长19 （12 分）某企业有甲、乙两套设备生产同一种产品，为了检测两套设备的生产质量情况，随机从两套设备生产的大量产品中各抽取了 50 件产品作为样本，检测一项质量指标值
7、，若该项质量指标值落在100，120）内，则为合格品，否则为不合格品表 1 是甲套设备的样本的频数分布表，图 1 是乙套设备的样本的频率分布直方图表 1：甲套设备的样本的频数分布表第 4 页（共 22 页）质量指标值 95，100 ） 100，105）105，110）110，115）115，120）120，125频数 1 5 18 19 6 1图 1：乙套设备的样本的频率分布直方图（）将频率视为概率若乙套设备生产了 5000 件产品，则其中的不合格品约有多少件；（）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有 90%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关；甲套设备 乙套
8、设备 合计合格品不合格品合计（）根据表 1 和图 1，对两套设备的优劣进行比较附：P（K 2k 0） 0.15 0.10 0.050 0.025 0.010k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.63520 （12 分）已知函数 f（x ）asinx+bcosx（a，bR） ，曲线 yf（x）在点（ ，f（） ）处的切线方程为：yx （）求 a，b 的值；（）求函数 g（x） 在 上的最小值第 5 页（共 22 页）21 （12 分）已知函数 f（x ）e xax1（a R） （）讨论 f（x ）的单调性；（）设 a1，是否存在正实数 x，使得 f（x）0？若存在，请求出一个
9、符合条件的x，若不存在，请说明理由选修 4-4：极坐标与参数方程22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数） ，曲线 C 的参数方程为 （ 为参数） 以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系（）求直线 l 和曲线 C 的极坐标方程；（）已知直线 l 上一点 M 的极坐标为（2，） ，其中 射线 OM 与曲线 C 交于不同于极点的点 N，求|MN|的值选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）|3x 1|+|x2|的最小值为 m（）求 m 的值；（）设实数 a，b 满足 2a2+b2m，证明：2a+b 第 6 页（共 22 页）2018
10、 年四川省内江市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1 （5 分）已知集合 Ax| x0，Bx|1x1，则 AB（ ）A （1，1） B （1，+） C （0，1） D （0，+）【分析】运用集合的并集的定义，即可得到所求集合【解答】解：集合 Ax| x0，Bx|1x1，则 ABx|x1（1，+） ，故选：B【点评】本题考查集合的并集的求法，运用定义法解题是关键，属于基础题2 （5 分）设 i 为虚数单位， aR，若（1+i ） （1+ai）是纯虚数，则 a（ &n
11、bsp;）A2 B2 C1 D1【分析】利用复数代数形式的乘法运算展开，再由实部为 0 且虚部不为 0 求得 a 值【解答】解：（1+i） （1+ ai）（1a）+ （1+a）是纯虚数， ，解得：a1故选：C【点评】本题考查复数代数形式的乘法运算，考查复数的基本概念，是基础题3 （5 分）sin20cos40+cos20sin140（ ）A B C D【分析】利用诱导公式化 sin140为 sin40，再由两角和的正弦求解【解答】解：sin20cos40+cos20sin140sin20cos40+cos20sin40sin（20+40）sin60 故选：B【点评】本题考查三角函数
12、的化简求值，考查诱导公式及两角和的正弦，是基础题第 7 页（共 22 页）4 （5 分）下列说法中正确的是（ ）A先把高三年级的 2000 名学生编号： 1 到 2000，再从编号为 1 到 50 的 50 名学生中随机抽取 1 名学生，其编号为 m，然后抽取编号为 m+50， m+100，m+150的学生，这样的抽样方法是分层抽样法B线性回归直线 不一定过样本中心（ ， ）C若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数 r 的值越接近于 1D若一组数据 1、a、3 的平均数是 2，则该组数据的方差是【分析】根据题意，对选项中的命题进行分析、判断真假性即可【解答】解：对于 A，根据抽
13、样方法特征是数据多，抽样间隔相等，是系统抽样，A 错误；对于 B，线性回归直线 一定过样本中心点（ ， ） ，B 错误；对于 C，两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数| r|的值越接近于 1，B 错误；对于 D，一组数据 1、a、3 的平均数是 2，a2；该组数据的方差是 s2 （12） 2+（22） 2+（32） 2 ，D 正确故选：D【点评】本题利用命题真假的判断考查了概率与统计的应用问题，是基础题5 （5 分）执行如图所示的程序框图，若输入的 a 为 2，则输出的 a 值是（ ）第 8 页（共 22 页）A2 B1 C D1【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利
14、用循环结构计算并输出变量 a 的值，模拟程序的运行过程，可得答案；【解答】解：当 a2，k0 时，执行循环 a1，满足继续循环的条件，k1；执行循环 a ，满足继续循环的条件，k2；执行循环 a2，满足继续循环的条件，k3； 执行循环 a1，满足继续循环的条件，k4；执行循环 a ，满足继续循环的条件，k5；执行循环 a2，不满足继续循环的条件，故输出的结果为 2，故选：A【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答6 （5 分）已知数列a n满足 an+12a n（nN *） ，a 1+a32，则 a5+a7（ ）A8 B16 C32
15、 D64【分析】利用等比数列的通项公式及其性质即可得出【解答】解：数列a n满足 an+12a n（nN *） ，此数列是等比数列，公比为 2则 a5+a72 4（a 1+a3）2 4232故选：C【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题7 （5 分）已知实数 x，y 满足 ，则 zy 2 x 的最小值是（ ）A5 B2 C3 D5【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合即可得到结论【解答】解：由 zy2x ，则 y2x+z第 9 页（共 22 页）作出实数 x，y 满足 对应的平面区域如图：平移直线 y2x +z，由图象知当直线
16、y2x +z，经过点 A 时，直线 y2x+z 的截距最小，此时 z 最小，由 ，得 A（3，1） ，此时 z1235，即 zy 2x 的最小值5，故选：D【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法8 （5 分）从集合2，3，4中随机抽取两数 x，y ，则满足 的概率是（ ）A B C D【分析】根据题意写出对数 logxy 的所有可能取值，求出满足条件的概率【解答】解：集合2，3，4中随机抽取两数 x，y ，则有 log23，log 24，log 32，log 34，log 42，log 43 共 6 个，满足 的只
17、有 1 个，是 log42 ；所求的概率是 P 故选：D【点评】本题考查了对数的概念与几何概型的概率计算问题，是基础题第 10 页（共 22 页）9 （5 分）函数 f（x ）x 22 |x|的图象大致是（ ）A BC D【分析】利用特殊值排排除即可【解答】解：函数 f（x ）x 22 |x|，f（3）9810，故排除 C，D ，f（0）1，f（ ） 0.25 1，故排除 A，故选：B当 x0 时，f（ x）x 22 x，f（x）2 x2 xln2，故选：B【点评】本题考了函数的图象的识别，排除是关键，属于基础题10 （5 分）已知函数 f（x ）sin 2x+ sinxcosx，
18、则（ ）Af（x）的最小正周期为 2Bf（x）的最大值为 2Cf（x）在（ ， ）上单调递减Df（x）的图象关于直线 对称【分析】利用二倍角公式及辅助角公式 f（x ）sin（2x ）+ ，根据正弦函数的性质分别判断，即可求得答案【解答】解：f（x ）sin 2x+ sinxcosx + sin2xsin （2x ）+ ，由 T ，故 A 错误，第 11 页（共 22 页）f（x）的最大值为 1+ ，故 B 错误；令 2k+ 2x 2k+ ，解得：k + xk + ，kZ，当 k0 时，则 f（x）在（ ， ）上单调递减，故 C 正确，令 2x k+ ，解得：x + ，故 D 错误
19、，故选：C【点评】本题考查三角恒等变换，正弦函数的性质，考查转化思想，属于基础题11 （5 分）设 a0，当 x0 时，不等式 恒成立，则 a 的取值范围是（ ）A （0，1）（1，+） B （0，+）C （1，+） D （0，1）【分析】利用导函数研究其单调性求解最值即可求 a 的取值范围【解答】解：由题意，令 f（ x） ，则 f（x） ，令 f（x）0 ，可得（xa） （x+1）0，当 x（0，a）时， f（x ） 0，即 f（x）在（0，a）上单调递减，当 x（a，+）时，f（x ） 0，即 f（x）在（a，+）上单调递增，f（x） minf（a） ，令 g（a）a 2aa
20、lna0， （a0）g（a）alna10则 g（a）1 ，令 g（a）0可得：a1当 a（0，1）时，g（a）递减， （1，+）时，g（a）递增，当 a1 时，g（a） min0由函数 ya1 和函数 ylna 可得，ya1 的图象在 ylna 的上方第 12 页（共 22 页）a0 且 a1故选：A【点评】本题考查了导函数研究原函数的单调性和最值的灵活应用能力属于中档题12 （5 分）设 nN*，函数 f1（x ）xe x，f 2（x）f 1（x） ，f 3（x）f 2（x） ，f n+1（x）f n（x ） ，曲线 yf n（x）的最低点为 Pn，则（ ）A存在 nN*，使P
21、nPn+1Pn+2 为等腰三角形B存在 nN*，使P nPn+1Pn+2 为锐角三角形C存在 nN*，使P nPn+1Pn+2 为直角三角形D对任意 nN*，P nPn+1Pn+2 为钝角三角形【分析】根据题意，依次求出曲线 yf 1（x） 、yf 2（x）的最低点的坐标，分析可得yf n（x）的最低点 Pn 的坐标，求出直线 PnPn+1 与直线 Pn+1Pn+2 的斜率，比较大小，分析即可得答案【解答】解：根据题意，函数 f1（x ）xe x，其导数 f1（x ）（x）e x+x（e x）（x+1）e x，分析可得在（，1）上，f 1（x ）0，f 1（x）为减函数，在（1，+）上，f 1
22、（x ）0，f 1（x）为增函数，曲线 yf 1（x）的最低点 P1， （1， ） ，对于函数 f2（x ）f 1（x ）（ x+1）e x，其导数 f2（x ）（x+1）e x+（x +1） （e x）（x +2）e x，分析可得在（，2）上，f 1（x ）0，f 1（x）为减函数，在（2，+）上，f 1（x ）0，f 1（x）为增函数，曲线 yf 1（x）的最低点 P1， （2， ） ，分析可得曲线 yf n（x）的最低点 Pn，其坐标为（n， ） ；则 Pn+1（n 1， ） ，P n+2（n2， ） ；有 ，第 13 页（共 22 页）同理 ，分析可得： ，即P nPn+1Pn+2 为
23、钝角三角形；则对任意 nN*，P nPn+1Pn+2 为钝角三角形；故选：D【点评】本题考查导数的应用，涉及三角形形状的判定，关键是求出最低点为 Pn 的坐标二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13 （5 分）已知正方形 ABCD 的边长为 2，则 4 【分析】利用向量 与 向量表示 ，然后求解向量的数量积即可【解答】解：正方形 ABCD 的边长为 2， +2 4故答案为：4【点评】本题考查向量的数量积的求法，向量在几何中的应用，考查计算能力14 （5 分）甲、乙、丙三位同学中有一人申请了北京大学的自主招生考试，当他们被问到谁申请了北京大学的自主招生考试时，甲说：丙没有
24、申请；乙说：甲申请了；丙说：甲说对了如果这三位同学中只有一人说的是假话，那么申请了北京大学的自主招生考试的同学是 乙 【分析】分别假设申请了北京大学的自主招生考试的同学是甲、乙、丙，根据这三位同学中只有一人说的是假话，能判断与申请了北京大学的自主招生考试的同学【解答】解：假设申请了北京大学的自主招生考试的同学是甲，则甲、乙、丙三人说的都是真话，不满足题意；假设申请了北京大学的自主招生考试的同学是乙，则甲和丙说的都是真话，乙说的是假话，满足题意；第 14 页（共 22 页）假设申请了北京大学的自主招生考试的同学是丙，则甲、乙、丙说的都是假话，不满足题意故申请了北京大学的自主招生考试的同学是乙故答
25、案为：乙【点评】本题考查申请了北京大学的自主招生考试的同学的判断，考查简单的合情推理，考查推理论证能力、总结归纳能力，考查化归与转化思想，是基础题15 （5 分）设函数 f（x ） ，则满足 f（x）2 的 x 的取值范围是 （1，0）（2，+） 【分析】讨论当 x0 时，f（x）2 即为 x2x20，当 x0 时，f（x）2 即为2x 2x20，解不等式即可得到所求范围【解答】解：函数 f（x ） ，当 x0 时，f（ x）2 即为 x2x20，解得 x2；当 x0 时，f（ x）2 即为 2x 2x20，解得1x0则满足 f（x） 2 的 x 的取值范围为（1，0）（2，+） 故答案为：（
26、1，0）（2，+） 【点评】本题考查分段函数的运用：解不等式，考查二次不等式的解法，属于基础题16 （5 分）已知 Sn 是等差数列a n的前 n 项和，a 11， a83a 3，则 + + 【分析】根据等差数列的通项公式求出数列的公差，利用裂项法进行求解即可【解答】解：由 a11，a 83a 3，得 a1+7d3（a 1+2d） ，即 1+7d3+6d，得 d2， ，第 15 页（共 22 页）则 + + + + + 1 ，故答案为：【点评】本题主要考查数列求和的计算，根据条件求出等差数列的公差，以及利用裂项法是解决本题的关键三、解答题：本大题共 5 小题，共 70
27、 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17 （12 分）设 Sn 是数列a n的前 n 项和已知 a11， Sn22a n+1（）求数列a n的通项公式；（）设 bn（1） nan，求数列b n的前 n 项和【分析】 （）求出数列通项的关系，然后判断数列是等比数列，即可求数列a n的通项公式；（）利用数列的通项公式化简，然后求解数列的和即可【解答】解：（）S n22a n+1，a 11当 n1 时，S 122a 2，得 （2 分）当 n2 时，S n1 22a n当 n2 时，a n2a n2a n+1，即 （5 分）又a n是以 a11 为首项， 为公比的等比数列（6 分）数列a n的
28、通项公式 （7 分）（）由（）知，当 n2 时，第 16 页（共 22 页）b n是以 b11 为首项， 为公比的等比数列（10 分）数列b n的前 n 项和为 （12 分）【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查计算能力18 （12 分）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 bcosC+csinB0（）求 C；（）若 ，BC 的中垂线交 AB 于点 D，求 BD 的长【分析】 （）由已知及正弦定理可求 sinBcosC+sinCsinB0，结合 sinB0，可求tanC1，结合范围 0C，可求 C 的值（）由（）和余弦定理可求 c 的值，cosB 的值，设
29、 BC 的中垂线交 BC 于点 E，在RtBCD 中，可求 BD 的值【解答】 （本题满分为 12 分）解：（）在ABC 中，bcos C+csinB0，由正弦定理知，sinBcosC+sinCsinB 0（2 分）0B，sinB0，于是 cosC+sinC0，即 tanC1（4 分）0C （6 分）（）由（）和余弦定理知，c5，（8 分） ，（10 分）设 BC 的中垂线交 BC 于点 E，在 RtBCD 中， ， （12 分）第 17 页（共 22 页）【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理以及三角形中垂线的性质的综合应用，考查了数形结合思想的应用，属于基础题19 （12 分）某企业有甲
30、、乙两套设备生产同一种产品，为了检测两套设备的生产质量情况，随机从两套设备生产的大量产品中各抽取了 50 件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在100，120）内，则为合格品，否则为不合格品表 1 是甲套设备的样本的频数分布表，图 1 是乙套设备的样本的频率分布直方图表 1：甲套设备的样本的频数分布表质量指标值 95，100 ） 100，105）105，110）110，115）115，120）120，125频数 1 5 18 19 6 1图 1：乙套设备的样本的频率分布直方图（）将频率视为概率若乙套设备生产了 5000 件产品，则其中的不合格品约有多少件；（）填写下面列联表，
31、并根据列联表判断是否有 90%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关；甲套设备 乙套设备 合计合格品不合格品合计第 18 页（共 22 页）（）根据表 1 和图 1，对两套设备的优劣进行比较附：P（K 2k 0） 0.15 0.10 0.050 0.025 0.010k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635【分析】 （）结合频数分布表，求出满足条件的概率即可；（）求出 22 列联表，计算 k2 法值，判断即可；（）求出满足条件的概率，判断即可【解答】解：（）由图 1 知，乙套设备生产的不合格品率约为 （2 分）乙套设备生产的 5000 件产
32、品中不合格品约为 （件）（3 分）（）由表 1 和图 1 得到列联表：甲套设备 乙套设备 合计合格品 48 43 91不合格品 2 7 9合计 50 50 100（5 分）将列联表中的数据代入公式计算得（8 分）3.052.706有 90%的把握认为产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关（9 分）（）由表 1 和图 1 知，甲套设备生产的合格品的概率约为 ，乙套设备生产的合格品的概率约为 ，甲套设备生产的产品的质量指标值主要集中在105，115）之间，乙套设备生产的产品的质量指标值与甲套设备相比较为分散因此，可以认为甲套设备生产的合格品的概率更高，且质量指标值更稳定，从而甲套设备优于乙套设
33、备（12 分）【点评】本题考查了概率求值，考查转化思想以及独立性检验，是一道中档题第 19 页（共 22 页）20 （12 分）已知函数 f（x ）asinx+bcosx（a，bR） ，曲线 yf（x）在点（ ，f（） ）处的切线方程为：yx （）求 a，b 的值；（）求函数 g（x） 在 上的最小值【分析】 （）利用函数的导数求出切线的斜率，列出方程组，然后求 a，b 的值；（）化简函数的解析式，通过导函数的符号判断函数的单调性，然后求解函数的最小值即可【解答】解：（）由切线方程知，当 时，y0 （1 分）f'（x）acosx bsinx（3 分）由切线方程知， （4 分） （5 分
34、）（）由（）知，f（x ） sinx cosxsin （x ）（6 分）函数 ， （8 分）设则 u'（x ）x sinx0，故 u（x）在 上单调递减u（x）u（0）0，g（x）在 上单调递减（11 分）函数 g（x）在 上的最小值为 g（ ） （12 分）【点评】本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，函数的单调性以及函数的最值的求解，考查计算能力21 （12 分）已知函数 f（x ）e xax1（a R） （）讨论 f（x ）的单调性；（）设 a1，是否存在正实数 x，使得 f（x）0？若存在，请求出一个符合条件的x，若不存在，请说明理由第 20 页（共 22 页）【分析】 （
35、）求出 f（x ）的定义域为 R，与导数 f'（x）e xa，通过当 a0 时，当a0 时，当 a0 时，判断函数符号，得到函数的单调区间（）存在正数 x2lna，使得 f（x）0，即 f（2lna）a 22alna10，其中a1利用构造函数，函数的导函数，判断函数的单调性，转化求解即可【解答】解：（）f（x ）的定义域为 R，f '（x）e xa（1 分）当 a0 时，f'（x ）0，故 f（x）在 R 上单调递增（2 分）当 a0 时，令 f'（x ）0，得 xlna当 xlna 时， f'（x ）0，故 f（x）单调递减当 xlna 时， f
36、9;（x ）0，故 f（x）单调递增（5 分）综上所述，当 a0 时，f（x）在 R 上单调递增；当 a0 时，f（x ）在（，lna ）上单调递减，在（lna，+）上单调递增（6 分）（）存在正数 x2lna，使得 f（x）0（8 分）即 f（2lna）a 22alna10，其中 a1证明如下：设 g（x）x 22xlnx1（x1） ，则 g'（x）2x 2lnx2设 u（x）xlnx1（x1） ，则 ，故 u（x ）在（1，+ ）上单调递增u（x）u（1）0，故 g'（x）2x 2lnx22u（x）0g（x）在（1，+）上单调递增，故 g（x）g（1）0当 a1 时，a 2
37、2alna1 0f（2lna）a 22alna10（12 分）【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查分类讨论思想以及转化思想的应用选修 4-4：极坐标与参数方程22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数） ，曲线 C 的参数方程为 （ 为参数） 以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系（）求直线 l 和曲线 C 的极坐标方程；第 21 页（共 22 页）（）已知直线 l 上一点 M 的极坐标为（2，） ，其中 射线 OM 与曲线 C 交于不同于极点的点 N，求|MN|的值【分析】 （）直接把极坐标方程和参数
38、方程与直角坐标方程进行转化（）利用方程组求出结果【解答】解：（）直线 l 的参数方程为 （t 为参数） ，直线的普通方程为 ，极坐标方程为 曲线 C 的普通方程为 ，极坐标方程为 （5 分）（）点 M 在直线 l 上，且点 M 的极坐标为（2，） ， ，射线 OM 的极坐标方程为 联立 ，解得 3|MN | |N M|1【点评】本题考查的知识要点：极坐标方程和参数方程与直角坐标方程的转化，极坐标方程的应用选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）|3x 1|+|x2|的最小值为 m（）求 m 的值；（）设实数 a，b 满足 2a2+b2m，证明：2a+b 【分析】 （）取得绝对值符号，推出函数的解析式，判断函数的单调性，即可求最小值 m 的值；第 22 页（共 22 页）（）由（）知 2a2+b2 ，再由（2a+b） 23（2a 2+b2） ，即可得证 2a+b 【解答】解：（）f（x ）|3x1|+| x2| ，f（x）在 ）上单调递增，在（ ）上单调递减f（x）的最小值为 f（ ） （5 分）（）由（）知，2a 2+b2 ，2aba 2+b2，（2a+b） 24a 2+b2+4ab 4a2+b2+2（a 2+b2）3（2a 2+b2）5，当 ab 时取等2a+b （10 分）【点评】本题考查绝对值不等式的解法，考查函数的最值的求法，考查证明不等式，属于中档题
